Définitions : DGA, construction bar et modèle 1-minimal

Cycles sur P1\ {0,1,∞}

I. Soudères

Introduction Premiers exemples Combinatoire Des arbres aux cycles

Cycles et construction bar

Complexe de cycles sur P

\ {0, 1, ∞} :

Motifs de Tate mixtes et polylogarithmes multiples

Ismaël Soudères

Universität Duisburg - Essen Fakultät für Mathematik

8 mars 2012

Cycles sur P1\ {0,1,∞}

I. Soudères

Introduction Premiers exemples Combinatoire Des arbres aux cycles

Cycles et construction bar 1 Introduction

Définitions : DGA, onstruction bar et modèle 1-minimal Construction du complexe de cycles de Bloch-Kriz Cycles et motifs de Tate mixtes

Idée géométrique

2 Premiers exemples

Cycles et polylogarithmes

Poids 3 : première correction pour t = 1 Poids 4, 5 et 6 exemples formels choisis

3 Combinatoire : crochets de Lyndon, arbres et différentielle Arbres et algèbre de Lie

Arbres duaux des crochets de Lyndon Une autre différentielle sur les arbres

4 Des arbres aux cycles sur P¹\ {0,1,∞}

Des arbres aux cycles : une première approche Cas de L_[011] : problème d’admissibilité en t = 1 Cycles admissibles pour “t = 1”

5 Cycles et construction bar Cycles et constrcution bar

Cycles sur P1\ {0,1,∞}

I. Soudères

Introduction Définitions Complexe de cycles Cycles et motifs de Tate mixtes Idée géométrique

Premiers exemples Combinatoire Des arbres aux cycles

Cycles et construction bar 1 Introduction

Définitions : DGA, onstruction bar et modèle 1-minimal Construction du complexe de cycles de Bloch-Kriz Cycles et motifs de Tate mixtes

Idée géométrique

2 Premiers exemples

Cycles et polylogarithmes

Poids 3 : première correction pour t = 1 Poids 4, 5 et 6 exemples formels choisis

3 Combinatoire : crochets de Lyndon, arbres et différentielle Arbres et algèbre de Lie

Arbres duaux des crochets de Lyndon Une autre différentielle sur les arbres

4 Des arbres aux cycles sur P¹\ {0,1,∞}

Des arbres aux cycles : une première approche Cas de L_[011] : problème d’admissibilité en t = 1 Cycles admissibles pour “t = 1”

5 Cycles et construction bar Cycles et constrcution bar

Cycles sur P1\ {0,1,∞}

I. Soudères

Introduction Définitions Complexe de cycles Cycles et motifs de Tate mixtes Idée géométrique

Premiers exemples Combinatoire Des arbres aux cycles

Cycles et construction bar

Définitions : DGA, construction bar et modèle 1-minimal

Construction bar sur une algèbre différentielle graduée

Définition (DGA)

Soit A= ⊕A^k une algèbre graduée et d :A^k −→A^k+1 une différentielle. Pour a dans A^k on note |a|=k son degré. A est :

graduée commutative si a·b= (−1)^|a||b|b·a différentielle si d satisfait la règle de Leibniz :

d(a·b) =d(a)·b+ (−1)^|a|a ·d(b)

On suppose A augmentée et on note A⁺ = ker(ε:A−→Q).

Définition (Construction bar)

La construction bar sur Aest : B(A) =⊕n(A⁺)^⊗n ⊂ ⊕n(A)ⁿ. B(A) admet une structure d’algèbre de Hopf différentielle graduée commutative (x, D, ∆).

Problème général

Décrire les groupes de cohomologie d’une DGA (A,d).

; On va remplacer A par une DGA plus simple à contrôler.

Cycles sur P1\ {0,1,∞}

I. Soudères

Introduction Définitions Complexe de cycles Cycles et motifs de Tate mixtes Idée géométrique

Premiers exemples Combinatoire Des arbres aux cycles

Cycles et construction bar

Définitions : DGA, construction bar et modèle 1-minimal

Modèle 1-minimal

Définition (DGA génériquement nilpotente)

Une extension de Hirsch de A est de la forme : A⊗Λ(V) où : V = Q.v tel que dV ∈(A⁺)² et v de degré k.

