A550 – Les puissances 2 à la fête Solution proposée par François Bulot
Q1 :
A) On a : 2^a=2^b+c*10^d
avec c entier compris entre 1 et 9 et d>=1
Si c est pair, on peut remplacer c par c/2 ; a par a-1 et b par b-1.
C est donc un entier parmi (1;3;5;7;9) 2^a=2^b+c*5^d*2^d
2^(a-d)=2^(b-d)+c*5^d
c*5^d est impair et au moins égal à 1.
2^(b-d) est au moins égal à 1.
Donc 2^(a-d) est pair et 2^(b-d)=1.
Notons e=a-d.
On obtient : 2^e=1+c*5^d
2^e se termine par un 4.
e est de la forme 4p+2
2^(4p+2)-1=(2^(2p+1)+1)*(2^(2p+1)-1)
Or 2^(2p+1)-1 et 2^(2p+1)+1 sont premiers entre eux, donc l'un des deux est un diviseur de c.
Il reste à tester :
1+5=6 ; 1+15=16=2^4 ; 1+25=26 ; 1+35=36 ; 1+45=46 c=3 ; d=1 et e=4.
32=2+30
Avec c pair, on obtient également : 64=4+60.
B) Si on supprime le dernier chiffre de droite, on a : 2^a=10*2^b+c avec c<=9
c=2^(b+1)*(2^(a-b-1)-5)
donc 2^(a-b-1) est compris entre 5 et 14 a-b-1=3
a=b+4
16*2^b=10*2^b+c 6*2^b=c
donc b=0 et c=6
Lorsqu'on supprime le dernier chiffre de 16, on obtient 1.
Seul cas possible.
Q2) Les entiers commençant par 0 étant exclus, les deux puissances de 2 s'écrivent avec le même nombre de chiffres.
Donc le quotient de la grande par la petite est forcément 2, 4 ou 8.
Lorsqu'on réarrange les chiffres d'un nombre, sa valeur n'est pas modifiée modulo 9.
Or la valeur des modulo 9 des puissances de 2 vaut dans l'ordre : 1, 2, 4, 8, 7, 5 et se répète à l'infini.
Pour que deux puissances de 2 s'écrivent avec les mêmes chiffres, il est indispensable que la différence entre leurs puissances soit un multiple de 6, ce qui exclut les valeurs 1, 2 et 3.
