III Ampli…cateurs Opérationnels 56

3.2 Capacité . . . 5

3.3 Inductance . . . 6

3.4 Sources . . . 7

3.4.1 CaractéristiqueI V . . . 7

3.4.2 Transfert maximal de puissance . . . 8

3.4.3 Equivalent série/parallèle de sources de tension/courant . . . 8

3.4.4 Sources commandées . . . 9

3.5 Lois et Théorèmes de circuits . . . 10

3.5.1 Branches et nœuds . . . 10

3.5.2 Lois de Kirchho¤ . . . 10

3.5.3 Loi Diviseur de tension/ Diviseur de courant . . . 11

3.5.4 Principe de superposition . . . 15

3.5.5 Théorèmes de Thévenin et de Norton . . . 16

4 Circuits RC-CR 19 4.1 Circuit RC . . . 19

4.2 Circuit CR. . . 21

4.3 Réponse en régime sinusoïdal permanent (RSP) des circuits RC/CR 23 4.3.1 Amplitude complexe - phaseur . . . 23

4.3.2 Analyse en RSP des circuits RC/CR . . . 24

4.3.3 Fonction de transfert . . . 26

4.3.4 Diagramme de Bode et réponse en fréquence des circuits R-C et C-R 26

II Diodes et applications 30

1.1.1 Semi-conducteur de type N/ P . . . 33

2 Jonction PN 34 2.1 Polarisation inverse . . . 35

2.2 Polarisation directe . . . 36

2.3 Caractéristique I-V . . . 37

2.4 Modèle de la diode en AC . . . 39

2.5 Diode idéale et diode réelle à caractéristique linéaire par morceaux . . . 40

2.5.1 Diode idéale . . . 40

2.5.2 Diode réelle à caractéristique linéaire par morceaux . . . 40

2.6 Diode Zener . . . 44

A. MAAOUNI Notes de Cours Electronique 1

2.7 Redresseurs . . . 48

2.7.1 Redresseur simple alternance . . . 48

2.7.2 Redresseur double alternance . . . 49

2.7.3 Pont redresseur . . . 50

2.7.4 Redressement et …ltrage . . . 51

2.8 Stabilisation de tension . . . 52

2.9 Limiteurs (écrêteurs) . . . 54

III Ampli…cateurs Opérationnels 56

1.1.1 Gain di¤érentielA_d . . . 56

1.1.2 Gain en mode commun . . . 57

1.1.3 Taux de réjection en mode commun (CMRR) . . . 57

1.1.4 Paramètres de l’ampli…cateur opérationnel idéal . . . 57

1.2 Ampli…cateur opérationnel réel . . . 58

1.2.1 Equation de fonctionnement . . . 58

1.2.2 Réponse en fréquence . . . 58

1.2.3 Caractéristique de transfert . . . 59

1.2.4 Schéma équivalent de l’AO réel . . . 59

1.2.5 Vitesse maximale de balayage . . . 60

2 Applications linéaires des ampli…cateurs opérationnels 61 2.1 Ampli…cateurs inverseur et non inverseur . . . 61

2.2 Ampli…cateur di¤érentiel (de di¤érence) . . . 64

2.3 Convertisseur courant-tension . . . 64

2.4 Convertisseur tension-courant . . . 65

2.5 Sommateur . . . 66

2.6 Soustracteur . . . 66

2.7 Intégrateur . . . 66

2.8 Dérivateur inverseur . . . 67

Un courant électrique est un mouvement d’ensemble de porteurs de charges électriques, généralement des électrons, au sein d’un matériau conducteur. La charge électrique élé- mentaire est la charge portée par un électron. L’unité de la charge est le Coulomb (C).

La charge de l’électron este= 1:6021 10 ¹⁹C.

L’intensité de courant est dé…nie par : i= dq

dt (1.1)

oùdqest la charge élémentaire, multiple entier de e, qui traverse une section du matériau conducteur pendant l’intervalle de temps dt. L’unité de i est Ampère (A).

Fig. 1: Sens conventionnel de l’intensité de courant.

La charge transférée entre les instants t₀ et t est donnée par : q =

Zt t0

idt (1.2)

Le mouvement des électrons au sein du matériau conducteur est dû à une di¤érence de potentiel électrique entre deux points. On adopte souvent le terme tension pour désigner la di¤érence de potentiel. L’unité de la tension électrique est Volt(V).

Exemple 1:

La variation de la charge q à travers une section droite d’un matériau conducteur est représentée à la …gure 2.

Fig. 2 : Evolution de la chargeq.

Déterminer et représenter l’intensité de courant i.

B Solution

La charge q(t) peut être représentée par la relation suivante :

q(t) = 8>

><

>>

:

0; t 0

I₀t; 0 t 1 I₀(t 2); 1 t 2

0; t 2

; I₀ = 1C=1s = 1A

Fig. 3 : Evolution de l’intensité de couranti.

L’intensité de courant i est dé…nie par : i = dq

dt

= d dt

0 BB

@ 8>

><

>>

:

0; t 0

I0t; 0 t 1 I₀(t 2); 1 t 2

0; t 2

1 CC A

= 8>

><

>>

:

0; t 0

I₀; 0 t 1 I₀; 1 t 2

0; t 2

; (A)

L’intensité de courant i est représentée à la …gure 3.

2 Energie et puissance

La quantité d’énergie électrique nécessaire au déplacement d’une charge élémentaire dq entre deux pointsA et B de tension v_AB =v_A v_B=v est :

dw = vdq (2.1)

= vidt

La puissance électriquep est dé…nie comme le taux de variation de l’énergie électrique : p = dw

dt (2.2)

= vi L’unité de la puissance est Watt (W).

L’énergie électrique est l’intégrale de la puissance : w=

Z t 1

pdt (2.3)

Fig.4 : Symbole de la résistance tance dé…nie par :

R = l S

où = ¹ est la résistivité du con- ducteur. L’unité de la résistivité est :m. est la conductivité électrique

du conducteur, son unité est ¹m ¹. L’unité de la résistance est Ohm ( ). La quantité G= _R¹ est appelée la conductance, son unité est ¹.

Le tableau 1 présente les valeurs de pour certains matériaux courants.

Matériau Résistivité ( :m)à 20 C Type

Argent 1:64 10 ⁸ Conducteur

Cuivre 1:72 10 ⁸ Conducteur

Aluminium 2:8 10 ⁸ Conducteur

Or 2:45 10 ⁸ Conducteur

Germanium 47 10 ² Semi-conducteur

Silicium 6:4 10² Semi-conducteur

Papier 10¹⁰ Isolant

Té‡on 3 10¹² Isolant

Tab. 1 : Valeurs typiques de

La loi Ohm stipule que la tension v aux bornes de la résistance est proportionnelle à l’intensité de courant iqui la traverse :

v =Ri (3.1)

On peut calculer la puissance dissipée sous forme de chaleur dans une résistance comme :

p = vi (3.2)

= Ri²

= v² R

3.2 Capacité

Considérons la structure, illustrée à la …gure 5, formée de deux plaques conductrices de surface A parallèles et séparées par un diélectrique (isolant) d’épaisseur e. Les deux plaques sont soumises à une tensionv.

