3 ème Maths Chapitre : Produit scalaire

(1)

Exercice 1: Application cours

Pour chacune des 4 figures suivantes, calculer A B .A C.

A- B-

C- D-

Aller à la correction Exercice 2

Soit ABCD un rectangle et I le point défini comme indique la figure a) Montrer que IA .IB ID .ICD A ²

b) En déduire que ^{c o s A IB}

 

^ ₅⁵

Sur un quart de cercle de rayon 1, on considère le point C tel que OAC est un triangle équilatéral.

1)Déterminer les mesures, en radians, des angles C A B^ˆ et C O B^ˆ 2)Calculer ^{A C .A O} et A C .O B.

3)Calculer A C .A B de deux façons différentes et en déduire la valeur de cos

12



ABCD est un carré de côté 3. On définit les points I et J par : ^{B I =} ¹ ^{B C}

2 et ¹

 3

D J D C

1)a) Calculer^{A B .D J} et ^{B I.A D}

b) En exprimant de deux façons le produit scalaire^{A I.A J}, déterminer la mesure, en radians, de l’angle^I^Aˆ^J.

2)Soit H la projection orthogonale de J sur (AI).

Démontrer que H est le centre de gravité de ABC.

3)Déterminer l’ensemble (  ) des points M du plan qui vérifient M I.M J 0

Aller à la correction

Exercice 5

I/ ABCD un trapèze isocèle de bases [AB] et [CD] tel que AB = 3 et DC = 7.

3

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(2)

Calculer : A B.C D ; A D .D C ; C D .B D

II/ Soit ABCD un carré tel que AB=1, I le milieu de [AB], J le milieu de [AD] et K le milieu de [ID].

Montrer que les droites (AK) et (BJ) sont perpendiculaires.

Soit A et B deux points distincts du plan et I le milieu du segment [AB].

On désigne par Γ l’ensemble des points M du plan tel que ^{M A .M B} ^ ² . 1. Montrer que

2

2 A B

M A .M B M I

4

  .

2. En déduire que Γ est un cercle dont on déterminera le centre et le rayon.

Dans un plan P on considère un rectangle ABCD tel que AB = 2 BC = 1 (l’unité de longueur étant choisie).

Soit J le barycentre des points ponderés (C,3) et (D,1). La droite(BJ) coupe (AC) en I A)

1) Faire une figure illustrant les données ci-dessous puis vérifier que AC = 5 . 2) Démontrer que C A .C B C A .C J .

3) En déduire que (BJ)  (AC) (on montrera que ^{B J .A C} = 0).

4) a) Calculer la distance BJ.

b) Démontrer que BI = ²

5

.

c) Calculer alors le produit scalaire B C .B J .

B)1)Montrer que pour tout point M P on a : 3 M C²  M D²  4 M J²  3

2)Determiner et construire l’ensemble E tel que : E = {M ; M  P et 3MC² + MD² = 7}

3) Soit F = {M ; M  P et MD² - MC² = 4}.

a) Vérifier que C appartient à F.

b) Montrer que F est la droite (BC).

Soit ABC un triangle équilatéral de côté 4cm et G son centre de gravité.

(3)

I = A * C et D le point vérifiant : B D  2 B I 1).a). Calculer : B A .B C

b). Quelle est la nature du quadrilatère ADCB ?

2). Déterminer et construire l’ensemble ={M P / M A .M C 5}}

3).a). Montrer que pour tout point M P on a : ^{M A .M C}  ^{M B}²  ^{M B .B D}  ⁸ b). En déduire l’ensemble  des points M du plan tel que : ^{M A .M C}  ^{M B}² ⁸  ⁰

4). Soit l’application : ^{f : P} ₂ ₂ ₂

M f ( M ) M A M B M C



   

a).Montrer que pour tout point M P on a f (M) = 3MG² + 16

b). Déterminer et construire l’ensemble ’ = ^{{ M} ^ ^{P / M A}² ^ ^{M B}² ^ ^{M C}² ^ ^{4 3}}

Aller à la correction

Correction

(4)

Exercice 1:

A) B est le projeté orthogonal de C sur (AB)

   

A B .A C A B .A B 3 3 9

B) (A B e t A C deux vecteurs colinéaires de sens opposé)

       

A B .A C A B A C 3 1 3

C) Utiliser théorème El Kashi

 1 ²  ²  ²  1 ²  ²  ³  1  4 3

A B .A C ( A B A C B C ) ( 4 6 3 ) ( 4 3 )

2 2 2 2

D) Utiliser I milieu [BC]

