Traitements SAR multivoies pour la détection de cibles mobiles

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Traitements SAR multivoies pour la détection de cibles mobiles

Abigael Taylor

To cite this version:

Abigael Taylor. Traitements SAR multivoies pour la détection de cibles mobiles. Traitement du

signal et de l’image [eess.SP]. Université Paris-Saclay, 2016. Français. �NNT : 2016SACLN048�. �tel-

01450384�

NNT : 2016SACLN048

T HESE DE DOCTORAT DE

L’U NIVERSITE P ARIS -S ACLAY

PREPAREE A

“ L ’ENS P ARIS -S ACLAY ”

E COLE D OCTORALE N ° 580

Sciences et technologies de l'information et de la communication Spécialité de doctorat : Traitement du Signal et des images

Par

Abigael Taylor

Traitements SAR multivoies pour la détection de cibles mobiles

Soutenance prévue le 02 décembre 2016, à l’ENS de Cachan Composition du Jury :

Madame Marcos, Sylvie, Directeur de recherche CNRS, Présidente Monsieur Ferro-Famil, Laurent, Professeur des universités, Rapporteur Monsieur Ginolhac, Guillaume, Professeur des universités, Rapporteur Monsieur Le Chevalier, François, Professeur émérite, Examinateur

Monsieur Pouliguen, Philippe, Ingénieur HDR, Examinateur

Monsieur Forster, Philippe, Professeur des universités, Directeur de thèse

Madame Oriot, Hélène, Maître de recherche, Co-encadrante

Monsieur Savy, Laurent, Ingénieur de recherche, Co-encadrant

Monsieur Daout, Franck, Maître de conférences, Co-encadrant (invité)

2

3

Remerciements

Cette thèse a été financée par la Direction Générale de l’Armement, et s’est déroulée au sein du Département Electromagnétisme et Radar de l’ONERA, dans l’unité RIM, ainsi qu’au SATIE. Je tiens à remercier Messieurs Jean-Marc Boutry, directeur du DEMR, Olivier Ruault Du Plessis, chef de l’unité RIM, et Pascal Larzabal, directeur du SATIE, pour m’avoir accueillie dans ces différents endroits.

Je remercie Messieurs Laurent Ferro-Famil et Guillaume Ginolhac, pour avoir accepté d’être rapporteurs, pour l’intérêt qu’ils ont porté à mes travaux, et pour leurs remarques et questions pertinentes, ouvrant la voie à des perspectives intéressantes. Merci à Madame Sylvie Marcos, pour avoir accepté de présider le jury de cette thèse. Merci également à Messieurs François Le Chevalier et Philippe Poulliguen, tous deux examinateurs, pour l’intérêt porté à mes travaux.

Evidemment, j’adresse un grand merci à mes encadrants, qui, chacun à leur façon, m’ont guidée dans les méandres du SAR, du STAP, des statistiques, et du monde de la recherche en général.

Philippe, j’ai beaucoup apprécié travailler avec toi. Ton don pour rendre les statistiques limpides m’a permis de beaucoup apprendre. Merci pour ton aide et ta patience lorsqu’il a fallu faire des démonstrations plus propres (et accessoirement plus compliquées).

Franck, je te remercie pour m’avoir aidée dans mes débuts dans l’enseignement, et à intégrer l’équipe GEII de Ville d’Avray. Tu m’as aidée à prendre du recul dans les périodes de doute, avec toujours beaucoup de gentillesse.

Laurent, merci pour l’intérêt que tu as montré pour mes travaux, aussi bien du côté traitement statistique que traitement SAR, et les petits coups de pouce biblio.

Et enfin, Hélène. Tu as toujours été très enthousiaste par rapports à mes travaux. J’ai vraiment apprécié ta disponibilité, pour m’aider dans mes galères en C, ou encore relire (tous) mes calculs. Tu as également fait preuve de beaucoup de patience, en répondant plusieurs fois aux mêmes questions (« Mais en fait, c’est quoi, le flash ? »). Merci pour m’avoir toujours encouragée, ça a été un réel plaisir de travailler avec toi. La preuve, je ne t’ai même pas spoilé GoT.

Je remercie ensuite mes collègues de l’ONERA.

Tout d’abord, l’équipe RIM, pour m’avoir si bien accueillie : Martine, pour ta gentillesse ; Philippe,

pour les anecdotes matinales ; la dream team café, composée d’Hubert, de Fred, et plus récemment

d’Alice, et occasionnellement de Clément, avec qui on a souvent refait le monde (ou pas). Fred, tu as

même le droit à un merci bonus, pour avoir répondu avec patience, et toujours avec le sourire, à mes

(nombreuses) questions.

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Ensuite, l’équipe TSI, avec qui j’ai partagé la plupart de mes déjeuners : Nicolas, Jonathan, Jean- Philippe, Philippe, Gilles, Christian. Dominique, merci pour tes retours post-présentation toujours les bienvenus. Luc, j’espère que l’on aura l’occasion de participer à d’autres conférences ensemble. Olivier, ça a été un plaisir de jouer au foot avec toi. Merci d’avoir partagé avec moi tes conseils plein de sagesse.

Je remercie aussi l’équipe de foot ONERA : Nico, Romain, Florian, Christophe, Julien, Raphaël, Steve...

Vice-champions, (un deuxième championnat qu’on oubliera), et champions, ça n’est pas si mal !

Je remercie également mes collègues du SATIE : Jean-Pierre, Eric, et les (ex) doctorants de choc Alice, Arnaud, Cyrille, Ghania et Virginie, pour une bonne humeur toujours au rendez-vous.

Je tiens aussi à remercier mes collègues de Ville d’Avray, pour m’avoir aidée pendant mes vacations : Patricia, Thierry, Françoise, Amanda, Nabil, Olivier, Anne…

Merci à mes amis, toujours là pour mettre le radar de côté le temps d’un weekend. Mes informaticiens préférés, Amine, Gaby, Alex, Florent. Les traiteurs de signaux, et compagnons d’aventures de thésards : Valentine, (Solar) Gianni. Flora, le hasard a fait que nous passions (encore) trois ans au même endroit, et j’apprécie toujours autant de papoter avec toi autour d’une tasse de thé.

Merci à ma famille, qui me soutient inconditionnellement depuis toujours. Mention spéciale à mes relecteurs préférés, mes parents.

Merci enfin à Clément, qui avec son flegme habituel a suivi au quotidien les hauts et les bas qui

composent une thèse.