Fig. 5 : Symbole de la capacité.

La tension électrique entre les deux plaque est donnée par :

v = q

C (3.3)

Où C = "^A_e est la capacité. Elle est fonction des dimensions du conden- sateur et de la permittivité électrique

" du diélectrique. L’unité de C est Farad (F):

A partir de la relation (3.3), on peut écrire :

q =Cv (3.4)

En supposant que la capacité ne varie pas avec le temps, la dérivée par rapport au temps de la relation (3.4) entraîne :

i = dq

dt (3.5)

= Cdv dt L’énergie emmagasinée dans le condensateur est donc :

w= Z t

1

pdt =C Z t

1

vdv

dtdt =C Z t

1

vdv= 1 2C v^{2 t}

1 (3.6)

L’unité de l’énergie est Joule(J). En supposant que le condensateur est de charge initiale nulle,v( 1) = 0, on peut écrire:

w= 1

2Cv² (3.7)

3.3 Inductance

Une bobine est constituée d’un bobinage ou enroulement d’un …l conducteur éventuelle- ment autour d’un noyau en matériau ferromagnétique (Cf. Fig. 6).

Fig. 6 : Symbole de l’inductance.

La tension aux bornes de l’inductance est proportionnelle à la variation du courant :

v =Ldi

dt (3.8)

L est l’inductance de la bobine.

L’unité de l’inductance est Henry (H).

A partir de (3.8), l’énergie emma- gasinée dans la bobine s’écrit : w=

Zt 1

ivdt= Zt

1

iLdi

dtdt=L Zt

1

idi= 1 2L i^{2 t}

1

Sii( 1) = 0, on aura :

w= 1 2Li²

idéalei_s en parallèle avec une résistance interneR_s

Fig. 7 : Sources de tension et de courant.

3.4.1 Caractéristique I V Pour la source de tension, on a :

i= v v_s

R_s (3.9)

Au niveau du dipôle de charge, on peut écrire : i= v

R_L (3.10)

Les relations (3.9) et (3.10) désignent respectivement la caractéristique de la source et celle de la charge. Dans le plan I V, elles sont représentées par des droites. La droite de pente 1=R_L est appelée droite de charge (Voir Fig.9). L’intersection des deux droites (Caractéristique de la source et la droite de charge) désigne le point de fonctionnement Q.

Les coordonnéesi_Q,v_Qdu point de fonctionnement sont les racines du système d’équations (3.9) et (3.10) :

i_Q = vs

R_L+R_s v_Q = R_Lv_s

R_L+R_s

Fig. 9 : Caractéristique I-V, point de fonctionnement et droite de charge.

3.4.2 Transfert maximal de puissance

Considérons une source, représentée par son équivalent Thévenin (V_s; R_s), qui alimente une charge résistiveR_Lsupposée variable (Cf. Fig. 7). La tension aux bornes de la charge estV_Q = _R^RLVs

L+Rs. La puissance dans la charge est égale à : p= V_Q²

R_L =

RLVs

RL+Rs

2

R_L = R_LV_s² (R_L+R_s)² La puissance dans la charge est maximale lorsque _dR^dp

L = 0, c’est à dire lorsque R_L=R_s. La puissance maximale dans la charge sera donc :

p_max = V_s² 4RT

La variation de la puissance en fonction de la charge est illustrée à la …gure 10.

Fig. 10 : Transfert Max de puissance à une charge résistive.

3.4.3 Equivalent série/parallèle de sources de tension/courant

Considérons deux sources de tensionv_s1 etv_s2 idéales (resp. deux sources de courant i_s1 et i_s2 idéales) connectées en série (resp. en parallèle). Le même courant circule dans les deux sources (resp. la même tension est soumise aux deux sources).

Fig. 11 : a) Equivalent série de sources de tension. b) Equivalent parallèle de sources de courant.

On peut écrire :

v =v_s1+v_s2; Source de tension et

i=i_s1+i_s2; Source de courant 3.4.4 Sources commandées

Les sources commandées sont des sources de tension et des sources de courants qui sont contrôlées par une tension ou un courant d’une autre partie du circuit. On distingue quatre types de sources commandées :

- Source de tension contrôlée par une tension (SVCV) (Voir Fig. 12-a) - Source de tension contrôlée par un courant (SVCC) (Voir Fig. 12-b) - Source de courant contrôlée par une tension (SCCV) (Voir Fig. 12-c) - Source de courant contrôlée par un courant (SCCC) (Voir Fig. 12-d)

Fig. 12 : a) SVCV, b) SVCC, c) SCCV et d) SCCC.

La …gure 13, illustre un exemple de source de courant commandée par une tension dans un circuit électrique.

Fig. 13 : Exemple de circuit à SCCV.

3.5 Lois et Théorèmes de circuits

3.5.1 Branches et nœuds

Un nœud correspond à la borne d’un dipôle à laquelle au moins deux …ls de connexion sont reliés. Les nœuds correspondent aux points de connexion des éléments du circuit.

Les éléments constituent les branches du circuit (voir Fig. 14)

Fig. 14 : Nœuds et branches d’un circuit électrique.

3.5.2 Lois de Kirchho¤

- Loi des nœuds : La somme algébrique des courants à un nœud d’un circuit électrique

est nulle : X

k

i_k = 0; à un nœud

- Loi des mailles : La somme algébrique des tensions dans un parcours fermé d’un circuit électrique est nulle :

X

k

v_k = 0; dans un parcours fermé du circuit

Exemple 2:

L’application de la loi des nœuds au circuit de la …gure 15 nous permet d’écrire :

Fig. 15 : Circuit d’application des Lois de Kirchho¤.

Nœud A :

i_s+j i₁ i₂ = 0; Somme des courants entrants au nœud Nœud B :

i₂+i_L+g_mv₁+i_s = 0; Somme des courants sortants du nœud Nœud C :

i₁ +g_mv₁+i_L=j;

La somme des courants qui entrent au nœud est égale à la somme des courants qui en sortent.

Remarque : La relation obtenue au nœudCpeut être obtenue à partir de la combinaison des relations aux nœudsB etC. On en déduit que si le circuit comporteN nœuds,N 1 nœuds seraient su¢ sants pour déterminer les courants dans le circuit.