Une DGA A est génériquement nilpotente si :

on aQ ⊂A₁ ⊂. . .⊂A_l ⊂. . .

A=

S

A_l

A_l =A_l−1⊗Λ(V_l) est une extension de Hirsch ; en particulierA= Λ(V).

Théorème (Sullivan)

Soit A une DGA cohomologiquement connexe.

Il existe une DGA génériquement nilpotente M_A = Λ(V) et un morphisme

ϕ:MA −→A induisant :

H⁰(MA)' H⁰(A), H¹(MA) 'H¹(A), H⁰(MA),→H⁰(A).

On parle de modèle 1-minimal

Cycles sur P1\ {0,1,∞}

I. Soudères

Introduction Définitions Complexe de cycles Cycles et motifs de Tate mixtes Idée géométrique

Premiers exemples Combinatoire Des arbres aux cycles

Cycles et construction bar

Définitions : DGA, construction bar et modèle 1-minimal

Modèle 1-minimal

Remarque

Soit A= Λ(V) génériquement nilpotente avec V en degré 1.

V admet alors une structure de coalgèbre de Lie : V −→^d Λ²(V) =V ∧V où d² = 0 est dual de l’identité de Jacobi.

Construction inductive du modèle 1-minimal

1 On pose :V₁ = H¹(A) en degré 1 et M₁ = Λ(V₁).

2 On pose :V_i+1 = ker(H²(M_i) −→^ϕi H²(A)) en degré 1 et Mi+1 =Mi ⊗Λ(Vi+1).

3 On pose enfinV = ∪Vi et M = ∪Mi.

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I. Soudères

Introduction Définitions Complexe de cycles Cycles et motifs de Tate mixtes Idée géométrique

Premiers exemples Combinatoire Des arbres aux cycles

Cycles et construction bar

Construction du complexe de cycles de Bloch-Kriz

Par la suite on note X = Spec(Q) ou X =P¹ \ {0,1,∞}.

Bloch et Kriz définissent une DGA à partir de groupes de cycles.

Le cube

On note ⁿ pour l’espace affine (P¹\ {1})ⁿ

lesfaces de ⁿ sont données parui₁ =. . .=ui_l = 0,∞.

Groupes de cycles

Z^p(X,n) est le groupe libre Z

*

W ⊂X ×ⁿ tel que

(

codim(W∩X×F)=pou W∩X×F=∅

+

Opérations

Différentielled : Z^p(X,n)−→Z^p(X,n−1) définie par intersection avec les facesd =

n

X

i=1

(−1)ⁱ⁻¹(∂₀ⁱ −∂_∞ⁱ ).

Action de (Z/2Z)ⁿ et de Sn sur ⁿ. On note Altn le projecteur induit sur Z^p(X,n).

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I. Soudères

Introduction Définitions Complexe de cycles Cycles et motifs de Tate mixtes Idée géométrique

Premiers exemples Combinatoire Des arbres aux cycles

Cycles et construction bar

Construction du complexe de cycles de Bloch-Kriz

Définition (N

)

Soit N_X^k(p) le groupe Alt2p−k(Z^p(X,2p−k)) placé en degré k.

On obtient un complexe

N_X^•(p) : · · · −→ N_X^k(p) −→ N^∂ _X^k+1(p) −→ · · · On pose N_X^• =

L

pN_X^•(p).

Produit

On définit un produit :

N_X^k(p)× N_X^l(q) −→ N_X^k+l(p+q)

par concaténation des coordonnées, pull-back par la diagonale et projection par Alt2(p+q)−(k+l) :

X×^2p−k×X×^2q−l →^∼ X×X×2(p+q)−(k+l)

←X×2(p+q)−(k+l)

.

Proposition ([BK94])

N_X^• est une algèbre différentielle graduée. Ses groupes de cohomologie sont les groupes de Chow supérieurs de X .

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I. Soudères

Introduction Définitions Complexe de cycles Cycles et motifs de Tate mixtes Idée géométrique

Premiers exemples Combinatoire Des arbres aux cycles

Cycles et construction bar

Cycles et motifs de Tate mixtes

On note

MTM(X) la catégorie des motifs de Tate mixtes sur X XX l’algèbre de Hopf associée à la catégorie tannakienne MTM(X).

M_X la coalgèbre de Lie correspondante.

