Géométrie affine

Géométrie affine

2. Espaces affines de dimension finie ; repères affines.

3. Barycentres, coordonnées barycentriques.

4. Sous-espaces affines.

5. Applications affines.

6. Le groupe affine.

7. Equations d’un sous-espace affine.

8. Les théorèmes historiques.

9. Aires et volumes.

10. Théorème fondamental de la géométrie affine.

11. Axiomes des espaces affines réels.

Pierre-Jean Hormière

___________

« La géométrie est la clef de la nature. (...) La poésie est la clef de l’ordre humain. (...) Géométrie et poésie ; cela suffit. L’une tempère l’autre. Mais il faut les deux. Homère et Thalès le conduiront par la main. L’enfant a cette ambition d’être un homme ; il ne faut point le tromper ; encore moins lui donner à choisir dans ce qu’il ignore. »

Alain, Géométrie et latin, 15 juin 1925

Introduction.

Les espaces affines sont les espaces les plus fréquemment rencontrés en géométrie. On pourrait les définir de manière axiomatique indépendamment du reste de l’édifice mathématique, mais il est plus économique de les définir à partir des espaces vectoriels.

Grosso modo, un espace affine est un espace vectoriel dont on cherche à oublier le point particulier qu’est O, tous les points jouant dès lors le même rôle et pouvant être pris pour origine ; les applications affines s’obtiennent en adjoignant les translations aux applications linéaires. Il en résulte que les propriétés des espaces affines se déduisent aisément de résultats d’algèbre linéaire. Pour démontrer un résultat de nature affine, on se ramène au cas vectoriel en choisissant une origine et éventuellement un repère centré en ce point. Mais on peut aussi, plus intrinsèquement, développer un calcul barycentrique. Les géomètres anciens ne procédaient pas ainsi : leurs outils de base étaient les théorèmes de Pythagore, Thalès, Menelaüs, Ceva, Pappus et Desargues. Ces théorèmes ont conservé leur charme et ont heureusement continué à stimuler la perspicacité des géomètres longtemps après les simplifications cartésiennes.

La plupart des figures illustrant ce chapitre ont été réalisées avec Cabri Géomètre. Que tous les cabris géomètres en soient remerciés !

1. Définition d’un espace affine.

1.1. Définition.

Définition 1 : Soient K un corps commutatif, E un K-espace vectoriel. On appelle espace affine associé ou attaché à E tout ensemble non vide EEEE sur lequel le groupe additif (E, +) agit à droite de manière simplement transitive, autrement dit muni d’une loi externe :

(a, u) ∈EEEE_{×E → a +} u _∈EEEE

vérifiant les trois axiomes :

(AI) ∀a ∈ EEEE _∀(u,v) ∈ E² (a + u) + v = a + (u + v) (AII) ∀a ∈ EEEE a + 0 = a

(AIII) ∀(a, b) ∈ EEEE² _∃!u∈ E b = a + u .

E est appelé espace vectoriel directeur, ou direction vectorielle, de l’espace affine EEEE _{; ses} éléments sont les vecteurs libres de EEEE_.

Remarque : Faisons les comptes : 9 axiomes de K + 8 axiomes de E + 3 axiomes de EEEE = 20 axiomes.

19 si l’on observe que l’axiome (AII) découle des deux autres.

Exercice : Montrer que les axiomes précédents sont équivalents aux axiomes (AI, AII, AIV, AV) : (AIV) ∀(a, b) ∈ EEEE² _∃u ∈ E b = a + u .

(AV) ∀u _∈ E ∀a ∈EEEE _{a +} u = a ⇒ u = 0. 1.2. Translations.

Proposition 1 : Soit EEEE un espace affine. Pour tout x_∈ E, l’application τ_ξ : a ∈EEEE_{→ a +} x _∈EEEE _est une permutation de EEEE, et l’application x _→τx est un morphisme injectif de (E, +) dans (SSSS_{E, o).}

Définition 2 : L’application τ_ξest appelée translation de vecteur x.

Proposition 2 : Les translations de E forment un groupe commutatif isomorphe à (E, +).

L’action (a, u) ∈EEEE_{×E → a +} u _∈EEEE est dite action par translation.

1.3. Changement de notation.

Si (a, b) ∈EEEE²_{, on note} ab l’unique vecteur u_∈ E tel que b = a + u. On a alors a + ab = b.

Définition 3 : Le couple (a, b) est appelé bipoint ou vecteur lié d’origine a et d’extrémité b, le vecteur ab est appelé vecteur libre associé au bipoint.

On note parfois par abus ab = b – a, oubliant que + est une loi externe.

Proposition 3 : L’application θ : (a, b) ∈EEEE²_→ ab _∈ E vérifie : ∀(a, b, c) ∈EEEE³ ab + bc = ac

∀a ∈EEEE aa = 0 ∀(a, u) ∈EEEE_{×E ∃!b ∈}EEEE ab = u. Conséquences :

i) ∀(a, b) ba = −ab.

ii) Formule de Chasles générale a1a2 + a2a3 + … + an−1an = a1an. iii) Règle du parallélogramme ab = cd ⇔ ac = bd. On dit alors que le quadruplet (a, b, c, d) est un parallélogramme.

1.4. Vectorialisations d’un espace affine.

Soit a un point quelconque, mais fixé, de EEEE. L’application θa : b ∈ EEEE _→ ab∈ E est une bijection.

Les ensembles EEEE et E sont équipotents, et l’on peut transporter sur EEEE, via l’application θa, la structure vectorielle de E. Les lois de cet espace sont données par :

m + n = θa−1

(θa(m) + θa(n)) λ.m = θa−1

(λ.θa(m))

a est alors le neutre de EEEE. On note EEEE_a l’espace vectoriel d’origine a ainsi défini. On dit qu’on a

« vectorialisé en a » l’espace affine EEEE, ou plus simplement qu’on a « pris a comme origine ».

Remarques : 1) Chaque origine donne une structure d’espace vectoriel différente : x et y n’ont pas même somme selon qu’on prend a ou b comme origine, comme le montrent les parallélo- grammes des forces ci-contre. Mais ces structures sont isomorphes.

2) Il y a intérêt à vectorialiser chaque fois qu’un point joue un rôle particulier.

3) Intuitivement, un espace affine est un espace vectoriel dans lequel on a effacé le rôle privilégié joué par l’origine, et où l’on fait jouer à tous les points le même rôle. Réciproquement, choisir un point revient à transformer l’espace affine en espace vectoriel.

1.5. Exemples d’espaces affines.

i) Soient E un K-espace vectoriel, EEEE l’ensemble sous-jacent à E. La loi « externe » (a, u) ∈ EEEE_×E

→ a + u ∈ EEEE _{fait de} EEEE un espace affine, appelé espace affine naturel associé à E. E n’est autre que le vectorialisé en 0 de EEEE. Dans ce cas, la notation ab = b – a est tout à fait justifiée.

ii) Produit d’espaces affines.

