A208 - Les croisements des aiguilles de l’horloge Solution
Q1 : On désigne par T le temps qui s’est écoulé depuis minuit. T est un nombre décimal exprimé en secondes.
Oy est l’axe vertical passant par le centre de l’horloge et le numéro 12. A minuit et midi, les trois aiguilles sont confondues avec cet axe Oy.
L’angle A exprimé en degrés que fait l’aiguille des heures avec Oy est égal à T/120 –360*Ent[T/43200] avec h Ent[ ] désignant la partie entière de [ ],
L’angle Am exprimé en degrés que fait l’aiguille des minutes avec Oy est égal à T/10 –360*Ent[T/3600], L’angle A exprimé en degrés que fait l’aiguille des secondes avec Oy est égal à 6*T –360*Ent[T/60]. s
Les aiguilles des heures et des minutes se croisent quand :
A = h Am T = 43200/11 * ( Ent[T/3600] – Ent[T/43200]). Il y a 11 valeurs de croisement des deux aiguilles : 43200/11, 86400/11,….,43200*p/11,…43200.Le onzième croisement coïncide avec midi.
Les aiguilles des heures et des secondes se croisent quand :
A = h A s T = 43200/719 * ( Ent[T/60] – Ent[T/43200]). Il y a 719 valeurs de croisement des deux aiguilles : 43200/719, 86400/719,….,43200*q/719,…43200. Le 719 ème croisement coïncide avec midi.
Les aiguilles des minutes et des secondes se croisent quand :
Am= A s T = 3600/59 * ( Ent[T/60] – Ent[T/3600]). Il y a 708 valeurs de croisement des deux aiguilles : 3600/59, 7200/59,….,3600*r/59,…43200. Le 708 ème croisement coïncide avec midi.
On vérifie qu’excepté midi, il n’y a aucun moment de la demi-journée au cours duquel les trois aiguilles sont confondues. En effet les trois entiers 11, 719 et 59 sont premiers entre eux. Comme les croisements observés à midi sont comptés pour un, le nombre total de croisements est 11 + 719 + 708 – 2 = 1436.
Le 1436 ème croisement a donc lieu à midi.
Q2 : Pour arriver au 2004 ème croisement, il faut considérer 568 croisements depuis midi, ce qui représente a priori une durée approximative de 568/1436 * 43200 secondes = 17085 arrondis aux cinq secondes les plus proches. L’heure correspondante est 16 heures 44 minutes et 45 secondes.
Pour T = 17085 secondes, le nombre de croisements des aiguilles des heures et des minutes est défini par la double inégalité 43200*p/11 < 17085 <43200*(p+1)/11 d’où 4 croisements de ces aiguilles. De la même manière on détermine le nombre des croisements des aiguilles des heures et des secondes qui se sont produits avant l’instant T = Ent[17085*719 /43200] = 284 et celui des croisements des aiguilles des minutes et des secondes = Ent[17085*59/3660] = 280. Au total 568 croisements se sont produits. On vérifie qu’une seconde plus tôt, les deux aiguilles des minutes et des secondes ne se sont pas encore rencontrées. La durée approchée se révèle être la meilleure mesure.