En choisissant un parcours fermé (Mailles M1 et M2 du circuit de la Fig. 15) et en adoptant la convention de signe suivante :

- Si la borne + est rencontré en premier lors du parcours dans le sens choisi arbitraire- ment, on adopte le signe + pour la tension. Sinon, on adopte le signe ,

on peut écrire pour la maille : M1 :

v₁ v₀+v_s = 0 M2 :

v_L v₂+v₁ = 0 3.5.3 Loi Diviseur de tension/ Diviseur de courant Circuit à résistances

- Diviseur de tension : On considère le circuit à N résistances en série (traversées par le même courant) de la …gure 16.

Fig. 16 : Loidiviseur de tension.

La tensionv_j aux bornes de la résistance R_j est donnée par la loi d’Ohm : v_j =R_ji

D’autre part, les résistancesR₁; R₂; R_j; R_N sont en séries, elles peuvent être remplacées par une résistance équivalenteR_eq dé…nie par :

R_eq = XN k=1

R_k

On peut donc, à partir du schéma équivalent de la …gure 16b, écrire : v_s =R_eqi

La loi ’Diviseur de tension’s’exprime ainsi : v_j

vs

= R_j Req

= R_j XN k=1

R_k

(3.11)

- Diviseur de courant : On considère le circuit à N résistances en parallèles (soumises à la même tension) de la …gure 17.

Fig. 17 : Diviseur de Courant pour un circuit résistif.

La loi des nœuds appliquée au circuit de la …gure 17a entraîne : i_s = v

R₁ + v

R₂ +:::+ v

R_j +:::+ v

R_N (3.12)

= v

R_eq; R_eq = 1 R₁ + 1

R₂ +:::+ 1

R_j +:::+ 1 R_N

1

i_j

i_s = R_eq

R_j = ^{R1 R2 Rj RN}

R_j (3.14)

Circuit à capacités/Bobines

- Diviseur de tension (Fig 18a) : La capacité équivalente à la mise en série de capacités C_i; i= 1;2; :::; N est :

Fig. 17 : Lois Diviseurs de tension et courant pour un circuit à capacités.

C_eq = 1 C1

+ 1 C2

+:::+ 1 Cj

+:::+ 1 CN

1

(3.15) La loi Diviseur de tension s’écrit pour ce cas de circuit à capacités en série comme suit :

v_j

v_s = C_eq C_j =

XN k=1

1 Ck

! ¹

C_j (3.16)

Loi diviseur de courant : La capacité équivalente à l’ensemble des capacités C_i, i= 1;2; :::; N est :

C_eq=C₁+C₂+:::+C_j +:::+C_N (3.17) La loi ’Diviseur de courant’s’écrit :

i_j i_s = C_j

C_eq = C_j XN

k=1

C_k

(3.18)

Pour le circuit de la …gure 18a comportant N inductances, la loiDiviseur de tension permet d’exprimer la tensionv_j aux bornes de l’inductance L_j comme suit :

Fig. 18 : Lois Diviseur de tension et courant pour un circuit à bobines.

v_j = Lj

L_eqv_s; L_eq = XN

k=1

L_k (3.19)

Le couranti_j parcourant l’inductanceL_j du circuit de la …gure 18c est : ij = L_eq

L_j is; Leq= 1 L₁ + 1

L₂ +::: 1 L_N

1

(3.20) La relation ci-dessus est la loi Diviseur de courant relative au circuit à inductances par- allèles.

Soit le circuit de la …gure 19. On désire calculer le courantI₁, la tensionV₂ aux bornes de la résistance R₂ et la tension V_C. On donne = 100.

Fig. 19 : Circuit à deux sources indépendantes et une commandée.

Réponse due à la source E_T

On annule la source I_N en la remplaçant par un circuit ouvert. On obtient le circuit de la …gure 19a.

Loi des mailles M1

ET +RTI₁⁽¹⁾+R1I₁⁽¹⁾+V₂⁽¹⁾ = 0 Loi des nœuds (Nœud A)

I₁⁽¹⁾+ I₁⁽¹⁾ = V₂⁽¹⁾ R₂

La combinaison de ces deux relations entraîne :

I₁⁽¹⁾ = E_T

R_T +R₁ + ( + 1)R₂

= 5

15 + 1 + (100 + 1) 0:5mA= 75:19 A V₂⁽¹⁾ = I₁⁽¹⁾(1 + )R₂

= 75:19 (1 + 100) 0:5mV '3:8V Loi des mailles M2

V_C⁽¹⁾ R_N I₁⁽¹⁾ V₂⁽¹⁾ = 0

V_C⁽¹⁾ = R_N I₁⁽¹⁾ R₂( + 1)I₁⁽¹⁾

= (2 100 + 0:5 (1 + 100)) 75:19mV ' 1:88V Réponse due à la source I_N

On annulle la source indépendanteE_T en lui substituant un court-circuit. Le schéma de la …gure 19 devient celui illustré à la Fig. 19b.

Loi des mailles - M1

RTI₁⁽²⁾+R1I₁⁽²⁾+V₂⁽²⁾ = 0 Loi des nœuds (Nœud A)

( + 1)I₁⁽²⁾ = V₂⁽²⁾ R₂

La combinaison des relations ci-dessus se traduit par :

R_TI₁⁽²⁾+R₁I₁⁽²⁾+ I₁⁽²⁾+ I₁⁽²⁾ R₂ = 0

I₁⁽²⁾ = 0A V₂⁽²⁾ = 0V Loi des mailles -M2

V₂⁽²⁾ V_C⁽²⁾+R_N(I_N I₁⁽²⁾) = 0

V_C⁽²⁾ = R_NI_N

= 2mA 2k = 4V Finalement, on peut écrire :

V₂ = V₂⁽¹⁾+V₂⁽²⁾

= 3:8V + 0V = 3:8V I₁ = I₁⁽¹⁾+I₁⁽²⁾

= 75:19 A+ 0 A= 75:19 A V_C = V_C⁽¹⁾+V_C⁽²⁾

= 1:88V + 4V = 2:12V 3.5.5 Théorèmes de Thévenin et de Norton

Un dipôle D (résistif) est équivalent selon le théorème de Thévenin à une source de tension E_T en série avec une résistanceR_T et selon le théorème de Norton à une source de courant en parallèle à une résistanceR_N (Voir Fig. 20),

Fig. 20 : Equivalents Thévenin et Norton d’un dipôle.

où E_T est la tension à vide du dipôle (pas de charges entre A et B) et I_N le courant traversant un court-circuit entre A et B (de A vers B). Les résistances R_N et R_T sont égales. R_T désigne la résistance vue des bornes A et B du dipôle lorsque les sources indépendantes de ce dernier sont éteintes.

Remarque : Dans le cas où le dipôle comporte des capacités/inductances et que l’analyse est faite dans le domaine fréquentiel, les théorèmes restent valables à condition de remplacer les sources et les résistances par des quantités complexes.

Fig 21 : Procédure de détermination de E_T,I_N etR_N =R_T. Exemple 4:

Nous allons déterminer les équivalents Thévenin et Norton du dipôle de la …gure 22.

