Devoir de math´ ematiques n o 10 - 1` ereS
18 f´ evrier 2009 - 2H
Exercice 1 :Soitf, la fonction d´efinie surRpar
f(x) = x3+ 2x2+ 3x−2 x2+ 3 .
On noteC la courbe repr´esentative de la fonctionf dans un rep`ere (O;−→ i ,−→
j ) . 1. Calculer la limite def en +∞et en−∞.
2. V´erifier que pour tout r´eelx∈R:
f0(x) = (x+ 1)2(x2−2x+ 9) (x2+ 3)2 et dresser le tableau des variations complet de f.
3. (a) D´eterminer les r´eelsa,bet ctels que, pour tout r´eel x∈R, f(x) =ax+b+ c
x2+ 3
(b) Montrer que la droite (D) d’´equationy=x+ 2 est une asymptote `aC; pr´eciser leur position relative.
4. Montrer que la courbeCadmet une tangente parall`ele `a (D), et une seule ; d´eterminer une ´equation de cette tangente.
Exercice 2 :Dans un rep`ere orthonormal (O;−→ i ,−→
j) , on donne le cercleC de centre Oet de rayon 1.
1. Ecrire une ´equation de cercleC.
2. On d´esigne parC0 le demi-cercle sup´erieur deC. Expliquer pourquoiC0est la repr´esentation graphique de la fonction f :x7→√
1−x2 et d´eterminer l’ensemble de d´efinition def.
3. D´eterminer l’ensemble de d´erivabilit´e de f et donner le coefficient directeur de la tangente ∆ `a C0 en tout point A(a;f(a)) de son ensemble de d´erivabilit´e.
4. Donner l’´equation de ∆ au pointAd’abscissea= 1 2.
5. A l’aide du produit scalaire, d´eterminer une ´equation de la tangente `aC0 au pointA d’abscisse a= 1
2 et comparer avec l’´equation de ∆ obtenue `a la question pr´ec´edente.
Exercice 3 :
1. A,B,Csont trois points align´es dans cet ordre ;Oest un point pris sur la perpendiculaire en A`a la droite (AB). Montrer que :
−−→OB.−−→
OC =−→
OA2+−−→
AB.−→
AC
2. Dans le cas de la figure ci-contre, en utilisant l’´egalit´e pr´ec´edente, calculer l’angleαau degr´e pr`es.
Exercice 4 :Soit un triangleABC; on noteH le projet´e orthogonal deAsur [BC] tel queAB= 5,BH = 3 etCH= 2.
Calculer les produits scalaires : −−→
AB·−−→
BC, −→
AC·−−→
BC, −−→
AB·−→
AC.
Exercice 5 :Soit un rectangleABCD de centreO tel queAB= 8 etBC= 6.
1. (a) Montrer que pour tout pointM,−−→
M A·−−→
M C+−−→
M B·−−→
M D= 2M O2−OA2−OB2 (b) D´eterminer puis tracer l’ensemble des pointsM qui v´erifient :−−→
M A·−−→
M C+−−→
M B·−−→
M D= 48 2. (a) Montrer que−−→
AB·−−→
CM +−−→
BC·−−→
DM =−−→
CM·−→
AC
(b) D´eterminer puis tracer l’ensemble des pointsM qui v´erifient :−−→
AB·−−→
CM +−−→
BC·−−→
DM = 20