5

Table des matières

Table des matières

Table des figures... 9

Liste des acronymes ...13

Symboles généraux ...15

Introduction ...17

PARTIE 1 Etat de l’art ...19

Chapitre I. L’imagerie SAR ...21

I.1. Radar : concepts de base...21

I.2. Effets des cibles mobiles sur les images SAR...35

I.3. Bilan sur le traitement SAR ...38

Chapitre II. Détection de cibles mobiles par Space-Time Adaptive Processing ...39

II.1. Configuration des radars STAP [15] [23]...39

II.2. Nécessité d’un traitement spatial et temporel ...41

II.3. Théorie de la détection : bases ...42

III.4. Détection en radar...46

II.5. Quelques indicateurs de performances utilisés en STAP ...49

II.6. Les filtres STAP sous-optimaux...51

II.7. Conclusions sur la détection ...53

Chapitre III. SAR-MTI ...55

III.1. Techniques monovoies ...55

III.2. Techniques multivoies (MSAR) ...59

III.3. Conclusions sur le SAR-MTI ...65

Chapitre IV. Présentation des données réelles utilisées...67

IV.1. Jeu 1 ...68

IV.2. Jeu 2 ...69

PARTIE 2 Détection aveugle en configuration MSAR-flash ...77

Chapitre V. Algorithme SAR-MTI étudié...79

V.1. Modèle du signal et structure de l’algorithme ...79

V.2. Détection des cibles mobiles ...82

V.3. Refocalisation sur image blanchie ...87

V.4. Relocalisation ...88

V.5. Application à des données réelles ...90

6

V.6. Bilan ...94

Chapitre VI. Amélioration des performances MTI ...97

VI.1. Une modélisation plus fine du signal...97

VI.2. Impact de l’attitude sur les performances MTI ...99

VI.3. Méthode adaptative d’amélioration de la cohérence ... 102

VI.4. Application de la méthode sur des données réelles ... 108

VI.5. Conclusions ... 116

Chapitre VII. Point Fixe Généralisé ... 117

VII.1. Démarche ... 117

VII.2. Modèle considéré ... 118

VII.3. Estimateurs du Maximum de vraisemblance... 119

VII.4. Algorithme d’optimisation de la vraisemblance : l’Estimateur du Point Fixe Généralisé (EPFG) 121 VII.5. Loi de Wishart normalisée ... 122

VII.6. Propriétés statistiques de l’Estimateur du Point Fixe Généralisé ... 124

VII.7. Test de proportionnalité de matrices de covariance ... 126

VII.8. Simulations... 128

VII.9. Application sur données réelles ... 137

VII.10. Conclusions ... 141

Conclusion générale... 143

Synthèse ... 143

Perspectives ... 144

Annexes ... 147

Annexe A - Calcul de l’historique de phase pour une cible mobile [8] ... 149

Annexe B – Quelques distributions et propriétés utiles ... 153

A. Distribution normale complexe multivariée ... 153

B. Loi de Wishart complexe ... 153

C. Loi du 𝝌𝟐 centré ... 154

D. Loi 𝜷 ... 154

Annexe C - Justification d’approximation de 𝐜𝐨𝐬𝟐𝜽 − 𝐜𝐨𝐬𝟐𝜽𝟎 par 0 ... 155

Annexe D - Calcul de la cohérence après correction... 157

Annexe E - Démonstration de (182) ... 159

Annexe F - Blanchiment des matrices de covariance d’une cible fixe et d’une cible mobile ... 161

A. Calcul de la racine carré de la matrice de covariance du clutter ... 161

B. Blanchiment de la matrice de covariance d’une cible fixe ... 161

7

C. Blanchiment de la matrice de covariance d’une cible mobile ... 162

Annexe G – Démonstrations du chap. VII ... 163

Bibliographie ... 175

Publications et communications... 181

8

9

Table des figures

Figure 1: Géométrie d’acquisition aéroportée. ...23

Figure 2 : Les différentes gammes de fréquences radar ...23

Figure 3 : Configuration géométrique en radar aéroporté...24

Figure 4 : Mesure de retard et résolution distance. ...25

Figure 5 : Représentation polaire d’un diagramme d’antenne...25

Figure 6 : Evolution temporelle de la phase : représentation de la scène. ...28

Figure 7 : Formation d’une image SAR par RDA (version simplifiée) ...32

Figure 8: Image SAR d’un point brillant localisé en (100,100), calculée avec l’algorithme RDA (Figure 7). Les paramètres sont donnés par le Tableau 1. (a) Image SAR d’un point brillant; (b) Coupe suivant l’axe distance ; (c) coupe suivant l’axe azimutal...33

Figure 9 : Géométries Stripmap et Flash. ...34

Figure 10 : Géométrie cible mobile...36

Figure 11 : Effet des cibles mobiles sur les images SAR. Les paramètres sont définis dans le tableau 2. (a) cible fixe ; (b) cible avec vitesse radiale ; (c) cible avec vitesse azimutale ; (d) cible avec vitesse radiale et accélération radiale. ...37

Figure 12 : configuration géométrique du STAP. Les rectangles bleus représentent les 𝑁 antennes. D’impulsion à impulsion, la direction de visée, et donc le déphasage entre les antennes, évolue. ...41

Figure 13 : Etalement du spectre du clutter et filtre spatio-temporel [25]. ...42

Figure 14 : (a) probabilité de détection (b) probabilité de fausse alarme. ...46

Figure 15 : Sélection des données secondaires. On laisse généralement une marge pour s’assurer qu’elles ne soient pas contaminées par une cible...47

Figure 16 : SINR Loss pour différents nombres d’antennes. Les paramètres de la simulation sont donnés dans le Tableau 4. ...50

Figure 17 : STAP pré-Doppler. ...52

Figure 18 : STAP post-Doppler. ...52

Figure 19 : JDL. ...53

Figure 20: [54] Représentations STAP et SAR. La zone bleutée correspond à la densité spectrale du clutter. Ici, la zone est étalée à cause d’une décohérence temporelle du clutter (phénomène appelé mouvement de clutter interne – Internal Clutter Motion). Sur la figure de gauche, la droite épaisse correspond à la rampe de phase liée au mouvement de l’avion qu’on va compenser grâce au traitement SAR. Les lignes en pointillés correspondent aux rampes de cibles mobiles...60

Figure 21: [54] Représentation MSAR. Deux réflecteurs du clutter sont représentés en rouge. Une cible mobile est représentée en vert. La zone bleutée correspond à la densité spectrale de puissance du clutter. ...60

Figure 22 : Lien entre les fréquences Doppler de la position réelle et de la position apparente d’une cible mobile. Les traits plein rouges (respectivement violets) représentent les déphasages entre les trois voies pour la position apparente (respectivement réelle) de la cible. ...62

Figure 23 : Principe de l’acquisition pour l’ATI et le DPCA...63

Figure 24 : Identification des zones endoclutter et exoclutter. ...67

Figure 25: exemple de cibles exoclutter ...67

Figure 26: Falcon 20...69

Figure 27: antennes de Ramses NG (image tirée de [65]). ...70

10

Figure 28 : Zone d’intérêt sur les données du jeu 1. Les différentes images correspondent aux

différentes voies : a) voie S ; b) voie D ; c) voie X ; d) voie Y. La position (approximative) de la cible est indiquée par la flèche rouge. Les deux flèches vertes signalent l’emplacement de deux trièdres. La cible mobile se déplace sur la route entre les deux trièdres. ...71 Figure 29 : Exemples d’images pour le jeu 2. Les images correspondent à des voies différentes. Sur l’image (b), les routes parcourues par les cibles coopératrices sont indiquées en pointillés rouges. ...72 Figure 30 : Trois cibles mobiles coopératrices pour le jeu 2. De haut en bas : une jeep, une Peugeot 406 et un Renault master. La jeep est recouverte d’un isolant, et seule la lentille de luneberg présente sur son toit renverra de l’énergie. ...72 Figure 31 : SINR Loss théorique pour le jeu 1. Le CNR est ici supposé de 25dB. ...73 Figure 32 : SINR Loss théorique pour le jeu 2. Le CNR est ici supposé de 26dB. ...73 Figure 33 : Différences de phase pour le jeu 1. Les différences de phase sont calculées entre les voies S et D (en haut), S et Y (milieu) et S et X (bas). Les figures de droite représentent des coupes

