Fonction exponentielle Table des mati`eres

Table des mati` eres

1 Fonction exponentielle de base q 1

1.1 D´efinition . . . 1

1.2 sens de variation . . . 2

1.3 relation fonctionnelle et propri´et´es . . . 2

2 Exponentielle de base e 3 2.1 D´efinition . . . 3

2.2 Repr´esentation graphique . . . 3

2.3 D´eriv´ee et convexit´e . . . 4

2.4 Equations et in´equations . . . 4

3 Fonction e^u 5 3.1 D´eriv´ee dee^u . . . 5

3.2 Variations dee^u. . . 5

3.3 Exemples d’´etude de fonctions . . . 5

1 Fonction exponentielle de base q

1.1 D´efinition

D´efinition(et propri´et´e) :Fonction x7−→q^x avec q >0 q est un r´eel strictement positif.

On consid`ere la suite g´eom´etrique (u_n) de raisonq et premier termeu₀= 1.

La fonction exponentielle de base q est le prolongement continu de cette suite g´eom´etrique . Elle est d´efinie surRparf(x) =q^x.

On peut repr´esenter graphiquement les termes de cette suite par les points A_n(n;u_n) (voir figure (en bleu).

(exemple de graphique avecq = 2)

etf est la fonction d´efinie surR parf(x) = 2^x(en rouge)

Remarque

Sur le graphique, la suite (u_n) est g´eom´etrique de raisonq = 2 et premier termeu₀= 1

Cette suite est strictement croissante car u₀ >0 et q > 1 donc f d´efinie sur R par f(x) = 2^x est strictement croissante.

1.2 sens de variation

La suite g´eom´etrique de premier terme u₀ = 1 (doncu₀ >0) et de raison q avec q >0 est – strictement croissante pourq >1

– strictement d´ecroissante pourq <1

On admettra donc que le prolongement continu de la fonction exponentielle de baseq avec q >0 soit x7−→q^x est :

– strictement croissante pourq >1 – strictement d´ecroissante pourq <1 – constante pourq = 1 (x7−→1^x= 1)

r Exemple 1 : Allure de la repr´esentation graphique dans les diff´erents cas Repr´esenter graphiquement les fonctions suivantes dans le mˆeme rep`ere :

f1(x) = 2^x,f2(x) =

1

2 x

= 1

2^x etf3(x) = 1^x

* Solution:

.

1.3 relation fonctionnelle et propri´et´es

Th´eor`eme : (admis)

Soit f une fonction exponentielle de baseq (q >0).

Pour tous r´eelsx ety,f(x+y) =f(x) +f(y) On a alorsq^x+y =q^x×q^y

Cons´equences :

– En prenant x= 0 , on a :

pour tout r´eely :q^0+y =q^y =q⁰×q^y q⁰ = 1

– En prenant y=−x, on a pour tout r´eel x: q^x−x = 2⁰ = 1 =q^x×q^−x

doncq^−x = 1 q^x

– Pour tout r´eel xet entier relatif n, on a (q^x)ⁿ=q^x×q^x...×q^x =qx+x+x....+x

donc(q^x)ⁿ=q^n×x

– Pour tout entier natureln, on a (q 1

n)ⁿ=q¹ =q doncq

1

n est la racine n^i`eme de q

En conclusion, les r`egles de calculs vues en troisi`eme sur les exposants sont valables pour les fonctions expo- nentielles de base q.

Remarque

Pour n= 2, on a avec la derni`ere expressionq 1 2 =√

x(racine 2^i`eme de q soit racine carr´ee deq r Exemple 2 : simplification

Simplifier : 2³2^1,5, 3^2x−0,5 (x∈R), 4 1 2

* Solution:

• 2³2^1,5= 2^3+1,5 = 2^4,5

• 3^2x−0,5=3^2x×3^−0,5 =(3²)^x× 1

3^0,5 = 9^x

√ 3

• 4 1 2 =√

4 = 2

2 Exponentielle de base e

2.1 D´efinition

D´efinition : Fonction exponentielle de basee

La fonction exponentielle de base enot´eeexpest la fonction (unique) telle que f⁰(0) = 1 On note exp:x7−→e^x avec exp⁰(0) = 1

Le nombre eest limage de 1 par la fonctionexp soitexp(1) =e Avec la calculatrice, on ae⁰≈2,718 (touche exp)

On a donc d’apr`es ce qui a ´et´e vu dans la section 1 : exp(x)×exp(y) =exp(x+y) soit e^xe^y =e^x+y

e >1 donc la fonction expest strictement croissante surR. 2.2 Repr´esentation graphique

exp⁰(0) = 1 est le coefficient directeur de la tangente `a la courbe repr´esentative de la fonctionexp en x= 0 Avec la calculatrice MENU TABLE puis Y1=exp(x). (param´etrer le tableau de valeurs dans SET)

Graphiquement, il semble que la fonction exponentielle soit convexe.

2.3 D´eriv´ee et convexit´e

Th´eor`eme : Fonction d´eriv´ee (admis)

La fonctionexp est d´erivable sur R et (exp(x))⁰=exp(x) Cons´equences :

e^x>0 donc exp(x)⁰ >0 et on retrouve le fait que expest strictement croissante.

(exp(x))⁰⁰= (exp(x))⁰=exp(x)

La d´eriv´ee seconde est strictement positive doncexp⁰ est strictement croissante et exp est doncconvexe.