Théorème (X = Spec( Q ) : [BK94] ; X = P

\ {3 pts} : [Lev11] )

MN_X ' Λ(H⁰(B(N_X))⁺/produits).

On a de plus les isomorphismes suivants :

XX ' H⁰(B(NX)) et MX ' (H⁰(B(NX))⁺/produits.

Remarque

Le H⁰ de la construction bar sur N_X redonne : Le modèle 1 minimal de N_X.

L’algèbre de Hopf des motifs de Tate mixtes sur X.

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I. Soudères

Introduction Définitions Complexe de cycles Cycles et motifs de Tate mixtes Idée géométrique

Premiers exemples Combinatoire Des arbres aux cycles

Cycles et construction bar

Cycles et motifs de Tate mixtes

Ici, X =P¹ \ {0,1,∞}.

Théorème ([Lev11])

On a de plus la suite exacte courte de coalgèbre de Lie : 0 −→ M_Q −→ MX −→ Mgeom −→0

où Mgeom est (comme espace) la coalgèbre de Lie associée à π\₁^top(X)

uni

.

π₁^top(X) est libre à 2 générateurs.

On a π\₁^top(X)

uni

= π₁^mot(X), le groupe fondamental motivique défini par Deligne et Goncharov.

Question

Donner une base explicite de M_X = H⁰(B(N_X))⁺/produits (relativement à M_Q) :

à partir de cycles explicites dansX ×^•,

compatible avec la différentielle (induite par ∆_H0(B(N_X))).

Cycles sur P1\ {0,1,∞}

I. Soudères

Introduction Définitions Complexe de cycles Cycles et motifs de Tate mixtes Idée géométrique

Premiers exemples Combinatoire Des arbres aux cycles

Cycles et construction bar

Cycles et motifs de Tate mixtes

0 M_Q MX Mgeom 0

Objectifs

Obtenir une section.

Décrire la coaction dM_X :Mgeom −→ M_Q ∧ Mgeom, c’est à dire le coproduit motivique de Goncharov.

Obtenir des cycles algébriques correspondant aux MZV.

Idée : construction inductive du 1-modèle minimal

Base du H¹(N_X) :L_[0] = [t;t], L_[1] = [t,1−t]⊂ X×¹. ker(H²(Mi) −→^ϕi H²(A)) : on utilise le diagramme

b=

P

αk,lck∧cl

P

αk,lϕi(ck)·ϕi(cl) 0

∃c ∈ N_X¹

ϕ_i d

d

∈ M_i² ∈ N_X²

.

Difficultés

Combinatoires : quelles combinaisons linéaires

P

αk,lck∧cl

conviennent ?

Géométriques : comment décrirec ⊂X ×^2p−1 explicitement ?

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I. Soudères

Introduction Définitions Complexe de cycles Cycles et motifs de Tate mixtes Idée géométrique Premiers exemples Combinatoire Des arbres aux cycles

Cycles et construction bar

Idée géométrique

Supposons que l’on ait :

Les cycles désirés jusqu’en poids 6p : c1, . . .cN

et b=

P

α_ik,ilci_k ∧ci_l ⊂X ×^2(p+1)−2 tel que b−→^d 0.

Question :

À quelles conditions a-t-on c∈ NX tel que d(c) =b?

Approche : X = P

\ {0, 1, ∞} ⊂ A

On considère (N_A¹,d_A¹). Soit b la clôture de b dans A¹×^2(p+1)−2. Si d_A¹(b) = 0 alors il existe c ∈ N¹

A¹ et c⊂X ×^2(p+1)−1. Dans ce casc =µ^∗(b) où µ est induit par la multiplication A¹×A¹ →A¹ :

X ×¹ ×^2(p+1)−2 X ×^2(p+1)−2

[t;u1,u2, . . . ,u2(p+1)−1] [_1−u^t

1;u2, . . . ,u2(p+1)−1].

µ

Pour avoird_A1(b) = 0, on veut imposer b|₀ =∅ et c_ik|₁ = 0 dès que c_il =L₁.

Par construction on ac|0 = ∅.

