Sur l'amplitude de la houle émise par une source ponctuelle isotrope dans un domaine de profondeur variable

(1)

LA HOUILLE BLANCHE/N° 5-1964

SUR L'AMPLITUDE DE LA HOULE .MISE

PAR UNE SOURCE PONCTUE,-LE ISOTROPE DANS UN DOMAINE DE

PROFONDEUR VARIABLE

PAR P. GAILLARD *

Introduction ₍₁₎

La recherche de l'extension au cas d'un domaine plan de profondeur variable des formules de Kir- chofl', qui traduisent sous forme mathématique le principe de Huygens en profondeur constante **, nous a conduit à étudier l'évolution de l'amplitude de la houle émise par une source ponctuelle fictive le long d'un rayon d'onde issu de ce point.

On sait que si la pente des fonds est suffisam- ment faible pour que le flux d'énergie transmis entre deux rayons d'onde voisins BM, BN, se con- serve sans dissipation ni efTct de réflexion sur le foncI, l'amplitude A" de la houle au point A se déduit de l'écartement local ^(fa de ces rayons au moyen de la relation (fig. 1) : .

-

ⁿ

où K est le J1ux d'énergie transmis par unité d'angle;

B_II l'angle formé à l'origine B par les deux l'avons d'onde;

o

le 'poids spécifique de l'eau;

c_,la la célérité de groupe de la houle au . point A.

Le double problème que nous avons été amené à résoudre est le suivant: étant donné successive- ment deux sources Iluctuantes, isotropes et d'égale intensité aux points A et B, y a-t-il une relation de réciprocité :

a) entre la valeur ^(fa relative à la source B consi- dérée seule et la valeur ^(f" relative à la source A'?

b) entre leurs dérivées Cr(( et Œil suivant le rayon d'onde AB'?

Dans la formule (l) (fil et (f" sont pris en valeur absolue: dans ce qui suit, ils seront définis algé- briquement en introduisant un système de coor- données curvilignes (Os, On) dont les axes sont res- pectivement tangent et normal au rayon d'onde AB en un point arbitraire 0 (fig. 1). VV. H. Munk et R. S. Arthur ont démontré dans [2J que, pour des conditions initiales arbi traires, l'écartement de denx rayons d'onde voisins ^(f(s), à l'abscisse cm'vi- ligne s, est solution de l'équation difl'érentielle suivante:

a

8

Il

* Ingénieur il la SO.GR.E.A.H., Gl"enoble.

*.

Le lecteur trouvera dans [1] un exposé détaillé sur l'application de ces fOl'lnulcs au calcul SUI" ordinateur de la

diffraction de la hnuJe en profondeur constante.

;; +

^p^(s)

cr +

^q^(S) ^(f⁼ ⁰ ⁽²⁾

571

Article published by SHF and available at http://www.shf-lhb.org or http://dx.doi.org/10.1051/lhb/1964032

(2)

P. GAILLARD

CO' Ca' c_b désignent la valeur de la célérité de phase aux points 0, A et B.

Si l'on désigne par F (s) et G(s), deux solutions particulièrement indépendantes de l'équation (6), la solution générale de cette équation est du type:

où:

(J', (J' désignent les dérivées première et seconde de (J' par rapport à s;

1

oc

p(s)

= - - - ;

c

os

't'(s)

=

^ÀF(s)

+

^[.LG^(s) ⁽⁹⁾

où : À et [.L sont deux constantes déterminées par les conditions aux limites.

On trouve ainsi, pour expression de 't'1(s) et

't'2(s) : 1 02e

q(s)

= - -

c

on

²

C désigne ici la célérité de phase de la houle considérée.

Les coefficients p(s) et q (s) sont des fonctions de s déterminées une fois effectué le tracé du rayon d'onde *. L'équation (2) va nous permettre de répondre aux deux questions posées.

_ v -1I~

l

^G(aL~^{(s) -} ^F ^(a) qj~lJ

't'1(s) - 0a.a / G(a) F (a) - F (a) G(a) 1

s _

_1/2l

G(b)~(s)-F(b)G.(s) (

't'2( )-ab'Yb (G(b)F(b)-F(b)G(b)

l

(l0)

Relation entre ^(Sa et ^(Sb

Les valeurs - ^(J'a et ^(J'b peuvent être considérées comme les valeurs particulières :

Les grandeurs ^(J'a et ^(J'b s'en déduisent par les formules:

(3)

(l1)

des solutions (J'1(s) et (J'2(s) de l'équation (2) a~so

ciées aux conditions aux limites : Considérons à présent l'intégrale:

(J'z(b)

=

0 ⁽²⁾

(4)

Une intégration par parties conduit à l'expression:

où a et b désignent les abscisses curvilignes des points A et B. Avec le système d'axes adopté, (J'a

est positif lorsque

al'

est lui-même positif et sous réserve qu'il n'y ait aucun croisement des rayons d'onde entre A et B.

