CALCUL DE L'AMORTISSEMENT D'UNE HOULE DANS UN LIQUIDE VISQUEUX EN PROFONDEUR FINI

JANV.-FÉV. 1951) - N " 1 L A H O U I L L E B L A N C H E

COMMENTAIRES ET DISCUSSIONS COMMENTS AND DISCUSSIONS

Calcul de ramortissement

d'une houle dans un liquide visqueux en profondeur f i n i e

W a v e damping computation for a viscous l i q u i d of f i n i t e d e p t h

I N T R O D U C T I O N

Peu après la publication de l'article en réfé- rence, nous avons eu des doutes sur la validité de la méthode énergétique employée pour déter- miner le taux d'amortissement dans l'espace à partir du taux d'amortissement dans le temps.

Une analyse plus poussée du problème sem- blait montrer, en effet, que seuls les termes du premier ordre (en v1/2) seraient convenablement

calculés, tandis qu'il risquait de s'introduire des erreurs sur les termes du second ordre (en v ) .

De façon à régler définitivement cette question et en même temps à donner l'expression exacte du coefficient d'amortissement dans l'espace, il était nécessaire de reprendre entièrement, pour ce dernier cas, le calcul fait précédemment pour l'amortissement dans le temps. M . C A R R Y a bien voulu se charger de ce calcul délicat et assez long, qui a montré en définitive que les termes du se- cond ordre donnés par la méthode énergétique étaient faux. Néanmoins, l'erreur ainsi introduite était négligeable pour presque tous les cas prati- ques. C'est pourquoi la H o u i l l e B l a n c h e , très chargée par ailleurs, nous avait demandé de sur- seoir à une publication non essentielle et risquant de faire partiellement double emploi avec la précédente. La question devait cependant repren-

O F . RIESEL, n° 5 , 1941), p. 6 3 0 .

dre une actualité nouvelle à la suite de la publi- cation par M . M I C H E d'un ouvrage sur les « pro- priétés des trains d'ondes océaniques et de labora-

toire », qui a d'ailleurs été récemment analysé par la H o u i l l e B l a n c h e . Dans une note de cet ou- vrage (page 93), M . M I C H E affirme, sans d'ailleurs donner de démonstration formelle, que le terme principal du taux d'amortissement dans l'espace est en v et non en v V 2 . H suggère que le fait d'avoir obtenu un ternie en v, / 2 provient de l'em-

ploi de la méthode du bilan énergétique.

Les calculs de M . C A R R Y , qui s'affranchissent complètement de cette méthode, montrent qu'il n'en est rien et que nos conclusions restent iden- tiques en ce qui concerne l'existence et surtout l'importance du terme en v¹'² qui est prépondé- rant dès que les vitesses de la houle sur le fond deviennent sensibles. Ce terme ne devient négli- geable que lorsque la profondeur dépasse la demi-longueur d'onde, et que, par conséquent, les vitesses sur le fond sont inférieures à quelques pour cent des vitesses en surface.

Nous pensons que l'erreur de M . M I C H E pro- vient de ce qu'il a négligé d'écrire que les vitesses s'annulent sur le fond, condition conforme, comme on le sait, aux hypothèses habituelles des théories d'écoulement des fluides visqueux.

F . B I E S E L .

Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1956021

70 LA H O U I L L E B L A N C H E № 1 - J A N V . - F É V . 1 9 5 6

A l o r s q u e M. B I E S E L c a l c u l a i t l ' a m o r t i s s e m e n t d ' u n e h o u l e d a n s le t e m p s , il e s t p a r f o i s u t i l e d ' a v o i r l ' a m o r t i s s e m e n t d a n s l'espace : le s c h é m a d u c a l c u l e s t le m ê m e , n o u s le r e p r e n d r o n s c e p e n -

d a n t p o u r l a c l a r t é d e l ' e x p o s i t i o n .