Fig.22 Détermination de E_T

La tension E_T est la tension aux bornes de AB comme indiqué sur la

…gure 23a.

La loi des mailles nous permet d’écrire :

E1+R1I+R2I +E2 = 0

I = E₁ E₂ R₁+R₂ La tensionE_T est donc:

E_T = E₂+R₂I

= E₂+R₂E₁ E₂ R₁+R₂

= R₂E₁+R₁E₂ R₁+R₂

Fig. 23 : Circuits pour déterminerE_T etI_N. Détermination de I_N

Le courant de Norton est le courant de court-circuit aux bornes de AB (voir …g.23b).

La loi des noeuds s’écrit :

I_N =I₁ I₂ Maille M₁

E₁+R₁I₁ = 0 I₁ = E₁

R₁ Maille M₂

R₂I₂+E₂ = 0 I₂ = E₂

R₂ On en déduit que :

I_N = E₁ R₁ +E₂

R₂ Détermination de R_N =R_T

On éteint les sources indépendantes du dipôle et on alimente par source de tension e₀ le dipôle AB. La source est supposée débiter le courant i0: La résistance RT est dé…nie par (voir Fig. 24) :

R_T = R_N

= e₀ i₀

= R₁ kR₂ = 1 R₁ + 1

R₂

1

Fig. 24 : Circuit pour déterminer R_T.

4 Circuits RC-CR

4.1 Circuit RC

Réponse à l’échelon

On considère le circuit RC de la …gure 25a alimenté par un échelon d’amplitude E comme illustré à la …g. 25b.

Fig. 25 : a) Circuit RC. b) Echelon d’amplitude E.

La loi des mailles s’écrit :

e(t) +Ri+v_c(t) = 0 (4.1)

Or :

i=Cdv_c

dt (4.2)

Il s’ensuit que :

RCdv_c

dt +v_c = E; t >0 (4.3)

v_c(t) = 0; t <0; Le circuit est au repos

La constante =RC est appelée constante de temps. La solution de l’équation di¤éren- tielle du premier ordre en vC est donnée par :

vc(t) = E+Ae ^t; t >0 (4.4) v_c(t) = 0; t <0

La continuité de la tension v_C se traduit par :

v_c(0⁺) = v_c(0 ); (4.5) E+A = 0;

A = E

La tension aux bornes du condensateur est donc : v_c(t) =E(1 e ^t)u(t); u(t) = 1 si t >0

0 si t <0 ; u : Echelon unitaire (4.6)

Fig. 26 : Charge du condensateur.

Réponse à une impulsion

On désigne par v_s l’impulsion de largeur T_w et d’amplitude E représentée à la …gure 27.

Fig. 27 : Impulsion de largeur T_! et d’amplitude E.

Du fait que l’impulsion v_s(t) peut s’écrire sous la forme :

v_s(t) = e(t) e(t T_w) (4.7) et que le circuit est linéaire, la tension de sortie v_c aux bornes du condensateur est :

vc(t) =E(1 e ^t)u(t) E(1 e ^{t Tw})u(t Tw) (4.8) La …gure 28 représente la tension aux bornes du condensateur pour di¤érentes valeurs de la largeurT_w:

Fig. 28 : Réponse transitoire du circuit RC pour une impulsion. a)t_w = 5 , b) t_w = 3 , c)t_w = _:

4.2 Circuit CR

Réponse à l’échelon

On considère le circuit CR de la …gure 29. La source de tension e(t) est l’échelon de la …gure 25b. Désignons parv₀ la tension aux bornes de la résistance R.

Fig. 29 : Circuit CR.

La loi des mailles nous permet d’écrire :

e(t) +v_c+v₀ = 0 (4.9)

v₀ =e(t) E(1 e ^t)u(t); v_c est donnée par la relation (4.6) (4.10) v₀ =Ee ^tu(t)

Fig. 30 : Tension de sortie v₀ du circuit CR en réponse à l’échelon d’amplitude E:

La réponse transitoire du circuitCR à l’impulsion de largeur tw et d’amplitudeE (signal de la Fig. 27) s’écrit :

v₀(t) = Ee ^tu(t) Ee ^{t Tw}u(t T_w) (4.11) La …gure 31 représente l’évolution de cette tension pour di¤érentes valeurs de Tw.

Fig. 31 : Réponse transitoire du circuit CR pour une impulsion. a) t_w = 5 , b) t_w = 3 , c)t_w = _:

4.3 Réponse en régime sinusoïdal permanent (RSP) des circuits RC/CR

4.3.1 Amplitude complexe - phaseur

Considérons une fonction sinusoïdale s(t) (voir Fig. 32):

s(t) =Acos(!t+ ) (4.12)

où A est l’amplitude, ! = 2 f la pulsation en rad=s (f la fréquence en Hz) et la phase en radian. On peut exprimer s(t) sous la forme équivalente suivante :

s(t) = Re Ae|{z}^j

S

e^j!t

!

(4.13) avecj² = 1etRe(:)désigne la partie réelle. La quantité complexeS=Ae^j est appelée amplitude complexe (ou phaseur) associée à la fonction sinusoïdale s(t). En RSP, la relation i v se traduit dans le domaine complexe des phaseurs pour la résistance, la capacité et l’inductance en une relation entre phaseurs IetV ainsi :

Fig. 32 : Fonction sinusoïdale.

Capacité C

i=Cdv dt

Domaine complexe des phaseurs! V= 1 Cj!I Inductance L

v =Ldi dt

Domaine complexe des phaseurs! V=Lj!I Résistance R

v =Ri Domaine complexe des phaseurs! V =RI

Les quantités _Cj!¹ ; Lj! etR sont respectivement les impédances complexes associées à la capacitéC, l’inductanceL et la résistance R.

Pour analyser un circuit en RSP, on le convertit en un circuit transformé dans le domaine complexe des phaseurs où chaque élément est représenté par son impédance complexe et chaque source par son amplitude complexe. On représente également les variables tension et courant par des phaseurs. Notons que les lois et théorèmes du domaine temps peuvent être transposés pour être appliqués dans le domaine des phaseurs.

4.3.2 Analyse en RSP des circuits RC/CR

Examinons maintenant le circuit RC de la …gure 25a où e(t) = Asin(!t). Le circuit transformé dans le domaine complexe est représenté à la …gure 33.

Fig. 33 : Circuit RC. a) Domaine temps. b) Domaine complexe des phaseurs.

L’application de la loi Diviseur de tension entraîne : V_C(j!) =

1 Cj!

1

Cj!+RE(j!) (4.14)

= 1

1 +RCj!E(j!)

= 1

q

1 + (RC!)²

e ^j E(j!); tan( ) =RC! ; E(j!) = Ae ^j2

Fig. 34 : Forme typique de la tension vc.

