TD 6 : dérivation, développements limités

mathématiques - S’1

TD 6 : dérivation, développements limités

exercices théoriques 1. Calculer les dérivées des fonctions définies par :

a(x) = x

√x²+1, b(x) =arccosx, c(x) =arcsin√ 1+x.

2. Calculer les dérivées d’ordrendes fonctions :

a(x) =cosx, b(x) =¹_x, c(x) = (1+x)^α,α∈R. 3. Existence et valeur des extrema des fonctions suivantes :

a(x) =x(3−x), b(x) = 4x²−3x−1

4x²+1 , c(x) =√

1+sinx.

4. On définit le « sinus cardinal » par sincx= sinx

x six6=0 et sinc0=1.

Calculer ses dérivées première et seconde. Etudier et tracer la fonction.

Préciser en particulier la valeur de ses extrema secondaires.

5. (a) Si on pose pour x>0 y=x², déterminer la différentielle dy en fonction dexetdx, puis exprimerdxen fonction deyetdy.

(b) Même question avecy=tanxpour−π/2<x<π/2.

6. Donner les développements limités des expressions suivantes : (a)√

1−2xen 0 à l’ordre 3 (b) 1

2−x en 0 à l’ordre 4 (c) 3 sin2x−2 sin3xen 0 à l’ordre 3 (d) 1

3+2x² en 0 à l’ordre 6 (e) x³+2x²−3x+1

1−x²+x⁴ en 0 à l’ordre 3 (f) 1

2−x en 1 à l’ordre 4 7. Déterminer les limites suivantes :

(a) limx→0 1 sin²x− 1

x² (b) limx→0 1

sinx−1 x (c) limx→0cos2x−1

(arctanx)² (d) limx→0

√1+x−1−sin(x/2) x²

8. Donner, en précisant leur position relative, les asymptotes aux courbes : C₁:y=√

2x²−x+1 C₂:y=1−3x²

3−2x C₃:y=x³cos1 x−x³ 9. Donner un équivalent en+∞des fonctions suivantes :

a(x) =ln(1+¹_x)−sin¹_x, b(x) =√

x²−x−x, c(x) =√

5x³−2x.

exercices pratiques

1. Un problème d’optimisation :un fabricant de boîtes de conserve veut produire des boîtes cylindriques de volume 1 litre.

Econome, il souhaite utiliser le moins de métal possible.

Quelles dimensions (rayon et hauteur) doit-il choisir ?

2. Calcul d’erreur et différentielles :si on connaît à 1cm près le rayon d’une boule de 20cm, quel est le volume estimé ? Quelles sont les im- précisions absolue et relative sur cette détermination du volume ? 3. Excés de vitesse :un automobiliste met 15 min pour effectuer le trajet

entre Sassenage et Villard-de-Lans, distantes de 27km. Justifier, sans utiliser de radar, qu’il a commis une infraction.

4. Validité de l’approximation des petits angles :

On souhaite estimer la validité de l’approximation sinθ'θ.

(a) Montrer que pour tout angleθ,|sinθ−θ| ≤ |θ|³/6.

(b) Pour quels angles l’approximation est-elle valable à 10⁻²près ? 5. CircuitRLCparallèle :tracer en fonction deωla courbe représentant

le module de l’impédance complexe d’un circuitR,L,Cparallèle.

Préciser ses asymptotes et leur position par rapport à la courbe.

Guillaume Laget - version du 23-06-2006 06:06 (document mis à jour sur http ://maths.tetras.org/) - réutilisation et reproduction non commerciale de tout ou partie de ce document vivement encouragées