LA HOULE À TRAJECTOIRES FERMÉES EN PROFONDEUR FINIE

4 0 8 L A H O U I L L E B L A N C H E N ° 3 - JUILLET-AOÛT 1 9 5 7

La houle à trajectoires f e r m é e s en p r o f o n d e u r finie,

Closed trajectory waves in a f i n i t e d e p t h

J . K R A V T C H E N K O E T A . D A T J B E E T

Mme DUBREIL-JACOTIN a étendu au cas de la profondeur uniforme finie là solution classique de GERSTNER, en démontrant Vexistence d'une houle plane telle que toute molécule liquide décrit une trajectoire dans le temps T égal à la période de l'onde. La houle considérée est alors complètement caractérisée par la donnée à priori de son amplitude À.

En utilisant une variante de la méthode de W. MICHE, les auteurs explicitent les équations du phénomène jusqu'au troisième ordre inclu- sivement par rapport à À. La définition de ce paramètre à partir des arbitraires de MICHE a été précisée. Les formules relatives à la dis- tribution du tourbillon, à la célérité et à la forme de la surface libre, sont en accord avec les résultats généraux de Mme DUBREIL-JACOTIN

et de DAUBERT.

Moyennant certaines hypothèses restrictives, F . BIESEL a démontre que l'absence du transport de masse (an sens de LEVI-CIVITA) caractérisait la houle irrotationnelle; dans un dernier cha- pitre, les auteurs discutent la portée de ce résultat.

Mme DUBREIL-JACOTIN has exiended GERSTNER'S

well-known solution to the uni form finite depth case by demonstrating the existence of a plane wave such that each liquid molécule des- cribes in time T a trajectory that is equal to the period of the wave. The considered wave is thus completely characterised if its am- plitude A is given beforehand.

By using an alternative version of MICHE'.?

method, the authors explicit the équations of the phenomenon up to and including the Srd order with respect to A. The définition of this parameter,, based on MICHE\S arbitraries, has been precisely stated. The formulae applicable to the distribution of the vortex, the celerity, and the form of the free surface, agrée with the gênerai results obtained by Mme DUBREIL-

JACOTIN and DAUBERT.

By means of certain restrictive hypothèses, F . BIESEL has shown that the absence of mass transport (as understood by LEVI-CÏVITA) charac- terises an irrotational wave. The authors dis- cuss the bearing of this resuit in the last chapter.

L — INTRODUCTION

§ 1. — Madame M.-L. DUBREIL-JACOTIN a fait connaître dans sa thèse (cf. [1]) (*) divers théo- rèmes d'existence pour quelques types de houles d'amplitudes finies, La technique utilisée par cet auteur dans les démonstrations semble avoir limité la diffusion de ces résultats remarquables p a r m i les techniciens. Nous nous proposons de montrer ici, sur un exemple particulier, le parti qu'on peut tirer du mémoire précité pour le cal- cul explicite d'un type particulier de houle plane,

(*) Les chiffres e n t r e crochets r e n v o i e n t à la bibliogra- phie, r é u n i e à la fin de l'article.

se propageant dans une couche horizontale, de profondeur constante, d'un liquide parfait, pesant. Nos remarques, d'un niveau très élé- mentaire, sont loin d'épuiser toutes les appli- cations que Ton peut tirer des travaux de Mme DUBREIL, et nous comptons revenir ulté- rieurement sur ces questions.

§ 2. — Rappelons celles des conclusions de [1] qui nous seront directement utiles dans la suite.

Soit O X Y, le système d'axes rectangulaires, liés à la houle. Il faut entendre par là que O X Y se déplace, relativement au repère fixe.

Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1957039

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d'un mouvement de translation horizontale et uniforme, de vitesse égale à la célérité de Fonde : p a r définition, le mouvement relatif du liquide p a r rapport à O X Y est permanent.

Nous p r e n d r o n s O Y vertical ascendant, O X orienté en sens contraire de la propagation et situé dans le niveau moyen.

Appelons : H, la profondeur (supposée finie et constante) du liquide au repos; X, la longueur d'onde de la houle; c, sa célérité; u, un para- mètre positif (assez petit) dont nous précise- rons tout à l'heure le rôle; A, l'amplitude de la houle; ¥ (X, Y), la fonction de courant : Ç (X, Y) le tourbillon; q le débit relatif du liquide.

D ' a p r è s u n résultat classique, les lignes de cou- r a n t : $ = Constante, sont isotourbillonnaires et on a :

ç = / 0 [ 0

Voici les hypothèses que nous ferons relative- ment à f et y*.

Le p a r a m è t r e positif a sera toujours inférieur à \ l^{0 9} il⁰ étant u n e fonctionnelle compliquée de X, H e t / .

La fonction f (I|0» définie pour 0 ^ ^ ^ <1^sera supposée continue au sens de Hôlder sur cet intervalle , extrémités comprises. E n d'autres ter- mes, ^ et <\>' étant deux valeurs arbitraires de cet intervalle fermé, on a :

L / W — f(¥)\ < C | + —

C et a étant deux constantes, dont la première n'est p a s négative et dont la seconde vérifie les inégalités :

O ^ a ^ l

Une fonction hôlderienne quelconque / ($) n'est pas, en général, analytique en 4>; mais toute fonc- tion analytique régulière pour 0 ^ + < q est hôl- derienne sur cet intervalle. Enfin, nous suppose- rons que \f(ty)\ est assez petit, de Tordre de y.Q, au plus.

§ 3. — Cela étant, Mme DUBREIL établit le théorème d'existence et d'unicité suivant : à un choix arbitraire de X, y., H, et / (<J/) correspond une onde progressive, plane et périodique, de période X en X, et une seule (*). De plus, cet auteur indique plusieurs propriétés de la solu- tion du problème de fonde : nous allons rappeler celles de ces propriétés qui peuvent être utiles au calculateur, soit pour justifier ses méthodes (*) En fait, Mme DUBREIL prend comme donnée la fonction h(Q), liée à /(ip) a u moyen des relations :

Ç g - (2 « a/\)

= _ a v 4 *²) a / ( 4 0 / E²; ,

où a est u n p a r a m è t r e positif, q u i est u n e fonctionnelle très c o m p l i q u é e des données.

d'approximation, soit pour le guider d a n s le choix des inconnues auxiliaires.

