A. Comparaison de suites

A. Comparaison de suites

Exercice I.

Déterminer un développement limité de 2un, nun, un+vn, unvn, u²_n, u³_n dans les cas suivants : 1. un= 5n²−3n+◦(n) et vn=n³−2n²+n+◦(n)

2. un=−n⁴+n²+ 5n+◦(n) et vn= 2n³−8n+ 5 +◦(1) 3. u_n=n²−2n+◦(n) et v_n= 2− 3

n+◦ 1

n

4. un= 1 + 1 n− 1

n² +◦ 1

n²

et vn= 1− 1 n² + 2

n³ +◦ 1

n³

5. un= 2− 1 n+ 1

n³ +◦ 1

n³

et vn=−1 + 2 n+ 2

n³ − 1 n⁴ +◦

1 n⁴

Exercice II.

En s’aidant notamment d’équivalents simples (en+∞), déterminer la limite de la suite(un)n∈N, lorsque : 1. u_n= (n+ 1)^p−n^p, où p∈N

2. u_n= (n+ 1)^p−(n−2)^p, où p∈N 3. u_n=√

n²+ 1−n 4. un= 2n−ln(n) 5. un= ln(n²−2n) 6. un=n²

eⁿ¹ −1

7. u_n=e^ne

1n

8. u_n= 1

n−1 − 1 n+ 1 9. un=√

n+ 1−√ n−1 10. un= ln(n+ 1)−ln(n) 11. un=eⁿ⁺¹−eⁿ

12. u_n= n²−1

√

n⁵+n−13

13. u_n= n²(ln(n+ 1)−ln(n))

√ n²+ 1

14. un= bⁿ−aⁿ

bⁿ+aⁿ, où 0< a < b 15. un=

1− 1

n n

16. un=

1 + 1 n²

√n

17. un=

1 + 2 n

n²

18. u_n= (3n−4) ln

n+ 1 n+ 3

19. u_n=nln

2−eⁿ¹

Exercice III.

Les affirmations suivantes sont-elles vraies ? Les justifier ou les modifier suivant le cas.

1. Si les suitesuetvsont équivalentes, et siuest monotone, alorsvest monotone.

2. Siuconverge vers un réel non nul, on au_n+1 ∼u_n. 3. Siuconverge vers0, on au_n+1∼u_n.

4. Siudiverge, on au_n+1∼u_n. Exercice IV.

Soit(u_n)n∈Net(v_n)n∈Ndeux suites telles queu_n∼v_n. 1. Montrer que |u_n| ∼ |v_n|, u²_n∼v_n².

2. Montrer que si elles sont positives à partir d’un certain rang, √

un∼√ vn.

3. A-t-on e^un ∼e^vn?ln(un)∼ln(vn)? Lorsque la réponse est non, trouver un contre-exemple.

Exercice V.

Montrer que pourk∈Nfixé, on a n

k

+∞∼ n^k

k!. Exercice VI.

Soitq >1. Montrer que qⁿ=◦(n!) en :

1. considérant une série usuelle 2. scindant les produits en2au niveau debqc. Exercice VII.

Montrer que ∀q∈]−1; 1[, ∀k∈N, n^kqⁿ=◦ 1

n²

. Exercice VIII.

1. Soitx >0. Donner un encadrement, pour toutn∈N^∗, deS_n=

n

X

k=1

bkxc. 2. En déduire un équivalent simple deS_n.

Exercice IX.

Utiliser la formule de Stirling, n!∼√

2πn nⁿe⁻ⁿ, pour déterminer un équivalent des suites suivantes : 1. u_n= 4ⁿ(n!)²

(2n+ 1)!

2. un= 2n

n

Exercice X.

Soit(u_n)n∈Nune suite vérifiant ∀n∈N, 1

n+ 1− 1

n² 6u_n6 1 n+ 2

n²

Donner la limite de(un)n∈Nainsi qu’un équivalent simple de(un)n∈Nau voisinage de+∞.

