Vendredi 29 janvier 2021
Lycée Edouard Branly
Gabrielle WIDEHEN, Tristan RONDEAU, Tom VARLET, Nelly TINTILLIER
Présentent
Graines de physiciens
“ C'est simple et efficace avec beaucoup de rebondissements et on ne s'ennuie pas un seul moment.” - Harlan Coben
Encadrés par Olivier BURIDANT et Didier SORET
Résumé
La chute étant dans le programme de terminale, nous avons par la suite décidé de nous intéresser à travers le rebond des balles.
Grâce à la collaboration de Décathlon nous avons pu étudier les paramètres de chute de différents types de balles. Après de multiples lancers nous avons pu par la suite déterminer la vitesse de chute et son coefficient de restitution lors de
l’impact. Nous avons utilisé des méthodes différentes et montré ‘influence de divers paramètres.Nous nous sommes ensuite intéressés
à l’impact de graineset nous avons observé un phénomène curieux que nous
essayons d’analyser et expliquer avec ce que nous avons appris lors de la réalisation de ce projet.Table des matières
Résumé ... 2
Introduction ... 3
Etude de la chute des corps ... 4
La chute libre ... 4
Cas où la bille n’est pas massive ... 5
Cas ou les frottements ne sont pas négligeables ... 6
Détermination de la vitesse à partir de vidéos ... 8
Coefficient de restitution et temps de rebonds ... 11
Analyse acoustique des rebonds ... 13
Influence de la masse sur les rebonds ... 15
Influence de la masse d’une bille sur son coefficient de restitution ... 15
Approche théorique ... 15
Approche par simulation ... 15
Aspect expérimental ... 15
Les graines ... 17
Des tests macroscopiques à l’analyse des chocs ... 17
Mesures du coefficient de restitution ... 17
Un comportement collectif des graines ... 18
Conclusion ... 20
Annexes... 21
Partenaires ... 22
Annexe 1 : Comment mesurer une vitesse ... 23
Méthode Arduino ... 23
La chronophotographie ... 23
Annexe 2 : Caractéristiques des graines ... 24
Remerciements ... 27
Les Olympiades vues par Tom ... 28
Les Olympiades vues par Gabrielle ... 28
Les Olympiades vues par Tristan ... 29
Les Olympiades vues par Nelly ... 30
Introduction
Le rebond est une chose qui réside en chaque objet lorsqu’il chute. C’est une chose dont nous sommes témoins tous les jours mais savons-nous réellement bien l’expliquer ? La Physique nous sert à expliquer le monde qui nous entoure, alors utilisons là ! Nous avons donc décidé de nous plonger dans ce phénomène aussi intéressant que rebondissant.
Cependant en ce début d’année scolaire, dans le contexte du confinement à venir, le lycée est nettoyé régulièrement de fond en comble. Aussi, pour éviter que notre boulet, symbole de la TS2 et des olympiades de physique du lycée Édouard Branly, ne soit relégué au statut d'objet potentiellement contaminé à risque et donc à détruire ; nous avons décidé de le mettre au vert, chez nous, à la campagne.
Tout comme Newton, qui, durant une période de confinement en 1666 suite à l’épidémie de peste ravageant Londres, mettra au point ses plus grandes théories, nous avons mené nos expériences et étudié de notre côté le bond et le rebond
!
Nous savons que de nombreuses lois régissent des bonds et des rebonds. L’entité rebondit sur différentes matières et est constituée de différents matériaux. Selon ces lois les coordonnées ainsi que la manière dont se comporte le rebond seront différentes.
Nous nous sommes alors demandé quels paramètres mènent à une telle diversité entre les chocs de matière.
Notre aventure a tout simplement commencé par des tests en batterie. La physique sait se montrer amusante lorsqu’il est question de rebond ! Nous allons donc tout d’abord commencer par vous parler de la vitesse de chute, en allant des expériences aux différentes mesures qui passent par la vidéo, mais aussi de l'acoustique et des paramètres qui influencent les résultats. Enfin nous vous exposerons nos expériences avec les graines ainsi que l’influence de leur masse sur les rebonds qu’elles effectuent.
Nous avons surmonté les difficultés liées aux conditions sanitaires et météorologiques mais nous ne nous sommes pas
arrêtés au premier coup de vent.
Le mythique boulet de la TS2
Etude de la chute des corps
Newton dans Principes mathématiques de la philosophie naturelle, dont notre professeur nous a confié une réédition de la traduction de la Marquise Émilie du CHÂTELET, étudie le coefficient de restitution par des chocs entre des pendules. Nous avons très vite compris pourquoi le pendule de NEWTON ne comporte que des billes avec des doubles attaches : c’est plus facile pour viser.
Notre pendule de NEWTON
Dans son livre, il parle de pendule d’une longueur de près de 4 mètres, nous avons un temps imaginé de suivre ses pas. Mais marcher dans les pas d’un géant n’est pas simple : l’étude des chocs dans ce cas est très complexe. Nous avons choisi de nous rabattre vers des choses plus accessibles : la chute de balles et leurs rebonds.
Peut-on prévoir de manière efficace la vitesse lors d’une chute ou d’un rebond ? Penchons-nous sur la théorie du cours de terminale.
Après tout notre boulet n’est présent dans notre salle de physique que pour l’étude de sa trajectoire.
La chute libre
Un corps est en chute libre s’il n’est soumis qu’à une seule force, son poids 𝑃 ⃗⃗⃗⃗ . Procédons à une étude :
Système : {une bille de masse m}
Référentiel : labo, repère O, 𝑖⃗ vertical vers le bas (l’origine O la position initiale de la bille lâchée sans vitesse initiale) Origine des dates = lâcher de la bille
Schéma :
D’après la seconde loi de Newton : Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces appliquée au système est égale au produit de sa masse par le vecteur accélération de son centre d’inertie G.
