Enonc´e noA524 (Diophante) Deux passages oblig´es
Soit un entier naturel N positif `a 2009 chiffres. On calcule la somme des carr´es de ses chiffres et on poursuit cette op´eration avec le nombre ainsi obtenu. D´emontrer qu’apr`es un nombre fini d’op´erations, on est certain de passer par l’un ou l’autre des deux entiers aetb`a un seul chiffre que l’on d´eterminera.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Je note s1(n) la somme des carr´es des chiffres d’un entier n, s2(n) = s1(s1(n)), etc.,sk(n) =s1(sk−1(n)).
Sachant que N a 2009 chiffres,s1(N)≤2009·92 = 162729.
Donc s1(N) est un nombre d’au plus 6 chiffres dont le chiffre de gauche est 1 s’il y a 6 chiffres. On en conclut que s2(N)≤1 + 5·92 = 406.
Le mˆeme raisonnement conduit `as3(N)≤32+2·92= 171. C’est un nombre d’au plus 3 chiffres dont le chiffre de gauche est 1 s’il y a 3 chiffres, il s’´ecrit du ou 1du.
Ainsis4(N) =d2+u2 ou 1 +d2+u2. Selon le choix des chiffresdetu, on obtient 79 valeurs possibles,
– les entiers de 1 `a 75 `a l’exception de 7, 12, 15, 22, 23, 24, 28, 31, 39, 43, 44, 47, 48, 55, 56, 57, 60, 63, 67, 70, 71 ;
– les entiers 80 `a 83, 85, 86, 89, 90, 97 `a 101, 106, 107, 113, 114, 117, 118, 128 `a 131, 145, 146, 162, 163.
Partant de ces valeurs, la somme des carr´es des chiffress5(N) peut prendre seulement 48 valeurs, sous-ensemble des 79 pr´ec´edentes. Construisons le graphe dont ces valeurs sont les sommets, et dont les arcs font passer de n `a s1(n). Les valeurs successives de sk(N) parcourent un chemin de ce graphe.
On constate que le graphe a deux composantes connexes. Dans l’une (10 valeurs), les chemins aboutissent `a 1 (atteint d`ess8(N) sis5(N) appartient
`
a cette composante).
Dans l’autre (38 valeurs), les chemins aboutissent sur un circuit ferm´e 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4. Si s5(N) appartient `a cette composante, on voit que 4 =sk(N) pour un k≤17.
En conclusion, apr`es au plus 17 op´erations, on aura atteint 1 ou on sera pass´e par 4.
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