L'écoulement possède u n e infinité d'axes de symétrie verticaux, la distance (horizontale) de deux axes consécutifs étant de A/2; en deux points symétriques p a r r a p p o r t à un axe quel- conque de symétrie, les composantes horizon- tales du vecteur vitesse sont égales, alors que les composantes verticales ont des signes opposés.

Le p a r a m è t r e y. caractérise l'amplitude A de fonde, et inversement; les composantes de la vitesse sont des fonctions analytiques de y. et possèdent des dérivées continues des deux p r e - miers ordres en X et Y.

L'énoncé d'existence, qui précède, sous-entend que les autres p a r a m è t r e s caractérisant l'écoule- ment envisagé sont déterminés à p a r t i r des don- nées. E n particulier, le débit q, qui fixe l'inter- valle des variations de ty, se trouve être solution unique d'une équation t r a n s c e n d a n t e . La déter- mination de c mérite une mention spéciale. E n fait, on a établi l'existence d'un écoulement per- manent en axes mobiles O X Y; les équations du mouvement seront encore satisfaites dans tout système de référence animé d ' u n mouvement de translation horizontale et uniforme relativement à OXY. Dès lors, u n certain arbitraire intervient dans le choix du système de référence auxiliaire qu'on appellera fixe. Nous renvoyons à [ 1 ] , § 5, pour la discussion de ce point capital. Mais, quelle que soit la définition adoptée pour c, la théorie de Mme DUBREIL m o n t r e que ce p a r a - mètre, essentiel au point de vue physique, est une fonctionnelle compliquée des données, c'est- à-dire de X, H, A, et f($).

Il ne semble pas que cette conséquence de la théorie ait été assez remarquée. Nous pourrions citer plusieurs mémoires récents consacrés au calcul approché de c, en fonction de X, H et A seulement; il semble que les a u t e u r s de ces t r a - vaux négligent systématiquement l'influence que peut avoir, à ce point de vue, l'état tourbillon- naire de l'onde. Or, à la suite de [ 1 ] , nous allons rappeler que / (^) influe sensiblement sur e.

En effet, si f (ty) est le premier ordre en y. (c'est- à-dire en A), on a u r a :

C

2

\

^Lll3

A F (A, X, H, /),

A % A

F étant une fonctionnelle compliquée de ses argu- ments, en général, finie pour A — 0 ; on recon- naît dans le premier terme du second membre la célèbre expression d'Airy, valable dans le cas de la houle linéaire.

Ce n'est que dans des cas exceptionnels, au point de vue analytique, que F est de second ordre en A. Il se trouve, p a r bonheur, qu'il en est ainsi si / * = ( ) ; c'est le cas de l'onde irrota- tionnelle de LEVI-CIVITA-STRUICK (cf. [ 2 ] , [3])

4 1 0 L A H O U I L L E B L A N C H E N° 3 - JUILLET-AOÛT 1957 bien étudié au point de vue n u m é r i q u e par beau-

coup d'auteurs dont G. STOKES et L. S R E - TENSKY (Cf. [4]). On sait ainsi que pour la gamine courante des amplitudes, le terme A F, du second ordre en A2 (dans le cas irrotationnel) est p r a t i q u e m e n t négligeable vis-à-vis du terme classique d'Airy. Or, dans le cas des expériences de laboratoire, / (<{0 semble avoir souvent une valeur très faible. Cela tient peut-être à ce que Fétat initial du liquide est le repos. Si donc, on néglige la viscosité, les mouvements de Feau, excités par l'appareil générateur de la houle, seront, en vertu du théorème de Lagrange, tou- jours irrotationnels. Ainsi la formule d'Airy est- elle quotidiennement utilisée avec succès dans les laboratoires, et il faut des expériences très fines pour mettre en évidence les effets sur la célérité de la non-linéarité des lois du phéno- mène. C'est pourquoi, sans doute, les techniciens négligent systématiquement la correction de premier ordre en A à l'expression de la célérité des ondes de gravité. Pourtant, il nous semble qu'il serait très utile de former les expressions approchées explicites des lois d'une houle, cor- respondant à une répartition tourbillonnaire de premier ordre en A; en dehors de l'intérêt analy- tique de la question, on aurait, peut-être, ainsi l'explication de quelques anomalies que nous avons observées au cours des expériences de laboratoire. A première vue, le problème semble assez difficile, mais nous espérons revenir sur ce point dans un travail ultérieur.

Depuis que ces lignes ont été écrites, A. DAU- BERT a résolu le problème et a explicité l'équa- tion des lignes de courant en axes O X Y, dans le cas d'une houle quelconque caractérisée par une répartition arbitraire / (^) du tourbillon. Il en déduit la valeur du terme correctif à la for- mule d'Airy, en adoptant pour la célérité la défi- nition de F. BIESEL (Cf. [8]). Ces résultats sont en cours de publication dans les comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris.

§ 5 . -— L'objet de ce mémoire est plus modeste.

Nous nous proposons de calculer au troisième ordre près en A, les caractéristiques d'une onde très remarquable qui généralise (au cas de la profondeur finie) la célèbre houle trochoïdale de Gertsner, dont Mme DUBREIL a établi l'exis- tence. Le régime en cause est caractérisé par cette propriété que la trajectoire absolue de toute

molécule du liquide est fermée et décrite en u n temps X / c ; la fonction / (40 correspondante est alors entièrement déterminée par la donnée de A, H et a; elle est du second ordre en a, ainsi que la quantité : — Çkg/2 %) th (2 % H/X).

Le t r a n s p o r t absolu des masses est nul dans ce cas; il ne l'est pas au sens de LEVI-CIVITA.

§ 6. — Disons quelques mots des méthodes que l'on peut mettre en œuvre pour former les solutions approchées du problème de Fonde périodique.

Au § 3 de [1], on trouvera, rapidement indi- qué, le principe d'un procédé de calcul, direc- tement lié aux équations de départ de Mme D U - BREIL. L'avantage de cette méthode est évident : elle conduit sûrement au but fixé, puisqu'elle repose sur des théorèmes d'existence rigoureux.

En revanche, ce procédé exige l'emploi des para- mètres et des variables auxiliaires dépourvus de signification physique directe. C'est pourquoi nous avons choisi une voie différente. Nous utili- sons une variante (inspirée, d'ailleurs, par les résultats de [1]) du processus d'approximation de R . MICHE (cf. [ 5 ] ) , qui semble spécialement bien adapté au cas particulier que nous nous proposons d'étudier. En effet, les paramètres, choisis comme des données arbitraires, ont une interprétation physique immédiate : ce sont la période T et l'amplitude de Fonde; de plus, en vertu des hypothèses faites quant à la n a t u r e de Fonde, les termes séculaires sont nuls dans les approximations de chaque ordre, 11 en résulte une grande simplification des calculs, ce qui ne veut pas dire qu'ils deviennent simples !