∑ 𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑚 𝑎𝑒𝑥𝑡 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐺
Ici nous n’avons qu’une seule force, le poids 𝑃
⃗⃗⃗⃗⃗⃗, vertical
𝑃 ⃗⃗⃗⃗ = 𝑚 𝑎⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐺 En mettant le vecteur unitaire 𝑖
𝑃 𝑖 ⃗⃗⃗ = 𝑚 𝑎𝐺 𝑖 ⃗⃗⃗
On simplifie
O 𝑖 ⃗⃗⃗
𝑃 ⃗⃗⃗⃗
G
𝑣
⃗⃗⃗⃗
x
𝑃 = 𝑚 𝑎𝐺
Or P= mg
𝑚𝑔 = 𝑚 𝑎𝐺 D’où (en supposant l’égalité de la masse grave et de la masse inertielle
𝑎𝐺= 𝑔 Par intégration
𝑣𝐺 = 𝑔𝑡 + 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑣𝐺= 𝑔𝑡 + 𝑣0𝑥
𝑣𝐺= 𝑔𝑡 Pour connaitre la position on intègre une seconde fois
𝑥𝐺=1
2𝑔𝑡2+ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 2 𝑥 =1
2𝑔𝑡2+ 𝑥0 𝑥𝐺=1
2𝑔𝑡2
L’équation horaire est une parabole du temps, la trajectoire est une droite, le mouvement est uniformément accéléré, la vitesse croît proportionnellement au temps. Dans ce cas il nous semble aisé de pouvoir accéder à toutes les données du bond et rebond.
Cas où la bille n’est pas massive
Lorsque la bille n’est pas dense une force supplémentaire doit être prise en considération : la poussée d’Archimède.
Tout corps immergé dans un fluide subit de par celui-ci une force verticale vers le haut égale au poids du fluide déplacé.
π = 𝑚′𝑔
m’ est la masse de fluide déplacé, elle vaut si l’objet a un volume V et se meut dans un fluide de masse volumique ρf
𝜋 = 𝑚′𝑔 = 𝜌𝑓 𝑉𝑔 En gardant le même système et le même référentiel le schéma devient
En appliquant la relation fondamentale de la dynamique
∑ 𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑚 𝑎𝑒𝑥𝑡 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐺
𝑃 ⃗⃗⃗⃗ + 𝜋 ⃗⃗⃗⃗ = 𝑚 𝑎⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐺 Soit avec le vecteur unitaire
𝑃 𝑖 ⃗⃗⃗ − 𝜋 𝑖 ⃗⃗⃗ = 𝑚 𝑎𝐺 𝑖 ⃗⃗⃗
Car la poussée d’Archimède est dans un sens opposé à 𝑖 ⃗⃗⃗ .Puis en simplifiant 𝑃 − 𝜋 = 𝑚 𝑎𝐺 𝑚𝑔 − 𝑚′𝑔 = 𝑚 𝑎𝐺 Soit
𝑎𝐺= 𝑚 − 𝑚′
𝑚 𝑔
En remarquant que la masse du solide est le produit de sa masse volumique par son volume (celui du fluide déplacé) 𝑎𝐺 = 𝜌𝑠− 𝜌𝑙
𝜌𝑠 𝑔 Il vient assez simplement=
𝑣𝐺= ( 𝜌𝑠− 𝜌𝑙
𝜌𝑠 ) 𝑔𝑡 𝑥𝐺 =1
2( 𝜌𝑠− 𝜌𝑙 𝜌𝑠 ) 𝑔𝑡2 O 𝑖 ⃗⃗⃗
𝑃 ⃗⃗⃗⃗
G
𝑣
⃗⃗⃗⃗
x
𝜋⃗⃗⃗⃗
Les courbes horaires ont la même allure, on peut encore prédire si on connait les masses volumiques.
Cas ou les frottements ne sont pas négligeables
Dans la réalité il y a toujours des forces de frottements liées à l’air. Elles sont toujours opposées au mouvement et on peut écrire que 𝑓 ⃗⃗⃗⃗ = −𝑘 𝑣 ⃗⃗⃗⃗ 𝑛
• k est un facteur dépendant de la géométrie de l’objet
• n est un exposant qui vaut 1 pour les mouvements lents et 2 pour les mouvements rapides (le fameux carré des formules de freinage du Code de la Route) , dans la pratique le plus souvent 1 n 2
Notre schéma doit encore être modifié
En appliquant le théorème du centre d’inertie :
∑ 𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑚 𝑎𝑒𝑥𝑡 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐺
𝑃 ⃗⃗⃗⃗ + 𝜋 ⃗⃗⃗⃗ + 𝑓 ⃗⃗⃗⃗ = 𝑚 𝑎⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐺 𝑃 𝑖 ⃗⃗⃗ − 𝜋 𝑖 ⃗⃗⃗ − 𝑓 𝑖 ⃗⃗⃗ = 𝑚𝑎𝐺 𝑖 ⃗⃗⃗
𝑚𝑔 − 𝑚′𝑔 − 𝑘𝑣𝑛= 𝑚𝑎𝐺 𝑚𝑎𝐺+ 𝑘𝑣𝑛= 𝑚𝑔 − 𝑚′𝑔
𝑎𝐺+ 𝑘
𝑚𝑣𝑛= 𝑚 − 𝑚′
𝑚 𝑔
Or
𝑣𝐺=𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑎𝐺=𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
𝑎𝐺+ 𝑘
𝑚𝑣𝑛=𝑚 − 𝑚′ 𝑚 𝑔 𝑑2𝑥
𝑑𝑡2+ 𝑘 𝑚(𝑑𝑥
𝑑𝑡)
𝑛
=𝑚 − 𝑚′ 𝑚 𝑔 𝑥̈ + 𝑘
𝑚𝑥̇𝑛=𝑚 − 𝑚′
𝑚 𝑔
C’est une équation différentielle du second ordre, on peut la mettre également sous la forme 𝑣̇ + 𝑘
𝑚𝑣𝑛=𝑚 − 𝑚′ 𝑚 𝑔
Pour résoudre, on étudie le cas n=1 puis n=2 puis on essayera de trouver pour 1< n < 2
Pour n = 1, les forces de frottements sont proportionnelles à la vitesse.