De même, en RSP et pour la source e(t) dé…nie ci-dessus, la loi Diviseur de tension appliquée aucircuit CRtransformé dans le domaine des amplitudes complexes de la …gure 35 s’écrit :

Fig.35 : Circuit CR dans le domaine complexe des phaseurs.

V₀(j!) = R

R+_Cj!¹ E(j!) (4.16)

= 1

1 j_RC!¹ E(j!)

= 1

q1 + ¹

(RC!)²

e^j E(j!); tan( ) = 1

RC! ; E(j!) =Ae ^j2

La tension de sortiev₀(t) en RSP est dé…nie par :

v₀(t) = Re V₀(j!)e^j!t (4.17)

= 1

q1 + ¹

(RC!)²

Re e^j E(j!)e^j!t

= A

q1 + ¹

(RC!)²

sin(!t+ )

4.3.3 Fonction de transfert

La fonction de transfert d’un réseau RSP est le rapport entre deux variables prises à deux paires de bornes di¤érentes généralement entrée et sortie (voir Fig. 36) :

H(j!) = Y(j!)

X(j!) (4.18)

Fig. 36 : Dé…nition de la fonction de transfert.

Notons queX et Y peuvent être des courants et/ou tensions.

4.3.4 Diagramme de Bode et réponse en fréquence des circuits R-C et C-R

Diagramme de Bode Le diagramme de Bode est une représentation graphique de la fonction de transfert H(j!) en décibels (HdB = 20 log(jH(j!)j)) et de l’argument ' = arg(H(j!)) (la phase) en degrés (ou en radians) en fonction de ! sur une échelle logarithmique.

Circuit R-C

Le gain en tension G(j!) = ^V_E(j!)^C(j!) (Cf. Eq. (4.14)) et la phase ' sont donnés par :

G(j!) = V_C(j!)

E(j!) (4.19)

= 1

1 +j_!^!

0

; !₀ = 1 RC

GdB = 20 log(jG(j!)j); Gain en dB

= 20 log 0 BB

@ r 1

1 + _!^!

0

2

1 CC

A= 10 log 1 + !

!₀

2!

' = arctan(!

!₀)

G_dB = 10 log (2) = 3dB (4.21) ' = 45

- si ! !₀

G_dB ' 0 (4.22)

' ' 0

!0est appelée pulsation de coupure du …ltre R-C. La courbe du gain en dB est représen- tée à la …gure 37.

Fig. 37 : Gain en dB du circuit R-C.

D’après la …gure, les fréquences basses correspondent à un maximum de gain. D’autre part, pour des fréquences supérieures à la fréquence de coupure f₀ = ^!₂⁰, le gain est atténué. Le circuit R-C est alors un …ltre passe bas. La courbe de phase du circuit R-C est illustrée à la …gure 38.

Fig. 38 : Courbe de phase du circuit R-C.

Circuit C-R

Le gain en tension T(j!) = ^V_E(j!)^0(j!) (Cf. Eq. (4.16)) et la phase s’expriment ainsi :

T(j!) = V₀(j!)

E(j!) (4.23)

= 1

1 j_RC!¹

= 1

1 j^!_!⁰; !₀ = 1 RC T_dB = 20 log(jT(j!)j)

= 20 log 0

@ 1

q

1 + ^!_!^{0 2} 1

A= 10 log 1 + !₀

!

2

= arctan(!₀

! ) - si ! !0

T_dB ' 20 log !₀

! (4.24)

= 20 (log(!) log(!₀)) ' 90

- si !=!₀

T_dB = 10 log (2) = 3dB (4.25)

= 45 - si ! !₀

G_dB ' 0 (4.26)

' 0

!₀est appelée pulsation de coupure du …ltre C-R. La courbe du gain en dB est illustrée à la …gure 39.

Fig. 39 : Gain en dB du circuit C-R.

Fig. 40 : Phase du circuit C-R en Degré.

Chapitre II

Diodes et applications

1 Semi-conducteurs intrinsèques

Un cristal semi-conducteur intrinsèque est un solide dont les noyaux d’atomes sont dis- posés aux nœuds d’un réseau régulier. La cohésion de ces atomes est due à des liaisons de covalence, c’est-à-dire deux atomes voisins mettent en commun un électron chacun pour former une liaison. Les électrons qui participent à ces liaisons sont des électrons liés. Les électrons excédentaires, s’ils existent, sont des électrons libres.

Chaque atome a une coordination tétraédrique et établit des liaisons de valence avec ses quatre voisins les plus proches (Cf. Fig. 2-1).

Fig.2-1: Structure cristalline du silicium en coordination tétraédrique.

Les propriétés de conductibilité électrique des semi-conducteurs sont intermédiaires en- tre celle des métaux et celle des isolants. Ils sont isolants à la température0 K ( 273 C).

La tableau ci-dessous montre une liste de matériaux semi-conducteurs. Une portion de la table périodique des éléments où les semi-conducteurs les plus usuels sont regroupés est donnée à la …gure 2-2. Le Ge et le Si y …gurent à la colonne IV. Ils admettent 4 électrons de valence.

Semi-conducteurs Simples Semi-conducteurs composés

Si Silicium GAS Arséniure de Gallium

Ge Germanium GaP Phosphure de Gallium

AlP Phosphure d’aluminium

AlAs Arséniure d’aluminium

InP Phosphure d’indium

Tab. 2-1 : Liste de quelques semi-conducteurs.

Fig. 2-2 : Portion de la table périodique des éléments.

Lorsque les atomes du Si (ou du Ge) se réunissent pour former le cristal, les électrons occupent des bandes d’énergie permises. A T = 0 K, tous les électrons occupent la bande d’énergie de valence (ils sont liés aux atomes, cf. …g. 2-3). Lorsque la température augmente, les électrons de valence peuvent acquérir su¢ samment d’énergie thermique pour se libérer de la liaison covalente et devenir libres (Cf. …g. 2-4). Pour être libres, les électrons doivent atteindre une énergie minimale E_g permettant de rompre la liaison.

Cette énergie est appelée énergie de Gap.

Fig. 2-3 : Liaisons covalentes. Presque tous les électrons sont liés aux atomes à0 K.

Fig. 2-4 : Rupture des liaisons et création de trous.

Les électrons d’un solide semi-conducteur sont répartis dans plusieurs bandes d’énergie séparées par des bandes interdites. Seules les bandes externes déterminent les propriétés électriques du solide. L’énergieE_v désigne l’énergie maximale de la bande de valence. E_C est l’énergie minimale de la bande de conduction. La di¤érence entre ces deux valeurs d’énergie est l’énergie de GapEg.

Fig. 2-5 : Diagramme d’énergie simpli…é pour un solide semi-conducteur.

Les densités des électrons et des trous sont des paramètres importants dans la carac- térisation des matériaux semi-conducteurs puisqu’elles in‡uencent l’intensité de courant.

