Travaux Dirigés de Thermodynamique II Série n° 1 Exercice 1 :

UNIVERSITE MOHAMMED V Année universitaire 2020 / 2021

FACULTE DES SCIENCES SMP3 - Module 16 - Physique 7

RABAT – AGDAL

Travaux Dirigés de Thermodynamique II Série n° 1

Exercice 1 : Soit la différentielle :

V RT dV dT C

dX= +

, où C et R sont des constantes.

1) La différentielle dX est-elle une différentielle totale exacte ?

2) On pose dS = g(T).dX, avec g(T) = T

ⁿ

, n étant un entier positif ou négatif. Que vaut n pour que dS soit une différentielle totale exacte ?

3) Exprimer dans ce cas :

a) les dérivées partielles T

V

S 



 







 et V

T

S 



 







 ;

b) la fonction S(T,V ) à une constante près.

Exercice 2 : Soient les différentielles :

dH=C_pdT+(h +V)dP

et

dP T dT h T

dS=C^p +

, où

C_p

et

h

sont les coefficients calorimétriques relatifs au système monophasique étudié.

1) En explicitant les relations imposées par le fait que dH et dS sont des différentielles totales exactes,

déterminer l’expression du coefficient h et en déduire celle de la dérivé partielle

^p)_T ) P (C



.

2) Les variables d’état P, V et T d’un système thermodynamique sont reliées par une équation de type f

(P,V,T)

= 0 appelée équation d’état.§

a) On s’intéresse à l’équation d’état des gaz parfaits PV – nRT = 0, calculer h et montrer que C

p

ne dépend pas de P. Calculer alors les fonctions d’état H et S en supposant que

Cp

ne dépend pas de T.

b) On s’intéresse successivement aux équations d’état suivantes :

-

V = V

0

– AP + BT où A et B sont des constantes.

-

P(V – nb) - nRT - C

p

.lnP = 0 ; n, R, b, et C sont des constantes.

Reprendre, pour chacune de ces équations, la question a) avec les mêmes hypothèses.

Exercice 3 : On considère les formes différentielles suivantes :

dF

1

= 2xy

³

dx + 3x

²

y

²

dy et dF

2

= (x-y)dx + (x+y)dy.

1) Ces différentielles sont-elles exactes ou inexactes ? 2) Déterminer la fonction F quand cela est possible.

3) Calculer la variation F = F(1,1) – F(0,0) pour chacune des différentielles et selon chacun des chemins

suivants :

rectangle sur les diagrammes de Clapeyron (a) : (P,V), (b) : (T,V) et (c) : (T,P) ci-dessous :

Dans chaque cas et pour chaque transformation

A → B, B → C, C → D et D → A

, calculer le travail et la chaleur mis en jeu entre le système et le milieu extérieur en fonction du rapport  =

v p

c

c

des chaleurs massiques c

p

et c

v

et des grandeurs thermodynamiques indiquées dans chacun des diagrammes. Le premier principe de la thermodynamique est-il vérifié ?

Exercice 5 :

On fait subir à une masse m d’un gaz parfait le cycle des quatre transformations réversibles suivantes : 1 → 2 : Compression isochore ;

2 → 3 : Détente isotherme ; 3 → 4 : Détente adiabate ;

4 → 1 : Refroidissement isobare.

1) Représenter qualitativement dans le diagramme P-V le cycle des quatre transformations ci-dessus.

2) Calculer les énergies chaleur et travail mises en jeu le long de chacune de ces transformations.

3) En déduire les énergies chaleur et travail mises en jeu le long du cycle.

Que peut-on conclure ?

_____________________FIN__________________________

Travaux Dirigés de Thermodynamique II Devoir n°1

NB : Les Exercices 4 b) et c) ainsi que l’exercice 5 de la série 1,

non traités en présentiel, doivent être rendus sous forme de

devoir avant le commencement de la série 2.

**** Corrigé de la série 1 ****

Exercice 1 :

Définition : dF=A(x,y)dx +B(x,y)dy est dite différentielle totale exacte si et seulement si elle peut s’écrire sous

la forme : dy

y dx F x dF F

y



 





 + 



 







=  c'est-à-dire

x y

y) F (x,

A 



 





= et

y

x

y) F (x,

B 



 



 

= 

.

Le calcul des dérivés secondes mixtes conduit à :

x 2

y x y

A x

y F x

F

y 



 





 =



 =









 



 







et

y 2

x y

x

B y x

F y

F

x 



 



  

 =

 

 =



 



 



 



  

 

Or

x y

F y x

F ²

2





= 





 (En mathématique, l’ordre de dérivation est sans importance)

c'est-à-dire _x )_y

x ( B y)

(A = 

(Théorème de schwartz),

1) La différentielle dV

V RT dT C

dX= + s’écrit alors dX=A(T,V)dT+B(T,V)dV Avec A(T,V) = C et

V RT ) V , T (

B = ,

Pour que dX soit une différentielle totale exacte, il faut et il suffit que :

V

T T

) V , T ( B V

) V , T (

A 



 







= 



 









Or 0

V T C V T

) V , T (

A =



= 









 



 



 





(C = constante) et

V R V V ) (RT T

T V ) V , T (

B =



= 









 



 



 





.

c-à-d

V T ) V , T (

A





 







 

T V

) V , T (

B





 







 Donc dX n’est pas une différentielle totale exacte.