N o u s s a v o n s q u ' i l e x i s t e u n e f o n c t i o n de c o u - r a n t d e la f o r m e 4* = ' k + 4*2 ° ù 4*i e t s a t i s - f o n t r e s p e c t i v e m e n t à :

Ad-, = 0 AA2 • 1

s t ⁰

L ' e x c é d e n t d e p r e s s i o n p a r r a p p o r t à la p r e s s i o n h y d r o s t a t i q u e e s t d o n n é p a r la différentielle t o t a l e :

dp

3 t ^{o X Ò 2}

soit e n c o r e , 91 é t a n t la f o n c t i o n c o n j u g u é e d e d'i : 8 9 i

/> = •

8 t ^{+ Ct e}

D a n s le c a s d e v a g u e s se p r o p a g e a n t p a r u n e p r o f o n d e u r finie H, i i p e u t se m e t t r e s o u s la f o r m e :

d = A c h a z - | - B e h a z -^T- C c h ß z

-f- D s h ß z) e~^ia:c+^iu (1) l'axe Ox é t a n t c o n f o n d u a v e c la s u r f a c e l i b r e ; l'axe Oz é t a n t v e r t i c a l a s c e n d a n t et fi é t a n t d é - t e r m i n é p a r la r e l a t i o n :

ß2 = ^œ2 _j_ ib

(2) L e b u t d e n o t r e é l u d e est l a r e c h e r c h e d e s n o m b r e s c o m p l e x e s p et a p e r m e t t a n t le définir la f o n c t i o n d/-

L e s c o n d i t i o n s q u i d o i v e n t ê t r e s a t i s f a i t e s s u r le f o n d s o n t :

3 z = 0 et ^s 4/

0 p o u r z = — H si n o u s p o s o n s p o u r s i m p l i f i e r :

L = c h <x H M = s h a H P = c h ¡3 H Q = s h (3 H Ces c o n d i t i o n s s ' é c r i v e n t :

(a) A L — BM + CP — D Q = 0

(M (AM — B L ) a + (CQ — D P ) p = 0

E n d é s i g n a n t p a r t\ (x) l ' o r d o n n é e d e la sur- face l i b r e , o n a a u s s i :

0 *i

8 t

8 4-

8.x = — i a (A + C) e^l""^{x + ibt :}

d ' o ù l ' o n t i r e :

r^t _j_ _ | _ (A + C) c ^ + ^ f = 0

D ' a u t r e p a r t , l ' e x p r e s s i o n d e la p r e s s i o n e s t : p = — p <7Z — p & (.A s h a z -f- B c h a z) e *a a !+ *^M

A l a s u r f a c e l i b r e (z — 71) o n d o i t a v o i r u n e p r e s s i o n n o r m a l e n u l l e , soit :

p + 2Pv ^{- J - 4 -} = o Sx 8z ou :

(c)

+ A y - A - - f B ( 2 «²v + ! 6 ) + Ctf ^ - 2 D a ß v = 0

ib ib L a c o n d i t i o n d'effort t a n g e n t i e l n u l s ' é c r i t , e l l e :

s² 4¹ s² 4*

3X2 82-2 0

soit, e n t e n a n t c o m p t e d e (2) :

(d) 2 A œ² v + (2 a² v - f f b) C = 0

E n é l i m i n a n t A B C D d e s é q u a t i o n s p r é c é - d e n t e s , il v i e n t :

2 a²v L M a M a g*

ib 0 — M — L a 2 a² v - f I b

a² v + / b P _{Q P} g^œ

Q P

0 — Q - P ß 2 a ß v

7b

= 0

JANV.-FÉV. 1 9 5 6 - N " 1 L A H O U I L L E B L A N C H E 77

E n r é s o l v a n t le d é t e r m i n a n t p r é c é d e n t , il v i e n t :

4 a³ v³ p QM + ,3 [PM.g a + P L (2 a² v + i b)² + 4 a² v² P L — 4 a² v (2 a² y + i b)]

— g a² Q L — Q M a (2 a² v + i b)² = 0 en d i v i s a n t p a r P L e t e n r e m p l a ç a n t L M P Q p a r l e u r s v a l e u r s , il v i e n t :