Si EEEE_{1 et} EEEE₂ sont des espaces affines associés resp. à E₁ et E₂, EEEE_1×EEEE₂ est un espace affine associé à E₁×E₂ pour la loi (a, u) → a + u, où a = (a₁, a₂), u = (u₁, u₂), et a + u = (a₁ + u₁, a₂ + u₂).

Généralisation au produit d’une famille quelconque de sous-espaces affines.

iii) Espace affine FFFF_(X, EEEE_).

Si EEEE est un espace affine associé à E, FFFF_(X, EEEE) est un espace affine associé à FFFF(X, E) pour la loi (f,

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

2. Espaces affines de dimension finie ; repères affines.

2.1. Repères affines.

Définition 1 : Soit EEEE un espace affine de direction vectorielle E. On dit que EEEE est de dimension finie si E est de dimension finie, et l’on note dim EEEE _{= dim E.}

Si cette dimension vaut 0, 1, 2, on parle resp. de point, de droite, de plan affines.

Définition 2 : Si EEEE est un espace affine de dimension n et de direction vectorielle E, on appelle repère affine de EEEE un couple RRRR _{= (O,} BBBB), où O est un point de EEEE_{, et} BBBB _{= (}e₁ , …, en) une base de E.

O est appelé origine du repère.

Pour tout point M de EEEE, il existe un unique n-uplet (x₁, …, x_n) de scalaires tels que OM =

∑

= n

i i ie x

1

. . Ces scalaires x₁, …, x_n sont appelés coordonnées de M dans le repère RRRR _{= (O,} BBBB_).

2.2. Formules de changement de repère.

Soit RRRR_{‘ = (O’,} BBBB’) un nouveau repère affine, BBBB_{’ = (}e1', …, en'). Si P est la matrice de passage de BBBB à BBBB_{’ et si (a1, …, an}) sont les coordonnées de O’ dans le repère RRRR, on a

X = X₀ + P.X’ où X =













xn

x

...¹ , X₀ =













an

a

...¹ , et X’ =











 ' ...

1' xn

x .

2.3. Cas réel : orientation, topologie.

1) Orientation de EEEE_.

Par définition, orienter EEEE, c’est orienter E. Deux repères affines sont dits de même orientation si det P > 0 (P matrice de passage). L’une des classes d’équivalence est formée des bases directes, l’autre des bases indirectes.

2) Topologie de EEEE_.

A toute norme définie sur E correspond une distance d(a, b) = ||ab|| sur l’espace affine associé EEEE_. Lorsque E est de dimension finie, les normes sur E sont toutes équivalentes, donc les distances associées sur EEEE sont équivalentes. La topologie qu’elle définissent est dite topologie naturelle de EEEE_. 3. Barycentres, coordonnées barycentriques.

3.1. Barycentres.

Théorème & définition : Soit (m_i, λi)_1≤i≤p une famille de points de EEEE pondérés par les « masses » λi

∈ K.

1^er cas : si

∑

= p

i i 1

λ = 0, le vecteur x = i p

i

i..am

1

∑

2^ème cas : si

∑

= p

i i 1

λ ≠ 0, le point g défini par ag

p

i i).. (

1

∑

i

i..am

1

∑

g est appelé barycentre de la famille (m_i, λi)_1≤i≤p. C’est l’unique point g ∈EEEE _{tel que}

i p

i

i..gm

1

∑

i i..m

1

∑

i) Si λi = 1, λi = 0 pour j ≠ i, Bar((mj, λi)_1≤j≤p) = m_i . ii) Si p = 2, λ1 = λ2 =

2

1, g = Bar((m_i, λi)_1≤i≤p) est le milieu de m₁ et m₂ (cela suppose K de caractéristique ≠ 2¹). (a, b, c, d) est un parallélogramme ssi ac et bd ont même milieu.

iii) Si p ≥ 2, λi = p

1 , g = Bar((m_i, p 1 ₎

1≤i≤p) est l’isobarycentre des points m_i (cela suppose que la caractéristique de K ne divise pas p).

Propriétés des barycentres.

1) Homogénéité : Si α≠ 0, Bar((m_j, λj)_1≤j≤p) = Bar((m_j, αλj)_1≤j≤p).

1 La caractéristique 2 n’aime pas le juste milieu, et les diagonales d’un parallélogramme sont… parallèles !

2) Associativité : Si I = [1, p] a une partition I =

U

A

I

α∈

α, et si chacune des familles (λi)_i∈I et (λi)_i∈I(α) a une somme non nulle (α∈A), alors g = Bar((mi, λi)_i∈I) est le barycentre des points g_α = Bar((m_i, λi)_i∈I(α)) pondérés par les sommes s(α) =

∑

∈(αλ) I i

i. Application : concours des médianes d’un triangle.

Si K est de caractéristique ≠ 2 et 3, l’isobarycentre G du triangle ABC est le barycentre de A(1/3) et de I(2/3), où I est milieu de BC. Il se trouve donc sur la médiane du triangle issue de A, et, de même, sur les deux autres médianes.

Exercice 1 : Soient un triangle ABC, λ et µ deux scalaires tels que λ + µ ≠ 0. Soient A’ = Bar((B, λ), (C, µ)), B’ = Bar((C, λ), (A, µ)), C’ = Bar((A, λ), (B, µ)). Démontrer que les triangles ABC et A’B’C’ ont même centre de gravité.

Exercice 2 : Soit ABCD un quadrilatère dans un espace affine (K de caractéristique convenable).

Montrer que les quatre droites joignant un sommet du quadrilatère à l’isobarycentre des trois autres sommets sont concourantes. Trouver trois autres droites remarquables passant par ce point. Géné- raliser à cinq points, à n points.

Exercice 3 : Soit ABCDEFGH un parallélépipède dans un espace affine de dimension 3.

1) Montrer que les plans (BDE) et (FHC) sont parallèles.

2) Soient K le centre de gravité du triangle BDE, L celui de FHC.

a) Montrer que la droite AG perce les plans (BDE) et (FHC) en K et L resp.

b) Montrer que AK = KL = LG, et que l’isobarycentre O du parallélépipède est le milieu commun des segments AG, BH, DF et EC.

Exercice 4 : Montrer que l’isobarycentre de trois points A, B, C situés dans un plan affine réel est aussi le centre de gravité de la plaque homogène qu’ils délimitent, mais qu’il n’est pas en général le centre de gravité des trois triangles homogènes de même densité formés par les côtés AB, BC et CA.

Exercice 5 : Montrer que l’isobarycentre de quatre points A, B, C et D situés dans un même plan réel n’est pas le centre de gravité de la plaque homogène définie par ces quatre points.

3.2. Simplexes ; coordonnées barycentriques.

Définition 2 : Soit EEEE un espace affine de dimension n. Soit RRRR _{= (O,} BBBB_{), où} BBBB _{= (}e₁ , …, en) un repère affine de EEEE. On appelle base affine, ou simplexe, de EEEE associé à ce repère, le (n+1)-uplet (A₀, A₁, … , A_n) de points de EEEE définis par A₀ = O, A₀Ai = ei pour 1 ≤ i ≤ n.