moyennées en distance. Sur les différences de phase entre les voies S et D et S et Y, on remarque que la cible est visible (indiquée par une flèche rouge). ...74 Figure 34 : Rapport d’amplitudes pour le jeu 1. Les rapports sont calculés entre les voies S et D (en haut), S et Y (au milieu) et S et X (en bas). Les figures de droite représentent des coupes moyennées en distance. ...75 Figure 35 : Différence de phases pour le jeu 2. La courbe en bas représente une coupe moyennée en distance. ...76 Figure 36 : Rapport d’amplitudes pour le jeu 2. La courbe du bas représente une coupe moyennée en distance. ...76 Figure 37 : Chaîne de traitement SAR-MTI. On se concentrera sur les blocs encadrés en pointillés....82 Figure 38 : Effet du détecteur sur les cibles mobiles et fixes. ...86 Figure 39: 𝑃𝐹𝐴 en fonction du seuil pour les détecteurs (133) et (134). Les paramètres de la simulation sont donnés par le Tableau 8. La courbe rouge correspond à la 𝑃𝐹𝐴 du filtre optimal, et la courbe noire à celle du filtre sous-optimal. ...87 Figure 40 : BCR pour l’estimation de la fréquence Doppler d’une cible mobile, pour différents

nombres de voies...90 Figure 41 : Résultat du test de détection seuillé à 13dB. A gauche, une des images de départ est présentée. A droite, les détections, représentées par les points rouges, sont superposées à l’image de départ. On observe que les trièdres sont détectés...91 Figure 42 : Carte des valeurs propres. De gauche à droite, et de haut en bas : 𝜆1, 𝜆2, 𝜆3 et 𝜆4. Les flèches rouges indiquent l’emplacement des points les plus brillants de l’image (les deux trièdres), et le cercle jaune indique l’emplacement de la cible mobile coopérative. ...92 Figure 43 : Résultat du test de détection seuillé à 13dB. A gauche, une des images de départ est présentée. A droite, les détections, représentées par les points rouges, sont superposées à l’image de départ. On observe que les bâtiments sont détectés. ...92 Figure 44 : Extrait de la carte des valeurs propres pour le jeu 2. A gauche, 𝜆1, à droite, 𝜆2. ...93 Figure 45 : SINR Loss théoriques et expérimentaux pour les jeux 1 (gauche) et 2 (droite). ...93 Figure 46 : Exemple de relocalisations obtenues sur le jeu 1. T1 correspond à la cible de contrôle, T2 et T3 à des trièdres, T4 à un écho fantôme, et T5 est inconnue...94 Figure 47:Chaîne de traitement améliorée souhaitée. ...95 Figure 48 : Géométrie SAR prenant en compte l’attitude de l’avion. ...97 Figure 49 : Evolution des valeurs propres et vecteurs propres en fonction de la cohérence. (a), (b) : 3 antennes ; (c), (d) : 4 antennes ; (e), (f) : 5 antennes. Les figures de gauche correspondent aux valeurs propres, celles de droite au cosinus de l’angle entre le sous-espace clutter dans le cas parfaitement cohérent (à part la décohérence due au bruit) et le sous-espace orthogonal dans le cas avec

décohérence. ... 101

Figure 50 : Influence de l’inégalité des puissances du bruit.𝜆3 et 𝜆4 sont confondues. ... 102

Figure 51 : Décalages des spectres des signaux reçus liés aux distances inter-voies... 105

11 Figure 52 : Choix de 𝑛𝐹𝐹𝑇 : représentation de 𝑡1 et 𝑡2. ... 108 Figure 53 : histogrammes de la cohérence pour le jeu 1 avant (gauche) et après (droite) correction. . 109 Figure 54 : histogrammes de la cohérence pour le jeu 2 avant (gauche) et après (droite) correction. . 109 Figure 55 : Valeurs propres en fonction de l’azimut, jeu 1. Les courbes en trait plein correspondent aux valeurs propres avant correction, et celles en pointillés aux valeurs propres après correction. .... 111 Figure 56 : Valeurs propres en fonction de l’azimut, jeu 2. Les courbes en trait plein correspondent aux valeurs propres avant correction. Les courbes en pointillés correspondent aux valeurs propres après correction. ... 111 Figure 57 : Cartes des valeurs propres avant (colonne de gauche) et après (colonne de droite)

correction, pour le jeu 1. ... 112 Figure 58 : Cartes des valeurs propres avant (colonne de gauche) et après (colonne de droite)

correction, pour le jeu 2. ... 113 Figure 59 : Cartes des valeurs propres avant (colonne de gauche) et après (colonne de droite)

correction, pour le jeu 2. Les iimages sont synthétisées pour un intervalle de temps différents de celui des images de la Figure 58. ... 113 Figure 60 : Evolution du cap en fonction de l’azimut pour le jeu 2. L’image du haut correspond au cap pour la Figure 59, et l’image du bas au cap pour la Figure 58. ... 114 Figure 61 : SINR Loss théorique (vert), avant correction (noir) et après correction (rouge), jeu 1... 115 Figure 62 : SINR Loss théorique (vert), avant correction (noir) et après correction (rouge), jeu 2... 115 Figure 63 : sortie du filtre de détection pour la cible de contrôle (jeu 1), avant (gauche) et après

(droite) correction. ... 116 Figure 64 : SINR Loss dans la direction apparente de la cible de contrôle, jeu 1. On rappelle que la cible a une fréquence Doppler normalisée de 0.2. La discontinuité observée sur le SINR Loss corrigé est lié à la présence de la cible (il faudrait filtrer les vecteurs de direction pour s’en débarasser). ... 116 Figure 65 : Chaîne de traitement SAR-MTI avec deux tests de détection consécutifs. ... 128 Figure 66 : Vérification des moments asymptotiques d’ordre 2. Les courbes représentées

correspondent aux quantités 𝑑1 et 𝑑2, données par (228), en fonction du nombre de données 𝐾. Les courbes x correspondent aux résultats obtenus pour l’expérience 1, les courbes x à ceux obtenus pour l’expérience 2, dont les paramètres sont donnés par le Tableau 12. ... 129 Figure 67 : Vérification de la consistance de l’estimateur. Les courbes représentent 𝑑3, donné par (229), en fonction du numéro de tirage. La figure a) est obtenue pour les paramètres de l’expérience 2 (M constant), la b) pour les paramètres de l’expérience 1, donnés par Tableau 12. Les courbes bleues sont obtenues pour 𝐾 = 200, et les courbes noires pour 𝐾 = 1400. ... 130 Figure 68 : 𝑃𝐹𝐴 en fonction de 11 − 𝑇𝐴𝑁𝑀𝐹𝐑𝑁. Les courbes rouges correspondent à la distribution théorique de l’ANMF, donc 𝐑 correspond à la SCM et suit une loi de Wishart. Les courbes vertes correspondent à la distribution expérimentale obtenue avec 𝐑 calculé avec l’EPFG. La figure a) correspond à la simulation réalisée avec le premier jeu de paramètres donnés dans le Tableau 13, et la figure b) au deuxième jeu de paramètres de ce même tableau.. ... 132 Figure 69 : lois du test empirique et théorique. ... 133 Figure 70 : Comparaison des sorties du filtre STAP et du test de proportionnalité pour un point brillant et une cible mobile. (a) Sortie du filtre STAP. (b) Sortie seuillée du filtre STAP, correspondant à une 𝑃𝐹𝐴 de 10 − 6. (c) Sortie du test de proportionnalité. (d) Sortie seuillée du test de proportionnalité, correspondant à une 𝑃𝐹𝐴 de 10 − 6. ... 134 Figure 71 : courbe (𝑃𝐷, 𝑡, 𝑃𝐷, 𝐹) du test de proportionnalité pour différentes puissances de cible.