𝑣̇ + 𝑘
𝑚𝑣 =𝑚 − 𝑚′ 𝑚 𝑔 On pose
𝜏 = 𝑚 𝑘 𝑣̇ +1
𝜏 𝑣 =𝑚 − 𝑚′ 𝑚 𝑔
C’est une équation différentielle du premier ordre à coefficient constant avec second membre O 𝑖 ⃗⃗⃗
𝑃 ⃗⃗⃗⃗
G
𝑣
⃗⃗⃗⃗
x
𝜋⃗⃗⃗⃗
𝒇 ⃗⃗⃗⃗
Maths :
Une équation différentielle du type :
𝑦′= 𝑎𝑦 + 𝑏 admet une solution générale du type :
𝑦 = 𝐾 𝑒𝑎𝑥−𝑏 𝑎 Donc, on la réécrit sous la forme
𝑣̇ = −1
𝜏 𝑣 +𝑚 − 𝑚′
𝑚 𝑔
La solution est donc de la forme
𝑣(𝑡)= 𝐾 𝑒−1𝜏𝑡− 𝑚 − 𝑚′
𝑚 𝑔
−1 𝜏
𝑣(𝑡)= 𝐾 𝑒−1𝜏𝑡+ 𝑚 − 𝑚′
𝑚 𝑔
+1 𝜏 𝑣(𝑡)= 𝐾 𝑒−1𝜏𝑡+𝑚 − 𝑚′
𝑚 𝑔 × 𝜏 A t=0s 𝑣(0)= 0
𝑣(0)= 0 = 𝐾 𝑒−1𝜏(0)+𝑚 − 𝑚′ 𝑚 𝑔 × 𝜏 0 = 𝐾 𝑒0+𝑚 − 𝑚′
𝑚 𝑔 × 𝜏 𝐾 = −𝑚 − 𝑚′
𝑚 𝑔 × 𝜏 𝑣(𝑡)= −𝑚 − 𝑚′
𝑚 𝑔 × 𝜏 𝑒−1𝜏𝑡+𝑚 − 𝑚′ 𝑚 𝑔 × 𝜏 𝑣(𝑡)= (𝑚 − 𝑚′
𝑚 𝑔 × 𝜏) (1 − 𝑒−1𝜏𝑡) On montre qu’alors :
𝑥𝑡= (𝑚 − 𝑚′
𝑚 𝑔 ) (𝜏2(1 − 𝑒−
1 𝜏𝑡
) +𝜏𝑡)
Cas des frottements non linéaires
𝑣̇ + 𝑘
𝑚𝑣2=𝑚 − 𝑚′ 𝑚 𝑔
Cette équation n’est pas linéaire, elle n’est pas facile à résoudre nous utiliserons la méthode d’Euler
𝑣̇ = 𝑑𝑣 𝑑𝑡 ≈ ∆𝑣
∆𝑡 L’astuce d’Euler c’est de dire
∆𝑣 = 𝑣𝑛+1− 𝑣𝑛 𝑣̇ = 𝑑𝑣
𝑑𝑡 ≈ ∆𝑣
∆𝑡 = 𝑣𝑛+1− 𝑣𝑛
∆𝑡 L’équation différentielle
𝑣̇ + 𝑘
𝑚𝑣2=𝑚 − 𝑚′ 𝑚 𝑔 Devient
𝑣𝑛+1− 𝑣𝑛
∆𝑡
̇ + 𝑘
𝑚𝑣𝑛2=𝑚 − 𝑚′ 𝑚 𝑔 Ça devient une suite
𝑣𝑛+1− 𝑣𝑛
∆𝑡
̇ =𝑚 − 𝑚′ 𝑚 𝑔 − 𝑘
𝑚𝑣𝑛2
𝑣𝑛+1− 𝑣𝑛
∆𝑡
̇ = (𝑚 − 𝑚′ 𝑚 𝑔 − 𝑘
𝑚𝑣𝑛2) 𝑣𝑛+1− 𝑣𝑛= (𝑚 − 𝑚′
𝑚 𝑔 − 𝑘 𝑚𝑣𝑛2) ∆𝑡
𝑣𝑛+1= (𝑚 − 𝑚′ 𝑚 𝑔 − 𝑘
𝑚𝑣𝑛2) ∆𝑡 + 𝑣𝑛
∆t est appelé pas d'itération
On peut donc par le calcul, la simulation, ou voie informatique déterminer les vitesses de chute en connaissant beaucoup de paramètres qui sont difficilement accessible par une mesure directe comme l’exposant dans la force de frottements. Même si nous avons trouvé un logiciel de simulation, nous préférons nous tourner vers une étude expérimentale.
Détermination de la vitesse à partir de vidéos
Nous avons réalisé avec nos téléphones portables des vidéos au format mp4 pour des raisons de simplicité de réalisation, tant au lycée qu’à la maison. Nous avons choisi de les traiter avec Tracker ©, c’est un logiciel libre et open source téléchargeable à l’adresse suivante : https://physlets.org/tracker/ , il est multiplateforme (Windows, OS X, Linux), en cette période de « confinement alterné » c’était un bon compromis pour travailler à la maison, comme au lycée (on peut d’ailleurs travailler sur une clé USB sans l’installer sur le réseau).
L’une des meilleures notices en ligne actuellement est sûrement à notre connaissance : http://ticenclassefga.weebly.com/tutoriel- tracker.html
Nous avons résumé ci-dessous les grandes étapes ci-dessous.
Après avoir ouvert le logiciel et choisi la vidéo à traiter, on dépose un ruban d’étalonnage entre le point de lâcher et le point d’impact, on peut établir le premier en zoomant sur une image et le second en procédant de même sur une autre. Nous avons mesuré cette longueur avec précision à l’aide d’un décamètre : L= 17,66 m, on l’intègre dans longueur de l’échelle (attention au symbole de la virgule).
Ensuite, on pose le système d’axe (x,y), on peut éventuellement rectifier la verticalité
On masque les axes et échelles pour suivre la trajectoire de la balle.
On crée une masse ponctuelle (Trajectoire … Nouveau) On peut zoomer sur l’image puis on positionne la souris, à chaque clic + (touche Majuscule ou Shift) la position x, y est enregistrée et on passe à l’image suivante. Les coordonnées s’affichent dans un tableau puis dans un graphique si on le souhaite.
Les choix possibles Capture d’écran
Lorsque la capture est terminée, on clique sur le graphique pour en faire un instantanée, on peut lire avec le pointeur et chercher la correspondance avec un modèle.