Cycles sur P1\ {0,1,∞}

I. Soudères

Introduction Premiers exemples Cycles et polylogarithmes Poids 3 : première correction pour t= 1 Exemples combinatoires

Combinatoire Des arbres aux cycles

Cycles et construction bar 1 Introduction

Définitions : DGA, onstruction bar et modèle 1-minimal Construction du complexe de cycles de Bloch-Kriz Cycles et motifs de Tate mixtes

Idée géométrique

2 Premiers exemples

Cycles et polylogarithmes

Poids 3 : première correction pour t = 1 Poids 4, 5 et 6 exemples formels choisis

3 Combinatoire : crochets de Lyndon, arbres et différentielle Arbres et algèbre de Lie

Arbres duaux des crochets de Lyndon Une autre différentielle sur les arbres

4 Des arbres aux cycles sur P¹\ {0,1,∞}

Des arbres aux cycles : une première approche Cas de L_[011] : problème d’admissibilité en t = 1 Cycles admissibles pour “t = 1”

5 Cycles et construction bar Cycles et constrcution bar

Cycles sur P1\ {0,1,∞}

I. Soudères

Introduction Premiers exemples Cycles et polylogarithmes Poids 3 : première correction pour t= 1 Exemples combinatoires

Combinatoire Des arbres aux cycles

Cycles et construction bar

Cycles et polylogarithmes

Par la suite X =P¹ \ {0,1,∞}. On pose :

L_[0] = [t;t] et L_[1] = [t; 1−t] ⊂X ×¹.

Poids 2 : L

; Li

(t)

On considère la combinaison

b=L[0]·L[1] = [t;t,1−t]⊂ Xײ. On a b|0 = b|1 = ∅. Le pull-back par

X׹ײ X ײ [t;u1,u2,u3] [_1−u^t

1;u2, . . . ,u3]

µ

donne le cycle de Totaro déjà présent dans [BK94]

L_[01] = µ^∗(b) = [t; 1− t x1

,x1,1−x1]∈ N_X¹(2).

Remarque

L_[01] s’étend sur A¹.

L_[01]|_t=0= ∅ et L_[01]|_t=1 est bien défini.

L[01] correspond à la fonction Li2(t).

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Introduction Premiers exemples Cycles et polylogarithmes Poids 3 : première correction pour t= 1 Exemples combinatoires

Combinatoire Des arbres aux cycles

Cycles et construction bar

Cycles et polylogarithmes

Polylogarithmes : L

; Li

(t)

Par récurrence, on construit les cycles Ln = L[0···01]. On considère : b= L_[0]·Ln−1.

On a alors d(b) =L_[0]·L_[0]·Ln−2 = 0 et

b|t=0,1(L_[0]·Ln−1)|0,1 = ∅.

On en déduit qu’il existe

Ln ⊂ X ײⁿ⁻¹ tel que d(Ln) =L_[0]·Ln−1 ⊂ Xײⁿ⁻². Le calcul de µ^∗(b) donne en particulier

Ln = [t; 1− t xn−1

,xn−1,1−xn−1

xn−2

,xn−2, . . . ,1−x₂ x1

,x1,1−x1]∈ N_X¹(p).

Remarque

Ln s’étend sur A¹ et Ln|t=0 = ∅.

On retrouve en particulier l’expression donnée dans [BK94].

Ln =L[0···01] correspond à Lin(t) ([BK94]).

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Introduction Premiers exemples Cycles et polylogarithmes Poids 3 : première correction pour t= 1 Exemples combinatoires

Combinatoire Des arbres aux cycles

Cycles et construction bar

Poids 3 : première correction pour t = 1

On a vu L_[001] tel que d(L_[001]) =L_[0]·L_[01].

Le cas de L

On peut aussi considérer le produit b=L_[01]·L_[1] = [t; 1− t

x1

,x1,1−x1,1−t].

Mais alors

d_A1(b) =L_[01]|t=1·[1; 0] 6= 0.

On introduit le cycle constant L_[01](1) tel que

∀a ∈ X L_[01]|t=a =L_[01]|t=1. Concrètement : L[01](1) = [t; 1− 1

x1

,x1,1−x1,1−t]⊂X ׳. On considère la combinaison linéaire

b= (L_[01]−L_[01](1))·L_[1]. On a bien :

d(b) = 0, d_A1(b) = 0, b|_t=0 = ∅.

