EXERCICE 4 1) a) |zA

(1)

EXERCICE 4 1) a)|zA|=

! 1²+ (√

3)²=2puis

zA=2

"

1 2 +i

√3 2

#

=2$ cos$π

3

%+isin$π 3

%%=2e^iπ/3.

Ensuite,zB =2i=2$ cos$π

2

%+isin$π 2

%%=2e^iπ/2.

zA=2e^iπ/3 et zB=2e^iπ/2.

b)

1 2 3

−1

−2

1 2 3 4

−1

Γ

Γ^!

A B

O I D

C

D^!

c)OA=|zA|=2et OB=|zB|=2. DoncOA=OBet

le triangleOABest isocèle en O.

2) a) zB

zA

= 2e^iπ/2

2e^iπ/3 =eⁱ⁽^π²⁻^π³⁾=e^iπ/6. On en déduit que $−−OA,→ −OB→%

=arg

&

zB−0 zA−0

'

= π 6 [2π].

$−−OA,→ −OB→%

= π 6 [2π].

b)rest donc la rotation de centreOet d’angle π

6. Son expression complexe estz^! =0+e^iπ/6(z−0)ou encore z^!=

"√ 3 2 +1

2i

# z.

L’expression complexe der estz^!=e^iπ/6zou aussiz^! =

"√ 3 2 +1

2i

# z.

(2)

3) a)Le cercle de centreA(resp.B) passant parOest le cercle de centreA(resp.B) et de rayon2

L’image parrdu cercle de centreAet de rayon2est le cercle de centrer(A) =Bet de même rayon à savoir2. Donc l’image parrdu cercle Γ est le cercleΓ^!.

b)zI= zA+zB

2 = 1+i√ 3+2i

2 = 1+i(2+√ 3)

2 .

c)Cappartient àΓ et àΓ^!. Donc, AC=2=BC. Ainsi,OA=OB=AC=BC et le quadrilatèreOACBest un losange.

d)Mais alors le milieuIde[AB]est aussi le milieu de[OC].

On en déduit que−→ OC=2−→

OIou encore quezC=2zI =1+! 2+√

3"

i.

zC=1+! 2+√

3"

i.

4) a)AD=|zD−zA|=|2i√

3−1−i√

3|=|−1+i√ 3|=

#

(−1)²+ (√

3)²=2et donc le pointDappartient au cercleΓ. b)D’après la question 2)b),

zD^! =e^iπ/6zD=

$√

3 2 + 1

2i

%

×(2i√

3) = −√ 3+3i.

5)

z⁻DC⁻→ =zC−zD=!

1+ (2+√ 3)i"

−! 2i√

3"

=1+! 2−√

3"

i

et

z⁻⁻⁻→

DD^! =zD^!−zD=!

−√ 3+3i"

−2i√

3= −√ 3+!

3−2√ 3"

i.

Donc

−√

3z⁻DC⁻→ = −√ 3+!

3−2√ 3"

i=z⁻⁻⁻→ DD^!. On en déduit que−−→

DD^!= −√

3−DC→et donc que les vecteurs−DC→et−−→

DD^! sont colinéaires. On en déduit encore que les pointsC,D etD^! sont alignés.