Sur la droite, un simplexe est un segment ; dans le plan, un triangle ; dans l’espace, un tétraèdre.

Proposition : Soit EEEE un espace affine de dimension n, (A₀, A₁, … , A_n) un (n+1)-uplet de points de EEEE . Les propriétés suivantes sont équivalentes :

a) (A₀, A₁, … , A_n) est un simplexe.

b) Les vecteurs A₀Ai = ei (1 ≤ i ≤ n) forment une base de E ;

c) Pour tout k ∈ [1, n], les vecteurs AkAi = ei (i ≠ k) forment une base de E.

Proposition : Soient EEEE un espace affine de dimension n, (A₀, A₁, … , A_n) un simplexe de EEEE_. Tout point M ∈EEEE s’écrit de manière unique sous la forme M = Bar((A_j, λi)_0≤j≤n) , où

∑

= n

i i 0

λ ^{= 1.}

Les (λi)_0≤j≤n sont appelées coordonnées barycentriques de M relativement au simplexe.

Problème 1 : coordonnées barycentriques des points remarquables d’un triangle.

Soit T = ABC un triangle du plan affine euclidien. On note a = BC, b = CA, c = AB les longueurs des côtés, Aˆ_,Bˆ,Cˆ les angles en A, B, C resp. Justifier le tableau ci-dessous.

Les coordonnées barycentriques indiquées n’ont pas toujours pour somme 1 : les normaliser.

Centre de gravité G 1/3 1/3 1/3

Orthocentre H tanAˆ tanBˆ tanCˆ

Centre du cercle circonscrit O a.cosAˆ _b.cosBˆ c.cosCˆ Centre du cercle d’Euler Ω a.cos(Bˆ−Cˆ) b.cos(Cˆ₋Aˆ) c.cos(Aˆ−Bˆ) Centre du cercle inscrit I a b c Centre du cercle exinscrit dans l’angle A, J_A − a b c

Point de Lemoine a² b² c²

Problème 2 : Soit EEEE un plan affine réel, ABC un triangle, α, β et γ trois réels ≠ 1.

Soient L = Bar((B, 1) , (C, −α) , M = Bar((C, 1) , (A, −β)) , N = Bar((A, 1) , (B, −γ)) L’ = Bar((C, 1) , (B, −α) , M’ = Bar((A, 1) , (C, −β)) , N’ = Bar((B, 1) , (A, −γ)).

1) Par quelle relation entre α, β et γ se traduit l’alignement des points L , M, N ? Si c’est le cas, déterminer µ et ν pour que L soit barycentre de (M, µ) et (N, ν).

2) Si L, M et N sont alignés sur une droite ∆, montrer que L’, M’ et N’ sont alignés sur une droite

∆’, dite isotomique de ∆ par rapport au triangle ABC.

3) Montrer que si L, M, N sont alignés les milieux des segments AL, BM et CN sont aussi alignés (droite de Newton des quatre droites AB, BC, CA et LMN).

4) Trouver une relation remarquable entre la droite de Newton, le centre de gravité du triangle ABC et l’isotomique L’M’N’ de LMN.

4. Sous-espaces affines.

4.1. Sous-espaces affines.

Définition 1 : Soit EEEE un espace affine de direction vectorielle E. Une partie VVVV _de EEEE est appelée sous- espace affine de EEEE s’il existe a ∈VVVV tel que V = {am ; m ∈VVVV} soit un sous-espace vectoriel de E, ou encore VVVV _{= a + V.}

Proposition 1 : Soit VVVV un sous-espace affine de EEEE. Pour tout a ∈VVVV_{, {}am ; m ∈VVVV} est un sous- espace vectoriel de E ; il est indépendant de a.

Définition 2 : Ce sous-espace vectoriel V est appelé direction vectorielle de VVVV. On appelle dimension de VVVV celle de V.

4.2. Variétés linéaires affines.

Définition 3 : Une partie VVVV _de EEEE est appelée variété linéaire affine si, pour toute famille (M_i, λi)_1≤i≤p de points de VVVV pondérés par les masses λi ∈ K de somme

∑

= p

i i 1

λ ≠ 0, le barycentre

G = Bar((M_i, λi)_1≤i≤p) appartient à VVVV_.

Proposition 2 : Les variétés linéaires affines de EEEE sont l’ensemble vide et les sous-espaces affines.

4.3. Exemples.

• Soient E un espace vectoriel, EEEE l’espace affine naturel associé. Les sous-espaces affines de EEEE sont les translatés des sous-espaces vectoriels. Les sous-espaces vectoriels sont des sous-espaces affines particuliers : ce sont ceux qui passent par O.

• Si V est un sous-espace vectoriel de E, l’espace quotient E/V a pour éléments les x = x + V : ce sont les sous-espaces affines de direction V.

• Enfin, si f : E → F est linéaire, les solution de l’équation linéaire f(x) = b forment une variété affine de E : ∅ si b ∉ Im f, et un sous-espace affine de direction Ker f si b ∈ Im f.

• Soit Γ = (I, M, S) un arc paramétré de classe C^k (1 ≤ k ≤ +∞) tracé dans un espace affine réel de dimension finie, M₀ = M(t₀) un point de cet arc. Les sous-espaces affines fondamentaux de Γ en M₀ sont les M₀ + Vect( (t₀)

dt

dM , ( )

²

² t0

dt M

d , …, (t₀)

dt M d

p p

) (1 ≤ p ≤ k).

4.4. Sous-espace affine engendré par une partie.

Proposition 3 : L’intersection d’une famille quelconque (VVVV_i)i∈I de variétés affines est une variété affine. Si VVVV_i a pour direction vectorielle V_i et si l’intersection des VVVV_i est non vide, la direction de l’intersection est

I

I i

Vi

∈

.

Corollaire : Soit X une partie de EEEE. parmi toutes les variétés affines contenant X, il en existe une inclus dans les autres, c’est l’intersection de toutes les variétés affines contenant X. On l’appelle variété affine engendrée par X, et on la note < X > ou Aff(X).

Si X est non vide, cette variété est l’ensemble des barycentres des familles finies de points de X. Sa direction vectorielle est V = Vect(AM ; M ∈ X}, où A est un point de X, d’ailleurs quelconque.

Définition 4 : On appelle dimension de X la dimension de la variété affine engendrée par X.

Remarque : On convient parfois que dim ∅ = −1.

Si X n’est pas vide, dim X = dim Vect(AM ; M ∈ X) = rg(AM ; M ∈ X) pour tout A ∈ X.

Exemples :

1) Par deux points distincts A et B passe une droite et une seule.

2) Par trois points non alignés A, B et C passe un plan et un seul.