2) soit dV

V RT dT T C V RT dV dT C T dX T g(T).dX dS

1 n n

n n

+ +

 =



 



 +

=

=

= .

dS s’écrit sous la forme : dS=P(T,V)dT+Q(T,V)dV Avec P(T,V)=CTⁿ et

V ) RT V , T ( Q

n +1

= .

V 0 ) CT ( V

) V , T ( P

T n

T

=



 







= 



 







 et

( )

V 1 RT n T

V ) (RT T

) V , T (

Q ⁿ

V 1 n

V

+

 =

















= 



 









+

. Pour que dS soit une différentielle totale exacte, il faut et il suffit que :

0 T

) V , T ( Q V

) V , T ( P

V T

 =



 







− 



 







 , c'est-à-dire :

( )

0

V 1 RT n

n =

+ .

La seule valeur de n vérifiant cette condition est n = -1.

dS s’écrit alors : dV

V dT R T dS= C +

3) a) Pour n = -1, dV

V dT R T C

dS= + est une différentielle totale exacte S S +  



=

1) dH=C_pdT+(h +V)dP et

dP T dT h T dS = C

^p

+

dH est une différentielle totale exacte →

P T P

p

T V T

h P

C 



 





 +



 





 =



 







 (1)

dS est une différentielle totale exacte →

( ) _{( )}

T P

h/T P

p/T C

T



 



 



 







= 



 c.à.d ₂

T P p

T - h T

h T 1 P

C T

1 



 





 =



 









ou encore

T -h T P

h P T

Cp



 



 



 







= 





(2)

(1) et (2) →

T P

T V -

h 



 







=  c-à-d

P 2 2 P

P

T

T V T -

- V T

h 



 







 



 







= 

 

 









En remplaçant dans (1) on obtient :

P 2 2

T p

T T V P -

C











= 



 









(3)

2.a

PV - nRT = 0

→

P nR T

V

P

 =



 







 soit h=-V et 0

P C

T p =

 







 donc Cp est indépendant de P.

En supposant que Cp ne dépend pas de T : elle est considérée comme une constante caractéristique du système étudié.

(

h V

)

dP dT

C

dH= _p + + , le gaz étant parfait donc dH=C_pdT → H=C_pT+cte TdP

dT h T

dS= C^p + =

P nRdP T - dT

Cp → S=Cp.lnT-nR.lnP+cte.

2.b On reprend la démarche de la question précédente avec les résultats généraux de la question 1.

- V = V0 – AP + BT → B

T P

V =









 





et

BT

T T V - h

P

−

 =



 



  

=

(

h V

)

dP dT

C

dH = _p + + = ^C_p^dT+

(

^V-BT

)

^dP=C_p^dT+

(

^V₀^-AP

)

^{dP d’où H}=^Cp^T+^V0^P-A₂ ^P2+^cte TdP

dT h T Cp

dS= + = -BdP

T dT

Cp d’où S=Cp.ln(T)-BP+cte

- P(V-nb)=nRT+ Cp.lnP 

P P ln Cp P nb) nRT -

(V = +



P

nR T

V

P

 =



 









et

P nRT T

T V - h

P

−

 =



 







= 

(

h V

)

dP dT

C

dH= _p + + = dP

P P ln Cp nb pdT C P dP

- nRT V pdT

C 



 



 



 



 _{= + +}

+

cte P 2 ln nbP C T C

H= _p + + ^{p 2} +

TdP dT h T

dS=C^p + =

P nRdP T - dT

Cp et S=C_pln(T)-nRlnP +cte Exercice 3 :

1) dF=P(x,y)dx +Q(x,y)dy

dF est dite différentielle totale exacte si et seulement si :

_x )_y

x ( Q y)

( P 

= 



 (Théorème de Schwartz)

.

Pour dF1 = 2xy³dx + 3x²y²dy : _x ²

3

x ) 6xy

y xy ( 2 y)

( P  =

= 



 et y ²

2 2

y ) 6xy

x y x ( 3 x)

( Q  =

= 





y

x )

x ( Q y)

( P 

= 



 dF1 est donc une différentielle totale exacte.

Pour dF2 = (x-y)dx + (x+y)dy : ) 1 y (P _x =−

 et ) 1

x (Q _y =



y

x )

x ( Q y)

( P 

 



 dF2 n’est pas une différentielle totale exacte.

2) Seule la fonction F1 existe.

