Intégration

NOM : ENONCE ET FEUILLE REPONSE Respecter les consignes Enoncé 1 Il s’agit de calculer la valeur moyenne d’une fonction f sur [4 ; 7], avec f(x) =

2 2

x 13 (x 4x 5)(x 3)

−

− + − sur [4 ; 7].

On peut écrire, sur [4 ; 7], f(x) = ₂^{a(x 2) b}₂ ^c x 3 x 4x 5 (x 2) 1

− + +

−

− + − + où a, b et c sont des constantes réelles.

1) Par la méthode dite d’identification des coefficients, a, b et c sont solutions d’un système de trois équations à trois inconnues. Ecrire ce système. N.B. : on ne demande pas ici de preuve, ni de résolution.

2) Quels sont les triplets (a ; b ; c) solutions de ce système ? N.B. : il n’est pas demandé de présenter la résolution.

3) a) Ecrire une primitive de ₂^{x 2} x 4x 5

−

− + .

b) Citer les théorèmes utilisés pour trouver le résultat de a)

4) En utilisant une intégration par changement de variable, présenter un calcul de ⁷ ₂

4

1 dx

(x 2)− +1

∫

^.

5) Ecrire la valeur moyenne exacte de f sur [4 ; 7] sous une forme « réduite ».

NOM : ENONCE ET FEUILLE REPONSE Respecter les consignes

Enoncé 2 On considère la fonction f définie sur R, paire, périodique de période 5, telle que : f(t) =

2t si 0 t 1 t 1 si 1 t 2

3 si 2 t 5 2

 ≤ <

 + ≤ <



 ≤ ≤

 1) Représenter graphiquement la fonction f sur l’intervalle [-5 ; 10].

2) Quelle est la valeur moyenne de la fonction f sur une période ?

3) On veut calculer ⁵f (t) cos ²ⁿ t dt 5

α+

α

 π 

 

 

∫

où α est une constante arbitraire et n un entier naturel. Le calcul de cette intégrale peut se faire à l’aide du calcul de trois intégrales.

a) Quel(s) théorème(s) utiliser pour faire apparaître ces intégrales ?

b) Quelles sont ces intégrales ?

c) Prouver (en citant les théorèmes essentiels) que ¹ _{2 2}

0

2n 5 2n 25 2n

t cos t dt sin cos 1

5 2n 5 4n 5

π π  π 

  =  +   − 

  π   π  

       

∫

^.

Eléments pour un corrigé

Enoncé 1 Il s’agit de calculer la valeur moyenne d’une fonction f sur [4 ; 7], avec f(x) = ₂ x² 13 (x 4x 5)(x 3)

−

− + − sur [4 ; 7].

On peut écrire, sur [4 ; 7], f(x) = ₂a(x 2) b₂ c x 3

x 4x 5 (x 2) 1

− + +

−

− + − + où a, b et c sont des constantes réelles.

1) Par la méthode dite d’identification des coefficients, a, b et c sont solutions d’un système de trois équations à trois inconnues. Ecrire ce système. N.B. : on ne demande pas ici de preuve, ni de résolution.

a c 1 5a b 4c 0 6a 3b 5c 13

 + =

 − + − =

 − + = −

 2) Quels sont les triplets (a ; b ; c) solutions de ce système ?

N.B. : il n’est pas demandé de présenter la résolution. (3 ; 7 ; -2) 3) a) Ecrire une primitive de ₂^{x 2}

x 4x 5

−

− + . ¹ln(x² 4x 5)

2 − +

b) Citer les théorèmes utilisés pour trouver le résultat de a) Par exemple : th.1 : (ku)’ = ku’ (où k constante) Th.2 : (ln u)’ = u '

u avec u > 0 4) En utilisant une intégration par changement de variable, présenter un calcul de ⁷ ₂

4

1 dx

(x 2)− +1

∫

^.

En posant t = x – 2 et en utilisant le th. : si x est une fonction de t dérivable et bijective, alors _a^{bf (x)dx β}f x(t) x '(t)dt

[ ]

= α

∫ ∫

avec α = x^-1(a) et β = x^-1(b), on obtient : ⁷ ₂ ⁵ ₂

4 2

1 1

dx dt

(x 2) 1 = t 1

− + +

∫ ∫

^.

Or, (arctan t)’ = ¹₂

1 t+ , donc 4⁷ 2 2⁵ 2

[ ]

⁵2

1 1

dx dt arctan t

(x 2) 1 = t 1 =

− + +

∫ ∫

^.

5) Ecrire la valeur moyenne exacte de f sur [4 ; 7] sous

une forme « réduite ». ^{1ln2197 7}(arctan 5 arctan 2)

6 4000 3+ −

Eléments pour un corrigé

Enoncé 2 On considère la fonction f définie sur R, paire, périodique de période 5, telle que : f(t) =

2t si 0 t 1 t 1 si 1 t 2

3 si 2 t 5 2

 ≤ <

 + ≤ <



 ≤ ≤

 1) Représenter graphiquement la fonction f sur l’intervalle [-5 ; 10].

2) Quelle est la valeur moyenne de la

fonction f sur une période ? 2 3) On veut calculer ⁵f (t) cos ²ⁿ t dt

5

α+

α

 π 

 

 

∫

où α est une constante arbitraire et n un entier naturel. Le calcul de cette intégrale peut se faire à l’aide du calcul de trois intégrales.

a) Quel(s) théorème(s) utiliser pour faire

apparaître ces intégrales ? Th.1 : si f est paire, alors ^{a a}

af (t)dt 2 f (t)dt0

− =

∫ ∫

Th.2 : si f est T-périodique alors ^{a T}

a⁺ f (t)dt

∫

ne dépend pas du choix de a Th.3 : si f est T-périodique, alors le coefficient de Fourier an = ^{a T}

a

2 f (t)dt T

∫

+

Th.4 : relation de Chasles … b) Quelles sont ces intégrales ? 1

0

t cos 2n t dt 5

 π 

 

 

∫

^; 1²

(t 1) cos 2n t dt 5

 π  +  

∫

^; 2⁵²

3cos 2n t dt 5

 π 

 

 

∫

c) Prouver (en citant les théorèmes essentiels) que ¹ _{2 2}

0

2n 5 2n 25 2n

t cos t dt sin cos 1

5 2n 5 4n 5

π π  π 

  =  +   − 

  π   π  

       

∫

^.

1 1 1

0 0

0

2n 5 2n 5 2n

t cos t dt t sin t sin t dt

5 2n 5 2n 5

π  π  π

  = ×   −  

   π   π  

      

∫ ∫

(th. de l’intégration par parties, et th. (sin ax)’ = a cos ax)

donc

1 2 1

1

0 0 0

2n 5 2n 5 2n

t cos t dt t sin t cos t

5 2n 5 2n 5

 

π  π  π

  = ×   +    

   π    π  

        

∫

(th. (cos ax)’ = -a sin ax)

donc ¹ _{2 2}

0

2n 5 2n 25 2n

t cos t dt sin cos 1

5 2n 5 4n 5

π π  π 

  =  +   − 

  π   π  

       

∫

. (th. cos 0 = 1 et sin 0 = 0)