Dans un semi-conducteur intrinsèque (ne comportant pas d’atomes autres que ceux du semi-conducteur) la densité n (=cm³) des électrons est égale à la densité p (=cm³) des trous :

n=p=n_i =BT³²e ^2kTEg (1.1)

où B est un coe¢ cient spéci…que du matériau semi-conducteur considéré, E_g l’énergie de Gap en (eV; 1eV = 1:6 10 ¹⁹J), T la température en ( K) et k la constante de Boltzman (k = 86 10 ⁶eV = K). La conductivité dans un semi-conducteur est assurée par les deux entités : électrons et trous. Elle est fonction de leurs densités et s’exprime ainsi :

=q _nn+q _pp (1.2)

éléments généralement utilisés pour le dopage.

III Dopeurs IV Semi-conducteurs V Dopeurs Bore

Aluminium Si Phosphore

Gallium Ge Arsenic

Indium Antimoine

Table 2-2 : Dopeurs usuels du Ge et Si.

1.1.1 Semi-conducteur de type N/ P

Un semi-conducteur est du type N lorsque le dopeur est de la colonne V. Par exemple, en substituant à un atome de Si un atome de phosphore à cinq électrons (e ) de valence, quatre de ses e forment la liaison atomique alors que le cinquième reste en excès. C’est un e- quasi libre. Il lui faut une faible énergie de l’ordre de 0.01eV (Ge) et 0.05eV (Si) pour le rendre libre. L’atome de phosphore dopeur devient un ion+. Si le dopeur est de la colonne III, le semi-conducter sera du type P.

Fig. 2-6 : Dopage par atomes donneurs (ici l’insertion d’un atome de phosphore).

En introduisant un atome d’impurtés du Bore dans le silicium, ses trois e de valence forment la liaison atomique. Il reste un trou de libre qui à température ambiante, se recombinera avec une pour former un ion de Bore de charge . Les atomes de Bore ou un autre élément de la colonne III (Ga,...) sont appelés atomes accepteurs.

Fig. 2-7 : Dopage par atomes accepteurs (ici insertion d’un atome de Bore dans du Si).

Dans un semi-conducteur extrinsèque, les densitésn etp respectivement des électrons et des trous véri…ent la relation :

np=n²_i (1.3)

Ainsi, pour : Type N,

n p; n 'N_D (1.4)

oùN_D est la densité des atomes donneurs (colonne V). Compte tenu de la relation (1.3), on aura :

p' n²_i ND

(1.5) Type P

p n; p'N_A (1.6)

avecN_Ala densité des atomes accepteurs (colonne III). La densité des électrons est donc:

n' n²_i

N_A (1.7)

2 Jonction PN

La jonction PN est la mise en contact d’un semi-conducteur du type P et d’un semi- conducteur du type N. La …gure 2-8 a) montre la structure (en 2D) de la jonction PN. En supposant un dopage idéal uniforme présentant un gradient di¤érent de zéro à la junction x = 0 (Cf. …g. 2-8 b)), la di¤usion de part et d’autre de la jonction des porteurs majoritaires s’établit : les électrons de la zone N viennent combler les trous dans la zone P. Il y aura création d’une zone dépourvue de porteur mobile (zone de déplétion ou zone de charge d’espace (ZCE)). Il existe alors une di¤érence de potentiel (voir …g. 2-8 c)) et donc un champ interne E_in qui s’oppose à la di¤usion des électrons de la zone N vers la zone P.

Fig. 2-8 : a) Structure 2D de la jonction PN, b) Distribution uniforme de la densité des porteurs, c) Potentiel dans la ZCE.

Le potentielV₀ appelé aussi barrière de potentiel est donné par : V₀ = kT

q ln N_AN_D

n²_i =V_T ln N_AN_D

n²_i (2.1)

oùV_T =KT =q '25mV à température ambiante.

2.1 Polarisation inverse

La polarisation inverse consiste à appliquer une tension V_R = V_K V_A >0 où V_K et V_A sont les potentiels respectifs des régions N et P (cf. …g. 2-9a) de la jonction. La région N est appelée cathode et P anode. La tensionVR engendre un champ appliqué Ea qui a le même sens que le champ E_in. Quand on augmente V_R d’une certaine quantité V_R >0, la zone de charge d’espace s’élargit entraînant des charges additionnelles …xes Q à la charge Qrelative à la tension VR. Une capacité, dite de transition, est alors associée à la jonction quand elle est polarisée en inverse; elle s’exprime ainsi :

C_j =C_j0 1 + V_R V₀

1=2

(2.2) avecC_j0 la capacité de la jonction pour V_R= 0.

La polarisation inverse augmente d’avantage la barrière de potentiel qui se traduit par un champ électrique plus intense s’opposant au mouvement des porteurs majoritaires à travers la jonction. Le courant est très faible et égal au courant des minoritaires; ce courant est appelé courant de saturation et sera notéI_S.

Fig. 2-9 : Polarisation inverse de la diode. Elargissement de la ZCE.

2.2 Polarisation directe

On applique une tensionV =V_A V_K >0 entre anode et cathode de la jonction PN. Le champ induitE_a est opposé au champ interne E_in (voir Fig. 2-10) et contribue donc à la diminution de la barrière de potentiel. Un courant de majoritaire commence à traverser la jonction.

Une petite variation V de la tension directe appliquée sur la jonction fera varier la quantité des charges minoritaires injectée. Cette variation de la densité entraîne une variation de la charge stockée de part et d’autre de la ZCE et se traduit par la capacité de di¤usion (capacité dynamique) C_d plus importante que la capacité de transition C_j0 du fait que la ZCE est plus mince en polarisation directe. La capacité de transition est deqq(pF) et celle de di¤usion de qq(nF).

Fig. 2-10 : Polarisation directe de la jonction PN.

'

la caractéristiqueI V de la diode. L’e¤et de la température est illustré à la …gure 2-13.

Pour un courant …xe dans la diode, la tension à ses bornes diminue à raison de2mV = C.

En polarisation inverse, le courant reste très faible tant que la tension de claquage (BVi,i = 1;2. Cf. Fig. 2-14) ne sera pas atteinte. Au delà de cette tension, le courant augmente rapidement alors que la tension reste sensiblement égale àBV_i .Cette dernière est appelée tension Zener. Le fonctionnement de la diode dans cette région est à la base de la régulation en tension.

Fig 2-11 : Symbole de la jonction (Diode).

Fig. 2-12 : Caractéristique i_D v_D de la diode.

Fig. 2-13 : E¤et de la température sur la tension aux bornes de la diode.

Fig. 2-14 : CaractéristiqueiD vD dans la région de polarisation inverse selon le dopage.

Fig. 2-15 : Analyse AC de la diode.a) circuit à diode. b) comportement vis à vis du petit signal AC.