Toutefois, la justification rigoureuse de notre processus d'approximation exige la démonstra- tion préalable de quelques résultats d'analyse.

Les variables que nous utilisons ne sont pas celles de [ 1 ] ; il est alors indispensable de prou- ver l'équivalence de notre système de données arbitraires avec celui de [ 1 ] . P o u r alléger notre exposé, nous renvoyons à une publication ulté- rieure l'étude de ces points que le lecteur admet- tra, nous l'espérons du moins, sans peine.

L'essentiel de notre calcul a été publié dans [6], Pour finir, nous présenterons quelques remar- ques sur la houle irrotationnelle de LEVI-CIVITA et de STRUICK; certains résultats de f l ] nous permettent de préciser la portée d'un récent tra- vail de M . F. BIESEL (cf. [7]).

IL — N O T A T I O N S ET ÉQUATIONS D U PROBLÈME

§ 7. — Nous rapporterons le mouvement à u n système de référence fixe Oxy; Faxe Ox sera orienté dans le sens de la propagation de Fonde

et situé dans le plan d'eau au repos; O u sera orienté suivant la verticale ascendante. Nous nous proposons d'étudier dans ce repère une

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houle périodique progressive plane, à trajec- toires fermées, décrites dans îe même temps.

Les notations utilisées ci-après diffèrent en quelques points de détail de celles du premier chapitre. Nous appellerons encore : X, la longueur d'onde de la houle; A, son amplitude; T, sa période; c, sa célérité; H, la profondeur (Unie et constante) du liquide. Les données arbitraires, caractérisant le phénomène, seront ici T et A.

Le problème revient à exprimer le champ des déplacements et le p a r a m è t r e c [ou ce qui revient au même, X = ( c / T ) ] , en fonction de H, A et de T, au moyen des formules approchées, exactes au troisième ordre près en A³.

D ' a p r è s le résultat de [ 1 ] , rappelé au § 5 , il n'existe q u ' u n seul type de houle à trajectoires fermées, décrites dans le temps T; la répartition du tourbillon dans le liquide est, dès lors, entiè- rement déterminée (mais non explicitement connue à priori) dès qu'on se fixe les valeurs de H , A et T.

§ 8. — Ici apparaît une première difficulté d'or- dre théorique. Nous ignorons l'intervalle 0 < A ^ A0, à l'intérieur duquel les résultats de Mme DUBREIL, que l'on vient de rappeler, res- tent valables (cf. § 2 ) . Nous supposerons donc simplement que A est petit, sans assigner de borne supérieure à ce paramètre. On ne connaî- tra donc pas la gamme des amplitudes pour les- quelles les développements limités ci-après seront légitimes.

§ 9. — Il nous faut maintenant faire un choix judicieux du système de variables indépendantes.

Or, nous savons, à priori, que les trajectoires des molécules sont des courbes fermées, dont le diamètre est une fonction analytique de A, s'an- nulant avec ce p a r a m è t r e ; le mouvement à amplitude nulle se réduit au repos. Il paraît donc n a t u r e l de choisir comme variables indé- pendantes, en dehors du temps t, les coordon- nées moyennes x0, y0 de la molécule au repos.

Si, dès lors, les équations paramétriques de la trajectoire absolue d'une molécule individualisée sont de la forme :

x — x(t, A), y = y (t, A), nous sommes amenés à prendre :

x0 = x (i^f 0) y⁰ = y [t^f 0)

formules dont les seconds membres doivent être indépendants du temps. Mais, il faut bien remar- quer que le domaine des variations de x0, ij0 n'e s t

pas déterminé à priori : la houle de Gertsner fournit un exemple facile de ce fait. On sait que,

dans ce cas (où H = ce), les équations du mou- vement sont données par le système :

x = a + Rc^A'£ sin (k <x — st)⁹ y = P — ReW cos (k a — $t),

où R , k, s sont des constantes, dont la première est arbitraire et où a et (J sont les coordonnées du centre de l'orbite circulaire, décrite p a r la molécule individualisée au moyen des p a r a m è - tres a, p. Si donc R —> 0, on devrait p r e n d r e x⁰ — a, y^{) = p. On montre aisément que le point et, [i décrit un demi-plan lorsque le point x, y balaie le domaine du liquide en mouvement;

mais, ce demi-plan est distinct de celui occupe par la niasse liquide au repos et dépend du choix de k et de R.

On doit conclure de là que la définition précise de la position moyenne soulève des difficultés sur lesquelles nous reviendrons longuement ail- leurs. Notre but actuel est de signaler seulement cette circonstance et de m o n t r e r que l'emploi rigoureux des coordonnées moyennes exige des précautions.

Ceci étant, nous admettrons qu'il est possible de paramétrer le mouvement envisagé au moyen des formules du type de Miche :

x = x0 + X (x0, z/o, t, A); j ( 1 )

y = y⁰ + Y (x⁰, //o, t, A), (

où le point moyen x⁰, y⁰ balaie foute la bande horizontale â ;

— co ^ x⁰ ^ co ; j (2)

occupée par le liquide au repos. On voit donc que X et Y sont les composantes, à l'époque t, du vecteur déplacement de la molécule, indivi- dualisée au moyen de ses coordonnées de repos x0 et j /0. D'après [ 1 ] , X et Y sont des fonctions périodiques du temps t (de période T ) ; en effet, le vecteur déplacement doit, par hypothèse, pren- dre la même valeur aux époques t et KT + t, K étant entier. Nous admettrons que ce sont aussi des fonctions périodiques de x0 de période X. Si l'on veut représenter au moyen de (1), une onde progressive, nous sommes amenés à pos- tuler (pie X et Y ne dépendent {le xu et de / que par l'intermédiaire de la seule variable auxi- liaire :

D = ii ,r⁰ — v / ; - - CO <C /> <^ CO )

j* = ( 2 * / A ) ; (3) v = ( 2 * / T ) ; 1

relativement à laquelle X et Y admettent la

4 1 2 L A H O U I L L E B L A N C H E N * B - JUILLET-AOÛT 1 9 5 7

même période 2 TC. Il suffit donc de déterminer X et Y dans le rectangle D ;

— H < y o^ 0 ; (

pour que le vecteur déplacement soit défini dans toute la bande A.