. . .

1= ~G(b) F (b) - F (b) G(b) ]

. .

- [G(a) F (a) - F(a) F (a)] (l3)

(15)

(16) a,,'Y,,-1I2 (l4)

0l'Yb-1/2

et, sous une forme symétrique, que:

On déduit également des relations (1), (8) et (15), l'expression:

qui représente la différence des dénominateurs en- tn' crochets figurant dans(l0).La substitution dans (12) des expressions de

F

(s) et

G

(s) déduites de(6) montre immédiatement que

i

est nul. II résulte de cette propriété que :

..

(6)

't'

+

^le^(s) ^'t'

⁼

⁰

1 1

le^(s)

=

q (s) -

""4

[p(s)]2 - .2

P

^(s)

avec:

't'l(a)

=

0

Les fonctions ^(J'l(s) et ^(J'z(s) sont remplacées par les solutions 't'1(s) et 't'2(s) de l'équation (6) asso- ciées aux conditions aux limites:

Nous introduisons la nouvelle inconnue:

't' (s)

=

^(J'^{(s) e}^1/2

ft

^p(l/)à/l

=

^(J'^{(s) (} e^(s)^)-112 (5)

C(0)

où e(s) représente la célérité de phase à l'abscisse s.

L'équation (2) devient ainsi:

* Le lecteur trouvera dans [2J l'expression de p (s) et q (s) relative à d'autres systèmes de coordonnées.

où:

'Ya= e -

f~

^p(s)às

'Yb = e

- fb

⁰ ^p(8)à8

=.!:.JL

Co

(8)

II n'existe pas entre

da

et

db

de relation de réci- procité comparable à (15); en effet, par un procédé de calcul analogue au précédent, on établit que:

572

(3)

LA HOUILLE BLANCHE/N° 5-1964 correspondants soit justiciable de l'équation diffé- rentielle (2).

Si H(s) et K (s) désignent deux solutions particu- lières de (2), on montre aisément que la solution générale de cette équation est de la forme:

"2

(a) _1 ( ' . 1\

( ) ..- 2 P a),

"2

^a

.!!..I>.... =

"1

^(b) ^_ ^{_ l_}_p^(h)

ab "l(b) 2

avec, en se référant à (10) :

":1 (b) =

1-

^(.i^(a)

i<'

(b) - F (a)

ri

(b) ]

": (b) _G(a) F (b)-F (a) G(b)

o • •

_~dE.L=

1.-

G(b) F (a) - F (.h) G(a) ]

"2

^(a) ^_G(b) F ^(a)-F (b) G^{(a) _}

(17)

(18)

a (s) = a (s) a (a)

+

~^(s) ~^(a)

où:

. .

1

_- K (a) H (s) - H (a) K (s)

J

a (s) = . .

- 1\(a) H (a) - H (a) K (a) - ,- H(a) K (s) - K (a) H (s) ]

~(s) = . .

- K (a) H (a) ^{0 -}H (a) K (a) !

(23)

En intégrant par parties l'intégrale:

Il résulte des définitions de al(S), a2 (s) et ur(s)

que:

o • •

1= [G(a)F(b)-F(a)G(b)]- on obtient la dill'érence des numérateurs figurant aux seconds membres de (18) :

(24)

(25)

Ùll(b.) =a(b) l"S"

d'où l'on tire la relation:

--- F (b

+

^{a -} ^s)

G

^{(s) ] ds} (19) 1=

lb

[G(b

+

^{a --- s)}

F

^(s)

j"

• 0

[G(b) F (a) - F(b) G(a)

l

⁽²⁰⁾ En introduisant la solution ur2(s) de l'équation

(2) relative aux conditions aux limites (fig. 3) : En utilisant l'équation(6), on peut donner à cette

intégrale la forme suivante:

w,(s)

1=

lb

Ja

^[F^(h

+

^{a -} ^s) ^G^(s) _oL---=G=-t---r--...^Iⁿ⁸ⁿ

- F(s) G(b

+

a-- s)] k (s) ds (21)

...-- -lb8_n

W₂(s)

ou:

1= j"~b ^F ^(b

+

^{a -} ^s) ^G^{(s) [k (s)} ^3/

- k (b

+

^{a -} ^{s) ] ds}

qui, généralement, n'est pas nulle en profondeur variable.