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I. Soudères

Introduction Premiers exemples Cycles et polylogarithmes Poids 3 : première correction pour t= 1 Exemples combinatoires

Combinatoire Des arbres aux cycles

Cycles et construction bar

Poids 3 : première correction pour t = 1

Le cas de L

Le pull-back par la multiplication de

b= (L_[01]−L_[01](1))·L_[1]

donne alors :

L_[011] = µ^∗(b) =[t; 1− t x2

,1− x2

x1

,x1,1−x1,1−x2] + [t; 1− t

x2

,1−x2,1− 1 x1

,x1,1−x1]

Le cycleL_[011] est bien défini sur X =P¹ \ {0,1,∞}.

On a d(L_[011]) =b= (L_[01]−L_[01](1))·L_[1].

Remarque

L_[011] n’est pas admissible au point t = 1.

Ce problème est similaire à celui rencontré dans [GGL09].

Cycles sur P1\ {0,1,∞}

I. Soudères

Introduction Premiers exemples Cycles et polylogarithmes Poids 3 : première correction pour t= 1 Exemples combinatoires

Combinatoire Des arbres aux cycles

Cycles et construction bar

Poids 4, 5 et 6 exemples formels choisis

Supposons pour l’instant que

Ceci pour nous concentrer sur la combinatoire.

Question combinatoire

Quelles sont les combinaisons linéaires b=

P

αi_k,i_lci_k ∧ci_l possibles ? On suppose à chaque fois pouvoir construire lec tel que

d(c) =b.

Poids 4

Un exemple similaire à L_[011] :

d(L_[0111]) = (L_[011]−L_[011](1))·L_[1].

La multiplication parL_[1] induit une correction par −L_[W](1).

La correction en −L_[01](1) deL_[011] “se propage” :

d(L_[0011]) =L_[0]·L_[011] + (L_[001]−L_[001](1))·L_[1]+L_[01]·L_[01](1)

Cycles sur P1\ {0,1,∞}

I. Soudères

Introduction Premiers exemples Cycles et polylogarithmes Poids 3 : première correction pour t= 1 Exemples combinatoires

Combinatoire Des arbres aux cycles

Cycles et construction bar

Poids 4, 5 et 6 exemples formels choisis

Poids 5

En poids 5 apparaissent les premiers exemples tels que d(L_[–])|t=16= 0 :

d(L_[01011]) =L_[01] ·L_[011]+ (L_[0011]−L_[0011](1))·L_[1]

+2L_[011] ·L_[01](1) Jusqu’à présent d(L_[−](1)) = 0.

Ces termes n’interviennent pas dans le calcul de d(b) = 0.

Ce n’est plus le cas en poids 6.

Poids 6

On a par exemple :

d(L_[010111]) =L_[01]·L_[0111]+ (L_[00111]−L_[00111](1))·L_[1]

(L_[01011]−L_[01011](1))·L_[1]

+3L_[0111]·L_[01](1)+2L_[011]·L_[011](1).

Le terme en d(−L_[01011](1)·L_[1]) =L_[01](1)·L_[011](1)·L_[1]

vient compenser les termes similaires provenant de

d(L_[0111]·L_[01](1)) et d(L_[011] ·L_[011](1)).

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I. Soudères

Introduction Premiers exemples Cycles et polylogarithmes Poids 3 : première correction pour t= 1 Exemples combinatoires

Combinatoire Des arbres aux cycles

Cycles et construction bar

Poids 4, 5 et 6 exemples formels choisis

Observations : les combinaisons linéaires b se composent :

d’une correction “géométrique et combinatoire” enrouge lors de la multiplication par L_[1];

d’un “terme correctif” enbleu correspondant à “une propagation”.

cadre combinatoire

La partie principale est :

duale aux crochets de Lyndon dans Lie(X₀,X₁), l’algèbre de Lie libre ;

codée par des arbres trivalent avec d_Lie dual au crochet de Lie.

Les termes correctifs sont liés à une autre différentielle d_cy sur lesmêmes arbres.