𝑃𝐷, 𝑡 correspond à la probabilité de détecter une cible mobile, et 𝑃𝐷, 𝐹 à la probabilité de détecter une cible fixe. 𝑆𝑁𝑅𝑡 correspond au SNR de la cible mobile. 𝑆𝑁𝑅𝐹 correspond au SNR de la cible fixe.

Après application du filtre STAP, on aura 𝑆𝑁𝑅𝑡 = 𝑆𝑁𝑅𝐹. 𝑃𝐷, 𝐹 est en échelle logarithmique. ... 136

Figure 72 : courbe (𝑃𝐷, 𝑡, 𝑃𝐷, 𝐹) du test de proportionnalité pour différentes vitesses radiales de

cible. Le SNR du point brillant est fixé à 𝑆𝑁𝑅𝐹 = 33𝑑𝐵. Le SNR de la cible mobile est calculé pour

tel qu’après filtre STAP, 𝑆𝑁𝑅𝑡 = 𝑆𝑁𝑅𝐹 , et dépend donc de la vitesse radiale. Après filtre STAP, la

valeur du SNR est de 13dB. ... 136

12

Figure 73 : Probabilité de détecter une cible mobile en fonction de sa vitesse radiale, pour différents SNR. Les paramètres de la simulation sont présentés dans le Tableau 18. ... 137 Figure 74 : Sélection des pixels pour le calcul des matrices de covariance du clutter et de la cible. .. 138 Figure 75 : Comparaison des détections avant et après test de proportionnalité pour le jeu 1. L’image du haut correspond à une image SAR de la zone. L’image du bas correspond à la carte de détection.

Les croix noires correspondent aux détections du filtre STAP, les ronds rouges aux détections du test de proportionnalité. ... 139 Figure 76 : Comparaison des détections avant et après test de proportionnalité pour le jeu 2. L’image du haut correspond à une image SAR de la zone. L’image du bas correspond à la carte de détection.

Les croix noires correspondent aux détections du filtre STAP, les ronds rouges aux détections du test

de proportionnalité. Trois cibles connues sont encerclées en bleu. ... 140

Figure 77 : Rappel de la géométrie d’acquisition en SAR aéroporté, avec une cible mobile. ... 151

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Liste des acronymes

ATI Along track interferometry : interférométrie le long de la trajectoire CNR Clutter to Noise Ratio : rapport clutter à bruit

CSA Chirp Scaling Algorithm : algorithme de redimensionnement impulsionnel DPCA Displaced Phase Center Antenna : antenne réseau à centre déplacé

EDPCA Extended Displaced Phase Center Antenna : antenne réseau à centre de phase généralisé FFT Fast Fourier Transform : transformée de Fourier rapide

IFFT Inverse Fast Fourier Transform : transformée de Fourier rapide inverse

ISTAP Imaging Space Time Adaptive Processing : traitement adaptatif spatio-temporel imageur MSAR Multi-channel Synthetic Aperture Radar : radar à synthèse d’ouverture multivoies MTI Moving Target Indication : indication de cible mobile

(E)MV (Estimateur du) Maximum de Vraisemblance (E)PF (Estimateur du) Point Fixe

(E)PFG (Estimateur du) Point Fixe Généralisé

RDA Range Doppler Algorithm : algorithme distance doppler RMA Range Migration Algorithm : algorithme de migration distance SAR Synthetic Aperture Radar : radar à synthèse d’ouverture

SCM Sample Covariance Matrix : matrice de covariance à partir d’un échantillon SINR Signal to Interference plus Noise Ratio : rapport signal à interférences plus bruit SNR Signal to Noise Ratio : rapport signal à bruit

STAP Space-Time Adaptive Processing : traitement adaptatif spatio-temporel

SVD Singular Value Decomposition : Décomposition en valeurs singulières

14

15

Symboles généraux

ℝ Ensemble des nombres réels

ℂ Ensemble des nombres complexes

ℕ Ensemble des nombres entiers

. ^† Transposée conjuguée

. ^𝑇 Transposée

diag Génère une matrice diagonale de dimension 𝑁 × 𝑁 à partir d’un vecteur de taille 𝑁

vec Génère un vecteur de taille 𝑀𝑁 en concaténant les colonnes d’une matrice de dimension 𝑀 × 𝑁

vect(𝐞 ₁ , … , 𝐞 _𝑁 ) Génère un espace vectoriel de base {𝐞 ₁ , … , 𝐞 _𝑁 } tr[. ] Trace

E[. ] Espérance mathématique

⊗ Produit de Kronecker

∗ convolution

sinc(𝑥) Sinus cardinal de 𝑥 : sinc(𝑥) = ^{sin(𝜋𝑥)}

𝜋𝑥

𝛿(𝑥) Distribution de Dirac

s.c. sous contrainte

𝐈 Matrice identité

𝐀 > 0 Matrice 𝐀 définie positive

→ 𝑃 Convergence en probabilité

→ ℒ Convergence en loi

∼ Distribué comme.

𝒰([𝑎, 𝑏]) Distribution uniforme sur [𝑎, 𝑏]

𝜒 ² (𝑝) Distribution de chi-deux de 𝑝 degrés de liberté

ℂ𝒩(𝛍, R ₁ , R ₂ ) Distribution gaussienne complexe de moyenne 𝛍, et avec E[𝐱𝐱 ^† ] = 𝐑 ₁ et E[𝐱𝐱 ^𝑇 ] = 𝐑 ₂

ℂ𝒩(𝛍, 𝐑) ℂ𝒩(𝛍, 𝐑 ₁ , 0)

ℂ𝑊(𝑝, 𝐑) Distribution complexe Wishart de 𝑝 degrés de liberté et de matrice paramètre 𝐑 ℂ𝑊 _𝑛 (𝑝, 𝐑) Distribution complexe Wishart normalisée de 𝑝 degrés de liberté et de matrice

paramètre 𝐑

Rect _𝑇 (𝑡) Fonction rectangle qui vaut 1 pour | ^𝑡

𝑇 | ≤ ¹

2 0 sinon

ℙ _𝑍 Moyenne empirique sur 𝑍 éléments

‖𝐀‖ Norme de Frobenius de la matrice 𝐀

16

17

Introduction

Dans le cadre de la surveillance du sol, le radar aéroporté est un outil particulièrement intéressant.