Exercice XI.

Soit(u_n)la suite définie par u₀= 1 et ∀n∈N, u_n+1 =√

n+u_n. 1. Montrer que, pourn∈N^∗,u_nest bien définie et 06u_n6√

2n.

2. En déduire que un∼√ n.

3. Montrer que un=√ n+1

2 +◦(1).

Exercice XII.

On considère la suite(un)n∈Ndéfinie par u0 = 1 et ∀n∈N, un+1 = 1 + un

n+ 1. 1. a. Montrer que ∀n∈N, 16u_n62.

b. En déduire la limite de la suite.

2. a. Déterminer un équivalent deu_n−1.

b. En déduire un réelatel que un= 1 + a n+◦

1 n

.

B. Suites implicites

Exercice XIII.

On définit surR+la fonctionf par f(x) =x+ ln(x).

1. Dresser le tableau de variations def.

2. Montrer que l’équationf(x) =na une unique solution dansR+. On la noteun. 3. Montrer que la suite(u_n)n∈Nest croissante.

4. Montrer que ∀n∈N^∗, u_n>n−ln(n), puis que(u_n)n∈Ndiverge vers+∞, et que u_n∼n.

Exercice XIV.

Pourn∈N, on considère les fonctionsf_ndéfinies surRpar f_n(x) =xⁿ+x−1.

1. Démontrer que l’équationf_n(x) = 0admet une uniquesolutionx_n∈]0,1[.

2. Démontrer que ∀n∈N, f_n+1(x_n)< f_n+1(x_n+1).

3. En déduire que ∀n∈N, x_n< x_n+1.

4. Démontrer que(x_n)n∈Nconverge et que sa limite`vérifie 0< `61.

5. Démontrer que ∀n∈N, x_n6`.

6. En procédant par l’absurde, montrer que`= 1.

Exercice XV.

On note(E_n)l’équation(E_n) : x³

x²+ 1 =n.

1. Montrer que pour tout entiern∈N^∗, l’équation(E_n)possède une unique solution, notéex_n, surR^∗+. 2. Quelle est la monotonie de la suite(x_n)n∈N^∗?

3. Montrer que ∀n∈N^∗, n6x_n6n+ 1.

4. En déduire la limite des suites(x_n)n∈N^∗etxn

n

n∈N^∗

, puis donner un équivalent dex_n. Exercice XVI.

On considère la fonctionf(x) =e^x+x.

1. Montrer quef réalise une bijection deR+sur un intervalle à expliciter.

2. Justifier que pour tout entiern∈N^∗, l’équationf(x) =npossède une unique solutionx_n. 3. Quelle est la monotonie de la suite(xn)n∈N^∗.

4. Démontrer que∀n>1, ln(n−lnn)6xn6lnn.

5. En déduire la limite de la suite(xn)n∈N^∗, puis un équivalent deun.

C. Suites récurrentes

Exercice XVII.

Déterminer le terme général des suites définies par : 1. ∀n∈N, un+1= 3un−4 et u0=−2

2. ∀n∈N^∗, un+1=−1 4un+ 2

3 et u1= 0 3. ∀n∈N^∗, un= un−1

2 + 3 et u0 = 5

4. ∀n∈N, un+2−6un+1+ 9un= 0 avec u0 = 1 et u1 = 2 5. ∀n∈N, 2u_n+2=u_n−u_n+1 avec u₁ =u₂ = 1

6. ∀n∈N^∗, u_n+1=u_n+ 4un−1 avec u₀ = 1 et u₁ =−3

Exercice XVIII.

Soit(un)n∈Nla suite définie par u0 = 1, u1= 2, et un+2= 1

3un+1+1

5un pourn∈N.

1. Détermineru_nen fonction den.

2. Montrer que la série X

n∈N

u_n est convergente et calculer sa somme en utilisant la relation de récurrence définissant la suite.

