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G123 La souris Bidule dans le vestibule

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Academic year: 2022

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G123 La souris Bidule dans le vestibule

Désignons par A le vestibule, par B1 et B2 les deux pièces latérales (ne donnant que sur A), par C1 et C2 les deux autres pièces accessibles depuis A, et enfin par D1, D2, D3 et D4 les pièces de coin ; après n changements de pièces, désignons par an, bn, cn, dn les probabilités que Bidule se trouve dans une pièce de type A, B, C, D. On a les relations de récurrence suivantes :

an+1=bn+cn/3 , bn+1=an/2 , cn+1=an/2+dn , dn+1=2cn/3 , avec a0=1, b0=0, c0=0, d0=0.

On en déduit immédiatement que les termes impairs sont nuls pour a et d, de même que les termes pairs pour b et c, et que a2p+2=2a2p/3+d2p/3 et d2p+2=a2p/3+2d2p /3, donc

a2p+2+d2p+2=a2p+d2p et a2p+2-d2p+2=(a2p-d2p)/3.

Il en résulte que a2p=(1+1/3p)/2

Il y a 12 changements par heure, le mois de mars compte 31 jours de chacun 24 heures… sauf le 25 mars, qui ne compte que 23 heures à cause du passage à l’heure d’été ! Soit 8916 changements au 1er avril 0 heure.

La probabilité de retrouver Bidule dans le vestibule est donc nulle pour le 31 mars à 23h 55, et égale à (1+1/34458)/2 (pas très différent de 1/2 !) pour le 1er avril à 0 heure.

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