N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
S. M OCH
Note sur la décomposition des fractions rationnelles
Nouvelles annales de mathématiques 2
esérie, tome 1 (1862), p. 339-341
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( 3 3 9 )
NOTE
SDR LA DECOMPOSITIE M » FRACTIONS RATIONNELLES;
PAR M. S. MOCH,
Professeur de mathématiques à FÊeofe ntiKtùiré 4e t* Flèche.
Remarque. — En cherchant la différence entre les fractions et p on trouveC C
x — a x— b
_ C(a—b) x—a x—b {x-*~ a) (x~~ b\
d'où
La formule (i) donne le moyen de décomposer immédia-
Q
tement une fraction de la forme, — — en deux (# — a)(x—b)
fractions simples de la forme et -— i •
*" x— a x — b
En remarquant que (a — b) est la différence entre les factemrs {x—b) et (x — a), la loi de décomposition appa- raît à la simple inspection de la formule (i). En appli- quant cette loi aux fractions -. •^r} ? — — ,
^ (x—6)(ar — 2) x(x — 5)
~} TT > on écrira immédiatement ) (x —3)
i3 i3 i3 de même
3 _ 3 3_
22.
( 3 4 o ) et encore
'7 = ' '?
de* racines inégales.
Soit la fraction rationnelle ~ - ? et soit r a:
F * = ( x - a) (x - 6) (x — c) ... (* — *), on aura, en effectuant la division de fx par x — a,
fx
=A*+
ADivisons les deux membres par (x — &),
{x — a){x—b)~~j2U'"r~ x — b^ (x—a)(x—b) '
mais, en vertu de la formule ( î ) ,
A _ M A' (x — a) (x — b) x — a x — b*
il viendra donc en substituant
fx B A' A' (x — o)(x—b) x — b x — a x — b et après réduction
A' B'
x — a x—b Divisant par x—c, il viendra
( x — a){x — b)(x--c) •/ 3~~"r x— — « ) ( x — c )
( 34i ) mais, en vertu de la formule (i),
A' A" A"
(x—a)[x — c) x — a x — c B' B" B"
C x — B"
. i ,
c
b M' x — a
B"
x — c1
A"
x — c remplaçant, il viendra
lx-a){x-b){x-c)-
et après réduction
fx - A" B" C"
-— —— z= fzx H 1 7 H ' (x—a)(x — b)[x — c) x — a x. — b x — c
* On trouvera de même
(.r — a)(x— b)(x — c)(x — d) ' * x — a ^'x — b C" D'"
H 1 x — c x—d et en continuant
fx
— k