2.4 Equations et in´equations

Th´eor`eme

La fonctionexp est continue et strictement croissante sur ?R donc pour tous r´eelsaetb : e^a=e^b⇐⇒a=b

e^a> e^b⇐⇒a > b

r Exemple 3 : Equations R´esoudre dans R:

e^2x−1 =e² ete^3−x >1

* Solution:

e^2x−1 =e²⇐⇒2x−1 = 2⇐⇒2x= 3⇐⇒x= 3 2

e^3−x>1⇐⇒e^3−x> e⁰ ⇐⇒3−x >0⇐⇒ −x >−3⇐⇒x <3 S =]− ∞; 3[

3 Fonction e

3.1 D´eriv´ee de e^u

Pour toute la suite u est une fonction d´efinie et d´erivable sur un intervalle I de R Th´eor`eme : d´eriv´ee de e^u (admis)

La fonctionf d´efinie sur I par f(x) =e^u(x) est d´erivable sur I etf⁰(x) = (e^u(x))⁰=u⁰(x)e^u(x)

r Exemple 4 : Calcul de d´eriv´ees

Calculer la d´eriv´ee des fonctions suivantes d´efinies et d´erivables sur I f(x) =e^3−2x et I=R

g(x) = 2e 1

2x−4 et I=]2; +∞[

* Solution:

f(x) =e^3−2x et I=R

On a ici u(x) = 3−2x etu⁰(x) =−2 doncf⁰(x) =−2e^3−2x

g(x) = 2e 1

2x−4 et I=]2; +∞[

On a ici u(x) = 1

2x−4 etu⁰(x) = −2

(2x−4)² (formule (1

v)⁰ = −v⁰ v² doncg⁰(x) = 2 −2

(2x−4)²e 1

2x−4 = −4 (2x−4)²e

1 2x−4

3.2 Variations de e^u

e^u(x)>0 doncf⁰(x) =u⁰(x)e^u(x) est du signe deu⁰(x)

Siu est strictement croissante,u⁰(x)>0 doncf⁰(x)>0 donc f est strictement croissante.

Propri´et´e : variations de e^u

u ete^u on le mˆeme sens de variation sur I Remarque

Attention, (e^x)⁰=e^x

mais pour d´eriver la fonction x7−→e^−x, il faut poseru(x) =−x et on au⁰(x) =−1 donc (e^−x)⁰ =−e^−x

3.3 Exemples d’´etude de fonctions

r Exemple 5 : Cas 1 : f(x) = (x²−3x+ 1)e^−x

On consid`ere la fonction f d´efinie surD_f = [0; 10] parf(x) = (x²−3x+ 1)e^−x Dresser le tableau de variation def

* Solution:

– On pose u(x) =x²−3x+ 1 et v(x) =e^−x

On a alors u⁰(x) = 2x−3 etv⁰(x) = (−x)⁰e^−x =−e^−x f⁰(x) =u⁰(x)v(x) +u(x)v⁰(x)

= (2x−3)e^−x+ (x²−3x+ 1)(−e^−x)

=e^−x(2x−3−(x²−3x+ 1)) =e^−x(−x²+ 5x−4)

– Etude du signe def⁰(x)

e^−x>0 doncf⁰(x) est du signe de −x²+ 5x−4 Racines de −x²+ 5x−4 :

∆ = 25−4×(−1)×(−4) = 9

∆>0 donc il y a deux racines : x1= −b−√

∆

2a = −5−3

−2 = 4 etx2= −b+√

∆

2a = −5 + 3

−2 = 1

−x²+ 5x−4 est du signe de a=−1 coefficient de x² `a ”l’ext´erieur” des racines – .

avec f(0) = (0²−3×0 + 1)e⁻⁰ = 1,f(1) = (1²−3×1 + 1)e⁻¹= −1 e f(4) = (4²−3×4 + 1)e⁻⁴ = 5

e⁴ etf(10) = (10²−3×10 + 1)e⁻¹⁰= 71 e¹⁰ – Courbe repr´esentative de f :

r Exemple 6 : Cas 2 : f(x) =xe^−x+1

On consid`ere la fonction f d´efinie surD_f = [0; 10] parf(x) =xe^−x+1 Dresser le tableau de variation def

Etudier la convexit´e def

* Solution:

– On pose u(x) =x etv(x) =e^−x+1

On a alors u⁰(x) = 1 et v⁰(x) = (−x+ 1)⁰e^−x+1 =−e^−x+1 f⁰(x) =u⁰(x)v(x) +u(x)v⁰(x)

= 1e^−x+1+ (x)(−e^−x+1)

=e^−x+1(1−x) – Etude du signe def⁰(x)

e^−x+1 >0 donc f⁰(x) est du signe de −x+ 1

−x+ 1>0⇐⇒ −x >−1⇐⇒x <1

– .

avec f(0) = 0e⁻⁰⁺¹= 0, f(1) = 1e⁻¹⁺¹=e⁰= 1 f(10) = 10e⁻¹⁰⁺¹= 10e⁻⁹ = 10

e⁹ – Courbe repr´esentative de f :

– Calcul def⁰⁰(x) f⁰(x) =e^−x+1(1−x)

On pose u1(x) = 1−x etv1(x) =e^−x+1

On a alors u⁰₁(x) =−1 etv₁⁰(x) = (−x+ 1)⁰e^−x+1 =−e^−x+1 f⁰⁰(x) =u⁰₁(x)v₁(x) +u₁(x)v⁰₁(x)

=−1e^−x+1+ (1−x)(−e^−x+1)

=e^−x+1(−1−1 +x)

=e^−x+1(x−2) – Signe de f⁰⁰(x)

e^−x+1 >0 donc f⁰⁰(x) est du signe de x−2 x−2>0⇐⇒x >2

La courbe repr´esentative def admet un point d’inflexion au point de coordonn´ees (2;f(2))