En effet, contrairement à l’optique, une image radar exploitable peut être formée même de nuit ou par temps nuageux. Depuis sa création au début du XXème siècle, de nombreux traitements ont été développés. Parmi eux, on trouve notamment le Synthetic Aperture Radar (SAR, aussi appelé Radar à Synthèse d’Ouverture), qui permet d’atteindre des résolutions centimétrique. Le SAR présente donc un intérêt majeur pour une localisation précise de cible. Cependant, le SAR a été développé pour traiter des échos fixes. Ainsi, en présence de cibles mobiles, des artefacts apparaissent sur l’image résultante : la cible peut signer au mauvais endroit, et/ou voir son énergie étalée sur plusieurs pixels. On parle de délocalisation et de défocalisation.

D’autres traitements ont été spécifiquement développés pour la détection de cibles mobiles, regroupés sous l’appellation Moving Target Indicators (MTI). En particulier, le Space-Time Adaptive Processing (STAP), qui supprime la réponse des échos fixes, permet de détecter les cibles mobiles plus facilement. Mais le STAP utilise généralement des résolutions plus basses que le SAR, et une partie du potentiel de localisation est perdue. De plus, sans combinaison avec d’autres techniques, une seule des deux composantes de la vitesse peut être estimée.

Depuis quelques années, des traitements combinant ces deux approches complémentaires font leur apparition. Grâce aux bonnes performances de détection du STAP et au caractère haute résolution et cohérent du SAR, il devient possible de mieux détecter des cibles mobiles, mais également d’estimer leurs vitesses et de les positionner sur une image du sol.

Dans cette thèse, nous nous focaliserons sur la problématique de détection de cibles mobiles. Nous nous intéresserons au SAR aéroporté, et on supposera méconnue la configuration géométrique du système.

Ce mémoire est organisé en deux parties. La partie I regroupe une étude bibliographique des différentes problématiques qui seront abordées, ainsi qu’une présentation des données réelles utilisées.

Elle se compose de quatre chapitres :

- Chapitre I : ce chapitre introduit les concepts du radar, et plus particulièrement du traitement SAR. Cela permet de comprendre les mécanismes à l’origine des artefacts causés par les cibles mobiles.

- Chapitre II : le problème de détection par STAP est abordé. Pour cela, quelques concepts clefs de traitement statistique sont introduits.

- Chapitre III : un état de l’art des traitements SAR-MTI existants est proposé.

- Chapitre IV : les principales informations des différents jeux de données utilisés sont

présentées.

18

La seconde partie présente les différents axes développés dans cette thèse, organisés en trois chapitres :

- Chapitre V : un algorithme SAR-MTI est présenté. Celui-ci consiste, à partir d’images SAR acquises avec plusieurs voies de réception, à détecter les cibles mobiles, puis à exploiter la délocalisation et la défocalisation pour estimer leurs vitesses. Une étude théorique est d’abord proposée, et est suivie d’une validation sur données réelles. La question de l’estimation du vecteur de direction est traitée.

- Chapitre VI : une méthode visant à améliorer les performances de détection sera présentée. Dans un premier temps, nous verrons qu’il existe une perte de cohérence propre aux systèmes multi- voies, et qui est à l’origine d’une dégradation des performances de détection. La méthode consistera donc à améliorer la cohérence, en exploitant le vecteur de direction. Une validation sur données réelles conclura le chapitre.

- Chapitre VII : ce chapitre portera sur la réduction du nombre de fausses alarmes. Pour cela, un test statistique de proportionnalité de matrices de covariance sera développé. L’accent sera mis sur l’estimation de matrices de covariance proportionnelles et sur les performances de l’estimateur. Cela permettra de faire un parallèle avec l’estimateur du Point Fixe.

Enfin, nous conclurons en rappelant les principaux résultats obtenus, ainsi que les possibles

perspectives qu’ils offrent.

19

PARTIE 1 Etat de l’art

Chapitre I : L’imagerie SAR

Chapitre II : Détection de cibles mobiles par Space -Time Adaptive Processing Chapitre III : SAR-MTI

Chapitre IV : Présentation des données réelles utilisées

20

21

Chapitre I. L’imagerie SAR

Ce chapitre a pour objectif de présenter les principes fondamentaux du radar. En particulier, nous verrons comment sont définies les résolutions azimutale et distance. Sur les données brutes, c’est-à-dire non traitées, nous verrons que ces résolutions sont limitées. Elles peuvent néanmoins être améliorées en traitant les signaux reçus. Nous nous intéresserons en particulier au traitement Synthetic Aperture Radar (SAR- Radar à Synthèse d’Ouverture), qui permet d’atteindre de très hautes résolutions azimutales (centimétriques). Cependant, nous verrons qu’il n’est adapté qu’à des cibles qui sont fixes sur toute la durée d’acquisition, les cibles mobiles causant des dégradations sur l’image. Les effets des cibles mobiles sur les images SAR sont un point clé de cette thèse, et seront étudiés dans ce chapitre.

I.1. Radar : concepts de base

I.1.1. Introduction

Le radar, de l’anglais RAdio Detection And Ranging, est un système qui permet de détecter la présence d’objets, en appliquant les principes de l’électromagnétisme. Dès le début du XXème siècle, Nicolas Tesla évoque l’idée d’utiliser l’électromagnétisme pour détecter des objets. Une première validation expérimentale fut réalisée en 1904 par Christian Hülsmeyer, qui a utilisé cette idée pour détecter des bateaux [1]. Pendant toute la première moitié du XXème siècle, ces idées et les technologies associées ont été développées, pour aboutir au radar « classique ». Ces développements se sont poursuivis par la suite, avec par exemple l’apparition du SAR [2] [3] [4], et se poursuivent encore aujourd’hui.

Un atout majeur de l’imagerie radar est sa capacité, contrairement à l’imagerie optique, à acquérir des données exploitables quelles que soient les conditions météorologiques. Cet avantage rend l’imagerie radar particulièrement intéressante pour des applications militaires, par exemple pour la détection de cibles. Mais le radar peut aussi être utilisé à des fins civiles, telles que la quantification de la biomasse [5], le suivi de tremblements de terre [6], la volcanologie [7] encore la détection de pollution maritime [8]. Différentes longueurs d’ondes, plusieurs modes d’imagerie peuvent être utilisés pour répondre à ces diverses problématiques.

S’il se base avant tout sur des principes électromagnétiques, le radar tire ses performances,

notamment en termes de résolution, du traitement du signal. Dans la section suivante, on présentera la

compression d’impulsion, et la compression en azimut, qui sont les principes fondamentaux du SAR.

22

I.1.2. Fonctionnement

I.1.2.1. Composition d’un système radar

Un radar se compose d’un émetteur, d’une antenne, d’un récepteur, et d’un système de traitement.

L’émetteur a pour but de générer et émettre une série d’ondes électromagnétiques. L’antenne permet de focaliser ces ondes dans l’espace, c’est-à-dire de concentrer leur énergie dans un cône de largeur donnée.