4 a²v

• 4 a V ß² t h a H t h ß H + ß j j g - a t h a H + (2 a² v + i b)² + 4 a^J v² • ( 2 a²v + ¿ 6 ) 2 (3) c h a H c h p H

— <7 a? t h H — a t h P H t h a H (2 a² v -f- f b)² — 0 Les é q u a t i o n s (2) et (3) p e r m e t t e n t de t r o u v e r P e t x; p² é t a n t d e l ' o r d r e 1/v s e r a t r è s g r a n d , ce qui p e r m e t t r a de p o s e r t h [J H = 1 et c h f* H — =c ; l ' é q u a t i o n (3) d e v i e n t a l o r s :

4 a3 v2 P2 t h a H + P (g a t h a H — b² + 4 i b a2 v - f 8 ^ v2) — 0 a2 — a t h a H (2 a-' v -f- i b)² = 0 (4) E n r é s o l v a n t l ' é q u a t i o n (2) e n ¡3, e n d é v e l o p p a n t e n s é r i e , n o u s a v o n s :

V77tl + i) ⁺ a² (1 — i) V 2 v V 2

V 2 v V 2 4 ^Vft

E n r e m p l a ç a n t 3 p a r c e t t e e x p r e s s i o n d a n s (4), n o u s o b t e n o n s : - - 4 fl^B v² t h œ H — i 4 a³ v b t h a H — g a² — a t h a H ( 2 a^{2 v} - L . f &)2

/ V 5 ( l⁺f ) ^TT2 ^{( 1} _ ^{f ) V} 2 „1/2X ^ ^ ^H ^ ⁴ . ^FC ^ ^ ⁸ ^ ^{= Q}

V V 2 v V 2 4 V ï /

E n n é g l i g e a n t les t e r m e s d ' o r d r e s u p é r i e u r à v¹/², il v i e n t :

i v a (i

vl / 2 ( t h a H (7 a — b²) — g a² + a t h a H b²

(6) 4 ^ 2 ^{( 1} 1 ° + ( t h a H . / a - f e²) ^{a 2 ( 1} - ^ ^{V 2} '

V 2 ' 4 V/) . On r e c h e r c h e a l o r s p o u r a u n e s o l u t i o n d e la f o r m e :

a = C i + C² vV2 + C³ v + . . . E n n o t a n t q u e :

t h a H = t h Cj. II H .^C2„^H„ v'/ ^r C⁸H

|_ c h² Cj H

C^{2 2} H² t h d H c h² d H ¹ |_ ^{ch2 c}i ^{H ch 2 c}i ^H

et en i d e n t i f i a n t les d i f f é r e n t e s p u i s s a n c e s de v d a n s (6), n o u s a v o n s les t r o i s é q u a t i o n s :

V5

g Ci t h d — Z?² = 0 g C ,² + b² d t h Ci H +

V2

V 2 ^{( i —} 1) — 2 g C, C, + Z>² ( C^S t h Cj H + ^{1 V ï ( 1} + ⁰ V 2

" r ( C³ H — C^{a 2} H² t h C, H ) C^{2 2}H

0 1 1 c h²C i H ^{+ 9} c h²C^tH g C³ t h C, H

O n s a i t q u e le « n o m b r e d ' o n d e » a = 2 rc/L d e s h o u l e s e n fluide p a r f a i t d e f r é q u e n c e a n g u - laire b e s t d o n n é p a r gathah — b²; p a r a n a l o g i e n o u s u t i l i s e r o n s ici l a n o t a t i o n C^t = a, m a i s il i m p o r t e d e s o u l i g n e r q u e a n e r e p r é s e n t e p l u s la m ê m e n o t i o n p o u r les h o u l e s e n fluide v i s q u e u x .