A B .A C=( A I IB ).( A IIC ) ² ²

9 0 4

A I A I.IC IB A I IB .IC A I IB ( IC IB ) IB .IC 5



        

Retour exercice1

Exercice 2:

a)I A .I B  (I D D A ) .(I C C B )I D .I CI D .C B D A .I C D A .C B I D .I C D A ²

0 0 D A2

b)IA .IB ID .IC D A ²    1 3 9 6

 



I A .I B I A .I B . c o s A I B

 Calcul de IA : Utiliser Pythagore pour le triangle IAD

 2  2  2  2 

IA ID D A 1 3 1 0

 Calcul de IB : Utiliser Pythagore pour le triangle ICB

 2  2  2  2  

IB IC C B 3 3 1 8 3 2

donc c o s A I B

 

^ ⁶ ^ ⁶ ^ ¹ ^ ⁵

I A .I B 1 0 . 3 2 5 5

Retour exercice2 Exercice 3:

1)* Le triangle OAB est un tringle rectangle isocèle donc O A B O B A^ˆ 4

  

C A O^ˆ C A B^ˆ B A O^ˆ C A B^ˆ

3 3 4 1 2

   

      

*^{C O B}^ˆ

2 3 6

  

  

2)Utiliser théorème El Kashi

(5)

2 2 2

1 1

A C .A O ( A C A O C O )

2 2

   

0

A C .O B  ( A O  O C ).O B  A O .O B  O C .O B O C .O B O C .O B . c o s C O B^ˆ 1 1 c o s ³

6 2

      

Donc A C .O B ³ 2



2/ A C .A O A C .O B A C ( A O O B ) A C .A B ¹ ³ ¹ ³

2 2 2

       

A C .A B  A C .A B . c o s C A Bˆ donc c o s C A B^ˆ ^{A C .A B}. A C .A B



 On applique Pythagore dans le triangle OAB : A B  O A² O B²  1² 1²  2

 ^{A C} ^¹

1 3

ˆ 2 c o s C A B

2 2 2



  

1)a

 ^{A B .D J} ^ ^{A B .D J} ^{  }³ ¹ ³

 ^{B I.A D} ³ ³ ⁹

2 2

  

(6)

b) Méthode 1 :

A I.A J  ( A B B I)( A D  D J )  A B.A D A B.D J B I.A D  B I.D J 9 1 5

0 A B .D J B I.A D 0 3

2 2

      

Méthode 2 :

A I.A J  A I.A J . c o s IA Jˆ donc c o s IA J^ˆ ^{A I.A J} A I.A J



 On applique Pythagore dans le triangle ABI :

2 2 2 3 2 9 4 5 3

A I A B B I 3 ( ) 9 5

2 4 4 2

       

 On applique Pythagore dans le triangle ADJ : A J  A D²  D J²  3² 1²  1 0 1 5

3 0 5 1 2

ˆ 2 c o s IA J

3 6 5 0 5 0 2 2

5 . 1 0 2

     , donc ^{IA J}^ˆ

4

 

2)

0

A H .A I ( A J J H ).A I A J .A I J H .A I 1 5 2

    

1 5 A H .A I A H .A I

2

 

A I 3 5

2

 ; A H ^{1 5} ^{1 5} ² ⁵ 5

2 .A I 2 3 5 5

   

 ^{A H .A I} ^ ⁰alors A H e t A I de même sens

 On remarque que A H ² A I 3

 comme A H e t A I de même sens alors A H ² A I 3

 , donc G est le centre de gravité de triangle ABC

3)Soit K le milieu de [IJ]

M I.M J  ( M K K I ).( M K K J )

2

2 2 2 2

0 K I

M K M K .K J K I M K K I.K J M K M K ( K I K J ) K I.K J M K K I 0



           donc

2 2

M K  K I signifie MK = KI donc  est le cercle de centre k et de rayon KI Retour exercice4

Exercice 5:

(7)

 A B e t C D sont colinéaires et de sens opposé donc A B .C D  A B .C D  2 1

 K est le projeté orthogonal de A sur DC donc

A D .D C  D A .D C  D K .D C  D K .D C  2 * 7  1 4

 C D .B D  C D ( B A  A D )  C D .B A C D .A D  A B.C D A D .D C  2 11 4 3 5

II)

A K .B J 1 ( A I A D ) ( B A A J ) 2

   =

1 0 0 1

2 2

1 ( A I.B A A I.A J A D .B A A D .A J ) 2



   =0

A K .B J  0 , donc ^{A K}  ^{B J} signifie les droites (AK) et (BJ) sont perpendiculaires.