Exercice XIX.

Soit(un)n∈Nla suite définie par ∀n∈N, un+1=−5u_n+ 3ⁿ, et de premier termeu0quelconque.

Pour expliciter le terme général de cette suite, on pose ∀n∈N, v_n= u_n 3ⁿ. 1. Vérifier que(v_n)n∈Nest arithmético-géométrique.

2. En déduire l’expression dev_nen fonction denpuis celle deu_n. Exercice XX.

Soit la suite(un)n∈Nvérifiant ∀n∈N, un+1=√

eun, avecu0 >0.

1. Montrer que ∀n∈N, un>0.

On introduit la suite intermédiaire(tn)n∈Ndéfinie par ∀n∈N, tn= lnun. 2. Justifier que la suite(t_n)n∈Nest arithmético-géométrique.

3. En déduire l’expression det_nen fonction denett₀ puis deu_nen fonction denetu₀. 4. En déduire la convergence de la suite(u_n)n∈Net donner sa limite.

Exercice XXI.

Soit(un)n∈Nla suite vérifiant la relation ∀n∈N, un+2 =√

unun+1 avec u0 >0 et u1 >0.

1. Montrer que ∀n∈N, un>0.

On considère alors la suite(wn)n∈Ndéfinie par ∀n∈N, wn= lnun.

2. Montrer que la suite(w_n)n∈Nest récurrente linéaire d’ordre2à coefficients constants.

3. Expliciterw_nen fonction den,w₁,w₀, puis en déduireu_nen fonction den,u₁,u₀. 4. Calculer alors lim

n→+∞u_n en fonction deu₀etu₁. Exercice XXII.

Déterminer la valeur exacte des nombres x= q

2 +p 2 +√

2 +... et y= q

3 +p 3 +√

3 +....

(On pourra montrer quexetysatisfont à des équations du second degré) Exercice XXIII.

Soit le réelx= 1,11111...On peut considérerxcomme la limite de la suite(xn)n∈N, avecxn= 1,111...1constitué denuns après la virgule.

1. Trouver deux réelsaetbtels quex_n+1 =ax_n+b.

2. En déduire la valeur exacte dexsous forme d’une fraction irréductible.

3. Raisonner à l’identique pour trouver la valeur exacte fractionnaire dey= 7,813813813813...

Exercice XXIV.

Partie A.

Soit les suites(un)n∈Net(vn)n∈Ndéfinies par récurrence par : u0 = 3, v0 =−2 et, pourn∈N,

( u_n+1 = 2u_n+v_n v_n+1 =u_n+ 2v_n .

1. Trouver une matriceM carrée d’ordre2telle que ∀n∈N, u_n+1 v_n+1

!

=M u_n v_n

! .

2. Vérifier que ∀n∈N, u_n vn

!

=Mⁿ u₀ v0

! . Partie B.

SoitM = 2 1 1 2

!

, J = 1 1

1 1

!

et I =I₂. 1. CalculerJ², et pourk∈N^∗, calculerJ^k. 2. Trouveraetbréels tels queM =aI+bJ.

3. Vérifier que Mⁿ= 1

2(3ⁿ−1)J+I. (par récurrence, ou avec la formule du binôme) 4. En déduireu_netv_nen fonction den.

Exercice XXV.

Etudier les suites suivantes, selon la valeur de leur premier termeu0. 1. méthode classique :

( un+1=un−u²_n u0 ∈R







un+1 = un+u³_n 2 u₀>0







un+1 = 1 + 2 u_n u0>0

( un+1= (un−1)³+ 1 u0∈R

2. TAF :

( un+1=e^−u2n u₀ ∈R







un+1= 1 u_n+ 1 u0 >0







u_n+1 = 1 1 +u⁴_n u0∈R







un+1= 1

2(un+ 2 u_n) u0 >0

3. plus difficile :







u_n+1 = e^−un n+ 1 u₀ ∈R







u_n+1=u_n+ 1 un

−1 u₀>0







u_n+1=u²_n+ 2 un

u₀ >1

( u_n+1= ln(1 +u_n) u0 >0

Exercice XXVI.