Le fonctionnement étant dans la région de polarisation directe, on peut donc écrire :

i_D ' I_Se^vDVT (2.4)

= I_Se^vd

+VD VT

= I_Se^nVTVD

| {z }

'ID

e^nVTvd

' I_D 1 + v_d

V_T ; v_d V_T 1

= I_D+g_dv_d

|{z}

id

; g_d= I_D VT

On peut également écrire :

v_d =r_di_d (2.5)

Les paramètres g_det r_d = 1=g_d sont respectivement la conductance dynamique et la résistance dynamique de la diode. La conductanceg_dcorrespond à la pente de la tangente au point de fonctionnementQ(voir …g. 15 b)). Au voisinage du point Q, la caractéristique de la diode peut être approximée par un segment de droite, sous l’hypothèse des petits signaux : signaux dont l’amplitude crête-crête est faible de sorte que le développement limité à l’ordre 1 de l’exponentielle reste valable.

Le schéma en dynamique de la jonction PN polarisée en direct en régime dynamique basses fréquences est illustré à la …gure 2-16.

Fig. 2-16 : Schéma équivalent en dynamique de la diode.

2.5 Diode idéale et diode réelle à caractéristique linéaire par morceaux

2.5.1 Diode idéale

La caractéristiqueI V de la diode idéale est indiquée à la …gure 2-17.

Fig. 2-17 : Caractéristique I-V d’une diode idéale.

La diode est donc équivalente à un interrupteur (voir …g. 2-18).

Fig.2-18 : Diode idéale en tant qu’interrupteur.

2.5.2 Diode réelle à caractéristique linéaire par morceaux

On approxime la caractéristique exponentielle de la diode par deux morceaux de droites comme illustré à la …gure 2-19.

Fig. 2-19 : Linéarisation par morceaux de la caractéristique de la diode.

Le couranti_D circulant de l’anode vers la cathode de la diode s’exprime en fonction de la tensionv_D =v_AK ainsi :

i_D = 0 si v_D < V_D0

vD VD0

rD si v_D > V_D0 (2.6)

Il s’ensuit que la diode est équivalente au circuit de la …gure ci-dessous.

Fig. 2-20 : Equivalent d’une diode réelle dont la caractéristique est linaire par morceaux (ici à 2 morceaux).

Exemple d’application 1 :

On considère le circuit de la …gure 1a.

1. On suppose que v_i = 10V. Déterminer la tension v₀ et le courant i dans la diode dans les deux cas suivants :

- Diode D idéale

- Diode D de caractéristiquei v représentée à la …gure 1b.

2. On suppose que v_i est fonction du temps. Tracer la caractéristique de transfert v₀ =f(v_i)du circuit en supposant la diode D idéale. Quelle est sa nature?

Solution :

On considère le circuit de la …gure 1a.

1. On suppose que v_i = 10V. - Diode D idéale

La diode idéale est équivalente à un court-circuit lorsqu’elle est conductrice et un circuit ouvert dans le cas contraire :

On suppose que la diode D est conductrice, le circuit de la …gure 1a est donc équivalent à celui de la …gure 1c.

Maille M

v_i+R₁I+R₂I E = 0 I = v_i+E

R₁+R₂

= 10 + 6

2 + 1 k = 5:33mA >0 La tensionV₀ est donnée par

V₀ = E+R₂I

= 6 + 5:33V

= 0:67V

La diode conduit puisque le courant qui la traverse de l’anode vers la cathode est positif.

1. - Diode D de caractéristiquei v représentée à la …gure 1b

La diode de caractéristique de la …g. 1b peut être mise sous la forme équivalente :

Où :

r_D = v i

= 2 0:7

1:3 0k = 1k

V_D = 0:7V; V_D: Tension seuil Le circuit cette fois devient celui de la …gure 1d.

On suppose que la diode Dconduit. La diode idéale D_i est donc conductrice; elle est équivalente à un court-circuit traversé par un courant de l’anode vers la cathode qui doit être positif comme illustré à la …gure 1e.

Maille M1

v_i+R₁I+r_DI+V_D+R₂I E = 0 D’où :

I = v_i+E V_D R₁+R₂+r_D

= 10 + 6 0:7

2 + 1 + 1 mA= 3:825mA >0; La diode est donc conductrice V₀ = E+R₂I

= ( 6 + 3:825)V = 2:175V

2. On suppose que la diode est conductrice; elle est donc équivalente au circuit de la

…gure 1c (avecv_i dépendant du temps). On a : I = v_i+E

R₁+R₂ >0 La diode conduit si

v_i > E = 6V La tension de sortiev₀ dans ce cas est égale à :

v₀ = E+R₂I

= E+R₂ v_i+E R₁+R₂

= R₂

R₁+R₂v_i R₁ R₁+R₂E

= 1 3v_i 2

3E

= 1

3v_i 4V; v_i > 6V

Lorsque v_i < 6V , la diode sera bloquée et le circuit de la …g.1a devient celui illustré à la …gure 1f.

La tensionv_o est : v₀ = 6V

La caractéristique v₀ =f(v_i) est représen- tée ci-dessous. Le circuit est un limiteur .

v₀ =

1

3v_i 4 si v_i > 6V 6 si v_i < 6V

-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14 16

-6 -4 -2 2 4

vi vo

Caractéristiquev₀ =f(v_i).

2.6 Diode Zener

Le symbole de la diode Zener est représenté ci-dessous (cf. …g. 2-21)

Fig. 2-21 : Symbole de la diode Zener.

La caractéristique de la diode Zener est illustrée à la …gure 2-22. Contrairement à une diode normale, la diode Zener est conçue pour fonctionner dans la zone de claquage. Pour une tension v_D < jV_z0j (vD : tension anode-cathode de la diode) le courant augmente rapidement pour une faible variation v de la tension. Cette dernière se traduit par une faible résistance r_z = ^v_i^D

D i

D<0; vD<0

(quelques dizaines d’Ohms). La tension V_z0 est appelée tension de claquage ou tension Zener. La caractéristique de la diode Zener peut être approchée par des segments de droites comme montrée à la …gure 2-23 (linéarisation par morceaux).

Fig. 2-22 : Caractéristique I-V de la diode Zener

Fig. 2-23 : Linéarisation par morceaux de la caractéristique de la diode Zener.

Compte tenu de cette approximation, on peut modéliser la diode Zener par le circuit de la …gure 2-24.

Fig. 2-24 : Schéma équivalent de la diode Zener.

Exemple d’application 2:

Représenter la caractéristique de transfertv₀ =f(v_i) du limiteur à diodes Zener de la

…g. 2. Les diodes sont supposées identiques.

Fig. 2 : Limiteur à diodes Zener.

Solution:

En remplaçant les diodes par leurs schémas équivalents, on obtient le circuit de la

…gure 2a. Les diodes D1, D2, D3 et D4 sont idéales.