Représentation graphique de l’équation horaire de la chute conforme au modèle : 𝑦𝑡= −1
2 𝑔𝑡2+ 𝑦0
Représentation graphique de l’équation horaire de la chute conforme au modèle : 𝑣𝑦𝑡= 𝑔𝑡 ici avec une petite vitesse initiale.
Il n’est pas spécialement utile de faire toute la trajectoire, seule la période avant et après l’impact sont importants. Nous avons utilisé différents téléphones en raison de la cadence du film.
Modèle Nombre d’image par seconde Format
Samsung S7 30, 60, 120 mp4
iPhone XS Max 30 à 240 divers
Xiaomi mi 10 Lite 30 - 60 mp4
Huawei P Smart 2018 30 mp4
iPhone SE 2020 30 à 240 divers
Samsung S20 (0,001) 30 à 480 (960) mp4
Nous avons réalisé cette expérience de nombreuses fois typiquement 6 séries de film par type de balle et par lieu de chute.
• De 10 cm à 2,00 m dans les salles de classes ou nos chambres,
• De 4,36 m à 10,51 m dans la cage d’escalier centrale,
• Par les fenêtres à 4,45 m (1er étage), 11,20 m (3ème étage) 14,37 (4ème étage) 17,66 m (5ème étage) 25,12 m (5ème → – 2).
Voici une capture d’écran de l’analyse de rebonds d’un lâcher de balle de tennis depuis la mezzanine de la cafétaria de notre lycée filmé depuis l’espace baby-foot ayant un sol carrelé.
On y note une très bonne concordance avec le modèle théorique (ce qui est très plaisant après beaucoup d’efforts), mais surtout on a un accès aux valeurs de vitesses (calculées informatiquement) avant et après quatre rebonds.
On peut calculer quatre valeurs du coefficient de restitution pour cette balle sur ce sol, en récupérant les valeurs des vitesses aux sommets des
« dents de scie ».
𝜙𝑟𝑒𝑏𝑜𝑛𝑑1=6,770
9,007= 0,751
𝜙𝑟𝑒𝑏𝑜𝑛𝑑2=4,959
6,303= 0,787
𝜙𝑟𝑒𝑏𝑜𝑛𝑑3=3,917
4,877= 0,803
𝜙𝑟𝑒𝑏𝑜𝑛𝑑4=3,242 3,917= 0,827
On peut constater que le coefficient de restitution augmente lorsque la vitesse diminue.
Nous avons reproduit la même étude sur un sol en béton, les résultats consignés dans le graphe ci-dessous sont les moyennes faites à partir de six films par vitesse avec 3 balles différentes donc 18 valeurs pour un point (sauf pour les billes de verres qui n’ont pas toutes résistées aux impacts.
On peut constater que le coefficient de restitution, 𝛷, varie en fonction de la vitesse, il diminue lorsqu’elle augmente. Nous n’avons pas d’explication, nous pensons que cela est dû à une perte de l’énergie cinétique lors du choc qui peut être absorbée par le sol ou transformée en partie en chaleur (nous avons remarqué, mais non mesuré, un échauffement de certaines billes lors des chutes importantes ou répétées)
Pour l’explication de l’évolution des coefficients de restitution des balles sportives, nous avons contacté l’enseigne Décathlon, qui a accepté de nous fournir des échantillons de balles, pour voir si nous pourrions aller visiter le laboratoire de mesures de Villeneuve d’Ascq. Nous pourrons effectuer cette visite dès que les conditions sanitaires nous le permettrons
Dans ce graphique, nos vitesses commencent à 2 m.s-1, car c’est déjà la vitesse après une chute de 20 cm 𝑣 = √ 2𝑔ℎ = √2 x 9,81 x 0,20 = √3,9 ≈ √4
Nous avons envisagé une étude pour de petits rebonds.
Coefficient de restitution et temps de rebonds
Par définition le coefficient de restitution est 𝛷 ≜ 𝑣𝑎𝑝𝑟è𝑠 𝑙𝑒 𝑐ℎ𝑜𝑐
𝑣𝑎𝑣𝑎𝑛𝑡 𝑙𝑒 𝑐ℎ𝑜𝑐
𝛷 = 𝑣1
𝑣0
Si on le suppose indépendant (on sait que ça varie pour de grandes variations de vitesses, mais pour de faibles variations de vitesse disons entre 0et 2 m.s-1, nous le conjecturons constant)
𝛷 = 𝑣1
𝑣0 = 𝑣2
𝑣1 = 𝑣3
𝑣2 = 𝑣4
𝑣3 = ⋯ 𝑣𝑛
𝑣𝑛−1
Donc
𝑣1= 𝛷 𝑣0
𝑣2= 𝛷 𝑣1= 𝛷 (𝛷 𝑣0) = 𝛷2𝑣0 𝑣3= 𝛷 𝑣2= 𝛷(𝑒2𝑣0) = 𝛷3𝑣0 𝑣𝑛= 𝛷𝑛𝑣0
En supposant que l’énergie mécanique se conserve lors de la descente ou de la remontée à une hauteur h.
