Sur une intégrale double

(1)

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

G ÉRASSIME O RLOW Sur une intégrale double

Nouvelles annales de mathématiques 3^e série, tome 1 (1882), p. 311-318

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(2)

SUR UNE INTÉGRALE DOUBLE;

PAR M. GÉRISSIME ORLOW.

Dans un Mémoire intitulé : Sur une intégrale double [Annales de VÉcole Normale supérieure, t. VII, 1870), Didon montre que la valeur de l'intégrale double

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(^l)JJ (^l~^J;2— v~Y (i—zajc-ha*)²(i—2by+b²)²dxdy.

dans laquelle les variables x et y sont limitées par la condition x'2-\-y'2^i, ne dépend que du produit ab, dans le cas où [JL est un nombre entier positif quelconque et où a et b sont moindres que l'unité.

(3)

II déduit cette proposition des formules suivantes :

\ r r p- -

1 ' — x2;— r2) ^ i - a a - r + a ' )

1

X (i —2ÖY -ï- b2) P 2dx dy

ni =. «

;// - 0

**ff«-°*-yr->'**

X (i — ribi -h b2)-** dx dr

— _ _ _ s i | i j c e t / I

( / > — J ) î ^

où /? et m sont également des nombres entiers et posi- tifs.

JNous nous proposons de montrer que la proposition de Didon sur l'intégrale (i) subsiste aussi, dans le cas de [JL fractionnaire positif, et que les formules (2) que cet au- teur établit indépendamment l'une de l'autre ne sont que deux cas particuliers d'une même formule, que nous déduirons du développement de l'intégrale (1) en série.

Introduisant, au lieu de [x, un nouveau paramètre, en posant

nous aurons a^>—r-|-, eu égard à la condition pi^> o; et, en même temps, l'intégrale (1) devient

JJ(i — x

2

—y)~(i—*

Les résultats que nous avons en vue résultent de la considération de certaines fonctions <o/(.r, a), définies

(4)

( 3 i 3 ) par l'équation

(4) (i —iax-±-a-) 2 z= \ alo>i(jcy a),

où les valeurs numériques de a et x ne surpassent pas l'unité, et a est un paramètre tout à fait arbitraire. La fonction to^x, a) est un polynôme e n i , du degré /, qui se présente sous l'une des formes suivantes :

i <oz(.r, a )

( 5 ) 'j _ ( 3 a - M ) . . . ( ^ H r 2 / - i ) r / ( / - i ) , _ , 1

' - " " / ! L 2(23H-2/—I)⁴ " J *

i ^(tr--i)«^

(6) MXi%)^Ci-—— _ ,

où

Considérons d'abord l'intégrale définie

J ^

Au moyen de la formule ( 6 ) , on o b t i e n t

l / ^i — x')«w, ( .r, a) jr* dx

(9)

Mais si dans la formule élémentaire

ou

(5)

et

et observant que, aux limites x = — i et x = 4- i, la quantité 0 s'évanouit sous la condition a^> — i, on trou- vera l'égalité

(•o)

l

^U^{^{d ( r}^{. , dx}^{T Y}^dx' ⁺

d'où l'on tire, en faisant U = xP et p <^ /,

f

J- i

Ainsi, pour a^> — i, l'intégrale (8) se réduit à zéro, pour toute valeur entière et positive de l'exposant />, inférieure à /.

On en conclut que, ®(x) désignant un polynôme en- tier, on aura

r

⁺¹

/ (i —

( n ) / (i — J72)aw/(.r, a)cp(.r) dj?=zo,

toutes les fois que le degré du polynôme <p(x) est infé- rieur à /, et a > — i.

En supposant ƒ?> /, U z=xP, au moyen des formules (9) et (10), on obtient l'égalité

} dx

qui montre que l'intégrale ( 8 ) est encore nulle pour p > /, lorsque la différence p — / est un nombre impair.