MB .

MA =⁽^MI ^ ^IA^).(^MI ^ ^IB⁾

2

2 2 2 2 A B

M I M I IB IA M I IA IB M I M I ( IA IB ) IA M I 4

         

2/

4 AB MI 2 MB . MA

2 2 



 donc

4 AB 2 MI

2

2  

 est le cercle de centre I et de rayon

4 2 AB

2



Retour exercice6 Exercice7:

(8)

A)1) Appliquer Pythagore dans le triangle ACB donc AC² = BC² + AB² =1+4=5 donc AC = ⁵.

2) C A .C B C B ² 1( B est le projeté orthogonal de A sur (CB) *1*

C A .C J C J .C D 12 1

  2  ( D est le projeté orthogonal de A sur (DC) *2*

Donc d’après *1* et *2* on a C A .C B C A .C J

3) C A .C B C A .C J donc C A .C B C A .C J  0 donc C A .( C B C J )  0 signifie

C A .( C B  J C )  C A .J B  0 donc ^{C A .J B}  ⁰

Donc (BJ)  (AC)

4) Appliquer Pythagore dans le triangle BCJ : BJ² =JC² +BC²=¹ ¹ ⁵

4 4

  donc BJ= ⁵

2

. b)Aire de traingle ABC : Aire=¹

2

AB.BC=¹

2

BI.AC AB.BC=BI.AC donc BI= ^{A B .B C} ²

A C 5

 

c) ^{B C .B J}  ^{B C .B C} ¹(C est le projeté orthogonal de J sur (BC) B)

1) 3 M C²  M D²  3( M J JC )² ( M J JD )²

2 2 2 2

3( M J 2 M J JC JC ) ( M J 2 M J JD JD )

     

2 2

2 2 2 2 2

1 3

( ) ( )

0

2 2

4 M J 2 M J ( 3 J C J D ) 3 J C J D 4 M J 1 2 4 M J 3 4

        

2) 3MC² + MD² = 7 sigifie 4MJ² + 3 = 7 sigifie 4MJ² =4 Signifie MJ=1 Alors E est le cercle de centre J et de rayon 1 3)a) CD² - CC² = 2²-0² = 4 alors C appartient a l’ensemble F

3/2 1/2

(9)

b) M D² M C²  ( M CC D )² M C² ( M C C D M C )( M C C D M C )

( 2 M C  C D ) C D  2 M C C D C D C D  2 M C C D C D2  2 M C C D  C D²  2 M C C D  4

Donc 2 M C C D  4  4  2 M C C D  0 donc M C .C D  0

M appartient à la droite passant par C et perpendiculaire a (CD) c’est la droite(BC) Retour exercice7

Exercice 8:

1/ a) B A .B C B A .B C . c o s A B C 4 .4 .¹ 8 2

  

b) I=A*C =B*D et BC=BA alors ADCB est un losange 2/M A .M C =( M I IA ).( M I IC )

2 2 2 2 2

M I M I.IC IA M I IA .IC M I M I ( IA IC ) IA M I IA

         

2 2

M A .M C  M I  I A  5 donc M I²  5 IA²  9

 est le cercle de centre I et de rayon 3

3/ a) M A .M C - M B² = (M B + B A ) (M B + B C ) - M B²  M B²  M B .B C  B A .M B  B A .B C  M B²

B D 8

M B . ( B C B A ) B A .B C M B .B D 8

    

b) ^{M A .M C} ^^{M B}² ^⁸ ^ ⁰ signifie ^{M B .B D} ^⁸ ^⁸ ^ ⁰ signifie M B .B D  0

Alors  est la droite perpendiculaire a (BD) en B.

4) f ( M ) M A²  M B² M C²  ( M G G A )² ( M G G B )² ( M G G C )²

2 2 2 2 2 2

( M G 2 M G .G A G A ) ( M G 2 M G .G B G B ) ( M G 2 M G .G C G C )

        

2 2 2 2

0

3 M G G A G B G C 2 M G .( G A G B G C )

      

G est le centre de gravité du triangle ABC donc G A G B G C ² B I ^{2 4}. ³ ⁴ ³

3 3 2 3

    

2 2 2 1 6

G A G B G C

3

   donc f (M) = 3MG² + 16

b) M A²  M B²  M C²  4 3 signifie 3 M G² 1 6  4 3 signifie M G²  9 alors MG=3 signifie T est le cercle de centre G et de rayon 3

(10)

Retour exercice8