𝑣0= √2𝑔ℎ0 𝑣1= √2𝑔ℎ1 𝑣𝑛= √2𝑔ℎ𝑛
D’où
𝛷 = √2𝑔ℎ1
√2𝑔ℎ0
= √ℎ1
√ℎ0
= √ ℎ1
ℎ0
Le coefficient de restitution est égal à la racine des hauteurs des rebonds
D’où
√ℎ1= 𝛷 √ℎ0
√ℎ2= 𝛷 √ℎ1= 𝛷 (𝛷 √ℎ0) = 𝛷2√ℎ0
√ℎ3= 𝛷 √ℎ2= 𝛷(𝛷2√ℎ0) = 𝛷3√ℎ0
√ℎ𝑛= 𝛷𝑛√ℎ0
Si on applique les lois de la chute libre (seul le poids s’applique et on néglige Archimède) ℎ =1
2 𝑔𝑡2 ℎ =1
2 𝑔𝑡2 𝑡 = √ 2ℎ
𝑔 Entre le 1er et 2ème rebond le temps est
∆𝑡1→2= 2√ 2ℎ1
𝑔 = √ 8 𝑔 √ ℎ1 Donc
∆𝑡2→3= √ 8
𝑔 √ ℎ2 = √ 8
𝑔 𝛷2√ℎ0= 𝛷2√ 8ℎ0 𝑔
∆𝑡3→4= 𝛷3√ 8ℎ0 𝑔
∆𝑡𝑛→𝑛+1= 𝛷𝑛√ 8ℎ0 𝑔
∆𝑡𝑛→𝑛+1= 𝛷𝑛. 2√ 2ℎ0 𝑔
∆𝑡𝑛→𝑛+1= 𝛷𝑛. 2 𝑡0
C’est une suite géométrique de raison 𝛷
La durée de l’expérience, T, est la somme de la durée de chute initiale, 𝑡0 et du temps des rebonds de ∆𝑡1→∞
𝑇 = 𝑡0+ ∆𝑡1→2+ ∆𝑡2→3 + ∆𝑡3→4 + … + ∆𝑡𝑛→𝑛+1
𝑇 = 𝑡0+ 𝛷. 2 𝑡0+ 𝛷2. 2 𝑡0+ 𝛷3. 2 𝑡0+ … + 𝛷𝑛. 2 𝑡0
𝑇 = 𝑡0(1 + 𝛷. 2 + 𝛷2. 2 + 𝛷3. 2 + … + 𝛷𝑛. 2 ) Or
𝛷. 2 + 𝛷2. 2 + 𝛷3. 2 + … + 𝛷𝑛. 2 = ∑ 2𝛷𝑛=
𝑛=∞
𝑛=1
− 2𝛷
𝛷 − 1 = + 2𝛷 1 − 𝛷 Donc
𝑇 = 𝑡0(1 + 𝛷. 2 + 𝛷2. 2 + 𝛷3. 2 + … + 𝛷𝑛. 2 )
𝑇 = 𝑡0(1 + 2𝛷 1 − 𝛷 ) 𝑇 = 𝑡0( 1 − 𝛷
1 − 𝛷 + 2𝛷 1 − 𝛷 ) 𝑇 = 𝑡0( 1 − 𝛷 + 2𝛷
1 − 𝛷 ) 𝑇 = 𝑡0( 1 + 𝛷
1 − 𝛷 ) Le nombre de rebonds est infini mais le temps de rebonds est fini ! Ce temps de rebond T dépend de
t0 donc de la hauteur de chute
𝑇 = 𝑡0( 1 + 𝛷 1 − 𝛷 ) 𝑇 (1 − 𝛷) = 𝑡0(1 + 𝛷) 𝑇 − 𝑇𝛷 = 𝑡0+ 𝑡0𝛷 𝑇 − 𝑡0= 𝑡0𝛷 + 𝑇𝛷 𝑡0𝛷 + 𝑇𝛷 = 𝑇 − 𝑡0
𝛷(𝑡0+ 𝑇) = 𝑇 − 𝑡0
𝛷 = 𝑇 − 𝑡0
𝑇 + 𝑡0
On pose ∆𝑇 = 𝑇 − 𝑡0, le temps de rebonds ∆𝑇 c’est le temps de l’expérience 𝑇 moins le temps de chute 𝑡0. D’où
𝛷 = 𝑇 − 𝑡0 𝑇 + 𝑡0
𝛷 = ∆𝑇
∆𝑇 + 2𝑡0 𝛷(∆𝑇 + 2𝑡0) = ∆𝑇 𝛷∆𝑇 + 𝛷2𝑡0= ∆𝑇 𝛷2𝑡0= ∆𝑇 − 𝛷∆𝑇 𝛷2𝑡0= ∆𝑇(1 − 𝛷)
∆𝑇 = 2𝛷 1 − 𝛷 𝑡0 Le temps de rebond,∆𝑇, est proportionnel au temps de chute, 𝑡0 ! Or
𝑡0= √ 2ℎ0 𝑔 Donc
∆𝑇 = 2𝛷
1 − 𝛷√ 2ℎ0 𝑔 Sion multiplie par 4 la hauteur de chute, le temps de rebond est doublé.
En élevant au carré
∆𝑇2= 8𝛷2
(1 − 𝛷)2√𝑔 ℎ0 Le carré du temps de rebond est proportionnel à la hauteur de chute.
Finalement l’étude des rebonds est prometteuse. Nous décidons de passer à une autre méthode, la méthode acoustique.
Analyse acoustique des rebonds
Les rebonds d’une bille sur un support produisent des sons d’impacts (ils sont une transformation d’une partie de l’énergie cinétique).
Nous avons eu l’idée d’utiliser ces sont pour remonter aux coefficients de restitution.
Notre montage
:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Vers PC Règle
Matériaux cible
Micro scotché Bille ou balle
Système de largage
Hauteur de chute
Après de multiples essais infructueux avec des micros de téléphones, nous avons obtenu l’autorisation de notre professeur d’acheter un micro sur internet : un micro Lavalier avec un petit amplificateur à pile et surtout une rallonge de 6 m. le système de largage nous assure de la position zéro du bas de la bille.
Les sons sont enregistrés et analysés avec Audacity, un logiciel libre, gratuit multiplateforme très commun. La célérité des ondes sonores étant très grandes dans les matériaux (𝑣𝑠𝑜𝑛𝑎𝑐𝑖𝑒𝑟≈ 5000 𝑚. 𝑠−1, 𝑣𝑠𝑜𝑛𝑏𝑜𝑖𝑠≈ 𝑣𝑠𝑜𝑛𝑏é𝑡𝑜𝑛≈ 3000 𝑚. 𝑠−1 𝑣𝑠𝑜𝑛𝑝𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒≈ 2500 𝑚. 𝑠−1), on peut négliger la durée de transmission des ondes sonores au micro, devant les temps de rebonds.
Ci-dessous un exemple de capture d’écran de l’enregistrement de 10 séries de rebonds d’une bille (de 10 cm à 1,00m) sur bureau en hêtre.