(6)

Si la différence p — / est un nombre pair, la dernière intégrale s'exprimera au moyen de la fonction F, c'est-à- dire

\.r

.3.5...(/> —

i)(2a4-2/-h 3). . ,('>,a-h/•+-ƒ?+1) I\2a-h2/H-l)

En portant cette valeur trouvée de l'intégrale dans l'équation (12), et substituant à Ja constante ct sa valeur (7), on trouve, après quelques simplifications, la formule suivante :

x²)² io/(x, a) x^p dx (i4)

fT

2

Je considère en second lieu l'intégrale double

étendue aux valeurs des variables x et y telles que x2 -T~ J~ S i et je vais faire voir que, pour OL^> — £, cette intégrale est nulle, toutes les fois que les nombres / et p diffèrent entre eux. La proposition est évidente si l'un des nombres / et /?, ou tous deux à la fois, sont impairs. Il ne reste ainsi qu'à démontrer notre proposition dans le cas l •=. 2 m, p = 272} 77i et n sont des nombres entiers po- sitifs et inégaux. A cet effet, je me propose d'abord de déterminer la valeur de l'intégrale

06) j j (i-œi-y*)~^^m{xy*)y^dxdy,

dans laquelle les variables satisfont toujours à la con-

(7)

( 3i6 )

dition x2 +-y2< i. Si Ton introduit, au lieu de j , une nouvelle variable t, en posant y = tsji — x-, on aura

= 2 ( 1 — j ?2)a +- » f ( 1 — t2)

l'intégrale au second membre, sous la condition a ^> — | , s'exprime au moyen de la fonction F, de sorte que la seconde partie est égale à

T: 1 . 3 . 5 . . . (2/1 — 1) r ( 2 3 c H - O#

22" ï " +1 ( a - h i ) ( ö + 3 ) . . . ( a - h w) F- (a -+- i ) '

par conséquent Tintégrale (16) se reduit à

X ƒ (i

et par suite, d'après la formule (i i), elle est nulle, si n est inférieur à 77/, car [x-—i)n est un polynôme de degré in\ de plus, dans le cas 7i~m, on trouve, au moyen de la formule ( I 4 ) Î après des réductions faciles qu'elle se réduit à

, V m 1 . 3 . 5 . . . ( 2 7 7 1 — • i )

(2 a -\- 2 771 H- 1) {2 a -+- 2 m -\~ 3) . . . (2 a 4 - 4 m -+- 1)

On en conclut que, o{y) désignant un polynôme de degré in et a le coefficient de y 2n dans ce polynôme, 011 aura, pour n<im,

( ' 7 )

rr

J J i1

(8)

et pour 7i = m

*a 1 ( 1 8 )

Posant, dans (17), o (jr) = to2w (j , a), on trouve l'éga- lité

(19) / / (1— JC2— y-) 2 o>2m(^, 3 t ) a )2 r t( r , a ) ( i ^ d ) ' — o ,

qu'il s'agissait d'établir, et qui s'applique évidem- ment toutes les fois que les indices m et n sont iné- gaux, car alors THII des deux est toujours plus grand que l'autre.

Posant également, dans (18), o(yN)= to2m[J 5 a ) , et, eu égard à l'expression (5), on trouve l'égalité

2 a -h 4 /ft H-I

au moyen de laquelle on peut déterminer la valeur de l'intégrale cherchée (3). A cet eiïet, multipliant Y équa- tion précédente par (ab)^2m, puis donnant h m toutes les

\aleurs de m = o à m = 00 , et faisant la somme, on trouve, vu les équations (4) et (19), le résultat sui- vant :

dxdv

(20)

ce qui fait voir que la valeur de l'intégrale double (3) ne dépend que du produit ab, sous la seule condition

(9)

( 3 i 8 )

Chacune des formules (2) est un cas particulier de la formule générale (20). Effectivement, en premier lieu, donnant à a, dans la formule (20), une valeur entière, positive quelconque /?, on a évidemment la première des formules (2). En second lieu, faisant a = — dans la

\ / ;²

même formule (20), le second membre devient

wi=0

et la formule même se réduit à la seconde des formules (2).