3) Si K ≠ F2, VVVV est une variété affine de E ssi, quels que soient les points distincts A et B de VVVV_{, la} droite (AB) est incluse dans VVVV. Il n’en est plus de même si K = F₂.

4.5. Systèmes affinement libres, générateurs, simplexes.

Proposition 4 : Soit EEEE un espace affine, (A₁, …, A_k+1) un k+1-uplet de points de EEEE. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

i) Aucun des points A_i n’est barycentre des autres.

ii) Les vecteurs (A1A2,A1A3,…,A1Ak+1) forment une famille libre ; iii) Pour tout i, les vecteurs (AiAj)_j≠i forment une famille libre ;

iv) La variété affine engendrée par (A₁, …, A_k+1) est de dimension k.

La famille (A₁, …, A_k+1) est alors dite affinement libre.

Proposition 5 : Soit EEEE un espace affine de dimension n, (A₁, …, A_k+1) un k+1-uplet de points de EEEE_. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

i) Les vecteurs (A1A2,A1A3,…,A1Ak+1) engendrent E ; ii) Pour tout i, les vecteurs (Ai Aj)_j≠i engendrent E ; iii) Tout point de EEEE est barycentre de (A₁, …, A_k+1) ;

iv) La variété affine engendrée par (A₁, …, A_k+1) est de dimension n.

La famille (A₁, …, A_k+1) est alors dite affinement génératrice.

Proposition 6 : Soit EEEE un espace affine de dimension n. La famille (A₁, …, A_n+1) est une base affine, ou un simplexe, si et seulement si elle est affinement libre et génératrice.

4.6. Parallélisme de deux sous-espaces affines.

Définition 5 : Soient VVVV _et WWWW deux sous-espaces affines de EEEE, de directions resp. V et W.

V _et WWWW sont dits parallèles si V = W : on note VVVV _// WWWW _. V

V V

V est dit faiblement parallèle à WWWW si V ⊂ W ; on note VVVV<WWWW _.

Exemple : Dans EEEE₃, deux plans sont parallèles s’ils ont même direction vectorielle. Une droite est (faiblement) parallèle à un plan si sa direction vectorielle est incuse dans celle du plan.

Propriétés :

1) Le parallélisme est une relation d’équivalence ; il implique dim VVVV _{= dim} WWWW_.

2) Le parallélisme faible est un préordre dont la relation d’équivalence associée est la parallélisme.

Il implique dim VVVV_{≤ dim} WWWW_.

3) On a VV VV_// WWWW ⇔ VVVV<WWWW _{et dim} VVVV _{= dim}WWWW _.

4) Postulat d’Euclide : Si VVVV est un sous-espace affine, par tout point A passe un et un seul sous- espace affine parallèle à VVVV : c’est A + V, où V est la direction vectorielle de VVVV_.

5) Si VVVV _// WWWW, on a, soit VVVV ₌ WWWW _{, soit} VVVV∩WWWW _{= ∅.}

6) Si VVVV<WWWW, on a, soit VVVV _⊂ WWWW _{, soit} VVVV∩WWWW _{= ∅.}

7) VVVV<WWWW _⇔ VVVV est parallèle à un sous-espace affine de WWWW_.

8) Si VVVV _≠ EEEE, il existe un sous-espace affine WWWW parallèle à VVVV et disjoint de VVVV_. 4.7. Position relative de deux sous-espaces affines.

Proposition 7 : Soient VVVV _et WWWW deux sous-espaces affines de EEEE, de directions resp. V et W, A un point de VVVV, B un point de WWWW. Pour que VVVV rencontre WWWW , il faut et il suffit que AB _∈ V + W.

Corollaire : On a V + W = E ssi tout sous-espace affine parallèle à WWWW rencontre VVVV _. Proposition 8 : Si E = V ⊕ W , alors VVVV ∩ WWWW est réduit à un point.

Définition 6 : VVVV _et WWWW sont alors dits supplémentaires. Si l’on note VVVV ∩ WWWW = {O} et si l’on vectorialise EEEE en O, on a : ∀M ∈ EEEE ∃ !(P, Q) ∈ VVVV_×WWWW OM = OP + OQ.

Théorème d’incidence : Soient EEEE un espace affine de dimension finie, VVVV _et WWWW deux sous-espaces affines de EEEE, de directions respectives V et W et UUUU ₌ <VVVV _∪ WWWW > le sous-espace affine engendré par V

V V V _et WWWW_.

a) Si VV VV_∩WWWW _{= ∅}, on a dim VVVV _{+ dim} WWWW _{< dim} EEEE + dim (V + W) et dim UUUU = dim(V + W) + 1 b) Si VV VV_∩WWWW_≠∅, VVVV _∩WWWW est un sous-espace affine de dir. V ∩ W, et dim UUUU = dim(V + W).

Indications : a) Si VVVV_∩WWWW _{= ∅, mq} UUUU a pour direction vectorielle V + W + K.ab, où (a, b) ∈ VVVV_×WWWW _. b) Si VVVV _∩WWWW_{≠∅, mq} UUUU a pour direction vectorielle V + W.

Exercice : On se place dans un espace affine réel EEEE de dimension 3. Soient A, B, C trois points non alignés, P le plan qui les contient. On note A’, B’, C’ les milieux respectifs des segments BC, CA et AB. Un plan Q parallèle à P et ne passant pas par O recoupe les droites OA, OB et OC en A’’, B’’ et C’’ resp. Montrer que les droites A’A’’, B’B’’ et C’C’’ sont concourantes ou parallèles.

5. Applications affines.

5.1. Définition.

Définition 1 : Soient EEEE _et FFFF deux espaces affines de directions resp. E et F. L’application ϕ : EEEE _→ FFFF est dite affine s’il existe un couple (A, f), où A ∈EEEE _{et f ∈}LLLL(E, F) tel que :

∀u _∈ E ϕ(A + u) = ϕ(A) + f(u) ou encore ∀M ∈EEEE

ϕ

ϕ

Conséquences :

1) Les formules précédentes sont valables pour tout point A ∈ EEEE ; on a donc : ∀M, P ∈ EEEE

ϕ

ϕ

2) L’application linéaire f est unique. On l’appelle partie linéaire de ϕ.

Définition 2 : L’application ϕ : EEEE_→ FFFF est dite affine s’il existe une application linéaire f ∈LLLL_{(E, F)} telle que : ∀(M, P) ∈EEEE²

ϕ

ϕ

Remarques :

1) Une application affine est entièrement définie par sa partie linéaire et sa valeur en un point.

2) Si EEEE _et FFFF sont les espaces affines naturels associés à E et F resp., toute application linéaire E → F est affine.

Exemples :

1) Si EEEE ₌ FFFF = K, les applications affines ϕ : EEEE _→ FF FFsont de la forme x → ax + b.

2) Toute application constante ϕ : EEEE _→ FF FFest affine, de partie linéaire nulle, et inversement.

3) Les translations de EEEE : M → M + u sont affines ; leur partie linéaire est l’identité.

