Préparation à l’agrégation 2017 – 2018 ENS de Lyon
Théorèmes classiques de géométrie affine
Exercice 1 (Thalès, Fresnel p. 43). Soient (E, E) un espace affine, H1, H2 et H3 trois hy- perplans parallèles distincts de directionH et soient(D, D) et(D0, D0) deux droites telles que D⊕H =E etD0⊕H =E. On noteAi (resp. Bi) l’unique point de Hi∩ D (resp.Hi∩ D0).
Montrer que :
A1A2 A1A3
= B1B2 B1B3
. Si de plusA1 =B1 etD 6=D0, montrer que :
A1A2
A1A3 = B1B2
B1B3 = A2B2
A3B3.
Exercice 2(Pappus affine, Fresnel p. 46). SoientDetD0 deux droites affines distinctes d’un plan affine. SoientA, B, C ∈ D etA0, B0, C0 ∈ D0, on suppose ces six points distincts. Montre que si(AB0)k(A0B) et(BC0)k(B0C)alors(AC0)k(A0C).
Exercice 3(Desargues affine, Fresnel p. 47). SoientABC etA0B0C0 deux vrais triangles sans sommet commun et tels que(AB) k (A0B0), (AC) k (A0C0) et (BC) k (B0C0). Montrer que (AA0),(BB0) et(CC0) sont concourantes ou parallèles.
Exercice 4 (Théorème de Menelaüs, Fresnel p. 44). Soient (A, B, C) un repère d’un plan affine,A0∈(BC),B0∈(AC) etC0 ∈(AB). On suppose que A0,B0 etC0 sont distincts de A, B etC. Montrer que A0,B0 etC0 sont alignés si et seulement si :
A0B A0C ·B0C
B0A ·C0A C0B = 1.
Exercice 5 (Théorème de Céva, Fresnel p. 45). Soient (A, B, C) un repère d’un plan affine, A0 ∈ (BC), B0 ∈ (AC) et C0 ∈ (AB). On suppose que A0, B0 et C0 sont distincts de A, B etC. Montrer que (AA0),(BB0) et(CC0) sont parallèles ou concourantes si et seulement si :
A0B A0C ·B0C
B0A ·C0A C0B =−1.
Exercice 6 (Théorème de Gergonne, Fresnel p. 49). Soient (A, B, C) un repère d’un plan affine,A0∈(BC),B0∈(AC) etC0 ∈(AB). On suppose que A0,B0 etC0 sont distincts de A, B etC. Si(AA0),(BB0) et(CC0)concourent en un point M, montrer que :
M A0
AA0 +M B0
BB0 + M C0 CC0 = 1.
1