Mais d'après [ 1 ] , le mouvement possède une infinité d'axes verticaux de symétrie dans le plan des variables v, y0 balayant le domaine A, la dis- tance de deux axes consécutifs valant %. On peut donc supposer, sans restreindre la généralité, que X est une fonction paire de v, alors que Y est une fonction impaire de cette variable indé- pendante. Nous pourrons, dès lors, écrire :

x = ;r⁰ + X (v, y⁰ⁱ A) ; \ U = I/o + Y 0> J/o. A) ; 1 X (— v, f /⁰, A) = — X iv, y,,, A) ; f

Y (—y, ^{f / O}, A ) = Y ( v, y^lt, A); j ^{J j}

X (v -f- 2 TU, [/o, A) = X (y, i/o, A) ; ]

Y (y + 2 *, y⁰, A) = Y (c;, f/⁰, A), ; Il importe de se rappeler que X est une fonc- tion, inconnue à priori, de H , T et A, D ' a p r è s ( 3 ) , on a donc :

v = v CH, T, A, x0, 0 , (6) en sorte que les fonctions X et Y , telles qu'elles

sont notées dans (5), dépendent de A à la fois directemeent et par l'intermédiaire de v.

§ 10. — Pour aller plus loin, il faut définir avec précision les propriétés de régularité de X et de Y, figurant dans ( 5 ) .

Mme DUBREIL démontre que les composantes du vecteur vitesse admettent des dérivées par- tielles, continues en x (donc en f) et en y j u s - qu'au deuxième ordre. Nous admettrons que ce résultat entraîne le corollaire suivant : X et Y sont dérivables deux fois en v et en y0, les déri- vées du second ordre étant suffisamment réim- iières pour rendre légitimes toutes les opérations que nous aurons à effectuer sur ces expressions.

11 est, par ailleurs, assez facile, de déduire de [ 1 ] que \L, X, Y , etc., sont des fonctions analy- tiques de A, holomorphes, dans le voisinage de l'origine.

§ 1 1 . — Nous sommes m a i n t e n a n t en mesure d'amorcer notre processus de calcul approché de la solution de notre problème. Les propriétés de régularité, énoncées au précédent paragraphe,

montrent que les fonctions X, Y , périodiques et symétriques en v (cf. ( 5 ) ) , sont développables dans D (cf. ( 4 ) ) , en série de Fourier, relative- ment à v, de la forme :

\

x = £0 + V bu (y0, A) sin nv,

« = i

00

y = ÏJo + F (y0, A) + V cn. (i/o, A) cos nv,

absolument et uniformément convergentes dans D , dérivables deux fois terme à terme dans ce domaine en yⁿ et v et dont les coefficients F, bn et cn sont des fonctions holomorphes de l'amplitude A pour de petites valeurs de ce para- mètre, nulles pour A = 0.

Comme nous cherchons une solution appro- chée, nous nous bornerons à calculer les déve- loppements limités des inconnues en A, arrêtés aux termes en A^{: J}.

La suite des calculs m o n t r e r a que \bⁿ\ et \cⁿ\ sont de l'ordre A", pour n ^ 3. Nous espérons revenir ailleurs sur l'extension de ce résultat à n quelconque. E n attendant, rien ne permet d'affirmer à priori que nous n'avons pas laissé échapper u n terme de premier ordre, par exem- ple, provenant de b^é {y⁰, A ) .

P o u r simplifier les écritures, nous ferons usage des notations suivantes : les p a r a m è t r e s H et T seront supposés fixés; il est inutile, dès lors, de les expliciter comme a r g u m e n t s des éléments à calculer. Nous poserons alors :

y o = a⁰ x⁰ — v i ; j

P ( A ) = a⁰ + A n'⁰ + ( A V 2 ) 1*0" /

y* = * « > ) ; [ ( 8 )

|i/⁰ = O [ J . / 3 A )^{A = 0} )

^ " = ( 3 2 ^ 3 A*) A = 0 1 On a, d'autre part :

t bn = A bnl + ( A V 2 ) bH2 + ( A V 6 ) n = 1, 2, 3

c , = A c^{n l} + ( A * / 2 > c ,² + ( A V « ) c„» ( 9 ) f F (f/⁰, A ) = A tf^t + ( A²/ 2 ) (L + ( A V 6 ) rf³,

formules où on a posé :

[K^P (Uo) = &^p 6 „ / 3 A P ) |^{A = 0};

Cn^P (î/o) = cjd A») l^{A = 0}; n, p = 1, 2, 3 (90

\d^p (y,) = O ' F / S A / > ) |^{A =}* .

On vérifie aisément les formules approchées suivantes valables à A3 près : j sin nv = sin nv0 + ATI.T0 y.0' cos nvQ + ( A²/ 2 ) [n.r0 V cos nv0 - — n2 <jl0- sin nv0] ;

\ cos nv = cos nv⁰ ~~ A nx^{0 :}V sin nv⁽⁾ — (A-/2) \nx⁰^" sin nv⁰ + x⁰² u/^{0 2} cos nv»].

JUILLET-AOÛT 1957 - N ° 3 J. K H A V T C H E N KO E T A. D A U B E R T 4 1 3

En combinant (9) et (10), on trouve les développements limités, valables à A4 près :

bⁿ sin nv= A b^nl sin nv⁰ + A² [u/⁰ n x⁰ b^nl cos nv⁰+ 1/2 bⁿ² sin nv] , \ + A^{: i}/2 [nio W &«i + Hm) &»²> nv⁰ ~f (— n³ x^{0 2} u /^{0 2} b^nl + fc,^l3/3) ) sin nv⁰] ; (

cn cos nv = A cn l cos nv0 + A2 [— \ l0 nx0 cnl sin nu0 + (1/2.) cML> COS nu0], ^ + A8/ 2 [ — n x , ( u "0 cH l + <A> cn2) sin + (— n2 xu 2 y/0 2 cH l + (cn :,/3) ) cos nv0] j

Moyennant (9), (90 et (11), le système (7) peut s'écrire, à A⁴ près :

( 1 1 )

x — x

H = * 1 f

(12)

ou on a pose

y = //o + S

» == I

9i = Z fc,a sin 7î_>0; n = î

3 l

+1 = RFI + Z ^CNL^C0S ! â

? 2 = Z r(&^H_/2) sin iw^u + /U'⁰ï*/⁰ &^Ml cos rw^Q] ; î

3

^2 = (d2/2) + Z [(cH_/2) cos /iy0 — 7?x0 cnl sin /zy0].

i 3

93 = (1/2) Z [™o W Ki + ï V &„_) cos/w0 + (— n2xfy{)'* bnl -f (_v,/3) ) sin nv()]

(13)

(14)

>(15)

* 3 = ( 4 / 6 ) + d / 2 ) Z I — nxQ (P*"O ^cm + f V c„²) sinnw,, + (-— n-x/ A0'² c^{w l} - F (cr^{ï l 3}/3) ) cos / t i /⁰] . Finalement, le problème posé revient à déterminer les paramètres \k⁰, \j.'0, \t?'⁰ et 21 fonctions de ijQ :

bupt £)ipi ^» P — 1 J 2, 3.