On isole la partie à traiter en zoomant
Puis on pointe sur le début de chaque rebond, puis on note la date dans un tableur N° du rebond Date Audacity ∆𝑡 Durée du
rebond (s) −log (∆𝑡)
1 33,605
2 33,986 0,381 -0,41907502
3 34,202 0,216 -0,66554625
4 34,348 0,146 -0,83564714
5 34,442 0,094 -1,02687215
6 34,509 0,067 -1,1739252
7 34,556 0,047 -1,32790214
8 34,588 0,032 -1,49485002
9 34,610 0,022 -1,65757732
Nous avons établi que :
∆𝑡𝑛→𝑛+1= 𝛷𝑛. 2 𝑡0 Donc en linéarisant par le logarithme on a
𝑙𝑜𝑔(∆𝑡𝑛→𝑛+1) = log (𝛷𝑛. 2 𝑡0) 𝑙𝑜𝑔(∆𝑡𝑛→𝑛+1) = log (𝛷𝑛) + log (2 𝑡0) 𝑙𝑜𝑔(∆𝑡𝑛→𝑛+1) = 𝑛. 𝑙𝑜𝑔(𝛷) + log (2 𝑡0)
Autrement dit la représentation de 𝑙𝑜𝑔(∆𝑡𝑛→𝑛+1) = 𝑓(𝑛) est une droite de coefficient directeur 𝛷 et l’ordonnée à l’origine est log (2 𝑡0) ce qui nous permet de remonter à la hauteur de largage.
On passe par Excel
Dans ce cas : . 𝑙𝑜𝑔(𝛷) = −0,1719 ce qui nous donne 𝛷 = 0,67
L’ordonnée à l’origine est –0,1297 ce qui donne 2t0 = 0,742 s,
soit t0= 0,371s ce qui correspond, par le calcul, à une chute de 64,9 cm alors qu’elle est dans la réalité de 65 cm.
Influence de la masse sur les rebonds
Influence de la masse d’une bille sur son coefficient de restitution Approche théorique
Lorsqu’on regarde tous les éléments de développement théorique que nous avons, dans ce dossier, jamais la masse m n’intervient dans le coefficient de restitution, elle n’intervient pas non plus dans les équations de la chute des corps, ni dans celle de la conservation des énergies.
Approche par simulation
Dans Interactive Physics nous avons étudié la chute de deux billes de diamètre différent mais toutes les deux en acier avec les mêmes caractéristiques mécaniques.
Simulation dans Interactive Physics de la chute d’une balle de 22,6 kg et une de 4,0 kg sur une surface du même acier
Sur la partie droite on peut paramétrer la visualisation de différentes grandeurs comme les positions des centres de gravité, celui de la grosse bille est toujours plus haut car, cette balle a un plus grand rayon. On note que l’évolution des billes est comparable, semblable.
Aspect expérimental
A force de lancer des balles et observer des rebonds, nous avions un sérieux doute. Nous avons donc acheté avec l’accord de nos professeurs des billes de différentes tailles faire dans la même matière à priori contenues dans une même boite. Nous avons réalisé l’expérience chez nous lors de l’enseignement hybride (terme diplomatique pour dire travail à distance pendant la pandémie COVID).
Les expériences ont été réalisées sur différents supports : bureau, carrelage parquet, béton du garage … .
le lot de billes test sur le carrelage une bille test sur le bureau
Voici nos résultats sur une planche de chêne obtenus par la méthode acoustique.
Ces résultats sont issus de l’étude d’une série de rebonds pour chaque bille après une chute de 30 cm sur un même enregistrement.
Toutes les droites semblent issues d’un foyer, elles ont des coefficients directeurs différents qui permettent d’accéder au coefficient de restitution. Nos résultats sont consignés dans le tableau ci-dessous.
Diamètre en
mm 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 7 8
Masse en g 0,53 0,90 1,43 2,15 3,06 4,19 5,62 7,24 11,52 17,22
Coefficient
directeur – 0,1332 – 0,1323 – 0,1306 – 0,1266 –0,1207 – 0,1096 – 0,1181 – 0,1068 – 0,1011 –0,0985 Coefficient de
restitution Φ 0,736 0,737 0,740 0,747 0,757 0,777 0,762 0,782 0,776 0,797
On peut les visualiser sur un graphique.
On constate donc une évolution du coefficient de restitution non prévue par la théorie. Ici le coefficient de restitution augmente lorsque la masse augmente. Nous avons parfois constaté l’inverse.
La masse a bien un rôle dans le coefficient de restitution, nous avançons l’hypothèse du travail des force de frottements lors du retour de la déformation élastique. Avec la masse la déformation n’est pas la même, donc le travail résistant des forces de frottements n’est pas identique. Cependant cela n’explique pas pourquoi parfois cela augmente avec la masse et parfois cela diminue. Nous cherchons toujours une explication théorique.
Comme nous le dit souvent notre professeur en TP : « l’expérience a toujours raison !»
"It doesn't make any difference how smart you are, who made the guess, or what his name is. If it disagrees with experiment, it's wrong. ».
Richard FEYNMAN
Les graines
En discutant avec un camarade fils d’agriculteur, nous en sommes venus à parler de petites graines que ses parents cultivent et qui sont particulièrement rebondissantes. Ce fut pour nous une occasion de découvrir que derrière les champs jaunes du mois d’avril se cache le colza, les fleurs bleues de mai c’est le lin et qu’il y avait autour de chez nous beaucoup de petites graines qui sont cultivées pour l’alimentation humaine ou animale (le lin sert à faire du textile mais les graines sont consommées par les vaches pour donner un persillé incomparable à la viande, nous précise avec passion notre ami).
Ces graines sont petites rondes et très rebondissantes cela pose parfois des problèmes lors de l’utilisation de trieuse vanneuse tamiseuses de grains. Eh oui humblement nous avons appris que les graines se trient se nettoient mécaniquement par des rebonds sur des tamis et un courant d’air. On sépare ainsi le bon grain (blé) de l’ivraie (raygrass synonyme de mauvaise herbe).