78 L A H O U I L L E B L A N C H E N " 1 - J A N V . - F É V . 1 9 5 0

N o u s a v o n s e n s u i t e

Co = V 2 (1 — i) a² et :

d'où : a — a

et :

4 i cv"

h (2 a H + 2 s h 2 a H)

V& (sh 2 « H + 2 a H)

sh 2 a H + 1

, I / 2 g³ y U — n

^ V ô (sh 2 n H + 2 a

(1 — i)

H) z 4

( s h 2 a H + 2 a H )

a^z v

2 s h a H e h » a H ( s h 2 « H + 2 a H )²

b (2 « H + 2 s h 2 a H)

1 2 s h a H c h^{; s} a H

sh 2 « ^H + ( s h 2 a H + 2 a H) + (sh 2 n H + 2 a H)„ ⁽⁷⁾

(8) b / b f1 L l «² 0 — » / ^{2 V}

P= V / i ;^{( 1 + , ) +} 4 \J —

L ' é q u a t i o n ( 7 ) p e r m e t d ' é c r i r e la f o r m u l e d o n n a n t la loi d ' a m o r t i s s e m e n t e n f o n c t i o n de l ' e s p a c e p a r c o u r u :

2 h — 2 /?„ e [— 2 / ( s h 2 n H + 2 a H)] [V'fl» P/(2t>) + (2 a= ;-/&) [sh 2 a H + l/(sh 2 a H + 2 a H) + (2 sh a H ch" a H)/(sh 2 a H + 2 a H)=] ]

P o u r c o m p a r e r c e t t e f o r m u l e avec celle o b t e - n u e p a r M. B I E S E L à l ' a i d e de la m é t h o d e é n e r - g é t i q u e , il est n é c e s s a i r e de f a i r e u n e r e m a r q u e p r é l i m i n a i r e s u r la définition de a et b.

D a n s le c a s de l ' a m o r t i s s e m e n t d a n s le t e m p s , et n o n d a n s l ' e s p a c e , t r a i t é in extenso p a r M. B I E - S E L , la l o n g u e u r d ' o n d e L é t a i t définie s a n s a m - b i g u ï t é , ce q u i p e r m e t t a i t de d é t e r m i n e r a p a r la f o r m u l e :

2 r.

b é t a i t e n s u i t e défini g r â c e à b — V« g t h a H

D a n s le c a s d e l ' a m o r t i s s e m e n t d a n s l ' e s p a c e , la n o t i o n de l o n g u e u r d ' o n d e n ' e s t p l u s a u s s i évi- d e n t e , c a r le profil d e la h o u l e à u n i n s t a n t d o n n é n ' e s t p l u s p é r i o d i q u e d a n s l ' e s p a c e p u i s - q u e l ' a m p l i t u d e d é c r o î t d ' u n e c r ê t e à l ' a u t r e . O n p o u r r a i t définir a c o m m e é t a n t la p a r t i e r é e l l e de a, m a i s n o u s a v o n s p r é f é r é p r o c é d e r p l u s r a t i o n n e l l e m e n t en p a r t a n t de la p é r i o d i c i t é d a n s le t e m p s q u i , d a n s le c a s t r a i t é ici, p e r d t o u t e a m b i g u ï t é . N o u s a v o n s d o n c p o s é :

s i q u e é v i d e n t e , de m ê m e q u e M. B I E S E L a v a i t évité de p a r l e r d ' u n e p é r i o d e d a n s s o n a r t i c l e .

L e s d é f i n i t i o n s de a et b n e p e u v e n t d o n c se t r a n s p o s e r a u t o m a t i q u e m e n t d u c a s « a m o r t i s s e - m e n t d a n s le t e m p s » a u c a s « a m o r t i s s e m e n t d a n s l ' e s p a c e » ; il a u r a i t d o n c été n é c e s s a i r e en t o u t e r i g u e u r q u e M. B I E S E L d o n n e d e s défini- t i o n s de ces q u a n t i t é s e n m ê m e t e m p s q u e la d e r n i è r e f o r m u l e de s o n a r t i c l e . N o t o n s d ' a i l l e u r s q u e les d i v e r s e s d é f i n i t i o n s q u ' i l e s t l o g i q u e d ' e n - v i s a g e r diffèrent t o u t e s de q u a n t i t é s de l ' o r d r e de v V 2^; p ^ar c o n s é q u e n t , à l ' o r d r e d ' a p p r o x i m a - t i o n u t i l i s é , s e u l s les t e r m e s e n v d e l a f o r m u l e d ' a m o r t i s s e m e n t d o i v e n t ê t r e affectés p a r le choix d e s d é f i n i t i o n s d e a et b.