4) Les homothéties de EEEE. On appelle homothétie de centre A et de rapport λ≠ 0, et on note ϕ = Hom(A, λ), l’application définie par : ∀M ∈EEEE A

ϕ

ou encore ∀u _∈ E ϕ(A + u) = ϕ(A) + λ.u Si λ = 1, ϕ est l’identité ; si λ = −1, ϕ est la symétrie centrale de centre A.

Exercice 1 : 1) SoitEEEE un espace affine, ϕ : EEEE _→ EEEE une application telle que : ∀(M, P) ∈ EEEE²

ϕ

ϕ

2) SoientEEEE un espace affine, λ un scalaire ≠ 0 et 1, ϕ : EEEE_→EEEE une application telle que : ∀(M, P) ∈EEEE²

ϕ

ϕ

5) Projecteurs et symétries.

Soient VVVV _et WWWW deux sous-espaces affines supplémentaires de EEEE, de directions respectives V et W.

Alors E = V ⊕ W et VVVV ∩ WWWW est réduit à un point O. Si l’on vectorialise EEEE en O, on a : ∀M ∈ EEEE ∃ !(P, Q) ∈ VVVV_×WWWW OM = OP + OQ.

Les applications M → P et M → Q sont les projections sur VVVV parallèlement à WWWW _{et sur} WWWW parallèlement à VVVV. Ce sont des applications affines, donc les parties linéaires sont les projecteurs de E sur V et W parallèlement à W et V. On définit de même les symétries par rapport à VVVV parallèlement à WWWW et vice-versa (en caractéristique ≠ 2, nous ne le répéterons pas).

6) Affinités.

Soient VVVV _et WWWW deux sous-espaces affines supplémentaires de EEEE, p le projecteur sur VVVVparallèlement à W

W W

W. On appelle affinité par rapport à VVVV parallèlement à WWWW, de rapport λ, l’application a : EEEE _→ EEEE définie par : ∀M ∈EEEE p(M)a(M) = λ. p(M)M .

projecteur symétrie affinité 7) Les projections centrales sont-elles affines ?

Plaçons-nous dans le plan affine EEEE. Considérons deux droites affines D et D’ et un point O non situé sur elles. A tout point M de D associons le point M’ intersection des droites D’ et (OM). Que dire de l’appplication f : M → M ‘, appelée projection centrale ?

• Si les droites D et D’ sont parallèles, f n’est autre que la restriction-corestriction à D et D’ de l’homothétie de centre O qui applique D sur D’ : f = Hom^DD^' . C’est une application affine.

• Si les droites D et D’ sont sécantes en A, la parallèle à D’ passant par O recoupe D en B. Ce point A de D n’a pas d’image par f. Par conséquent la fonction f : D → D’ n’est pas partout définie. Elle n’est donc pas affine. Si la parallèle à D menée de O coupe D’ en C, f induit une bijection de D − {B} sur D’ − {C}. Pour obtenir une bijection de D sur D’ il faut les compléter l’une et l’autre par leurs « points à l’infini » respectifs, c’est-à-dire faire de la géométrie projective.

Les calculs analytiques confirment cette discussion. Si D et D’ sont repérées par point & vecteur directeur, D = (A, u), D’ = (B, v) (on peut même choisir OA et B alignés),

et si AM = xu, BM = yv, l’alignement de O, M et M’ se traduit par det(OM ,OM') = 0,

c’est-à-dire par : xy.det(u,v) + x.det(u,OB) + y.det(OA,v) + det(OA,OB) = 0.

Si D et D’ sont parallèles, la correspondance x → y est affine, voire linéaire.

Sinon, elle est homographique, non partout définie.

Exercice 2 : Reprendre le problème précédent en remplaçant EEEE par un espace affine de dimension 3, D et D’ par des plans affines P et P’.

5.2. Composition d’applications affines.

Proposition 1 : Soient EEEE_, FFFF _et GGGG trois espaces affines de directions resp. E, F, G. Si ϕ : EEEE_→FFFF _{et ψ :} FF

FF_→GGGG sont des applications affines, ψ^o ϕ est une application afffine, et L(ψ^o ϕ) = L(ψ) o L(ϕ).

Remarque : Les K-espaces affines sont donc les objets d’une catégorie dont les morphismes sont les applications affines. Il existe un foncteur L qui à tout espace affine EEEE associe sa direction vectorielle E, et à toute application affine ϕ : EEEE_→FFFF associe sa partie linéaire L(ϕ) : E → F. Il y a également un foncteur ρ qui à tout espace vectoriel E associe son espace affine naturel, et à toute application linéaire, cette même application, en tant qu’affine. L o ρ est l’identité.

Proposition 2 : Soit ϕ : EEEE _→ FFFF une application affine, de partie linéaire f = L(ϕ) : E → F.

ϕ est injective, resp. surjective, resp. bijective, ssi f l’est. Dans ce dernier cas, L(ϕ⁻¹) = L(ϕ)⁻¹. 5.3. Propriétés géométriques.

Proposition 3 : Soient EEEE _et FFFF deux espaces affines, et ϕ : EEEE_→FFFF une application affine.

Pour toute famille (M_i, λi)_1≤i≤p de points de EEEE pondérés par des masses de somme

∑

= p

i i 1

λ ≠ 0, on a : ϕ(Bar((mi, λi)_1≤i≤p)) = Bar((ϕ(Mi), λi)_1≤i≤p)

Remarque : la réciproque est vraie, en ce sens que si ϕ : EEEE_→FFFF vérifie ces propriétés, elle est affine.

5.4. Expression analytique d’une application affine.

Soient EEEE _et FFFF deux espaces affines de dimensions resp. p et n, ϕ une application affine de EEEE _dans FFFF_, de partie linéaire f ∈ LLLL(E, F). Soient RRRR _{= (O,} BBBB_),BBBB_{= (}e₁ , …, ep) un repère affine deEEEE, et

RR

RR_{’ = (O’,} BBBB_’),BBBB’ = (e₁', …, en'), un repère affine deFFFF.

On appelle matrice de ϕϕϕϕ rapportée à ces repères la matrice A = (a_ij) de f dans les bases BBBB _etBBBB_’.

Si M’ = ϕ(M), et Ω = ϕ(O), on a O' M' = O'Ω + f(OM ).

Donc si Y est le vecteur-colonne des coordonnées de M’, X celui des coordonnées de M, et B celui dex coordonnées de Ω : Y = A.X + B.

Formules de changement de repère. X = X₀ + P.X’ et Y = Y₀ + Q.Y’ donnent : Y’ = A’.X’ + B’ , avec A’ = Q⁻¹.A.P et B’ = Q⁻¹.A.X₀ + Q⁻¹.(B − Y0) En particulier si r = rang A, on peut choisir Q et P telles que Q⁻¹.A.P = 







 O O

O I_r

.

Cas où EEEE ₌ FFFF_. EEEE est alors rapporté à un seul repère affine RRRR _{= (O,} BBBB_),BBBB_{= (}e₁ , …, e_n ).