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Introduction Premiers exemples Combinatoire

Arbres et algèbre de Lie

Arbres duaux des crochets de Lyndon Une autre différentielle sur les arbres

Des arbres aux cycles

Cycles et construction bar 1 Introduction

Définitions : DGA, onstruction bar et modèle 1-minimal Construction du complexe de cycles de Bloch-Kriz Cycles et motifs de Tate mixtes

Idée géométrique

2 Premiers exemples

Cycles et polylogarithmes

Poids 3 : première correction pour t = 1 Poids 4, 5 et 6 exemples formels choisis

3 Combinatoire : crochets de Lyndon, arbres et différentielle Arbres et algèbre de Lie

Arbres duaux des crochets de Lyndon Une autre différentielle sur les arbres

4 Des arbres aux cycles sur P¹\ {0,1,∞}

Des arbres aux cycles : une première approche Cas de L_[011] : problème d’admissibilité en t = 1 Cycles admissibles pour “t = 1”

5 Cycles et construction bar Cycles et constrcution bar

Cycles sur P1\ {0,1,∞}

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Introduction Premiers exemples Combinatoire

Arbres et algèbre de Lie

Arbres duaux des crochets de Lyndon Une autre différentielle sur les arbres

Des arbres aux cycles

Cycles et construction bar

Arbres et algèbre de Lie

Définition

On note T^t le Q-espace vectoriel engendré par : les arbres trivalents enracinés

aux feuilles décorées par 0 et 1.

On pose

T^t,r = T/

T₁

T₂T₃

= −

T₁

T₃T₂

!

On munit T^t,r de la loi interne définie par

•

T₁ T₂

•

T₃ T₄

=

•

T₁T₂T₃T₄

.

Remarque

La relation correspond au crochet de Lie :

T^t,r ⊗ T^t,r −→ T^t,r T1 ⊗T2 7−→[T1;T2].

est antisymétrique mais ne vérifie pas Jacobi.

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Introduction Premiers exemples Combinatoire

Arbres et algèbre de Lie

Arbres duaux des crochets de Lyndon Une autre différentielle sur les arbres

Des arbres aux cycles

Cycles et construction bar

Arbres et algèbre de Lie

Lemme

On a : T^t,r/identité de Jacobi' Lie(X0,X1).

Définition

Un mot de Lyndon en X0 et X1 est tel que

W = U ·V U,V 6=∅ ⇒ W <lexi. V. Soit W un mot de Lyndon. On définit par récurrence

[W] = [[W1],[W2]]∈ Lie(X0,X1) avec

W2 minimal.

Propriété des crochets de Lyndon

L’écriture [W] = [[W1],[W2]] avec W1 < W2 est unique.

Les crochets de Lyndon [W] forment une base de Lie(X0,X1).

Les ([W1]∧[W2])W₁<W₂ forment une base de Lie(X0,X1)^∧2. Le crochet de Lie [ ; ] s’écrit dans ces bases :

[[W1],[W2]] =

X

W

α_W1,W2,W[W].

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Introduction Premiers exemples Combinatoire

Arbres et algèbre de Lie

Arbres duaux des crochets de Lyndon Une autre différentielle sur les arbres

Des arbres aux cycles

Cycles et construction bar

Arbres duaux des crochets de Lyndon

On a alors un ordre total < sur T et une base T de T^t,r : T=

(

T tel que

T1T2

sous arbre de T ⇒T1 < T2

)

Dualité

On identifie T^t,r à son dual via la baseT.

On obtient coLie(X₀,X₁) comme sous espace deT^t,r.

On a (T_[W])_W la base duale des crochets de Lyndon ([W])_W. On a une différentielle duale du crochet :

d_Lie : coLie(X₀,X₁) −→coLie(X₀,X₁)^∧2, d_Lie( •

T₁T₂

) = •

T₁

∧ •

T₂

.

Proposition

On a par dualité : dLie(T[W]) =

X

W₁<W₂

α_W1,W2,WT[W₁]∧T[W₂]. On peut de plus construire les TW par récurrence :

T_[W] =

X

W₁<W₂

αW₁,W₂,WT_[W1] T_[W2].