On considère la fonctionf définie surR^∗+par f(x) =x+ 1 x.

On définit alors la suite(un)n∈Npar u0 = 1, et, pourn∈N, un+1 =f(un).

1. Vérifier que la suite(un)n∈Nest à termes positifs.

2. Etudier les variations de(u_n)n∈N.

3. Déterminer les éventuels points fixes def.

4. En déduire la limite de la suite(un)n∈N.

Exercice XXVII.

Soit(un)n∈Nla suite définie par son premier termeu0>1et la relationun+1=u²_n+ 2 un

. 1. Montrer :∀n∈N, unest bien définie et un>1.

2. Quel est le sens de variation de(u_n)?

3. Montrer par l’absurde que la suite(u_n)n’est pas convergente.

Exercice XXVIII.

On considère la fonctionf définie surRpar f(x) = e^x e^2x+ 1.

On définit alors la suite(u_n)n∈Npar u₀ = 0, et, pourn∈N, u_n+1 =f(u_n).

1. a. Etudier les variations def surR.

b. Montrer quef admet un unique point fixeα∈

0;1 2

. c. Montrer que ∀x∈R+, |f⁰(x)|6f(x)6 1

2. 2. a. Montrer que ∀n∈N, un∈

0;1

2

. b. Montrer que ∀n∈N, |u_n+1−α|6 1

2|u_n−α|. c. En déduire que ∀n∈N, |u_n−α|6 1

2ⁿ⁺¹.

d. Conclure quant à la convergence de la suite(u_n)n∈N. Exercice XXIX.

On considère la fonctionf définie surR^∗₊par f(x) = 1 + 2 x.

On définit alors la suite(u_n)n∈Npar u₀ = 1, et, pourn∈N, u_n+1 =f(u_n).

1. Montrer que la suite(u_n)n∈Nest bien définie.

2. Déterminer les limites possibles pour(un)n∈N.

3. Montrer que(u_2n)n∈Nest croissante majorée par2, et que(u_2n+1)n∈Nest décroissante minorée par2.

4. Conclure quant à la convergence de la suite(u_n)n∈N. Exercice XXX.

1. Montrer que l’équationx= 2−2e^−xadmet une unique solutionr >0. Vérifier que l’on a :16r62.

2. On considère la suite u définie par :u0= 1et∀n∈N, un+1= 2−2e^−un On introduit également la fonctionf définie surRpar :f(x) = 2−2e^−x.

a. Justifier que[1, r]est stable parf et déterminer le signe def(x)−xsur[1, r].

b. Montrer que∀n∈N, un∈[1, r]et donner la monotonie deu.

c. Justifier que la suiteuconverge versr.

3. a. A l’aide de l’inégalité des accroissements finis, montrer que l’on a :

∀n∈N, |u_n+1−r|6 2

e|u_n−r|puis que|u_n−r|6 2

e n

. b. Comment choisirnpour que|u_n−r|610⁻⁹?

A l’aide d’un tableur, donner une valeur approchée à10⁻⁹près der.

Exercice XXXI.

On souhaite déterminer le nombre de solutions à l’équation(E) :x³−3x+ 1 = 0 ainsi qu’une valeur approchée d’une des racines.