§ 12. — Rappelons maintenant les équations du problème, formées par MICHE (cf. [5]). En chaque point du domaine D (cf. (4)) les seconds membres de (7) doivent vérifier le système d'équations aux dérivées partielles ;

pas supposé que le régime à étudier soit du type houle.

En éliminant p entre les deux premières rela- tions (16), on a le système en x et ;/ ;

ï dp . 3²x 3x .

_ |—_____ ^_

9 9 x⁰ 3 .2 &r„ dt~ ^ J dxi}

1) (d²x/dV-,x) _^ D (d²y/dt*,y)

* ~ Î - ^{d f}2 3 ^ r [ ~r J

D (x, y) D ( x0, i/o) 1.

dt²

= 0 ; J

= 0; (16)

D (x⁰⁹ r/⁰) D(x, ?/) i>0ro. ?/o)

D (.r,„ j/⁰) ^{0 ;} 1.

(17)

où p est la pression et o est la densité, constante, du liquide. Le système formé de (16²) et (16_) est l'analogue des équations classiques en va- riables de" L a g r a n g e ; (16³) est l'équation de continuité. On voit donc que (16) donne les équa- tions générales du mouvement vertical d'un liquide p e s a n t ; dans ce paragraphe, il ne sera

On sait d'ailleurs qu'à tout système de solu- tions x, y de (17) correspond une solution pi-Vu, j/o> *) ^^e (16), définie au moyen de deux quadratures, à une fonction addiiive, arbitraire, du temps près. Dans ce travail, nous avons uni- quement en vue la détermination du vecteur déplacement; nous nous limiterons donc exclusi- vement à l'examen du système (17), laissant de côté le calcul, au reste laborieux, de p .

s — En variables de MICHE, les conditions

4 1 4 L A H O U I L L E B L A N C H E N ° 3 - JUILLET-AOÛT 1 9 5 7

aux limites sont faciles à écrire. Sur le fond : y — — H, les déplacements des particules doi- vent être horizontaux; d'où la première condition aux limites :

V — î/o = 0 pour j/o = - H,

— o o ^ X o ^ c o , - ^ c o <gr < co (18)

Le long de la surface libre, la pression doit être constante. Il suffit, pour qu'il en soit ainsi, que : dp/dx⁰ — 0 pour y⁰ = 0, — oo ^ x⁽⁾ ^ co , — œ <C t ^ ^.

La relation précédente exprime, en effet, que le long de la ligne libre, image de y⁰ = 0 p a r (7),

la pression sera une fonction de t seulement. Or p n'est définie qu'à une fonction additive, arbi- traire de cette variable. Il s'ensuit qu'on p o u r r a toujours disposer de cette arbitraire pour rendre p constant pour y⁰ = 0, lorsque la relation pré- cédente est satisfaite. D'après (16²), celle-ci est équivalente à :

3P dx⁰ ^ V 3*² V ^ o

pour y^Q = 0, — oo ^ x⁰ ^ co, — co < t < -f- co.

(19) Ainsi, la condition à la surface libre peut s'ex- primer au moyen des déplacements seuls.

§ 14. — Supposons maintenant que le mouvement étudié du liquide soit reprèsentable au moyen des équations approchées du type (12); c'est dire que nous ne particularisons pas encore la forme des <?ⁿ et Portons dans (17), (18) et (19) les valeurs (12) des inconnues x et y. Les rela- tions ainsi obtenues doivent être identiquement vérifiées quel que soit A, Un raisonnement élémen- taire et classique prouve alors que les coefficients des différentes puissances de A doivent être nuls, identiquement, dans les équations en cause. On trouve ainsi les systèmes vérifiés p a r les solutions approchées des divers ordres. Les calculs étant élémentaires, e t / d ' a i l l e u r s , bien connus depuis les travaux de MICHE, nous n'en donnerons que les résultats. E n chaque point de D , on doit avoir :

I f à ^ 2M

3*2 \dy⁰ dxj

a a. } ( 2 0 )

3 x⁰ dy⁰ ' ;

32 / 3⁹² 3 4 , ^ _ D [^{9 l}, ( 3 2^{9 l}/ 3 f ^ ) 1 D [<M3«+³/3f^a)l

+ — _ ^D ( ? t ^ i ) ( ^{( 21 )}

d t 2 \ 3yo 3*o / D (x⁰, y⁰) D (x⁰, ?/⁰)

3<P2 1 3 + 2 . ⁼ D (?i,+i)

3x⁰ 3&o D ( x⁰, i/⁰)

-21 f ^ L _ ^{J H s N =} p 1>2, O 2 ? i / 3 *^A) 1 , D [fe, ( 3 2 ^ / 3 / 2) 1 D [^{y i >}( 3 V / d ^ ) l , D r+„ ( 3² + V 3 / 2 ) T 3*² V 3î/o 3 x⁰ ; L D (x⁰, ^{? / o}) ^ D (x⁰, ^{S o}) ^ D 7 Ï ~ ^ ) + D Û ^

1 3+1 ⁼ _ r d ^{o p i ,} +2) , d ^{t ?2,} +i) ⁿ 3x⁰ 3/7o [D (*o> J/o) D (x⁰, j /0) J

La condition aux limites (18) donne :

' K I^ - H — 0. pour — ce <C x⁰ ^ c o , co ^ f <g 0 0 , n = 1, 2, 3. (23) Enfin, la pression sera constante au quatrième ordre près en A, le long de la surface libre,

moyennant les trois relations valables quels que soient x⁰ et t : 3²9i

9/-' + g 3-W = 0; pour j /⁰ = 0;

dt* + g 3.x^{34-2 0}

3?, , 3²+i 3-J», __ ^Q

3.x'⁰ 3f^J 3 x^{n >} pour i/o = 0;

S² «?.