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Arbres et algèbre de Lie

Arbres duaux des crochets de Lyndon Une autre différentielle sur les arbres

Des arbres aux cycles

Cycles et construction bar

Arbres duaux des crochets de Lyndon

Exemples

Poids 1, 2 et 3

•

0

|{z}

T_[0]

•

1

|{z}

T_[1]

•

0 1

| {z }

T_[01]

•

0 0 1

| {z }

T_[001]

•

0 1 1

| {z }

T_[011]

Poids 4

•

0 0 0 1

| {z }

T_[0001]

•

0 0 1 1

+

•

0 0 1 1

| {z }

T_[0011]

•

0 1 1 1

| {z }

T_[0111]

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Arbres et algèbre de Lie

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Des arbres aux cycles

Cycles et construction bar

Une autre différentielle sur les arbres

Arbres et cycles

Dans [GGL09], Gangl, Goncharov et Levin introduisent une différentielled_cy sur des arbres.

La différentielledcy reflète la différentielle dans N_Spec(Q).

Définition

Une orientation ω d’un arbre T est une numérotation des arrêtes.

Les arbres orientés de [GGL09]

On pose V^t le Q-espace vectoriel engendré par les forêts d’arbres T

orientés,

à la racine décorée : t, 0 ou 1 aux feuilles décorées par 0 ou 1

L’union disjointe induit un produit noté ·

L’algèbre T

On note T^dec,or l’algèbre quotient de V^t par les relations : (T, σ(ω)) =ε(σ)(T, ω),

T1T2

0 = 0 et ¹

0

= 0.

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Introduction Premiers exemples Combinatoire

Arbres et algèbre de Lie

Arbres duaux des crochets de Lyndon Une autre différentielle sur les arbres

Des arbres aux cycles

Cycles et construction bar

Une autre différentielle sur les arbres

d

: Contraction d’arêtes

Soit e une arête d’un arbre T. La contraction T/e deT à e est : Si e contient la racine ^e

t

p q r

; ^t

p q r ; ^{t t t}

p q r

Si e contient une feuille :

e t

p q r

;

t

p q

r ; _{r r}

t

p q

r

Si e est interne : on contracte simplement.

On a une orientation induite sur T/e.

Définition

La différentielle d_cy est définie par : dcy(T, ω) =

X

e∈T

(T/e,ie(ω)) et la règle de Leibniz.

Proposition

T^dec,or muni de dcy est une DGA.

Cycles sur P1\ {0,1,∞}

I. Soudères

Introduction Premiers exemples Combinatoire

Arbres et algèbre de Lie

Arbres duaux des crochets de Lyndon Une autre différentielle sur les arbres

Des arbres aux cycles

Cycles et construction bar

Une autre différentielle sur les arbres

Proposition (Soud.)

Soit W un mot de Lyndon. On note encore T_[W] son image dans T^dec,or (t décore la racine). On a

dcy(T_[W]) =

X

W₁<W₂

αW₁,W₂,WT_[W1] ·T_[W2]

+

X

W₁6W2

βW₁,W₂,WT_[W1]·T_[W2](1)+

X

W₁<W₂

βW₂,W₁,WT_[W2]·T_[W1](1) (ED-T) où T_[W2](1) désigne l’arbre T_[W2] avec la racine décorée par 1.

Idée de la preuve (par récurrence).

Commed_Lie² = 0, les arêtes internes ne contribuent pas.

Les termes enT_[W2](1) viennent des feuilles décorées par 1.

La décomposition de crochets dans la base de Lyndon montrent que l’on a exactement des termes en T_[W1]·T_[W2](1).