Les ondes vont se propager dans l’espace à la vitesse 𝑐 ≃ 3.10 ⁸ m. s ⁻¹ . L’une des propriétés des ondes électromagnétiques est qu’elles sont (partiellement) réfléchies lorsqu’elles rencontrent un obstacle, par exemple un bâtiment. Si la puissance des ondes réfléchies est suffisante, elles peuvent alors être captées par le récepteur. L’énergie 𝐸 _𝑟 reçue par le radar d’une cible dépend de plusieurs paramètres : la puissance émise par le radar 𝑃 _𝑡 , la durée de l’impulsion 𝑇, la distance entre le radar et la cible 𝑅, les gains des antennes émettrices et réceptrices 𝐺 _𝑡 et 𝐺 _𝑟 , la longueur d’onde 𝜆 et la Surface Equivalente Radar (SER) de la cible 𝑆

. Ces paramètres sont reliés par l’équation radar [1]-chap 7:

𝐸 _𝑟 = ^𝑇𝐺

^𝐺

^𝜆

^𝑆

(4𝜋)

𝑅

𝑃 _𝑡 (1)

En plus d’être atténué, le signal d’intérêt est systématiquement « pollué » par du bruit. En grande majorité, ce bruit provient des composants électroniques, et est ainsi qualifié de bruit thermique. La puissance de ce bruit est de la forme [9] :

𝑃 _𝑛 = 𝛼𝑘 _𝐵 𝐵 _𝑟 𝑇 ₀ (2)

avec 𝛼 une grandeur sans unité caractéristique du récepteur (appelée facteur de bruit), 𝑘 _𝐵 la constante de Boltzmann, 𝐵 _𝑟 la bande équivalente de Brat (largeur de bande du récepteur) et 𝑇 ₀ la température équivalente du bruit du récepteur.

Le récepteur et l’émetteur ne sont pas nécessairement à la même position : on parle alors de configuration bistatique [10]. Dans le cas où l’émetteur et le récepteur sont situés au même endroit, on parle de configuration monostatique [10].

I.1.2.2. Gammes fréquentielles utilisées

Les ondes émises par le radar sont caractérisées par leur longueur d’onde, reliée à la fréquence porteuse 𝑓 ₀ du radar, via la relation :

𝜆 = ^𝑐

𝑓

(3)

1

La surface équivalente correspond au rapport entre l’énergie renvoyée par la cible vers le radar et la densité

d’énergie reçue [1].

23 Les ondes utilisées en radar appartiennent au domaine des ondes radio. Leurs fréquences sont comprises approximativement entre une centaine de MHz et une centaine de GHz. On distingue plusieurs bandes de fréquences (voir Figure 2) [11], définies par l’OTAN, par exemple la bande X, entre 8 et 12GHz. La bande est choisie en fonction de l’application souhaitée. En effet, suivant la longueur d’onde choisie, les mécanismes décrivant la propagation de l’onde (réflexion, réfraction, diffraction, diffusion) vont différer. Par exemple, si la longueur caractéristique d’un obstacle est grande par rapport à la longueur d’onde, la propagation de l’onde sera (en grande partie) bloquée. Comme nous le verrons par la suite, la longueur d’onde influe également sur la résolution azimutale que l’on pourra obtenir. Enfin, elle a une influence sur la portée du radar.

Figure 2 : Les différentes gammes de fréquences radar

I.1.3. Géométrie en radar aéroporté

Nous allons définir plusieurs termes permettant de décrire une scène d’acquisition avec un radar aéroporté [4]. Ces termes sont illustrés en Figure 3.

Figure 1: Géométrie d’acquisition aéroportée.

24

 altitude : hauteur à laquelle vole l’avion, donné par l’axe (𝑂𝑧).

 azimut : axe parallèle à la trajectoire du radar, donné par (𝑂𝑦).

 distance (slant range) : distance entre le capteur et la cible, noté 𝑅.

 distance au sol (ground range) : projection du slant range au sol, définie dans le plan (𝑂𝑥𝑦).

 angle de squint : complémentaire de l’angle entre l’axe de visée (𝑅) et l’axe azimutal, noté 𝜃 _𝑠 .

I.1.4. Mesures de retard et résolution distance

Après propagation jusqu’à une cible, une onde est réfléchie par cette dernière. L’un des paramètres exploités par le système de traitement est le retard 𝜏, qui correspond au temps que l’onde émise met pour parcourir la distance 𝑅 entre le radar et la cible, dans les sens aller et retour. Cette relation s’exprime :

𝜏 = 2 ^𝑅

𝑐 (4)

Connaissant 𝜏, on peut en déduire 𝑅. Dans le cas d’un radar impulsionnel [10], pour obtenir une image radar, plusieurs ondes sont émises, chacune d’une certaine durée 𝑇.

La résolution en distance de l’image obtenue est directement reliée à 𝑇. En effet, la résolution décrit la capacité à séparer deux points dans l’espace. Considérons deux points, situés à des distances 𝑅 ₁ et 𝑅 ₂ . Les retards associés sont 𝜏 ₁ = 2 ^𝑅

𝑐 et 𝜏 ₂ = 2 ^𝑅

𝑐 . Ces retards ne seront distincts que s’ils sont séparés d’une durée supérieure à la durée entre deux impulsions, c’est-à-dire (voir Figure 4) :

2|𝜏 ₁ − 𝜏 ₂ | > 𝑇 (5)

La résolution en distance associée est alors [12]:

𝜌 _𝑟 = ^𝑐𝑇

2 (6)

Lorsqu’on diminue la durée d’impulsion, on améliore donc la résolution distance. Cependant, pour qu’une cible soit détectée, il faut que celle-ci renvoie suffisamment d’énergie. Plus on émet sur une courte durée, plus la puissance de l’onde émise doit être importante. Ce compromis limite donc la résolution distance. Nous verrons par la suite que l’on peut moduler l’onde émise, et ainsi améliorer la résolution.

Figure 3 : Configuration géométrique en radar aéroporté.

25

Figure 4 : Mesure de retard et résolution distance.

I.1.5. Mesures angulaires et résolution azimutale

La distance entre le radar et la cible étant connue, et l’altitude à laquelle l’avion vole étant supposée connue, il reste, pour déterminer la position de la cible, à déterminer sa position angulaire. Pour cela, on va utiliser le fait que l’antenne utilisée n’émet pas de manière isotrope, mais plutôt dans une direction privilégiée. La Figure 5 présente un diagramme d’antenne pour une antenne directive. On peut définir la résolution en azimut d’une manière similaire à la résolution en distance : deux cibles seront séparables en azimut si leurs échos ne se recouvrent pas, c’est-à-dire si la distance qui les sépare est supérieure à la largeur de l’empreinte au sol du lobe d’antenne. Cette relation s’exprime :

𝜌 _𝑎 = ¹

2 𝑅Θ _3𝑑𝑏 (7)

où Θ _3𝑑𝑏 désigne l’ouverture angulaire à 3dB du lobe d’antenne. Pour une antenne rectangulaire, cette relation peut être approchée par [13]:

𝜌 _𝑎 ≅ 0.88 ^𝑅𝜆

2𝐿 (8)

où 𝜆 désigne la longueur d’onde, et 𝐿 la longueur de l’antenne.

Figure 5 : Représentation polaire d’un diagramme d’antenne.

