Théorème d'Euler sur l'aire du secteur parabolique (voir tome XV, page 13)

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N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

Théorème d’Euler sur l’aire du secteur parabolique (voir tome XV, page 13)

Nouvelles annales de mathématiques 1

^re

série, tome 16

(1857), p. 33-37

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THÉORÈME D'EILER SIR L'AIRE DU SECTEUR PARABOLIQUE

(voir tome XV, page 13)

p_

r

, _ ±

COS"2 — o 4I C° S2 — <p' 2 T 2 T

on a

4 /T' sin5-(

2 4 - r — 2COS- I. i

2

»«. dt Mathcmat., t. XVI. (Janvier 1857.)

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é^ale ai re du segment parabolique compris entre r et

S, = J [(2/4-^) sl^p — P^î^{^r-hp)\l6^krp —/>']

égale aire du segment compris entre r et r'.

4 ,-—ƒ> =

r H- r' — ? cos - G sjrr'

r -f- r'— 2 cos-9 \Irr'-\- 2 r7 sin2 — 0 2r-f- p —

r -\- r' — 2 cos - 0 y/y/rr'

On a des expressions semblables pour 4'¹' — f^{e t} ir'-^-p.

sjr — cos - 9 y/r est négatif, et

\[P — cos - G \[P

i

e*? positif. Donc

o. sjrisfr— cos - 9 y/r' \

v 4 ' — / » = - ••- •'— /-» = -

i/r-f-/-' — 2COS-9 <

a y/r' ( y/7' — cos - 9 y/r

y/777.

^{cos - 9}

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( 35 )

Substituant ces valeurs dans S^t , on â.

6S, A-f-B

A = r' ( r -f- r' — 2 cos - Ô \jrr' -f- 2 r sinJ -

\ 2 V 2

B = r ( r -h r' — 2 cos - 6 drr' -\-ir' s i ns- €

\ 2 2 X ( \Tr — cos — ô Jr ' J Jrt

/ j \ 7

C r= r - f r ' — 2 cos - Ô y/rr' J ;

A -+• B = ( r - W ' — 2 cos - 0

X (/*-+• rr)J — ( r - f - r ^ c o s - Ô v / ^ r7 — 2 r r;c o s ' -

= ( r -f- r -+- cos

d'où

- ô \frr\ ( r -f- rr — 2 cos - Ö ^ ^ ) i

S, = ^ ( r-f-rj -+• cos-0

y^) \Jp

Observation. On parvient au même résultat en suppo- sant ç et <p' de signes opposés.

Soit s la longueur de la corde qui joint les extrémités des rayons vecteurs r et r' -, on a

2 COS 2

~Ô \frP = ± y^r-f- r'Y — s⁷,

le signe supérieur lorsqu'on a o <^Q<^ 180, et le signe 3,

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( 3 6 ) infénVui pour i8o<^6<^36o. Donc

S. = — [o (r-f- r')±\J(r -+- rrf —

< «'II

doit et!eP

('•+-

~~ \

\ r

>sitif.

r' -

i

-h r

j +

(r +

r -f- i' r'-s\-

* )

7 - h r -v- i- r -*- r H- % _ _ — d, — - -

t)(\U

Telle est la belle expression de l'aire du secteur para- bolique tromée par Euler [Misccll. Bcrolin.. t. M I , p. sto). Mais Euler n'en a tiré aucun parti, et le théo- rème était tellement oublié, que Lambert croyait l'avoir découvert, ainsi qu'on le voit dans son ouvrage : Iusignio- res orbùœ cometarmnpvoprietjtes, Aug. ^ indelie., 1761,

§ 83 , et dans ses Beitrage, partie III, p . 257, 1763, et depuis on a en effet attribué le théorème à Lambert. C'est M. Gauss qui a re\endiqué les droits d'Euler [Motus thcon'œ planct^ p. 119; 1809). Il est pourtant vrai que 1 ambcrt est le premier qui ait étendu le théorème à l'el- lipse et à Fhyperbole.

31. Gentil, chef d'institution, u publié en i854? chez:

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Mallet-Bachclier : Démonstration dun théorème da Lambert par la géométrie, in-8 de 8 pages. Cette dé- monstration est fondée sur des théorèmes énoncés dans un programme de l'université de Dublin (Nouvelles An- nales, 1847, l- Y I ? P- 4~)O? n°S 5-12).