3f^{2 l} + 9 9i|/^s 3.r⁰

, 3²?-> 39, , 3²<?i 9<?² . 9 x^u 3f² 3x'⁰

3²+² 3r² 3 x⁰

• 3 H i

+ 3f* 3 x⁰ = 0; pour y⁰ = 0;

JUILLET-AOÛT 1957 - N° 3 J. K R A V T G H E N K O ET A. D A U B E R T . 4 1 5

Telles sont les équations du mouvement au troisième ordre près en A d'une couche horizon- tale, de profondeur constante, de liquide pesant, avec surface libre. Répétons que les seules hypo- thèses faites pour aboutir aux relations du précé- dent paragraphe consistent en ceci : les fonctions inconnues x et y admettent les développements limités du type (12), le domaine des variations des variables indépendantes x⁰, y⁰ étant la bande horizontale infinie — H < y⁰ ^ 0. Ainsi donc, les formules précédentes valent pour une classe plus large de mouvements de liquides que les ondes périodiques de gravité.

Voyons les simplifications qui résultent pour les équations du problème lorsqu'on particularise au moyen des formules (13), (14) et (15) les approximations (12) des divers ordres.

Tout d'abord, les variables x⁽ⁱ et t n'intervien- nent que par l'intermédiaire de la variable auxi- liaire v, définie par (8). Il s'ensuit que nous pourrions réduire d'une unité le nombre de va- riables indépendantes et utiliser pour les déri- vations dans les formules de ce paragraphe les opérateurs :

dx^{0 '} dv ' di du

En second lieu, nous constaterons que cha- que équation de ce paragraphe revient à écrire qu'une forme linéaire des sin nu⁰ et cos nv⁽⁾, n = 1, 2, 3, à coefficients dépendants de y⁰ et de x⁰ et des constantes inconnues, doit être identi- quement nulle. Cela exige que tous les coeffi- cients de la forme doivent être nuls identique- ment; les relations ainsi obtenues suffisent à déterminer toutes les inconnues.

§ 15, — Avant de passer aux calculs, il est bon de m a r q u e r les différences du processus d'approximation que l'on vient de décrire avec celui de MICHE. La variante du calcul utilisée par cet auteur ne donne pas le moyen d'évaluer, par un procédé régulier, les approximations des divers ordres de y. (A). D'autre part, MICHE traite le cas de la houle quelconque. D'après ce qu'on a vu au § 5, le vecteur déplacement n'est plus, en général, une fonction périodique du temps; en sorte qu'il n'est plus permis d'en écrire les com- posantes sous la forme simple (7), Dans le cas général, les seconds membres de ces relations contiennent nécessairement, et dès le premier or- dre, des termes séculaires à coefficients arbitrai- res, dont le maniement est malaisé. Par contre, la méthode de MICHE conduit, comme on le verra, sans ambiguïté, au but limité que nous nous sommes assignés; et, conformément à la théorie de Mme DUBREIL, la suite des calculs n'intro- duit a u c u n élément arbitraire, à condition d'adopter les conclusions du paragraphe sui- vant.

§ 16. — Nous avons toujours appelé le para- mètre A amplitude de l'onde. En fait, ce point est à préciser. D'après (12), on voit q u ' u n e molé- cule déterminée s'écartera, en gros, d'autant plus de sa position moyenne a:⁰, y⁰ que A sera plus grand. ïl est donc naturel, dès lors, de considé- rer ce paramètre comme définissant l'amplitude du mouvement ondulatoire que nous cherchons à construire. Mais, cette définition n'est pas assez précise. En premier lieu, en effet, on peut remplacer A dans nos formules par tout autre paramètre positif A', lié à A par la relation :

A = M (A')>

où M est une fonction analytique, régulière pour A' = 0, nulle pour A' = 0, croissante de son ar- gument, mais, à part cela, absolument quelcon- que. On peut donc inverser îa relation précé- dente et écrire :

A' = M^x (A).

On a alors, au troisième ordre près en A' : A = a^x A' + ( a²/ 2 ) A'² + ( a⁸/ 6 ) À'^{: î}, (27) les aⁿ (11 = 1, 2, 3) étant des constantes à peu près arbitraires (*).

En portant dans (12J la valeur de A ainsi définie, on aurait le développement limité au terme en A'^{; î} :

x = x^{i + A' a, 9î + A'² («² 9i + 92)

+ A'^{; ;} (a, o^l + 2 ai a² <?^L, + ?^{; t}) (28) On trouve donc une solution approchée du même type que (12³), mais avec une amplitude A' différente et un choix différent des approxima- tions des divers ordres. On conçoit qu'il soit loisible de tirer profit de cette indétermination pour simplifier les formules.

En second lieu, le mot amplitude a, en matière des mouvements ondulatoires, un sens physique précis : c'est la moitié de la dénivellation entre le creux et la crête de la surface libre d'une va- gue. Ainsi, la détermination précise de la gran- deur ainsi définie exige la détermination préala- ble du profil de l'onde et ne peut, dès lors, être effectuée qu'une fois le problème résolu. Pour tourner cette difficulté, nous adopterons la con- vention suivante : le paramètre A devra être choisi de manière à être égal, à un facteur cons- tant près, à l'amplitude du fondamental de la

(*) En fait, le second m e m b r e de (27) n'est a s t r e i n t qu'à une seule condition : <t\ > 0 si on ne lui impose que la propriété d'être positif et c r o i s s a n t d a n s le voisinage de A' = 0, A' > 0. Bien entendu, d ' a u t r e s inégalités sont à écrire si l'on veut que la p r o p r i é t é précédente soit vraie, pour un intervalle, fixé à p r i o r i , des v a r i a t i o n s de A'.

416 LA H O U I L L E BLANCHE N ° 3 - JUILLET-AOÛT 1 9 5 7

décomposition en série de Fourier de y pour ij⁰ — 0. Une des raisons est que l'analyse h a r m o - nique d'un enregistrement de la surface libre donne aisément l'amplitude de ce fondamental.

Les calculs seront bien simplifiés, en particulier les expressions de x et y . Ceci revient à poser :

A = c^x (o, A) (29)

Nous allons montrer qu'un changement de va- riable du type (27) permet toujours de se r a m e - ner au cas où :

c^u (o) = 1;

c^{1 2}( o ) = 0 ; (30)

c^{1 3} (o) — 0.