Les formules s’écrivent encore Y = AX + B.

Les formules de changement de repère s’écrivent :

Y’ = A’.X’ + B’ , avec A’ = P⁻¹.A.P et B’ = P⁻¹.A.X₀ + P⁻¹.(B − Y0)

On aura intérêt à diagonaliser, trigonaliser ou jordaniser A de façon à simplifier l’étude de ϕ. De plus, si ϕ admet au moins un point fixe O, i.e. s’il existe X tel que AX + B = X, on aura intérêt à prendre pour origine un tel point fixe O : ϕ « est alors linéaire ».

C’est le cas lorsque 1 n’est pas valeur propre de A.

Remarque : Autre présentation, plus proche de la géométrie projective.

La formule Y = AX + B s’écrit aussi 



 



 1

Y = 



 



 1 O

B

A . 



 



 1 X ,

et les changements de repère s’écrivent : 



 



 1

' ' O

B

A = 



 



 1

0

O Y Q ₋₁

. 



 



 1 O

B

A . 



 



 1

0

O X P .

5.5. Applications affines et sous-espaces affines.

Proposition 4 : Soient EEEE _et FFFF deux espaces affines de dimensions finies, ϕ une application affine de E

E E

E _dans FFFF, de partie linéaire f ∈ LLLL_{(E, F).}

i) Pour tout sous-espace affine VVVV _de EEEE, de direction V, ϕ(VVVV) est un sous-espace affine de EEEE _de direction f(V), et : dim VVVV _{= dim ϕ(}VVVV) + dim Ker f.

ii) Pour tout sous-espace WWWW _de FFFF_{, ϕ}⁻¹₍WWWW) est une variété affine de EEEE_{. Si} W_⊂ϕ(E_{), alors ϕ}⁻¹₍W_{) ≠}

∅, et : dim ϕ⁻¹(WWWW_{) = dim} WWWW + dim Ker f .

Corollaire : Toute bijection affine de EE EEpermute les sous-espaces affines de dimension p (0 ≤ p ≤ n).

La proposition suivante étudie la structure des points fixes d’une application affine.

Proposition 5 : Soient ϕ : EEEE _→ EEEE une application affine, de partie linéaire f, FFFF_{= { M ∈} EEEE_{; ϕ(M) =} M }.

a) FFFF est une variété affine de EEEE_{. Si} FFFF_≠∅, sa direction est Ker(f − id_E)

b) En dimension finie, pour que FFFF soit un singleton, il faut et il suffit que 1 ∉ Sp(f).

Exercice 3 : Dans un espace affine à 3 dimensions rapporté à un repère, on se donne le plan PPPP d’équation ax + by + cz + d = 0 et une droite DDDD de direction (α, β, γ).

Equations de la projection sur PPPP, et de la symétrie par rapport à PPPP, parallèlement à DDDD_. Exercice 4 : Etudier les applications affines :

 x’ = − y − z + 1  x’ = 13.x + 4.y − 20.z + 8  y’ = −2x − y − 2z + 2  y’ = 12.x + 5.y − 20.z + 8  z’ = x + y + 2z − 1  z’ = 12.x + 4.y − 19.z + 8  x’ = 17.x − 16.y + 9.z + 1

 y’ = 20.x − 19.y + 10.z + 1  z’ = 4.x − 4.y + 3.z + 1

Exercice 5 : Soit M un point situé sur la diagonale BD du parallélogramme ABCD. Soit I le symétrique de C par rapport à M, E et F les projections de M sur les droites AB et AD parallèlement à AD et AB resp. Montrer que les points M, E et F sont alignés. Vérification avec Cabri ?

Exercice 6 : Soient EEEE un espace affine de dimension n, ϕ : EEEE _→ EEEE une application affine.

Montrer que ϕ est un projecteur ssi ϕ^o ϕ = ϕ ; montrer que ϕ est une symétrie ssi ϕ^o ϕ = id_E. Exercice 7 : Projecteurs glissés, symétries glissées.

Soient VVVV _et WWWW deux sous-espaces affines supplémentaires de EEEE, de directions respectives V et W.

On appelle projection glissée (resp. symétrie glissée) toute application de la forme top, (resp. tos), où p est la projection sur VVVV (resp. s la symétrie par rapport à VVVV) parallèlement à WWWW, et t une

translation de vecteur x _∈ W. Soit ϕ : EEEE _→ EEEEune application affine. Montrer que ϕ est une projection (resp. une symétrie) glissée ssi L(ϕ) est un projecteur (resp. une symétrie).

Exercice 8 : Soient EEEE un espace affine de dimension n, ϕ : EEEE _→ EEEE une application affine telle que tout point M, (ϕ^o ϕ)(M) est milieu du segment [M, ϕ(M)]. Démontrer que ϕ est une affinité.

Exercice 9 : Soient EEEE un espace affine de dimension n, ϕ : EEEE _→ EEEE une application affine telle que tout point M est milieu du segment [ϕ(M), (ϕ ^o ϕ)(M)].

Montrer que ϕ admet un point fixe O. Caractériser ϕ. 6. Le groupe affine.

6.1. Le groupe affine.

Soit EEEE un espace affine. Nous allons étudier le groupe GA(EEEE) des bijections affines.

Proposition 1 : Les translations de EEEE forment un sous-groupe commutatif distingué de GA(E₎ isomorphe à (E, +), et noté T(EEEE). Pour qu’une application affine ϕ : EEEE_→ EE EE soit une translation, il faut et il suffit que sa partie linéaire soit l’identité de E.

Translateur de Kempe.

C’est un instrument permettant de tracer dans le plan, la transformée d’une figure par une translation de vecteur donné. Cet appareil est constitué de sept tiges articulées en O, O’, P, P’, M et M’, et telles que OO' = PP' = MM'. Si l’on fixe les points O et O’, le vecteur MM' est toujours égal au vecteur OO'. Si M décrit une figure FFFF, M’ décrira la figure F

F F

F’ translatée, dans la limite du champ de l’instrument².

Exercice 1 : Construire dans le plan un parallélogramme ABCD dont les sommets consécutifs A et B sont donnés, et dont les sommets C et D sont asujettis à se trouver resp. sur deux droites données.

Exercice 2 : Dans le plan euclidien, un triangle MBC a deux sommets fixes B et C, le sommet M décrivant un cercle donné passant par B et C. Lieu de l’orthocentre H du triangle.

Proposition 2 : Soit O un point de E. Les bijections affines ϕ de EEEE telles que ϕ(O) = O forment un sous-groupe de GA(EEEE) isomorphe au groupe linéaire Gl(E), et noté GA_O(EEEE_).

Toute bijection affine ϕ de EEEE s’écrit de façon unique ϕ = t o f, où f ∈ GA_O(EEEE_{) et t∈T(}EEEE_).

En résumé, GA(EEEE) contient deux sous-groupes isomorphes à (E, +) et (Gl(E), o).