Une trieuse ancienne : un tarare
Une trieuse moderne
Nous sommes retournés vers la ferme pédagogique près de chez nous pendant le premier confinement COVID 19 pour nous procurer un maximum de variétés de graines. Ce fut également un moment de découverte pendant cette période masquée. Nous sommes repartis avec beaucoup de petits pots soigneusement étiquetés : trèfle blanc, trèfle violet, luzerne, sainfoin, vesce, féverole, lin, choux fourrager. Les jardiniers de nos familles n’ont pas manqué non plus d’apporter leur contribution : radis, navet, câpre, …. Et nos mamans d’ajouter poivre noir, poivre blanc, baie de genièvre …. Nous n’aurions jamais pensé intéresser autant de monde avec une idée.
Des tests macroscopiques à l’analyse des chocs
Les premiers tests réalisés à l’œil montrent que ce sont bien des graines très rebondissantes et que très vites on les perd parce qu’elles nous échappent.
Elles sont très petites et donc rapidement sont apparus les problèmes techniques :
• Elles sont très difficiles à filmer de loin donc finies les méthodes vidéo classiques.
• Elles sont légères donc produisent un son très faible, audible certes mais difficile à capter.
Nous avons commencé à en mesurer les caractéristiques physiques.
Mesures du coefficient de restitution
Nous l’avons déjà signalé, les graines sont problématiques à cause de leur taille. Nous avons donc opté pour une estimation du coefficient de restitution en utilisant la méthode de la hauteur du rebond, 𝛷 vaut la racine carrée du rapport des hauteurs de rebonds.
𝛷 = √ℎ1
√ℎ0
= √ ℎ1 ℎ0
Pour une hauteur initiale de lâcher de 20,0 cm, on regarde sur une vidéo à quelle hauteur rebondit la graine à l’aide d’une règle graduée placée à proximité. Nous présentons ci-après des résultats qui sont les moyennes sur 10 essais avec 10 graines différentes.
Espèce 𝛷estimé
Baie de genièvre 0,38
Capres 0,42
Colza 0,52
Coriandre 0,28
Espèce 𝛷estimé
Lin 0,48
Luzerne 0,21
Navet 0,18
Poivre blanc 0,12
Espèce 𝛷estimé
Poivre noir 0,42 Trèfle blanc 0,32 Trèfle violet 0,13
Vesce 0,51
Ces résultats qui n’ont d’autre intérêt que de montrer qu’ils varient d’une espèce à l’autre (bien qu’il y ait des variations dans un même lot). Nous avons renoncé à une étude en fonction de la masse car elle est trop fastidieuse avec la nécessité de peser individuellement les graines avec une grande précision comme celle de notre laboratoire de chimie. Cependant nous tenions à faire une étude en fonction de la vitesse. Nonobstant la difficulté de suivre une graine sur une grande hauteur, nous avons donc eu l’idée suivante : « Si tu ne viens pas à Lagardère, Lagardère ira à toi ». En clair, si la graine ne peut percuter « le sol » avec une vitesse connue, on peut faire déplacer la cible. Un peu comme un tennisman jongle avec sa balle.
Pour cela nous avons choisi e travailler avec un vibreur alimenté en tension triangulaire.
Principe Mesure de l’amplitude maximale au pied à coulisse
Si on connait l’amplitude maximale, on peut connaitre la vitesse. 𝑣 =𝐴𝑚𝑎𝑥 𝑇
4
=4 𝐴𝑚𝑎𝑥
𝑇 = 4𝑓𝐴𝑚𝑎𝑥
A l’aide d’un pied à coulisse numérique, nous avons mesuré l’amplitude maximale en fonction de la fréquence, puis nous avons calculé la vitesse pour chacune d’elle. Le graphe ci-dessous présente nos résultats pour des fréquences de 0,2 à 180 Hz. En deçà et au-delà, l’amplitude de varie pas de manière mesurable.
Nous avons techniquement le moyen de simuler une chute de 0 à 5 m dans un récipient. Cependant, nous nous en doutions les graines s’échappent du récipient. Pour nous éviter de transformer les recherches à quatre pattes en corvée de balayage, nous avons eu l’idée de placer l’ensemble dans un pot plus grand avec un couvercle. Et là … nous avons été étonné par l’influence de ce récipient, les graines nous surprenaient par leur comportement collectif.
Un comportement collectif des graines
Nous avons décidé de créer un pot compartimenté pour essayer de comprendre. On le place directement sur le vibreur.
Une fois mis en marche on observe l’évolution suivante, au départ les graines sont réparties uniformément de part et d’autre de la cloison
Etat initial Etat final
Evolution du système 12,8 Hz
Récipient en plastique transparent
Cloison transversale de hauteur h (hauteur choisie à la construction)
Vibreur Couvercle
Générateur de basses fréquences
(signal triangulaire) Graines
Nous avons appelé « temps de transfert » le temps, en seconde, au bout duquel toute la population de graines, initialement répartie uniformément, se retrouve d’un même côté de la cloison, nous l’avons mesuré avec un chronomètre. Nous présentons ci-dessous une étude de l’étude du temps de transfert en fonction de la fréquence du GBF pour une population de 50 graines de vesce (elles sont les plus grosses donc il en faut moins et elles sont facile à compter). Nous le présentons pour deux valeurs d’amplitude différentes.
Nous montrons ici que ce temps de transfert dépend de la fréquence, il passe par un minimum qui semble dépendre de la tension maximale. Nous avons essayé de modéliser par une parabole … nous avons été déçus. Un peut machinalement nous avons tenté d’utiliser l’échelle logarithmique présentée en physique par M. BURIDANT pour illustrer notre cours de mathématiques sur les logarithmes népérien.