¹)_y 2xy³ x

(F =

 en intégrant, on obtient F1(x,y) = x²y³ + (y) et ¹)_x 3x²y² y

(F =

 +’(y) = 3x²y² Donc ’(y) = 0 et (y) = cte. Donc F1(x,y) = x²y³ + cte

3) F1 le long de la droite y = x :

F1 x ] 1

5 dx 5 x 5 dx x 3 dx x . x

2 ^{1 51}₀

0 1 4

0 1 4

0

3 + = = =

=

  

F1 le long de la courbe y = x² :

F1

x ] 1

8 dx 8 x 8 dx x 6 dx x . x

2

^{1 81}₀

0 1 7

0 1 7

0

6

+ = = =

=   

F1 le long de la courbe y = x^1/2 :

F1 ⁼



⁺



^{− =}



⁺



⁼



0¹

2 / 1 5

0 2 / 1 5

0 2 / 1 5

0

2 / 1 1 2

0 2 /

3 x dx

2 dx 7 . 2x dx 3 x 2 dx 2x

x1 . x 3 dx x . x

2

F1 x ] 1

7 2 2

7 ₁

0 2 /

7 =

=



^F2 le long de la droite y = x :



^{F2 0.dx} 0^{12xdx 2x}₂^{2]10 1} 1

0 + = =

=

 



^F2 le long de la courbe y = x² :

dF2 = (x-x²)dx + 2(x+x²)xdx = (x – x² + 2x² + 2x³)dx = (x+x² + 2x³)dx



^{F2 =} 3

4 2 1 3 1 2 ] 1 4 2x 3] ] x 2

x ₁

0 4 1 0 3 1 0

2 + + = + + =



^F2 le long de la courbe y = x^1/2 : dF2 = (x- x )dx +

2

1 (x+ x )x^−1/2 dx = (x - x + 2 1 x +

2 1)dx



^{F2 =}

^[

^x₂^{2 −}₃^{2x23 +}₆^{2x23 +x}₂

^]

^{10 =} ₂¹⁻ ₃²⁺₆^{2 +}₂¹⁼ ₃^2.

4) F

quasi-statique.

a) Variables P,V :

• Les travaux échangés avec le milieu extérieur : - le long de l’isobare AB : WAB = - P1(V2 – V1), - le long de l’isochore BC : WBC = 0,

- le long de l’isobare CD : WCD = - P2(V1 – V2), - le long de l’isochore DA : WDA = 0.

Le travail total échangé avec le milieu extérieur est donc :

W = WAB + WBC + WCD + WDA = (P2 – P1)(V2 – V1).

Le travail

W = -  PdV

est également mesuré par l’aire hachurée du diagramme (P,V). Il est compté positivement car le cycle est décrit dans le sens trigonométrique direct.

• Les quantités de chaleurs échangées, compte tenu de l’équation d’état PV = nRT (n=1) : - le long de l’isobare AB : Q C dT C_pm(T_B T_A)

T

T pm AB

2

1

−

=

=



^,

- le long de l’isochore BC : Q C dT C_vm(T_C T_B)

T

T vm BC

3

2

−

=

=



^,

- le long de l’isobare CD : Q C dT C_pm(T_D T_C)

T

T pm CD

4

3

−

=

=



^,

- le long de l’isochore DA : Q C dT C_vm(T_A T_D)

T

T vm DA

1

4

−

=

=



^.

Cpm et Cvm sont respectivement les chaleurs molaires (ou capacités thermiques molaires) du gaz parfait à pression et volume constants.

Rappel :

L’énergie interne d’un gaz parfait ne dépend que de la température dU = m.cv.dT (ou n.Cvm.dT) L’enthalpie d’un gaz parfait ne dépend que de la température dH = m.cp.dT (ou n.Cpm.dT) D’autre part H(T) = U(T) + PV = U(T) + nRT  nR

dT dU dT

dH= +

Les capacités calorifiques ont pour expressions :

dT mc dH

C_p = _p = et

dT mc dU

C_v = _v = . d’où la relation de Mayer : Cp – Cv = nR (ou mr)

Avec =  C C

v

p on obtient :

1 - C_p= nR et

1 - C_v nR

= , Pour une mole de gaz :

1 - C

_pm

R



= 

et

1 - C_vm R

= Pour l’unité de masse :

1 - c_p=r et

1 - c_v =r

- le long de l’isobare AB : P(V V)

1 ) - T T 1( - dT R C

Q _{B A 1 2 1}

T

T pm AB

B

A

 −

= 

 −

= 

=



^,

- le long de l’isochore BC : V(P P)

1 - ) 1 T T 1( - dT R C

Q _{C B 2 2 1}

T

T vm BC

C

B

 −

=

 −

=

=



^,

- le long de l’isobare CD : P(V V) 1

- - ) T T 1( - dT R C

Q _{D C 2 2 1}

T

T pm CD

D

C

 −

=

 −

=

=



^,

- le long de l’isochore DA : V(P P)

1 - - 1 ) T T 1( - dT R C

Q _{A D 1 2 1}

T

T vm DA

A

D

 −

=

 −

=

=



^.

La quantité de chaleur totale échangée =

i Qi

Q est alors :

Q = - (P2 – P1)(V2 – V1)

On a bien W = - Q, ce qui vérifie le principe de conservation d’énergie : (Q + W)cycle = 0.

Conclusion le premier principe est vérifié : U_cycle = 0.