Cycles sur P1\ {0,1,∞}

I. Soudères

Introduction Premiers exemples Combinatoire

Arbres et algèbre de Lie

Arbres duaux des crochets de Lyndon Une autre différentielle sur les arbres

Des arbres aux cycles

Cycles et construction bar

Une autre différentielle sur les arbres

Exemples

dcy









t

0 1 1









=

t

0 1

· ^t

1

+ ^t

1

·

1

0 1

T_[0011] : d_cy







t

0 0 1 1

+

t

0 0 1 1







t 0

·

t

0 1 1

+

t

0 0 1

· ^t

1

+

t

0 1

·

1

0 1

Cycles sur P1\ {0,1,∞}

I. Soudères

Introduction Premiers exemples Combinatoire

Arbres et algèbre de Lie

Arbres duaux des crochets de Lyndon Une autre différentielle sur les arbres

Des arbres aux cycles

Cycles et construction bar

Une autre différentielle sur les arbres

Un exemple en poids 5 : T

t

0 1 0 1 1

+

t

0 0 1 1 1

+

t

0 0 1 1 1 dcy

7−→

t

0 1

·

t

0 1 1

+











t

0 0 1 1

+

t

0 0 1 1











·

t

1

+

t

1

·











1

0 0 1 1

+

1

0 0 1 1











+ 2

t

0 1 1

·

1

0 1

Cycles sur P1\ {0,1,∞}

I. Soudères

Introduction Premiers exemples Combinatoire

Arbres et algèbre de Lie

Arbres duaux des crochets de Lyndon Une autre différentielle sur les arbres

Des arbres aux cycles

Cycles et construction bar

Une autre différentielle sur les arbres

Un exemple en poids 5 : T

t

0 1 0 1 1

+

t

0 0 1 1 1

+

t

0 0 1 1 1 d_cy

7−→

t

0 1

·

t

0 1 1

+











t

0 0 1 1

+

t

0 0 1 1











· ^t

1

+

t

1

·











1

0 0 1 1

+

1

0 0 1 1











+ 2

t

0 1 1

·

1

0 1

Cycles sur P1\ {0,1,∞}

I. Soudères

Introduction Premiers exemples Combinatoire Des arbres aux cycles

Une première approche Cas deL[011]

Cycles admissibles pour “t= 1”

Cycles et construction bar 1 Introduction

Définitions : DGA, onstruction bar et modèle 1-minimal Construction du complexe de cycles de Bloch-Kriz Cycles et motifs de Tate mixtes

Idée géométrique

2 Premiers exemples

Cycles et polylogarithmes

Poids 3 : première correction pour t = 1 Poids 4, 5 et 6 exemples formels choisis

3 Combinatoire : crochets de Lyndon, arbres et différentielle Arbres et algèbre de Lie

Arbres duaux des crochets de Lyndon Une autre différentielle sur les arbres

4 Des arbres aux cycles sur P¹\ {0,1,∞}

Des arbres aux cycles : une première approche Cas de L_[011] : problème d’admissibilité en t = 1 Cycles admissibles pour “t = 1”

5 Cycles et construction bar Cycles et constrcution bar

Cycles sur P1\ {0,1,∞}

I. Soudères

Introduction Premiers exemples Combinatoire Des arbres aux cycles

Une première approche Cas deL_[011]

Cycles admissibles pour “t= 1”

Cycles et construction bar

Des arbres aux cycles : une première approche

Observation

Le système (ED-T) redonne les exemples formels précédents (T_[W] ;L_[W]).

On a donc trouvé un cadre combinatoire.

Passer des arbres aux cycles

Dans [GGL09], Gangl, Goncharov et Levin associent un cycle à un arbre de la façon suivante :

À chaque arête correspond un facteur ¹ de ⁿ.

Les sommets internes sont décorés par des paramètres xi.

x_i

xi+1

7→1− xi

xi+1

,

x_i

0

7→xi,

x_i

1

7→1−xi.

Problème

Les cycles obtenus ne sont pas admissibles.

Cependant :

Considérer le “système différentiel” correspondant à (ED-T) donne d’autres cycles.

Au départ notre problème est une construction inductive.

Cycles sur P1\ {0,1,∞}

I. Soudères

Introduction Premiers exemples Combinatoire Des arbres aux cycles

Une première approche Cas deL[011]

Cycles admissibles pour “t= 1”

Cycles et construction bar

Des arbres aux cycles : une première approche

Système “différentiel”

On considère dans NX le système “différentiel” suivant : d(L_[W]) =

X

W₁<W₂

αW₁,W₂,WL_[W1]·L_[W2]

+

X

W₁6W2

βW₁,W₂,WL_[W1]·L_[W2](1)+

X

W₁<W₂

βW₂,W₁,WL_[W2]·L_[W1](1) (ED-L) où :

W, W1, W2 sont des mots de Lyndon ;

L_[W2](1) désigne le cycle constant égal à L_[W2]|t=1; αW₁,W₂,W et βW₁,W₂,W sont ceux de (ED-T).

Question

Peut on construire les cycles L_[W] satisfaisant (ED-L) ?

Remarque

Il est essentiel d’avoir des cycles définis sur A¹.

En particulier les cycles doivent être admissibles pourt = 1.

Les cycles restreints àt = 1 correspondent aux MZV.