1. Montrer que l’équation(E)admet trois solutions réellesα, β etγtelles queα <−1< β <1< γ.

2. Obtention d’approximation deβ.

a. Justifier queβ∈[0,1

2]et montrer queβest aussi solution de l’équation x³+ 1 3 =x.

b. On introduit la fonctiongdéfinie surRpar :∀x∈R, g(x) = x³+ 1 3 . Montrer que l’intervalle[0,1

2]est stable parget que∀x∈[0,1

2], |g⁰(x)|6 1 4. On considère alors la suiteudéfinie paru0 = 0et∀n∈N, un+1 =g(un).

c. Montrer que∀n∈N, u_n∈[0,1 2].

d. Justifier que∀n∈N, |u_n+1−β|6 1

4|u_n−β|puis que|u_n−β|6 1 4ⁿ ×1

2. e. Pour quelles valeurs denest-on certain que|u_n−β|610⁻⁹?

En déduire une valeur approchée à10⁻⁹près deβ.

Exercice XXXII.

Soitf : [0; +∞[ −→ R

x 7−→ xln (1 +x) .

On considère la suite(un)n∈Ndéfinie paru0 ∈]0; +∞[et, pour toutndeN,un+1=f(un).

1. a. Montrer quef est de classeC²sur[0; +∞[et calculer, pour toutxde[0; +∞[,f⁰(x)etf⁰⁰(x).

b. étudier les variations def⁰, puis celles def.

c. Etudier la branche infinie defainsi que sa convexité.

d. Tracer la courbe représentative def dans un repère orthonormé.

2. Résoudre l’équationf(x) =x, d’inconnuex∈[0; +∞[.

3. On suppose dans cette question que u0∈]e−1; +∞[.

a. Montrer que ∀n∈N, e−1< u_n6u_n+1.

b. En déduire queu_ntend vers+∞lorsquentend vers+∞.

4. On suppose, dans cette question :u₀ ∈]0;e−1[. étudier la convergence de(u_n)n∈N.

D. Divers

Exercice XXXIII.

On rappelle que ∀x∈]−1,+∞[, ln(1 +x)6x. Soita∈]0,1[. Pourn∈Non poseun=

n

Y

k=0

(1 +a^k).

1. Montrer que la suite(u_n)est croissante.

2. Montrer que la suite(ln(u_n))est majorée.

3. En déduire la convergence de la suite(un). (la limite est un produit infini....)

Sujets récents

Exercice XXXIV. (EML 2020)

On considère la fonctionf définie sur]0,1[par f(x) =ln(1−x) ln(x) . Partie A : Étude de la fonctionf

1. Montrer quef est dérivable sur]0,1[et que l’on a :

∀x∈]0,1[, f⁰(x) = 1

x(1−x) ln(x)2 −xln(x)−(1−x) ln(1−x) . 2. a. Justifier que ∀t∈]0,1[, tln(t)<0.

b. En déduire que la fonctionf est strictement croissante sur]0,1[.

3. a. Montrer que la fonctionfest prolongeable par continuité en0.

On note encoref la fonction ainsi prolongée en0. Préciserf(0).

b. Montrer quef est dérivable en0et préciserf⁰(0).

4. Calculer la limite def en1. Que peut-on en déduire pour la courbe représentative def?

5. Tracer l’allure de la courbe représentative defdans un repère orthonormé, en faisant figurer la tangente en0et les branches infinies éventuelles.

Partie B : Étude d’une suite

On note, pour toutndeN^∗,(En)l’équation :xⁿ+x−1 = 0.

6. Soitn∈N^∗. Étudier les variations surR+de la fonctionx7→xⁿ+x−1.

En déduire que l’équation(E_n)admet une unique solution surR+que l’on noteu_n. 7. Montrer que, pour toutndeN^∗,u_nappartient à l’intervalle]0,1[.

8. Détermineru1etu2.

9. a. Recopier et compléter la fonction Scilab suivante afin que, prenant en argument un entierndeN^∗, elle renvoie une valeur approchée deu_nà10⁻³près, obtenue à l’aide de la méthode par dichotomie.

function u=valeur_approchee(n) a = 0

b = 1 while ...

c = (a + b) / 2

if (c ˆ n + c - 1) > 0 then ...

else ...

end u = ...

end endfunction

b. On représente alors les premiers termes de la suite(u_n)n∈N^∗et on obtient le graphe suivant.