Affectons, en effet, d'un accent les quantités homologues aux quantités c^lp (o), p = 1, 2, 3 cal- culées avec le nouveau paramètre A', lié à l'an- cien par (27). On a :

cT^lx (o) = a^x cⁿ (o) ; c^{1 2}' (o) = c^{3 2} (o) + a² cⁿ (o) ; c\^z (o) = a^{x 3} c^{1 3} (o) + 3 a^t a, c^{] 2} (o) -f a³ cⁿ (o).

Si donc cⁿ (o) ^ 0 — et on s'assurera ulté- rieurement qu'il en est bien ainsi — les rela- tions précédentes permettent de calculer sans ambiguïté, de proche en proche, les quantités : a^x ^ 0, a² et a³, telles que les c'^Vpj p — 1, 2, 3 vé- rifient les conditions (30).

Dans toute la suite, les conditions (30) seront supposées remplies; elles complètent les condi- tions aux limites que nous avons décrites au

§ 14.

Il nous reste m a i n t e n a n t à effectuer les cal- culs. Nous groupons la détermination des élé- ments de chaque ordre d'approximation dans un chapitre séparé. Les approximations des deux premiers ordres -n'ajoutent rien de nouveau aux calculs, bien connus, de [ 5 ] ; ce résultat est con- forme à [ 1 ] . P a r contre, le calcul des approxi- mations d'ordre 3 nous parait plus original.

III. — SOLUTION D U PREMIER ORDRE

§ 17. — Portons clans (20), les expressions (13) de 9 i et +^T : on trouve, en désignant p a r les ac- cents les dérivations en y⁰ :

d\ -f- £ (jjl0 n bnl cos n uQ + c'nl cos n yy) = 0;

i

3

£ (b'^Hl + n tx⁰ c,^nl) sin n v⁰ = 0.

Les équations précédentes entraînent : d\ = 0,

a⁽¹ n b^nl + cⁿ\ = 0; (n = 1, 2, 3),

b'm UN n c, 0.

Le système différentiel ainsi obtenu s'intègre immédiatement. Compte tenu des conditions aux limites (23), on trouve :

d^x = 0; )

b^nl = — k^nl ch. n u⁰; (n = 1, 2, 3)} (31)

c^nX == k^nl sh n u^{( ï}, \

formules où les 7c,ⁿ sont des constantes arbi- traires et où on a posé :

«O = H ([/o + H ) . ( 3 2 )

La condition (30) donne :

*^{l t} = (1/sh q);

q = (TO H . (33)

On aurait donc, d'après (13), (31) et (33)

©^t = — £ /c^{a 1} ch n M⁰ sin /* u⁰;

i (34)

§ 18. — Ces expressions, portées dans (24), fournissent les conditions [cf. (32) et (33)] :

s

£ n k^nl (n V2 ch nq —\*.^Q g sh nq) sin nv⁰ = 0.

i

Si donc les A*^ul ne sont pas nuls, on doit avoir :

V2 = TX0 g th U0 H . (35) relation nécessaire, puisque, d'après (32), kⁿ^ 0

et, éventuellement :

N V2= Î XOG R T H NTI .0H . ( 3 5 0

La condition (35) n'est autre que la célèbre formule d'Airy [cf. (8)1; dans tout ce oui SUIT,

nous supposerons que TX⁰ est la racine unique de cette équation transcendante, où V est une don- née. Voyons maintenant si, U⁰ (ou q) ayant été choisi comme il vient d'être dit, les équations (350 sont compatibles avec (35). D'après (33), on a, en divisant membre à membre (350 et (35) :

th nq

JUILLET-AOÛT 1 9 5 7 - N ° 3 J. K R A V T C H E N K O ET A. D A U B E R T 4 1 7

où n = 2,3, plus généralement où n est u n en- tier > 1. Or, on vérifie sans peine que th q/q est une fonction décroissante de q pour q > 0; il s'ensuit que la relation précédente est impossi- ble. Aussi, k²¹ et k^sl sont nuls et (34) peut s'écrire simplement :

= ku sh M-» cos v⁰; b^2l = b^:n — 0;

9i = — kn ch jjl0 sin vu; c2 1 = c3 1 — 0. (36) On retrouve les formules, équivalentes au premier ordre près, à celles, bien connues» de la houle linéaire de Stokes.

IV. — SOLUTION D U SECOND ORDRE

§ 19. — Nous allons reprendre la méthode suivie au § 17. Portons dans les équations (21) les valeurs (14) de <p² et |² et les valeurs (36) de ^ et ^ . Après quelques calculs longs mais élé- mentaires, il vient :

£ ⁿ'² (* »^a + ¹¹ H c„² ) sin nv⁰ + 2 ^{u /0} cⁿ sin v⁰ + 2 ^{u /0} x⁰ ( Z /ⁿ + ^ c^u) cos y⁰ = 0 ;

3

1

— 2 (jl'⁰ X„ C u⁰ 6ⁿ + c '^u) sin i;⁰ = 7 c^{n 2} u .^{0 2} (ch 2 i/⁰ + cos 2 r;⁰).

On abrégera beaucoup les calculs en utilisant la remarque finale du § 14. Comme v^Q n'inter- vient dans 9i et 4>i que par ses sinus et cosinus, on aura, par exemple :

32< P i

en sorte que [cf (21)] :

D | ' 9 i , Q ~ 9 i / 9 P ) 1 ⁼ _ ^{v 2} D C y i ^ i ) ^{= 0} D (x⁰, i/⁰) D (x⁰, i/o)

E n appliquant la méthode du § 17, le système précédent se décompose en a n n u l a n t les coef- ficients des cos n y o et sin nv⁰, n=l, 2, 3, dans chacune des équations du système, on trouve :

2rf'² = V i * o² c h 2 n⁰;

3 H b32 + c'z2 = 0; j 2 p-o b22 + c '2 2 = j x0 2 / < : „ - ;

^32 + 3 !*o ^32 = 0 ; / b'²² + 2 ^{| x0} c^{2 2} = 0 ; jH-u 612 + ^ 2 = 2 A r n ^ ' c h H⁰;

( &'i2 + î^o ^ci2 = — ² *n !*'<>^sn "<>•

Le système précédent s'intègre encore sans peine. En tenant compte de (23), nous avons : ri (h v d U h 9^H • j&22 = —*22 c h 2 u⁰ + N - *^an / 2 ;

d² = *o (An-/4) 2 «o, j ^c^ ⁼ ^ ^{s h 2}

(37) ( 6^{3 0} = _ fc³² ch 3 u⁰; j 612 = — *i2 ch i/⁰ — 2 fc„ ^{(Î*.'0/W U0} sh u^{f )};

( c^{3 2} = 7 c^{8 2}s h 3 u⁰; ( c^{1 2} = *ia^sh "« + 2 * n (FVHII) «O ch u„;

formules où les kⁿ² sont des constantes, pour le moment, arbitraires.