L e s différences q u e l'on p e u t e f f e c t i v e m e n n l c o n s t a t e r s u r les t e r m e s e n v d e n o t r e f o r m u l e et de celle de M. B I E S E L p e u v e n t d o n c e n p a r t i e ê t r e e x p l i q u é e s p a r les r e m a r q u e s q u i p r é c è d e n t , m a i s il e x i s t e u n e a u t r e c a u s e p o s s i b l e de diver- g e n c e d a n s l ' e s t i m a t i o n d u t a u x d e p r o p a g a t i o n de l ' é n e r g i e ; il e s t en effet p o s s i b l e q u e ce d e r n i e r soit affecté p a r l ' a c t i o n d e la v i s c o s i t é , le t e r m e le p l u s i m p o r t a n t de l a m o d i f i c a t i o n q u ' i l subit é t a n t p r o b a b l e m e n t de l ' o r d r e de E n t o u t e

b = et défini :

S o l u t i o n de V« g th aH = b

N o u s é v i t o n s a i n s i de p a r l e r d ' u n e l o n g u e u r d ' o n d e n e c o r r e s p o n d a n t p a s à u n e n o t i o n p h y -

r i g u e u r , il s e r a i t n é c e s s a i r e de c o n n a î t r e cette m o d i f i c a t i o n p o u r m e n e r à b i e n la m é t h o d e éner- g é t i q u e de M. B I E S E L et o b t e n i r c o r r e c t e m e n t les t e r m e s de l ' o r d r e de v.

E n définitive, si l'on d é s i r e o b t e n i r les t e r m e s en v e n a p p l i q u a n t la m é t h o d e é n e r g é t i q u e , il est n é c e s s a i r e d e c o m p l i q u e r celle-ci et p a r consé- q u e n t d e lui f a i r e p e r d r e la s i m p l i c i t é q u i c o n s - t i t u e son a v a n t a g e p r i n c i p a l .

L a c o m p a r a i s o n de n o t r e f o r m u l e a v e c celle

JANV.-FÉV. 1 9 5 6 - N " 1 L A H O U I L L E B L A N C H E 7 9

de M. B I E S E L e s t é c l a i r é e p a r les r e m a r q u e s q u i p r é c è d e n t . E l l e m o n t r e q u e le t e r m e e n v¹/² e s t d o n n é c o r r e c t e m e n t p a r l a m é t h o d e é n e r g é t i q u e , t a n d i s q u e le t e r m e e n v e s t e r r o n é .

L ' i m p o r t a n c e p r a t i q u e d e s d i f f é r e n c e s e n t r e les d e u x f o r m u l e s n ' e s t d ' a i l l e u r s p a s c o n s i d é r a b l e , car :

P o u r les g r a n d e s p r o f o n d e u r s r e l a t i v e s la dif- férence d i s p a r a î t .

P o u r les p r o f o n d e u r s m o y e n n e s ( i n f é r i e u r e s à la d e m i - l o n g u e u r d ' o n d e ) , la d i f f é r e n c e s u r le l e r m c e n v e s t faible et, d e p l u s , le t e r m e p r é - p o n d é r a n t e s t c e l u i e n v¹/².