On peut, par contre, établir une correspon.dance simple entre a" ét la valeur au point B de la fonc- tion url(s) définie comme la solution de l'équa- tion (2) associée aux conditions aux limites (fig. 3) :

On établit inverse:

(26)

de manière analogue la relation

(27)

1

cr;(s) ^<7b

8n

G b

0 8_b

-<7n <72(s)

2/

(22) où l" est une longueur arbitraire, mais petite, pour que l'évolution de l'écartement des rayons d'onde

Applications

Les relations qui viennent d'être établies pré- sentent de l'intérêt dans l'application du principe de Huygens au calcul de la propagation de la houle dans les zones portuaires de profondeur variable où les phénomènes de dift'raction ne peuvent être négligés. Le calcul de l'amplitude de la houle en un point donné A, à partir des caractéristiques des sources fluctuantes B réparties sur une ligne fer- mée arbitraire cr) entourant ce point, comporte en principe deux phases distinctes:

573

(4)

P. GAILLARD

a) le tracé il partir du point A des rayons d'onde provenant des sources réparties sur (r) connaissant la courbure p :

ainsi que la détermination corrélative des coefllcients p(s) et Cf(s);

b) le calcul le long de chaque rayon d'onde de la solution 0"2(s) de l'équation (2) associée aux conditions (4) imposées sur la frontière (r).

En pratique, les caleuls sont efl'ectués en décom- posant le rayon d'onde en ares circulaires de longueur finie Ils. Sur ordinateur, la méthode qui vient d'ètre décrite exige que soient tabulé es au cours de la phase (a), les valeurs de p (s) et Cf (s)

calculées en progressan t de A vers B; ces eoefll- cients sont ensuite exploités dans le sens inverse au cours de la phase (b).

] -> ->

p

= ----

grad(c).n

"- c

(8)

La relation (J ()) permet de substituer au calcul

de 0"2(s) celui de 0"1 (s) et en conséquence, d'exécu-

ter simultanément les deux phases de calcul: ainsi l'exploitation immédiate des coefllcients p(s) et q(s) au cours de chaque pas de calcul Ils, n'exige plus leur tabulation.

Lorsque les réflexions sur des ou vrages portuaires sont possibles, le calcul de ~2(s) est nécessaire;

en substituant il ee caIeu!, celui de V1 (s) et de 05,(s),

la relation (25) présente llIl avantage analogue.

Références

[1] F. BmsEL et H. HA1\S01\. - Calculs de diffraction de la houle. Congrès de l'A.I.RB., Dubrovnik, 1H6l.

[2] 'V. H. MmŒ et H. S. AlITHUII. - 'Vave intensity along a refracted ray. Gravity waves. Na/. Bur. Slanclarcls, CirculaI' 521, 1952.

r

Abstract

On the amplitude of waves generated

by an isotropie point source in a region of varying depth by P. Gaillard *

\Vaves generated by a hypolhetical point source are investigated with a view to the application of Huygens's principle to computer ca1eulations of ,vaves in harbour areas in whieh the depth of water vades. Two useful reciprocity relationships for the calculation of wave amplitude at any point ancl its derivative along a given direction are demonstrated.

Tt is known that the wave amplitude A_a at -a point A can be deduced from the local distance O"a hetween Iwo adjoining wave radii originating from source B by relation (1), where K is the energy llux transmitted pel' unit angle, /) the specific gravit y of water, C_fla the group wave celerity at A, and

e

the angle between the two wave radii al B. The quantitv 0" is the vàlue at A of the solution 0""(s) of clitl'erential equation (2) associated with boundary conditions (3) ~;nd('c4). In this equation, s is the curvilfnear abscissa along wave radius AB, ^Il the ordinate along a Hne normal to the samewave radius al an -arbitrary point, and c the corresponding phase celerity.

By considering two isotropic fluctuating sources of l'quaI intensity at points A and B successively, it is shown that:-

1. The quantities O"a with respect to source B considered by itself and crb with respect to source A are connected by relationship (15), in which ca and c,) are the respective phase celerities at these two points;

2. The values of the derivatives with respect to s, (J"a and (J'lb do not generally satisfy any analogous relationship.

By means of relationship (25), however, (J'la can be found from the previous quantities and the solution 05₁(s) of equation (2) subjeet to eonditions (22).

The normal procedure for ca1eulating Ihe wave amplitude at poin t A l'rom the known eharaeteristics of fluctuating sources such as B distributed along an arbitrary line (r) surrounding this point would require the following:-

a) A first phase involving the delermination of the wave radii from point A, knowing their eurvature duc to hed variations, and the caleulation and memory-storage of coefficients JI(s) and q (s);

b) A second phase involving the calelllation of ^(J'a by determining ^(J'2(s) in a direction opposite to the direction of progression.

\Vith relationship (15), the calclllation can he carried out by simllltaneously dc1ermining the wave n,dii and finding the integral ^(J'l(s) of eqllation (2) associated with boundary cünditions (3) and (4).

(J"2(s) has to he ea1clllated whel'e waves are likely to relIect back from struetures in the harbour; if (J'l(s)

and 05[(s) are caleulated instead, a similar advantage is gained by using relationship (25).

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* Engineer at SO.GR.E.A.H., Grenohle. ---~---- - - -