Les résolutions en distance et azimut sont donc limitées par les caractéristiques du système (durée

d’impulsion, largeur du lobe principal, longueur d’onde). Dans les deux prochaines sections, nous

présenterons deux traitements du signal radar, permettant d’améliorer les résolutions : la compression

26

d’impulsion, et la compression en azimut. Ces deux traitements montreront l’apport important du traitement du signal dans l’imagerie radar.

I.1.6. Compression d’impulsion

I.1.6.1. Signal émis

Pour espérer capter des ondes réfléchies, il faut émettre une quantité d’énergie suffisante. Cela implique qu’il faut émettre une onde sur une durée suffisamment longue. Cependant, comme on l’a vu dans la section précédente, si l’on augmente la durée de l’émission, la résolution en distance est dégradée. Un moyen d’améliorer la résolution, sans diminuer la durée d’émission, réside dans la modulation en fréquence l’onde émise. En radar, une modulation couramment utilisée est une rampe de fréquence, appelée chirp [4]:

𝑠 _𝑡 (𝑡) = Rect _𝑇 (𝑡)e ^{𝑗2𝜋(𝑓}

^𝑡+

^𝑡

⁾ = Rect _𝑇 (𝑡)e ^{𝑗2𝜋(𝑓}

^{𝑡+𝜙(𝑡))} (9) où 𝐾 est appelé taux de modulation fréquentiel, et 𝑓 ₀ est la fréquence centrale. Le chirp est une modulation dite linéaire, puisque la fréquence modulée, donnée par :

𝑓 = ¹

2𝜋 d𝜙(𝑡)

d𝑡 = 𝐾𝑡 (10)

est linéaire. La largeur de bande 𝐵, qui correspond à l’intervalle fréquence, est donnée par :

𝐵 = |𝐾|𝑇 (11)

Le signal reçu d’un point situé à une distance 𝑅 est donné par [4] :

𝑠 _𝑟 (𝑡) = Rect _𝑇 (𝑡 − 𝜏)e ^{𝑗2𝜋(𝑓}

^{(𝑡−𝜏)+}

^{(𝑡−𝜏)}

⁾ (12) avec 𝜏 = 2𝑅/𝑐. Cela correspond donc au signal transmis (9), avec un retard lié au temps de propagation de l’onde aller-retour.

I.1.6.2. Compression d’impulsion

Considérons la fonction de corrélation entre la réplique du signal émis et le signal reçu :

𝑠 _𝑐 (𝑡) = ∫ _−∞ ^+∞ 𝑠 _𝑟 (𝑡′)𝑠 _𝑡 ^∗ (𝑡 ^′ − 𝑡)𝑑𝑡 ^′ (13) On peut remarquer que calculer la corrélation revient à calculer la convolution entre 𝑠 _𝑟 (𝑡), et 𝑠 _𝑡 ^∗ (−𝑡), donc entre 𝑠 _𝑡 et sa réplique inversée dans le temps :

𝑠 _𝑐 (𝑡) = 𝑠 _𝑟 (𝑡) ∗ ℎ(𝑡) (14)

avec ℎ(𝑡) = 𝑠 _𝑡 ^∗ (−𝑡).

On peut montrer que le résultat de la corrélation s’écrit de manière approchée [4] :

𝑠 _𝑐 (𝑡) = 𝑇e ^{𝑗2𝜋𝑓}

^{(𝑡−𝜏)} sinc(𝜋𝐵(𝑡 − 𝜏)) (15)

27 Cette approximation est valable si |𝐵|𝑇 ² est grand [4]. Le signal 𝑠 _𝑐 présente un pic en 𝑡 = 𝜏 = 2𝑅/𝑐 . Utiliser la corrélation est donc un moyen de mesurer le retard 𝜏, qui correspond à la position du pic du sinus cardinal. Mais surtout, cela permet d’améliorer la résolution en distance : la nouvelle résolution obtenue est définie comme l’ouverture à 3dB du sinus cardinal dans l’équation (12), et vaut :

𝜌 _𝑟 = 0.88 ^𝑐

2|𝐵|𝑇 . (16)

Par comparaison avec la résolution sans traitement donnée par l’équation (6), on observe donc une amélioration de la résolution. C’est le principe de la compression d’impulsion.

Souvent, on ramène le signal en bande de base, c’est-à-dire qu’on recentre son spectre et multipliant le signal par e ^{−𝑗2𝜋𝑓}

^𝑡 :

𝑠 _𝑐 (𝑡) = 𝑇e ^{−𝑗2𝜋𝑓}

^𝜏 sinc(𝜋𝐵(𝑡 − 𝜏)) (17) Dans la suite, on considèrera des signaux en bande de base. On supposera que le sinus cardinal lié à la compression distance peut être approché par un dirac : sinc(𝜋𝐵(𝑡 − 𝜏)) ≃ 𝛿(𝑡 − 𝜏). Finalement, le signal compressé distance considéré s’écrit :

𝑠 _𝑐 (𝑡) = 𝑇e ^{−𝑗2𝜋𝑓}

^𝜏 δ(𝑡 − 𝜏) (18)

I.1.7. Compression en azimut : principe du SAR

Comme le montre l’équation (7), la résolution azimutale est inversement proportionnelle à la longueur de l’antenne. Ainsi, pour l’améliorer, il suffirait d’augmenter cette longueur. Cependant, la taille d’une antenne est limitée, notamment par sa capacité à être aéroportée. Le principe de la synthèse d’ouverture est d’augmenter de manière synthétique la longueur de l’antenne. Pour cela, l’avion va se déplacer à une vitesse 𝑉 le long de l’axe azimutal, que l’on supposera constante, pendant une durée 𝑇 _𝑖𝑛𝑡 appelée durée d’intégration. Le long de cette trajectoire, plusieurs impulsions seront émises, comme décrit dans la section I.1.2. Si l’on considère un point donné sur la scène, à chaque position de l’avion va correspondre un retard, et donc un déphasage de l’onde reçue. Le principe du SAR est alors d’intégrer le signal reçu pendant 𝑇 _𝑖𝑛𝑡 , tout en compensant les déphasages liés au déplacement de l’avion. Cela est équivalent à réaliser une acquisition instantanée avec une antenne de taille 𝐿 _𝑖𝑛𝑡 = 𝑉𝑇 _𝑖𝑛𝑡 .

I.1.7.1. Evolution temporelle de la phase en faible bande

La phase instantanée de l’onde reçue est proportionnelle à la distance cible-avion 𝑅. En bande étroite

[14], elle est approchée par [15] [12]:

𝜙(𝑡 _𝑙 ) = − ^4𝜋

𝜆 𝑅(𝑡 _𝑙 , 𝑅 ₀ ,𝜃) (19)

où 𝜆 est la longueur d’onde liée à la fréquence centrale. C’est le déphasage que l’on cherche à compenser par le traitement SAR. Le temps 𝑡 _𝑙 qui apparaît dans cette expression, lié au déplacement de l’avion, est généralement qualifié de temps long (par opposition au temps court, lié à la propagation de l’onde électromagnétique). Il s’agit donc d’un traitement temporel. On cherche maintenant à montrer l’amélioration obtenue sur la résolution azimutale en effectuant le traitement SAR. Pour cela, nous allons calculer de manière approchée la phase 𝜙. On note 𝑅 ₀ la distance à l’instant 𝑡 ₀ , choisi comme temps de

2

Une bande est dite étroite si 0 <

𝑓₀

< 0.01. En large bande, plusieurs longueurs d’ondes doiv ent être considérées.