Mais attention, GA(EEEE) n’est pas isomorphe au produit direct (E, +)×(Gl(E), o), mais à un produit semi-direct de ces deux groupes. Expliquons cela.

Définition : Soient G un groupe, H et K deux sous-groupes de G. G est dit produit semi-direct de H et K si H est un sous-groupe distingué de G, G = H.K ≡ { h.k ; (h, k) ∈ H×K } et H ∩ K = {e}.

Il en résulte que tout g ∈ G s’écrit de façon unique g = h.k, où (h, k) ∈ H×K. g s’écrit aussi de façon unique g = k’.h’, où (h’, k’) ∈ H×K ; de plus, k = k’, mais h ≠ h’ en général. Lorsque h.k = k.h pour tout (h, k) ∈ H×K, G est produit direct de H et K.

Proposition 3 : Pour tout point O de EEEE, le groupe GA(EEEE) est un produit direct des sous-groupes T(EEEE₎ et GA_O(EEEE_).

Il résulte de la proposition 2 qu’on récupère une famille génératrice de GA(EEEE_).

2 Jeune homme, sentez-vous l’effet de cette translation ?

Le groupe affine agit sur EEEE par (f, M) → f(M).

Exercice 3 : Montrer que le centre de GA(EEEE_{) est {idEEEE}}.

Trouver les bijections affines qui commutent avec toutes les translations de EEEE_. 6.2. Homothéties-translations.

Proposition 3 : Les homothéties de centre A et de rapport non nul forment un sous-groupe commutatif de GA(EEEE) isomorphe à (K*, ×) et noté HA(EEEE_).

Pantographe.

C’est un instrument de dessin, formé de tiges articulées, inventé en 1603 par le jésuite Christoph Scheiner³, permettant de tracer dans le plan, la transformée d’une figure par une homothétie de centre O et de rapport k. Cet appareil est constitué de quatre tiges articulées en A, A’, M’ et H, de telle sorte que HM’ = AA’, A’M’ = AH. Le quadrilatère AHM’A’

est toujours un parallélogramme.

La figure ci-contre est relative au cas 0 < k < 1. Si l’on marque sur la droite AA’ le point O tel que

OA

OA' = k, et sur la droite AH le point M tel que AM

AH _{= k, les} points O, M et M’ sont toujours alignés et tels que : OM' = k.OM . Si l’on fixe le point O et si l’on fait parcourir au point M la figure FFFF, le point M’ décrira la figure FFFF’ homothétique. L’échange de M et M’ résout le problème pour k > 1 ; l’échange de O et M’ résout le problème pour k < 0.

3 Christoph Scheiner (Souabe bavaroise, 1575 - Neisse, Silésie, 1650), astronome et mathématicien, pionnier de l’optique instrumentale et codécouvreur des taches solaires, publia en 1631, dans un traité en latin intitulé Pantographice seu ars delineandi, des gravures reproduisant l’instrument de son invention : construit en bois, il est utile pour dupliquer des diagrammes selon des rapports d’échelles variables. Un premier bras est fixe par rapport au support, le bras central est prolongé par un petit pointeur, et le dernier est muni d’un crayon. En déplaçant le pointeur sur le diagramme, une copie du diagramme est réalisée par le crayon sur une autre feuille de papier. La dimension de l’image produite peut être changée en modifiant la dimension du parallélogramme.

Un article de l’Encyclopédie de Diderot et d’Alembert est consacré au pantographe (volume XI, p. 827) :

« PANTOGRAPHE, s.m. (Art du dessein.) le pantographe ou singe, est un instrument qui sert à copier le trait de toutes sortes de dessins & de tableaux, & à les réduire, si l'on veut, en grand ou en petit ; il est composé de quatre regles mobiles ajustées ensemble sur quatre pivots, & qui forment entre elles un parallélogramme. A l’extrémité d’une de ces regles prolongées est une pointe qui parcourt tous les traits du tableau, tandis qu’un crayon fixé à l’extrémité d’une autre branche semblable, trace légèrement ces traits de même grandeur, en petit ou en grand, sur le papier ou plan quelconque, sur lequel on veut les rapporter… »

Exercice 4 : Soit ϕ∈ GA(EEEE) et h = Hom(A, λ). Reconnaître ϕ^{−1 o} h o ϕ.

Attention, la composée de deux homothéties de centres distincts n’est pas toujours une homothétie.

Par exemple, la composée Hom(A, −1) o Hom(B, −1) est la translation de vecteur 2BA. Proposition 4 : Soient λ et µ des scalaires non nuls.

Hom(A, λ) o Hom(B, 1/λ) est la translation de vecteur (λ − 1)AB.

Si µ ≠ 1/λ, Hom(A, λ)oHom(B, µ) est l’homothétie Hom(C, λµ), où C vérifie AC =

λ λµ µ

−− 1

) 1

( .AB.

Preuve : Soit M ∈EEEE, N = Hom(B, µ)(M), P = Hom(A, λ)(N).

Si µ =

λ

Sinon, cherchons un point fixe C de Hom(A, λ) o Hom(B, µ).

On a AP = λ.AN = λ.(AB + BN) = λ.(AB + µ.BM) = λ(1−µ).AB + λµ.AM . On en déduit P = M = C ⇔ AC =

λ λµ µ

−− 1

) 1

( .AB. De plus CP = λµ.CM. cqfd.

Proposition 5 : 1) Les homothéties de rapport non nul et les translations forment un sous-groupe distingué de GA(EEEE), appelé groupe des homothéties-translations ou des dilatations, et noté HT(EEEE₎ ou Dil(EEEE_).

2) Soit ϕ ∈ GA(EEEE) telle que L(ϕ) = λ.id_E. Si λ = 1, ϕ est une translation ; si λ ≠ 1, il existe un unique point A tel que ϕ = Hom(A, λ).

3) HT(EEEE) est l’image réciproque du sous-groupe K*.id_E de Gl(E) par le morphisme L : GA(EEEE_{) →} Gl(E).

Corollaire : Symétries centrales et translations forment un sous-groupe de HT(EEEE), image réciproque de {± id_E} par L.

Application : droite d’Euler d’un triangle.

Dans le plan affine euclidien, donnons-nous un triangle ABC. Soient G le centre de gravité, H l’orthocentre et O le centre du cercle circonscrit du triangle. L’homothétie Hom(G, −1/2) envoie les sommets A, B, C du triangle sur les milieux respectifs A’, B’ et C’ des côtés BC, CA et AB. Elle envoie l’orthocentre H du triangle ABC sur l’orthocentre du triangle A’B’C’. Or cet orthocentre n’est autre que O. En effet la médiatrice de BC est la hauteur issue de A’ dans le triangle A’B’C’, etc.

Proposition 6 : Les points H, G et O sont alignés et vérifient : OH = 3.OG.

Si le triangle ABC n’est pas équilatéral, la droite OGH est appelée droite d’Euler du triangle.