P o u r les p r o f o n d e u r s r e l a t i v e s e x t r ê m e m e n t faibles, le t e r m e en v d e v i e n t p r é p o n d é r a n t et les v a l e u r s a s y m p t o t i q u e s diffèrent, l ' a m o r t i s s e m e n t étant :

2 h — 2 h⁰ cⁿ/ [⁸<^{a H}'²] • («°>'/!<)M _ 2 7i^{0 e}^v/&h№)ax

au lieu d e :

2 h = 2 h⁰ e[¹/J(«H)=][(a=^I./!>)(ra)] ⁼ 2 7i⁰ e < " /^{4 6 H 2}>^{O J !} Mais il i m p o r t e d e n o t e r q u e , d e t o u t e f a ç o n , la m é t h o d e u t i l i s é e n e p e u t d o n n e r d e r é s u l t a t s c e r t a i n s p o u r ces o r d r e s d e g r a n d e u r , les h y p o - thèses faites a u c o u r s d u c a l c u l i m p l i q u a n t q u e v est t r è s p e t i t et q u e /) n ' e s t p a s t r o p p e t i t ( h y p o - thèse P / Q # 1 ) . O r les e x e m p l e s n u m é r i q u e s d o n -

n é s p a r M . B I E S E L m o n t r e n t q u e c e t t e d i f f é r e n c e n e p o u r r a i t j o u e r q u e p o u r d e s l i q u i d e s d e v i s c o - sité t r è s s u p é r i e u r e à celle d e l ' e a u ou p o u r d e s p r o f o n d e u r s r e l a t i v e s e x t r ê m e m e n t f a i b l e s (de l ' o r d r e d u s o i x a n t i è m e d e la l o n g u e u r d ' o n d e ) .

L e s c o n c l u s i o n s g é n é r a l e s d e l ' a r t i c l e d e

M . B I E S E L r e s t e n t d o n c v a l a b l e s a u m o i n s q u a l i - t a t i v e m e n t e t e n p a r t i c u l i e r , le f a i t q u e l ' a m o r t i s - s e m e n t e n p r o f o n d e u r p a s t r o p g r a n d e e s t s u r t o u t lié a u t e r m e e n v¹-'², c o n t r a i r e m e n t à ce q u ' a é n o n c é M . M I C H E à la p a g e 9 3 d e s o n l i v r e : Pro- priétés des trains d'ondes océaniques et de Labo- ratoire, é d i t é p a r C.O.E.C.

Pour terminer ce calcul, nous allons chercher l'expression de la fonction de courant <\>. L ' é q u a - t i o n (d) d o n n e :

2 1 + ³² les é q u a t i o n s (a) e t (b) d o n n e n t :

D ⁼ A a + C Ta c h a H c h 8 H — 8 s h S H sh * I L a c h a H s h S H — B s h $~R s h a H

B C 6 + a [P c h 8 H c h a H — a s h a H s h 3 H ! S c h S H s h a H a c h a H s h 8 H "

P o r t o n s A, B et D d a n s (1), n o u s a v o n s : ty = Cj c * [ s h œ ( H + Z ) ] —

a ^{\ 2}

"3"

B J

t h S H ch a (H + Z) +

ch 8 H c h S H

s h 8 Z c h 8 H

•sh a H ch 8 (H + Z) , s h a Z 1 . , „ . „ , ' j J i sh -/.¡11 • Z :

avec :

* et 8 é t a n t définies p a r ( 7 ) et ( 8 ) .

J_ / _ 8 _ V C oc c h 6 H

2 V / 8 s h a H ch 8 H — a c h a H s h 3 H

N o u s r e m a r q u e r o n s q u e la f o r m e d e la f o n c t i o n de c o u r a n t e s t la m ê m e p o u r u n a m o r t i s s e - m e n t d a n s le t e m p s si l ' o n p o s e a = a et i b — K, les v a l e u r s 8 et K é t a n t d é f i n i e s d a n s l ' a r t i c l e

de M. B I E S E L O Ù :

K = 1 b 1 s h 2

(1 + 0

LH\/V)

a H + c h 2 n H — 1 "j

ch 4 a H — 1

J

v a- v c h 4 a H + c h 2 a H — 1 b ^+À~~b

2 «²v

2 sh 2 n H \ / b 8 b s h² 2 a H a* v

:(1 — 4 c h 2 a H —- 2 ch 4 « H ) (1 -— i)

C . C A R R Y ,

Ingénieur au Laboratoire Dauphinois d'Hydraulique (SOGRKAH - Grenoble)