Le but de cet exercice est d’étudier les variations d’une fonction, les positions relatives de deux courbes, de calculer un nombre d’unités d’aire d’un domaine plan avec le logiciel Derive.
Aucune justification n’est demandée.
Soit f(x) = (x + 1)ln(x + 1) + 2x – 1.
1) Sur quel ensemble f est-elle définie ?
2) Ecrire un tableau de synthèse des variations de f, contenant aussi les éléments permettant de comprendre les sens de variations obtenus.
3) Ecrire les positions relatives de la courbe C et de la droite d d’équation y = 5x 1 2
− .
4) Soit E la partie du plan comprise entre l’axe des ordonnées, la droite d’équation x = 1, la droite d et la courbe C. Ecrire le nombre d’unités d’aire de E.
5) Ecrire la primitive F de f s’annulant en 0.
6) Résoudre l’équation f(x) = 0, chaque solution sera donnée sous forme exacte ou à l’aide d’un encadrement à 10-3 près.
Consigne : les résultats devront être écrits sous la forme suivante (compléter le tableau …)
q. n° Réponse à la question Tâches soumises à Derive pour répondre à la question Réponse de Derive
Le but de cet exercice est d’étudier les variations d’une fonction, les positions relatives de deux courbes, de calculer un nombre d’unités d’aire d’un domaine plan avec le logiciel Derive.
Aucune justification n’est demandée.
Soit f(x) = (x + 1)ln(x + 1) + 2x – 1.
7) Sur quel ensemble f est-elle définie ?
8) Ecrire un tableau de synthèse des variations de f, contenant aussi les éléments permettant de comprendre les sens de variations obtenus.
9) Ecrire les positions relatives de la courbe C et de la droite d d’équation y = 5x 1 2
− .
10) Soit E la partie du plan comprise entre l’axe des ordonnées, la droite d’équation x = 1, la droite d et la courbe C. Ecrire le nombre d’unités d’aire de E.
11) Ecrire la primitive F de f s’annulant en 0.
12) Résoudre l’équation f(x) = 0, chaque solution sera donnée sous forme exacte ou à l’aide d’un encadrement à 10-3 près.
Consigne : les résultats devront être écrits sous la forme suivante
q. n° Réponse à la question Tâches soumises à Derive pour répondre à la question Réponse de Derive
1) ]-1 ; +∞[ Aucune (évident)
2) Val. de x -1 e-3 – 1 +∞
Sgn de f’(x) – 0 + Var. de f -3 Â -3 – e-3 À +∞
Calculer f ’(x)
Résoudre ln(x+1) + 3 ≥ 0
Simplifier, substituer e-3 – 1 à x dans (x + 1)ln(x + 1) + 2x – 1 (ou calculer f(e-3 – 1))
Calculer
x lim f (x)1,x 1
→− >−
Calculer
xlim f (x)
→+∞
Ln(x+1) + 3 x ≥ e-3 – 1 -e-3(3e3+ 1) -e-3(3e3+ 1) -3
+∞
3) C est au-dessus de d ' x ≥ e1/2 – 1 C est sous d ' -1 < x ≤ e1/2 – 1
Résoudre (x+1)ln(x+1) + 2x – 1 - 5x 1 2
− ≥ 0 x ≥ e1/2 – 1
4) U étant le nombre d’unités d’aire, U = 2 ln2 + e 5
2
− Calculer 1
0
f (x) 5x 1dx 2
− −
∫
2 ln2 + e 5−25) F(x) =
2 2
x 1 3x 3x
x ln(x 1)
2 2 4 2
+ + + + −
Calculer
∫
f (x)dx = , avec constante 0 x2 1 3x2 3xx ln(x 1)
2 2 4 2
+ + + + −
6) Soit a l’unique solution de l’équation,
0,318 < a < 0,319 Ecrire Table (f(x), x, 0, 1, 0.1) ≈
Ecrire Table (f(x), x, 0.3, 0.4, 0.01) ≈ Ecrire Table (f(x), x, 0.31, 0.32, 0.001) ≈
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