Quelles conjectures peut-on faire sur la suite(u_n)n∈N^∗concernant sa monotonie, sa convergence et son éventuelle limite ?

10. a. Montrer, pour toutndeN^∗:f(u_n) =n.

b. En déduire que la suite(un)n∈N^∗ est croissante.

c. Montrer que la suite(u_n)n∈N^∗converge et préciser sa limite.

Exercice XXXV. (EML 2018)

Dans tout cet exercice,f désigne la fonction définie sur]0,+∞[par ∀x∈]0,+∞[, f(x) =x−ln(x).

Partie I : étude de la fonctionf

1. Dresser le tableau de variations def en précisant ses limites en 0 et en+∞.

2. Montrer que l’équation f(x) = 2, d’inconnuex ∈]0,+∞[, admet exactement deux solutions, que l’on noteaetb, telles que0< a <1< b.

3. Montrer :b∈[2; 4]. On noteln(2)≈0,7.

Partie II : étude d’une suite

On pose :u0= 4 et ∀n∈N, un+1= ln(un) + 2.

1. Montrer que la suite(u_n)n∈Nest bien définie et que l’on a ∀n∈N, u_n∈[b,+∞[.

2. Déterminer la monotonie de la suite(un)n∈N. En déduire qu’elle converge et préciser sa limite.

3. a. Montrer que ∀n∈N, u_n+1−b6 1

2(u_n−b).

b. En déduire que ∀n∈N,06u_n−b6 1 2ⁿ⁻¹.

4. a. écrire une fonction Scilab d’en-têtefunction u = suite(n), qui, prenant en argument un entiern∈N, renvoie la valeur deun.

b. Recopier et compléter la ligne 3 de la fonction Scilab suivante afin que, prenant en argument un réel ε >0, elle renvoie une valeur approchée debàεprès.

Exercice XXXVI. (Ecricome 2012) Partie I. Etude d’une fonctionf.

On considère la fonction définie surR+par f(x) =







1−e^−x

x six >0

1 six= 0

1. Ecrire le développement limité def(x)l’ordre 1, au voisinage de0.

En déduire quef est continue sur[0; +∞[.

2. Montrer quef est dérivable en0et donner la valeur def⁰(0).

3. Justifier la dérivabilité defsur]0; +∞[puis déterminer la fonctionϕtelle que ∀x >0, f⁰(x) = ϕ(x) x² . 4. Etudier les variations deϕ.

5. En déduire le tableau de variationf, et le compléter par lim

x→+∞f(x).

Partie II. Etude d’une suite.

On introduit la suite(u_n)n∈N^∗ définie par ∀n∈N^∗, u_n= Z n

0

e^−t/n 1 +tdt.

1. Démontrer que ∀n∈N^∗, un> 1

eln(n+ 1).

2. Donner la limite de la suite(u_n)n∈N^∗. 3. Prouver l’existence de l’intégrale

Z 1 0

f(x)dx.

4. Utiliser un changement de variable affine pour montrer que, pour tout entier naturelnnon nul : 06

Z n 0

1

1 +tdt−un6 Z 1

0

f(x)dx

5. Donner alors un équivalent simple deu_nlorsquentend vers+∞. Exercice XXXVII. (EDHEC 2008)

Pour tout entier naturelnnon nul, on définit la fonctionf„ par :∀x∈R, f_n(x) = 1

1 +e^x +n x.

On appelle(C_n)sa courbe représentative dans un repère orthonormé

O,~i,~j

d’unité 5 cm.

