OUTILS VECTORIEL ET ANALYTIQUE EN GEOMETRIE PLANE.
I. LES VECTEURS.
1
1.. GGéénnéérraalliittééss
A tout couple de points (A ; B) est associé un vecteur AB→→→→ (que l’on peut noter avec une seule lettre : AB→ = u→) Quand A = B, AB→ = AA→→→→ = o→→→→
Un vecteur u→ a une infinité de représentants, mais UN SEUL, d’origine ou d’extrémité fixée.
c’est à dire : quels que soient le vecteur u→ et le point A, il existe un seul point M tel que AM→ = u→ quels que soient le vecteur u→ et le point B, il existe un seul point M tel que MB→ = u→ la norme de AB→ est la longueur AB. On note ||AB→|| = AB. (u→ est dit « unitaire » quand ||u→|| = 1)
Dans le plan, l’ensemble des vecteurs, noté V, est appelé le plan vectoriel.
22.. EEggaalilittéé ddee vveecctteeuurrss..
2 vecteurs non nuls sont égaux s’ils ont même direction, même sens et même norme.
quand A, B, C et D ne sont pas alignés : AB→→→→ = CD→→→→ ⇔ ABDC est un parallélogramme
⇔ (A ; D) et (B ; C) ont le même milieu.
⇔ AC→ = BD→ 33.. AAddddiittiioonn ddee vveecctteeuurrss..
relation de Chasles : AB→ + BC→ = AC→
AB→ + BA→ = AA→ = o→ ce qui signifie que AB→ et BA→ sont opposés. AB→ = −BA→ I est le milieu de [AB] ⇔ IA→ + IB→ = o→
règle du parallélogramme : OA→ + OB→ = OC→ avec OACB parallélogramme.
on en déduit que : 1. AB→ + AC→ = AD→ ⇔ ABDC est un parallélogramme 2. AB→ + AC→ = 2AI→ ⇔ I milieu de [BC]
exo : ABCD est un parallélogramme. E et F sont les points tels que AD→ = DF→ et AB→ = BE→. Montrer que E, C et F sont alignés.
44.. MMuullttiipplliiccaattiioonn dd’’uunn vveecctteeuurr ppaarr uunn rrééeell..
u→ étant un vecteur non nul et k un réel non nul, ku→→→→ est le vecteur tel que :
→u
et ku→ ont la même direction. On dit qu’ils sont colinéaires.
→u
et ku→ ont le même sens si k > 0 et des sens contraires si k < 0.
||ku→|| = |k|× ||u→||
1. a(u→ + v→) = au→ + av→
règles de calculs : pour tous vecteurs u→ et v→ et tous réels a et b : 2. a( bu→ ) = (ab) u→ 3. (a + b) u→ = au→ + bu→ 4. ku→ = o→ ⇔ u→ = o→ ou k = 0 conséquences : u→→→→ et v→→→→ sont colinéaires ⇔⇔⇔ il existe un réel k tel que u⇔ → = kv→. On notera u→ // v→
par convention o→ est colinéaire à tout autre vecteur.
applications : 3 points distincts A, B et C sont alignés ⇔ il existe un réel k non nul tel que AC→ = kAB→ 2 droites (AB) et (CD) sont parallèles ⇔ il existe un réel k non nul tel que CD→ = kAB→
exo : ABC est un triangle. I et J sont les milieux de [AB] et [AC]. G est le point tel que GA→ + GB→ + GC→ = o→. Montrer que G est le centre de gravité du triangle.
5
5.. VVeecctteeuurr ddiirreecctteeuurr dd’’uunnee ddrrooiittee..
un vecteur directeur d’une droite (D) est un vecteur dont la direction est celle de (D) Une droite (D) peut être définie par deux points A et B. ((D) = (AB))
dans ce cas : AB→ est un vecteur directeur de (D) et (A ; AB→) est un repère de (D)
M ∈ (D) ⇔ il existe un réel x tel que AM→ = x AB→. x est l’abscisse de M dans le repère (A ; AB→).