Pendant l’alternance positive de la tension v_i, les diodes D2 et D3 conduisent et les diodes D1, D4 sont bloquées et inversement pour l’alternance négative comme indiqué sur la …gure 2a.

Le circuit de la …gure. 2a peut donc être simpli…é de sorte à être représenté sous la forme équivalente de la …g. 2b.

Fig. 2a : Schéma équivalent.

Fig. 2b : Schéma simpli…é

En négligeant la résistancer_z+r_D, nous obtenons le circuit de la …gure 2c.

Finalement, en se reportant au schéma ci-dessus, il est aisé de montrer que la caractéris- tique du limiteur est celle représentée à la …gure 2d.

Fig. 2d : Caractéristique de transfertv₀ =f(v_i).

2.7 Redresseurs

2.7.1 Redresseur simple alternance

Ce type de redresseur est réalisé en mettant simplement une diode en série avec la charge comme le montre le schéma suivant (Cf. …g. 2-25) :

Fig. 2-25 : Redresseur simple alternance.

Considérons une sinusoïde pour tension d’entrée v_i, v_i =Asin(!t); où ! = 2 f: f est la fréquence du signal d’entrée enHz.

Supposons que D_i conduit. Le schéma devient :

Fig. 2-26 :

Lorsque v_i < V_D0, La diode sera bloquée. Le courant dans la résistance R sera donc nul.

La tension de sortie s’écrit :

v_o = 0 (2.10)

La …gure 2-27 montre l’évolution de la tension de sortie v₀ redressée. Elle est périodique de périodeT = 1=f. Contrairement à la tension d’entrée, la valeur moyenne de la tension de sortie est non nulle; elle vaut :

Fig. 2-27 : Evolution de la tension de sortie.

V_oDC = 1 T

R r_D+R

T =2Z t0

t0

Asin(2

T t) V_D0 dt (2.11)

= R

r_D +R 0

@ V_D0 2 +A

q

1 ^V_A^D022

+ V_D0arcsin(^V_A^D0) 1 A

= A

si V_D0 = 0; r_D = 0:

oùt0 = ₂^T arcsin(^V_A^D0).

2.7.2 Redresseur double alternance

Pour le redresseur simple alternance, la valeur moyenne de la tension de sortie redressée n’est que de 0.318A (diode supposée idéale) où A est l’amplitude de la sinusoïde d’entrée.

Le redresseur double alternance fournit en sortie le double de cette valeur. Il est composé de deux redresseurs simples alternances comme illustré à la …gure 2-28.

Fig.2-28 : Redresseur double alternance.

Pendant l’alternance positive, la diode D1 conduit et la diode D2 est bloquée. L’inverse se produit pour l’alternance négative. La tension de sortie obtenue est représentée à la

…gure 2-29.

Fig. 2 -29 : Evolution de la tension de sortie.

2.7.3 Pont redresseur

Le circuit pont redresseur double alternance est illustré à la …gure 2-30.

Fig. 2-30 : Pont redresseur.

Les diodes D1 et D2 conduisent pendant l’alternance positive et D3, D4 sont bloquées.

Pour l’alternance négative, D3 et D4 conduisent et les autres sont bloquées. La tension de sortiev₀ résultante est donnée à la …gure 2-31.

Fig. 2-31 : Evolution de la tension de sortie du pont redresseur.

2.7.4 Redressement et …ltrage

Un circuit simple de redressement double alternance avec …ltrage est donné à la …gure 2-32.

Fig. 2-32 : Redressement avec …ltrage.

Pourt₁ < t < t₂, les diodes D1 et D2 conduisent, D3 et D4 sont bloquées. La capacité se charge et la tension à ses bornes est :

v₀ 'v_i =Asin(!t); avec V_p =A V_D0

à l’instantt=t₂, le condensateur atteint sa charge maximaleQ_max=Cv₀(t₂) = CV_p. Les diodes se bloquent et le condensateur se décharge exponentiellement dans la résistanceR.

La tension aux bornes du condensateur est donc :

v₀(t) =Be ^t; =RC (2.12) Or :

v₀(t₂) =V_p =Be ^t2; B =V_pe^t2 (2.13) Il s’ensuit que :

v₀(t) = V_pe ^{(t t2)}

Fig. 2-32 : Tension de sortie aux bornes du condensateur.

A l’instant t=t₂+T t, la tension de sortie est égale à :

v₀(t₂+T t) = V_pe ^{(T t)} (2.14)

' V_pe ^T; t T ' V_p(1 T

); pour T

= V_p V_r

oùV_r est l’amplitude crête à crête des ondulations en sortie. A partir de la relation (2.14), on obtient :

V_r = T

V_p (2.15)

Le temps de conduction t des diodes D1 et D2 peut être déduit à partir de la relation suivante :

V_pcos(!( t)) = V_p V_r V_p 1 (! t)²

2

!

' V_p V_r; cos(x)'1 x²

2 ; x 1; x=! t

t= 1

! s2V_r

V_p (2.16)

2.8 Stabilisation de tension

Dans le montage représenté à la …gure 2-33, on se propose d’obtenir une tension station- naire aux bornes de la résistance de chargeR_L, bien que celle-ci soit variable et que la f.é.m.

v_s de l’alimentation ‡uctue autour de sa valeur nominale E. Une diode Zener fonction- nant dans la région de claquage (polarisée en inverse) en parallèle avec la charge répond à cette exigence. La resistanceR_s placée en série avec le générateur, limite l’intensité de courant dans la diode a…n de ne pas dépasser la valeur maximaleI_zmax recommandée par le constructeur.

Fig. 2-33 : Régulateur de tension.

Tant quev_s reste supérieure àV_z, la diode Zener imposev =V_z. On en déduit le courant I_z :

I_z = v_s V_z R_s

V_z

R_L (2.17)

Le choix de la résistanceR_s exige :

Iz Izmax (2.18)

soit :

v_s V_z R_s

V_z

R_L I_zmax (2.19)

R_s vs Vz

I_zmax+ _R^Vz

L

; (2.20)

ce qui donne dans le cas le plus défavorable où la charge est débranchée : R_s v_smax V_z

I_zmax =R_smin (2.21)

D’autre part, la stabilisation n’est possible que si le point de fonctionnement de la diode est dans la zone Zener, a…n que v = V_z = R_Li_L, ce qui suppose une charge su¢ sante.

Le courant dans la résistanceR_s doit être toujours supérieur à celui de la charge, ceci se traduit par :

i_s i_L = V_z

R_L (2.22)

vs Vz

R_s

Vz

R_L pour toute valeur de v_s; (2.23) ce qui conduit à l’inégalité suivante :

v_smin V_z R_s

V_z

R_L (2.24)

R_L V_z

vsmin Vz

Rs

=R_Lmin (2.25)