1. a. Déterminer, pour tout réelx,f_n⁰ (x)etf⁰⁰(x).

b. En déduire que la fonctionfnest strictement croissante surR. 2. a. Calculer lim

x→−∞fn(x)ainsi que lim

x→−∞fn(x).

b. Montrer que les droites(Dn)et(D_n⁰)d’équationsy=nxety =nx+ 1sont asymptotes de(Cn).

c. Déterminer les coordonnées du seul point d’inflexion, notéA_nde(C_n).

d. Donner l’équation de la tangente(T₁) à la courbe(C₁) enA₁, puis tracer sur un même dessin les droites(D1),(D₁⁰)et(T1)ainsi que l’allure de la courbe(C1).

3. a. Montrer que l’équationfn(x) = 0possède une seule solution surR, notéeun. b. Montrer que l’on a :∀n∈N^∗, −1

n < un<0.

c. En déduire la limite de la suite(u_n).

d. En revenant à la définition deun, montrer queun ∼

n→+∞

−1 2n.

Exercice XXXVIII. (Ecricome 2005) Soit, ∀n∈N, In=

Z 1 0

(1−x)ⁿe^−2xdx.

On se propose de montrer qu’il existe des réelsa,betctels que l’on ait In =

+∞a+ b n+ c

n² +o 1

n²

. 1. CalculerI0etI1.

2. Etudier la monotonie de la suite(In)n∈N.

3. Pourn∈N, déterminer le signe deIn. Que peut-on en déduire ? 4. Montrer que ∀n∈N, 06In6 1

n+ 1. En déduire la limite de la suite(In)n∈N. 5. Montrer que ∀n∈N, 2I_n+1 = 1−(n+ 1)I_n.

6. En déduire lim

n→+∞nI_n. 7. Déterminer lim

n→+∞[n(nI_n−1)].

8. En déduire les valeurs dea,betc.

Exercice XXXIX. (EDHEC 2004)

Soitn∈N^∗. On notef_nla fonction définie surRpar f_n(x) =x e^−nx, six6= 0, et f_n(0) = 0.

On noteC_nla courbe représentative def_ndans un repère orthonormé

O,~i,~j . 1. a. Montrer quef_nest continue à droite en 0.

b. Montrer quefnest dérivable à droite en 0 et donner la valeur du nombre dérivé à droite en 0 defn. 2. a. Montrer quefnest dérivable sur]−∞,0[et sur]0,+∞[. Pour tout réelxnon nul, calculerf_n⁰(x)puis

étudier son signe.

b. Calculer les limites defnen+∞,−∞et0⁻, puis donner le tableau de variations defn. 3. a. Rappeler le développement limité à l’ordre 2 dee^u lorsqueuest au voisinage de 0.

b. En déduire que, lorsquexest au voisinage de+∞ou de−∞, on a fn(x) =x−n+n² 2x +o

1 x

c. En déduire qu’au voisinage de+∞et de−∞, C_nadmet une asymptote obliqueDndont on donnera une équation. Préciser la position relative deD_netC_naux voisinages de+∞et de−∞

d. Donner l’allure de la courbe(C1).

4. a. Montrer qu’il existe un unique réel, que l’on noterau_n, tel quef_n(u_n) = 1.

b. Vérifier que ∀n∈N^∗, u_n>1, et queu_nest solution de l’équation x ln (x) =n.

c. Etudier la fonctiongdéfinie sur[1,+∞[parg(x) =x ln (x).

En déduire, en utilisant la fonctiong⁻¹, que lim

n→+∞un= +∞.

d. Justifier la relationln (un) + ln (ln (un)) = ln (n), puis montrer queln (un)_+∞∼ ln (n).

En déduire un équivalent deunlorsquenest au voisinage de+∞. 5. a. Montrer que la suite(un)_n>1est strictement croissante.

b. Montrer quef_n(u_n+1) =e

1 un+1. 6. On poseI_n=

Z un+1

un

f_n(t)dt.

a. Montrer que :16 I_n

u_n+1−u_n 6e

1 un+1.

b. En déduire un équivalent deInlorsquenest au voisinage de+∞.

c. Montrer alors que la série de terme généralInest divergente.