Exercice 5 : Soient A₁, A₂, … , A_n n points de EEEE. Peut-on trouver n points M₁, M₂, … , M_n de E _tels que A₁ soit milieu de M₁M₂ , A₂ soit milieu de M₂M₃ , …, A_n soit milieu de M_nM₁ ?

Exercice 6 (Epanthème de Thyramidas) :Soient B, A₁, A₂, … , A_n n points de EEEE. Peut-on trouver n points M₁, M₂, … , M_n de EEEE tels que A₁ soit milieu de M₁M₂ , A₂ soit milieu de M₂M₃ , …, A_n soit milieu de M_nM₁ et B soit l’isobarycentre des points M₁, M₂, … , M_n ?

Exercice 7 : Soit EEEE un plan affine. Montrer que les bijections de EEEE _dans EEEE qui transforment une droite en une droite parallèle sont exactement les homothéties-

translations.

Exercice 8 : On considère un triangle ABC. Construire un carré DEFG inscrit dans ce triangle, de façon qu’un côté soit porté par BC.

6.3. Exemples.

Proposition : Si FFFF est une figure, c’est-à-dire une partie de EEEE_,

l’ensemble des bijections affines ϕ de EEEE telles que ϕ(FFFF) = FFFF est un sous-groupe de GA(EEEE_{) appelé} groupe de FF FFet noté GA(FFFF_).

Exercice 9 : Trouver les bijections affines planes conservant une ellipse, resp. une parabole, resp.

une hyperbole.

Exercice 10 : Trouver les bijections affines planes conservant y = lnx.

Exercice 11 : Trouver les bijections affines conservant un paraboloïde hyperbolique.

Exercice 12 : 1) Soit G un sous-groupe fini de GA(EEEE). Montrer que ∃A ∈ EEEE ∀ϕ ∈ G ϕ(A) = A.

2) Soit ϕ : EEEE _→ EEEE une application affine telle que ∃n ≥ 1 ϕⁿ = Id. Montrer que ∃A ∈ EEEE ϕ(A) = A.

6.4. Le plan affine sur F₂.

Ce plan a 4 points. Chaque droite a 2 points. Par chaque point passent 3 droites. Il y a 6 droites en tout. On peut visualiser un tel plan par un parallélogramme, mais un parallélogramme assez particulier, puisque les 2 diagonales ne se rencontrent pas, donc sont parallèles !

De plus, il y a 24 bijections affines d’un tel plan sur lui-même. Elles agissent de manière simple- ment transitive sur les 24 repères affines, c’est-à-dire sur les triplets de points du plan. De plus, comme il y a 24 permutations du plan, toute permutation est une bijection affine, et le groupe affine est isomorphe à SSSS_4.

7. Equations d’un sous-espace affine.

7.1. Droites et faisceaux de droites dans un plan affine.

Soit EEEE₂ un plan affine rapporté à un repère. Il y a trois façons de se donner une droite DDDD _de EEEE_{2 :}

• Définir DDDD par point et vecteur directeur (A, U). On est conduit à des équations paramétriques.

• Définir DDDD par deux points distincts M₁(x₁, y₁) et M₂(x₂, y₂).

Elle a pour équation :

1 2 1

1 2 1

y y y y

x x x

x−− −− = 0, ou encore

1 1 1

2 1

2 1

y y y

x x x

= 0.

• Définir DDDD par une équation cartésienne a.x + b.y + c = 0 , (a, b) ≠ (0, 0).

Cette équation est définie à un facteur près. Elle est de l’une des formes y = ax + b ou x = c.

Proposition 1 : Les points M_i(x_i, y_i) (1 ≤ i ≤ 3) sont alignés ssi

1 1 1^{2 2 3}

3 2 1

y y y

x x x

= 0.

Si maintenant EEEE₂ est rapporté à un simplexe ABC, chaque point M est repéré par ses coordonnées barycentriques (a, b, c).

Proposition 2 : Les points M_i(a_i, b_i, c_i) (1 ≤ i ≤ 3) sont alignés ssi

3 2 1

3 2 1

3 2 1

c c c

b b b

a a a

= 0.

En effet si AM = x.AB + y.AC, M a pour coordonnées barycentriques (1−x−y, x, y).

Application : La droite d’Euler d’un triangle ABC a pour équation barycentrique

C z

B y

A x

tan 1

tan 1

tan 1

= 0.

Proposition 3 : Les droites affines D_i (i = 1, 2) d’équations a_i.x + b_i.y + c_i = 0 sont parallèles si et seulement si

2 2

1 1

b a

b a _{= 0.}

Proposition 4 : Les droites affines D_i (1 ≤ i ≤ 3) d’équations a_i.x + b_i.y + c_i = 0 sont concourantes ou parallèles si et seulement si

3 3 3

2 2 2

1 1 1

c b a

c b a

c b a

= 0.

Définition 1 : Soient I un point et D une droite de EEEE_2.

On appelle faisceau de droites de sommet I l’ensemble des droites affines passant par I.

On appelle faisceau de droites de direction D l’ensemble des droites affines parallèles à D.

Proposition 5 : Si D : ax + by + c = 0 et D’ : a’x + b’y + c’ = 0 sont deux droites distinctes, le faisceau des droites qui les contient est formé des droites d’équation :

λ.( ax + by + c ) + µ.( a’x + b’y + c’ ) = 0 (λ, µ) ≠ (0, 0).

Exercice 1 : Equation de la droite parallèle à D : 3x + 5y – 7 = 0 passant par M₀(1, 2).

Exercice 2 : Soient D et D’ deux droites d’équations resp. 2x + 5y – 11 = 0 et 3x + 4y + 7 = 0.

Soit I le point d’intersection de D et D’. Equation de la droite IM₀, où M₀(−1, 6).

Exercice 3 : Soient D et D’ deux droites d’équations resp.

a x ₊

b

y = 1 et b x ₊

a

y = 1 (a et b non nuls et distincts). Soit I le point d’intersection de D et D’. Equation de la droite IM₀, où M₀(a, b).

Exercice 4 : On considère les quatre droites D, D’, L et L’ d’équations respectives : D : 3x + 2y – 5 = 0 L : 5x – 4y + 11 = 0

D’ : 4x – y + 1 = 0 L’ : 2x – 3y – 7 = 0

Soient I le point d’intersection de D et D’, J celui de L et L’. Equation de la droite IJ.

Exercice 5 : Le plan affine est rapporté à un simplexe. Comment s’écrit l’équation d’une droite en coordonnées barycentriques ?

Exercice 6 : Dans le plan affine réelEEEE₂, on se donne 1000 points distincts. Démontrer qu’il existe une droite séparant le plan en deux demi-plans ouverts, l’un contenant 500 points, et l’autre 500 points. Généraliser.

Exercice 7 : Dans le plan affine euclidienEEEE₂, on se donne un triangle ABC par les équations d’Euler de ses côtés : x.cos θi + y.sin θi – p_i = 0 (1 ≤ i ≤ 3).