Notre surprise fut totale de voir des points visiblement alignés. D’autant que nous n’avons pas de modèle en log ou Ln. La première courbe suggère que la vitesse de transfert dépend de la fréquence, on peut penser qu’on a un phénomène de résonance. Les graines peuvent être assimilées à un système oscillant qui répondrait de manière maximale à l’excitation du vibreur. Cependant, nous nous sommes dit que les deux courbes ne reflètent pas les mêmes vitesses. Sur la première 𝑣1= 4𝑥𝑚𝑎𝑥1𝑓1sur la seconde 𝑣2= 4𝑥𝑚𝑎𝑥2𝑓2
Or 𝑥𝑚𝑎𝑥 est proportionnel à la tension du générateur, on peut au moins le conjecturer. Dans ce cas 𝑣1= 4𝑘𝑈𝑚𝑎𝑥1𝑓1et 𝑣2= 4𝑘𝑈𝑚𝑎𝑥2𝑓2. Si on cherche à comparer à vitesse égale, cela impose 4𝑘𝑈𝑚𝑎𝑥1𝑓1= 4𝑘𝑈𝑚𝑎𝑥2𝑓2⇔ 𝑈𝑚𝑎𝑥1𝑓1= 𝑈𝑚𝑎𝑥2𝑓2⇔ 𝑓2=𝑈𝑚𝑎𝑥1
𝑈𝑚𝑎𝑥2𝑓1
Pour comparer on utilise des fréquences corrigées, dans ce cas les points semblent appartenir à un même ensemble comme si seule la vitesse, et donc le coefficient de restitution, et non la fréquence, intervenait. Nous allons essayer d’approfondir ce point pour le concours national.
Conclusion
Nous nous sommes intéressés à l’étude du coefficient de restitution lors des chocs, NEWTON l’a défini comme égal au rapport de la vitesse après le choc par sa valeur avant la collision. Il a utilisé des pendules, cet objet étant trop complexe pour nous, nous avons choisi de nous limiter à l’étude d’impacts lors d’une chute.
L’étude analytique est dans notre programme de spécialité physique, nous nous y sommes plongés bien avant nos camarades. Elle utilise des concepts mathématiques que nous n’avons pas encore abordés à l’heure où nous écrivons ce mémoire. Cependant nous avons pris beaucoup de plaisirs à les mener avec nos professeurs de physique et mathématiques. Pendant les périodes de confinement c’était un moyen d’avancer et de ne pas laisser tomber le projet. Il en ressort qu’on peut prévoir l’évolution de la position et de la vitesse lors d’une chute :
• Lors d’une chute libre, seul le poids intervient il est alors assez simple de prévoir l’évolution du système si l’objet est massif c’est-à-dire avec une densité importante, c’est le cas de la majorité des objets que nous avons utilisés.
• Pour des objets peu denses, la poussée d’Archimède intervient, il faut alors apporter des correctifs aux équations précédentes pour coller à la réalité expérimentale, ce fut le cas notamment des balles de tennis de table qui sont toujours en retard sur le modèle précédent.
• Enfin pour tenir complétement compte de la réalité il faut prendre en considération les frottements de l’air, il faut alors utiliser la méthode d’Euler pour accéder à une résolution numérique et informatique.
L étude théorique des rebonds est aussi un exercice assez plaisant et plein de découvertes.
Nous avons réalisé une étude expérimentale de chutes parfois au lycée parfois chez nous. Des essais de chronophotographies à l’aide de stroboscopes, nous ont déçus, mais récemment nous avons investi dans des super-LED et nous commençons à avoir des résultats.
Nous nous sommes penchés avec succès sur les études vidéo. Elles permettent de connaitre assez facilement la vitesse en fonction de la position et par conséquent avant et après un choc.
Notre étude montre que le coefficient de restitution dépend de la nature de l’objet impactant et de la surface rebondissante utilisée, NEWTON nous le dit déjà dans Principia en 1687. Nous avons montré que ce coefficient varie aussi en fonction de la vitesse, ce résultat est assez connus. Nous devrions en savoir davantage lors de la visite des laboratoires de notre partenaire.
Nous avons également mesuré le coefficient de restitution par une méthode acoustique en analysant le rythme des sons produits lors des rebonds. Cette méthode est plus adaptée à des hauteurs de chutes peu importantes mais avec un nombre significatif de rebonds, en effet il faut au moins 3 ou 4 rebonds pour pouvoir mesurer le coefficient de restitution. Nous avons des résultats analogues à ceux obtenus par la méthode vidéo (dépendance des matériaux et de la vitesse) et nous avons montré que le coefficient de restitution dépend de la masse impactante, cela n’est pas prévue dans les théories que nous connaissons. Là aussi nous attendons beaucoup de la visite du laboratoire, notamment par la rencontre de spécialiste qui pourra se faire nous l’espérons dès la fin de la crise sanitaire.
Un peu par hasard, nous nous sommes intéressés aux rebonds de graines, nous étions confinés en ce printemps 2020 et comme beaucoup nous avons redécouvert les joies du jardinage. Les graines sont faciles à se procurer, mais c’est un produit agricole et non un produit manufacturé. Chaque graine n’est pas unique mais presque. Nous avons donc commencé par faire des études statistiques de leurs caractéristiques physiques : la masse et la masse volumique.
• Leurs masses varient beaucoup pour une espèce donnée même si elle reste du même ordre de grandeur. Nous avons montré que cette masse a un rôle dans la valeur du coefficient de restitution.
• La masse volumique varie aussi de manière « assez importante », cependant nous avons montré par nos mesures qu’on peut la négliger dans notre étude car elles sont toutes très supérieures à celle de l’air, on peut donc appliquer notre physique de terminale.
La détermination des coefficients de restitution est beaucoup plus difficile, car les graines sont petites. Elles sont difficiles à filmer et produisent peu de sons mesurables pour une analyse audio. On peut néanmoins avoir une estimation du coefficient de restitution en comparant les hauteurs de rebonds.
Pour simuler les rebonds nous avons eu l’idée de placer ces graines sur une plaque vibrante, les graines en sortent par des rebonds.
Nous avons fermé et cloisonné notre récipient … et nous avons constaté un phénomène curieux. A partir d’une certaine fréquence d’excitation et donc de vitesse transmise, des graines qui sont initialement réparties de manière uniforme de part et d’autre de la cloison se regroupent rapidement d’un même coté. Nous pensons que le coefficient de restitution beaucoup plus faible dans le cas d’un choc graine/graine que graine/plastique. Lors d’un rebond de la graine sur le récipient en plastique, sa vitesse lui permet de franchir la paroi, par contre le choc d’une graine sur une graine n’est pas favorable à des rebonds, elles restent ensemble. Nous sommes toujours dans l’étude de ce transfert d’un compartiment à l’autre.
Ces graines font germer beaucoup d’hypothèses et nous espérons avoir une cristallisation autour d’une amorce de solution pour développer un beau cristal comme nous l’avions fait l’an dernier.