En vertu de (23), nous avons [cf. (32)] :

jfc¹² = — 2 *^{1 J ï}i . ' o H c o t h < 7 (38)

§ 20. — Enfin, la condition à la surface libre (25) va nous donner 7c³², 7c²² et Pour expliciter

4 1 8 L A H O U I L L E B L A N C H E N⁰ 3 - JUILLET-AOÛT 1957

commodément cette relation, nous appliquerons encore les remarques finales du § 14, en observant que [cf. (25) et (36)] :

329, 3?, , dHl ^_ 3 f . ^ . ^ v2 3 r<siMa , . , , ,

+ 3x⁰ - 2

3^r

• ^

-

3 n i

£ — - ( v²

n

+ (jt

+ u /⁰ x*⁰ (v² &ⁿ + u⁰ # ^cn ) ^{cos v}o + P-'o cⁿ sin v^{) = 0, pour y⁰ = 0.

Mais, d'après (31), (33) et (35) :

btl + u.⁰ g cn = 0, pour ;;0 = 0.

La condition à la surface libre sera donc satisfaite si : 3 v3 b^S2 (o) + g t x0 c3 3 (o) = 0;

2 v2 &²² (o) + ^{flf N} c^{2 2} (o) + 1/2 v- a02 À '^{n 2} = 0. ( 3 9 ) v² b¹² (o) + g u^u c^{] 2} (o) + 2 ÎX'⁰ gr ^{C j u} (o) = 0.

Remplaçons dans ces relations les b et les c par leurs valeurs (30) (31) et (37). La première s'écrit ;

k³² (3 v² — ^{t x0} g th 3 q) = 0

D'après ce qu'on a vu en discutant (350, ceci ne peut être vérifié que si : De (392) on tire, compte tenu de (35) :

^22 (1 — cli 2 q) = — - y t x0 k^{u 2}, d'où :

h — A _ 3 - 4 /^v»>f> — — ; ——- / i i f U n

4 s h⁴ g 4 . Enfin, ( 3 93) donne :

- ^ f ? + 1 ^ 0 , ix0 \ sh g ch ç j ce qui entraîne, eu égard à (38) :

I *^{1 2} = 0.

§ 21. — En réunissant l'ensemble des résultats des deux précédents paragraphes, on trouve le tableau :

fco2 =

-4^

?

"

-

J

C o = 3 t x0 sh 2 tz⁰ j

2 2 4 s h⁴ q ^I

Portons ces résultats dans (14) ; il vient :

^ = 4 ^

i - T - W "

" = ^

., t

i ao -i i 3 cos 2 v{i 1 ~ 7c2 n uf t r~^H . 3 i „ ^ , ^ (

JUILLET-AOÛT 1 9 5 7 - N ° 3 J. K R A V T C H E N K O ET A. D A U B E R T 419

Les approximations du second ordre ainsi calculées sont identiques à celles de M. MICHE. Mais cet a u t e u r s'étant proposé u n objectif moins limité, n'a pas pu obtenir la forme générale de l'ap- proximation du second ordre. Au contraire, dans notre cas, nous sommes assurés de l'unicité de notre solution.

V. — SOLUTION DU TROISIÈME ORDRE

§ 22. — Nous allons à présent expliciter les formules (22). Pour abréger les calculs, il est encore commode d'utiliser les remarques finales du g 14. Observons que d'après (34) et (41) :

d² dt² d² +¹

— v2 9 l;

dt² • v² +! ; Posons

3² 9²

?)t² 3²+²

dt² Yo = ta — do.

= — 4 v2 9 2; : — 4 v2( +2 — rf2).

On voit alors que [cf. (22j)] :

D r O^S9 I / 3 *^G) , < P^B1 , D [ (d² y²/ B /²) , 9 i 1 , D [ 9² <H/9*^a), <M , [D O² *o/3i²), D (x0, z/0) 1 D (x

o» Un) (iX>o» Uo)

D (.r⁰, j/⁰)

= 3 v^{2 p}f r i ' 9 2 > _ l 3 ^V2 ^D (4^1. Y²) _ ^{y 2} D Qh,tf²) D (x0, y0) * V D (x( ), i/0) V D (x0, y0) P o u r faciliter la tâche du lecteur, nous explicitons les valeurs des expressions ainsi introduites.

On trouve successivement :

3 v» D< * » ? 2 > = - L^v2 f c¹¹3^ULon

» ( * o . 0 o ) 8 — 2 sh u0 -| -f™"sn 3 l j

0

s h2 (7 s h² q

D (x⁰, z/⁰) 8 s h² q

y, D ( ^ , d o ) ⁼ V²/ ^ » ^³

D ( *0, z/0) 4 [— sh u^Q + sh 3 u⁰] sin v^u

A voir la forme des seconds membres, on comprend qu'il y a intérêt à ne pas remplacer ku par sa valeur (33). La somme des trois expressions précédentes s'écrit :

u - h ^{3 n o}

s h2 q + 1 ] sh 3 «o — 4 sh u^{) sin v⁽⁾ + 3 ( + 1 ) sh u⁰ sin 3 v⁰ Enfin, à p a r t i r de (15), (36) et (40), il est facile de vérifier la relation :

32 / dcp3

^t² \dy⁽⁾ axf )

= — v² ç i ? l ( & '^{f l 3} +{ji⁰n c^{w 3}) s i n n i>„ y cⁿ sin y⁰ — - ^ n " ^0 (&'n + H-o^n) cos Ï;^{( I}. E n égalant les deux dernières expressions ou formes (25,), en annulant les coefficients des cos nv⁽⁾ et sin nv^Q, on trouve les relations :

~ ( & ' l 3 + N c^{1 8}) + y /mi ^ sh u⁰ 4 s h2

f — + 1 s h 3 U o + * n W s h u⁰ ;

•|"(6'»s + 3itoC3 8)

fr'23 + ² v^o c^{2 3} = 0;

— T * "⁸*¹' 5 s h , ,°

(42)