Une droite (D) peut être définie par un point A et un vecteur u→ non nul.
dans ce cas : →u est un vecteur directeur de (D) et (A ; u→) est un repère de (D)
M ∈ (D) ⇔ il existe un réel x tel que AM→ = xu→. x est l’abscisse de M dans le repère (A ; u→).
remarque : en posant u→ = AB→
, les deux situations précédentes sont les mêmes … si A et B sont deux points distincts :
toute égalité de type AC→ = x AB→ signifie que : C a pour abscisse x dans le repère (A ; AB→ ) de la droite (AB).
REMARQUE : tous les résultats du paragraphe I sont aussi valables dans l’espace.
exo : A et B étant 2 points donnés du plan, construire le point G tel que GA→ = 4GB→
exo : A et B sont deux points distincts du plan. C est le point d’abscisse ¾ dans le repère (A ; AB→) de (AB) a. montrer qu’il existe 2 réels a et b tels que a C→A + b CB→ = o→
b. montrer qu’il existe 2 réels c et d tels que c AC→ + d AB→ = o→ c. montrer qu’il existe 2 réels e et f tels que e BA→ + f BC→ = o→
exo : A et B sont deux points distincts du plan. C est le point d’abscisse k dans le repère (A,AB→ ) de (AB) même questions …
à quelle condition sur k, les trois points A, B et C sont−ils distincts ?
exo : ABCD est un parallélogramme. E et F sont les points tels que AB→ = 3AE→ et CD→ = 3CF→ montrer que [DB] et [EF] ont le même milieu.
II. GEOMETRIE ANALYTIQUE. Dans P muni d’un repère (O ; i→, j→) remarque : 3 points non alignés définissent un repère …« roue de secours »…
Si l’énoncé dit « ABC est un triangle » on peut travailler, par exemple, dans le repère (A ; AB→ ,AC→)
Si l’énoncé dit « ABCD est un parallélogramme » on peut travailler, par exemple, dans le repère (A ; AB→,AD→ ) Il n’y a plus qu’à trouver les coordonnées de tous les points intervenant dans le problème …
11.. CCoooorrddoonnnnééeess dd’’uunn vveecctteeuurr ::
u→ a pour coordonnées x et y ⇔ u→ = x i→ + y j→ ⇔ OM→ = x i→ + y j→ avec OM→ = u→ ⇔ M a pour coordonnées x et y.
propriétés : soit u→ (x ; y) et v→ (x’ ; y’)
1 u→ = v→ ⇔ x = x’ et y = y’ 2 u→ + v→ a pour coordonnées (x+x’ ; y+y’) 3 ku→ a pour coordonnées (kx ; ky)
soit A(xa,ya) et B(xb,yb) 1 AB→ a pour coordonnées (xb – xa ; yb – ya) 2 I milieu de [AB] a pour coordonnées (xA + xB
2 ; yA + yB 2 )
3 si (O ; i→ , j→) est un repère orthonormé, AB = (xb – xa)² + (yb – ya)² 2
2.. CCoolliinnééaarriittéé..
→u
(x ; y) et v→(x’ ; y’) sont colinéaires ⇔ xy’ − x’y = 0.
xy’ − x’y est le déterminant de u→ et v→ dans la base ( i→→→→ ; j→→→→). On note det (u→ ; v→) = x x' y y' remarque : une base du plan vectoriel est un couple de vecteurs non colinéaires.
exo : u→ (2 ; 3) et v→(a ; 1). déterminer a pour que u→//v→ . exo : A(3 ; 2), B(2 ; 0), C(0 ; −2) sont−ils alignés ?
exo : ABCD est un parallélogramme. E et F sont les points tels que AD→ = DF→ et AB→ = BE→. Montrer que E, C et F sont alignés.
