Les taux liés Quelques exercices solutionnés

Les taux liés Quelques exercices solutionnés

# 1 Le rayon d’un cercle augmente au rythme de 2cm/sec. À quel rythme la surface augmente-t-elle lorsque le rayon est de 15 cm ?

Les variables :

- rayon : r (cm) - temps : t (sec)

- aire : A et l’aire d’un cercle en fonction du rayon est de ^{A r}

( )

Taux de variation :

dt dr dr dA dt

dA = •

- Le taux de variation de l’aire en fonction du rayon est alors :^{A r′}

( )

( )

- Le taux de variation du rayon par rapport au temps est de : _dt^d

( )

- Alors le taux de variation de l’aire en fonction du temps est de:

( )

dt r dr dt

dr dr

r dA dt

t r

dA = • = π • = π = π

Si le rayon est de 15 cm alors ( ) =4π15cm2/sec=60π cm2/sec dt

r

dA .

# 2 Une nappe de pétrole se répand circulairement sur l’océan. Le rayon de la nappe augmente de 0,05 km/jour. Calculez à quel taux augmente la surface de la nappe de pétrole lorsque celle-ci a un rayon de 1,2 km.

Les variables :

- rayon : r (km) - temps : t (jours)

- aire : A et l’aire d’un cercle en fonction du rayon est de ^{A r}

( )

Taux de variation :

dt dr dr dA dt

dA = •

-

( )

( )

dt dr dr

r d dt dr dr

r dA dt

t r

dA _{= • =} π _{• =} π ₌ π _.

Si le rayon est à 1,2 km nous aurons : 0,1 (1,2) 0,12 km²/j dt

dA = =

# 3 À quelle vitesse le niveau d’un liquide à l’intérieur d’un cylindre vertical baisse-t-il si nous le vidons au taux de 3m³/min ?

Les variables :

- rayon du cylindre : r (m) - temps : t (min) - hauteur du liquide : h (m) - volume : V et le volume d’un cylindre est de V =πr h² .

Taux de variation :

dt dh dh dV dt

dV = •

- =3m³/min dt

dV .

- Sachant que le rayon est fixe, donc une constante : ( ² ) r² dh

h r d dh

dV ₌ π ₌π

- Nous cherchons dh

dt , alors = • = ² • =3 m³/min dt

r dh dt dh dh dV dt

dV π Donc : 3 m/min

r2

dt dh

=π .

h r

R= 75

h r

# 4 On gonfle un ballon sphérique dont le volume en fonction du rayon est de 4 ³ 3

V ₌ πr . Si le rayon augmente au rythme de 2 cm/sec, quel est le taux de variation du volume par rapport au temps ? Les variables :

- rayon de la sphère: r (cm) - temps : t (sec)

- volume : V et le volume de la sphère en fonction du rayon est de

3 ) 4 (r r³

V ₌ π _.

Taux de variation :

dt dr dr dV dt

dV = •

- =2 cm/sec dt

dr - ^{2 2}

3

4 3 3

3 4 4

r dr r

d r

dr

dV π π

π

=

=

=

- Donc 4 r² 2 8 r² cm³/sec dt

dV = π • = π

# 5 On verse dans un cône droit un liquide au rythme de 6000 cm³/sec. Quel est le taux de variation du rayon par rapport au temps ? Quel est le taux de variation de la hauteur ?

Les variables :

- rayon du cône: R = 75 cm - hauteur du cône : H = 300 cm - rayon du liquide : r (cm) - hauteur du liquide : h (cm) - volume : V et le volume d’un cône est de

3

2h V ₌πr _. Nous cherchons : dr dh

dt et dt . Taux de variation : a)

dt dr dr dV dt

dV = • et b)

dt dh dh dV dt

dV = •

Dans cette situation les deux variables r et h sont liées.

Dans le triangle rectangle nous pouvons dire :

75 300

r = h . Donc h=4r.

a) Le volume devient alors : ^{2 2}4 4 ³

3 3 3

r h r r

V ₌π ₌π ₌ π r _et 3

3 ) 4

(r r

V ₌ π _.

- =6000 cm³/sec dt

dV - ^{2 2}

3

4 3 3

4 3

4

r dr r

r d dr

dV π π π

=

=

= - Donc :

dt r dr dt

dV =6000 cm³/sec=4 ² • En isolant : cm/sec 1500 cm/sec 4

6000

2

2 r

r dt

dr = =

π ^.

b) De même :

2

2 4 3

3 3 48

h h

V r h h

π π π

= = = et ³

) 48

(h h

V ₌ π _.

- =6000 cm³/sec dt

dV - ^{2 2}

3

3 16 48

48 h h

dh h d dr

dV π π π

=

=

= - Donc :

dt h dh dt

dV = ³ = ² •

/sec 16 cm

6000 π En isolant : 96000 cm/sec

cm/sec 16

6000

2 h2

dt h

dh = =

π ^.

A 100 B

P

e

# 6 Un policier placé au point P mesure la vitesse des voitures qui se déplacent dans la direction du point A. Le policier est à 75 m du point A et la mesure se fait lorsque la voiture est à 100 m du point A, soit lorsque la voiture arrive au point B.

Si la vitesse permise est de 50 km/h, quelle vitesse le policier doit-il considérer comme étant la limite de vitesse permise mesurée par son radar ?

Les variables : - temps: t (h)

- distance séparant la voiture du point A : x (km)

- distance séparant le policier de la voiture : e (km) et e² =x² +75² Nous cherchons :

dt

de la vitesse de l’automobile par rapport au policier Taux de variation :

dt dx dx de dt

de = •

- dx

x d dx

e

d( ²) = ( ² +75²) x dx ede 2

2 =

e x e x dx

de = = 2

2

- =50 km/h dt

dx (vitesse permise) - Donc = •50

e x dt

de et comme x = 100 alors e= 100² +75² =125 et;

50 40 km/h 125

100⋅ = dt =

de

En conséquence, si la vitesse du véhicule se dirigeant vers le point A et que la vitesse dans la direction du policier dépasse 40 km/h alors, il y aura une infraction au code de la route. Ce résultat n’est valide qu’aux positions respectives du policier et de la voiture situés au point P et au point B.

# 7 Une personne dont la taille est de 1,8 m s’éloigne à une vitesse de 2,2 m/s d’un réverbère situé à 9m du sol.

a) À quelle vitesse la longueur de son ombre varie-t-elle ? b) À quelle vitesse l’extrémité de son ombre se déplace-telle ? Les variables :

- distance entre la personne et le réverbère: x (m) - distance de l’ombre : y (m)

Nous cherchons : dy

dt et ^{d y x}

( )

dt + Taux de variation :

dt dx dx dy dt

dy = • et

( )

dt dx dt dy dt

x y

d + = +

- dx 2, 2 / secm

dt = .

- 1,8 1,8 18 9 2 1

9 1,8 7, 2 72 9 8 4 y

x

= = = = ⋅ =

− ⋅ , c’est-à-dire : 1

y=4x, alors

4

= 1 dx dy

- Donc 2,2 0,55 m/sec

4

1• =

=

•

= dt dx dx dy dt

dy .

- De plus :

(

)

dt dx dt dy dt

x y

d .

Fait par : Claude Laflèche A-06 Modifié par : Julie Tremblay A-06

9

1,8

x y