28

référence, et l’avion (voir Figure 6), et 𝑦 ₀ = 𝑉𝑡 ₀ la position de l’avion telle que 𝑅(𝑡 ₀ ) = 𝑅 ₀ . La distance cible-avion peut alors s’exprimer :

𝑅 ² (𝑡 _𝑙 ,𝜃) = (𝑉(𝑡 _𝑙 − 𝑡 ₀ )) ² sin ² (𝜃) + 𝑅 ₀ ² − 2𝑅 ₀ (𝑉(𝑡 _𝑙 − 𝑡 ₀ ))sin(𝜃) (20) 𝑅 ₀ étant très grand devant les autres grandeurs, on peut faire un développement limité à l’ordre 2 de la phase [12]:

𝜙(𝑅(𝑡 _𝑙 )) ≃ − ^4𝜋

𝜆 (𝑅 ₀ − (𝑉(𝑡 _𝑙 − 𝑡 ₀ )) sin(𝜃) + ¹

2 cos

(𝜃)

𝑅

(𝑉(𝑡 _𝑙 − 𝑡 ₀ )) ² ) (21) Finalement, le signal compressé distance pour un réflecteur situé en (𝑅 ₀ , 𝑅 ₀ sin 𝜃), en prenant en compte le déplacement de l’avion, s’écrit :

𝑠 _𝑐 (𝑡, 𝑡 _𝑙 ) = 𝑇e ⁻

𝑗4𝜋

𝜆

((𝑅

−𝑉(𝑡

−𝑡

) sin𝜃+

cos2(𝜃)

𝑅0

(𝑉(𝑡

−𝑡

))

)

𝛿(𝑡 − ^2𝑅

𝑐 ) (22)

Le signal compressé distance total, qui prend en compte la somme des réflecteurs situés dans le lobe d’antenne Λ, s’écrit :

𝑝(𝑡, 𝑡 _𝑙 , 𝜃) = ∫ ∫ 𝑇Λ(𝑅, 𝑦)e ⁻

𝑗4𝜋

𝜆

(𝑅

−𝑉𝑡

sin𝜃+

cos2(𝜃) 𝑅0

(𝑉𝑡

)

)

𝛿(𝑡 − ^2𝑅

𝑐 )d sin 𝜃

d sin𝜃

𝑡 d𝑡 (23)

qui se simplifie en :

𝑝(𝑡, 𝑡 _𝑙 , 𝜃) = ∫ 𝑇Λ(𝑅, 𝑦)e ⁻

𝑗4𝜋

𝜆

(𝑅

−𝑉𝑡

sin𝜃+

cos2(𝜃) 𝑅0

(𝑉𝑡

)

)

d sin 𝜃

sin𝜃 (24)

Figure 6 : Evolution temporelle de la phase : représentation de la scène.

29 I.1.7.2. Compensation de la phase

Pour compenser la partie quadratique de la phase 𝜙, on peut recourir à un traitement similaire à la compression d’impulsion. Soit ℎ la fonction définie par :

ℎ(𝑡 _𝑙 , 𝜃)) = 𝑒 ^{+𝑗𝜙(𝑡}

^,𝜃)) (25) On calcule alors l’intercorrélation entre ℎ ^∗ (−𝑡 _𝑙 ) et 𝑠 _𝑐 (𝑡, 𝑡 _𝑙 ,𝜃)) :

𝑠 𝑜𝑢𝑡 (𝑡, 𝑡 _𝑙 ^′ ,𝜃)) = ∫ 𝑠 𝑐 (𝑡 _𝑙 ,𝜃))ℎ ^∗ (𝑡 _𝑙 − 𝑡 _𝑙 ^′ , 𝜃))𝑑𝑡 𝑙 𝑇

/2

−𝑇

/2 (26)

En reprenant l’expression de 𝜙 donnée par (21), et en posant 𝑦 ₀ = 0 (et donc 𝑡 ₀ = 0), l’équation devient, de manière approchée :

𝑠 _𝑜𝑢𝑡 (𝑡, 𝑡 _𝑙 ^′ ,𝜃)) ≃ ∫ e ⁻

4𝜋

𝜆

(𝑅

+𝑉𝑡

sin(𝜃)+

cos2(𝜃) 𝑅0

𝑡

)

e ⁺

4𝜋

𝜆

(𝑅

+(𝑉(𝑡

−𝑡

))sin(𝜃)+

cos2(𝜃)

𝑅0

𝑉

(𝑡

−𝑡

)

)

𝑑𝑡 _𝑙

𝑇

/2

−𝑇

/2 (

27)

Après simplification, on obtient : 𝑠 _𝑜𝑢𝑡 (𝑡, 𝑡 _𝑙 ^′ ,𝜃)) = e

4𝜋

𝜆

(𝑉𝑡

𝑠𝑖𝑛(𝜃)+

𝑐𝑜𝑠2(𝜃) 𝑅0

𝑉

𝑡

)

∫ e

2𝜋 𝜆

𝑐𝑜𝑠2(𝜃) 𝑅0

𝑉

𝑡

𝑡

′

𝑑𝑡 _𝑙

𝑇

/2

−𝑇

/2 (28)

On obtient alors, à un coefficient près :

𝑠 _𝑜𝑢𝑡 (𝑡, 𝑡 _𝑙 ^′ ,𝜃) = 𝑇 _𝑖𝑛𝑡 sinc ( ^𝜋𝐿

𝜆𝑅

𝑉 cos ² 𝜃 𝑡 _𝑙 ′) (29) De manière analogue à la compression d’impulsion, ℎ est appelée la réplique en azimut de 𝑠 _𝑟 . Dans le cadre de l’approximation cos ² 𝜃 ≃ 1, (29) devient :

𝑠 _𝑜𝑢𝑡 (𝑅, 𝑡 _𝑙 ^′ ,𝜃)) = sinc ( ^𝜋𝐿

𝜆𝑅

𝑉𝑡 _𝑙 ′) (30)

La nouvelle résolution azimutale vaut alors [13] :

𝜌 _𝑎 = 0.88 ^𝜆𝑅

𝐿

(31)

Cette résolution ne dépend plus de la longueur de l’antenne, mais du rapport 𝑅 ₀ /𝐿 _𝑖𝑛𝑡 , c’est-à-dire de l’ouverture angulaire considérée durant le temps d’intégration.

Par exemple, pour 𝜆 = 3cm, 𝑅 ₀ = 10km, 𝑉 = 80m. s ⁻¹ , 𝑇 _𝑖𝑛𝑡 = 1s, on obtiendrait une résolution 𝜌 _𝑎 = 3,3m. Sans traitement SAR, on aurait pour une antenne de taille 1m une résolution de 264m. Le gain en résolution que l’on obtient grâce au traitement SAR est donc considérable.

I.1.7.3. Lien avec un filtrage Doppler

Le problème précédent peut être formulé différemment : du fait du déplacement de l’avion, le signal va subir une modulation de sa phase, liée à la fréquence Doppler [12]:

𝑓 _𝐷 = ¹

2𝜋 d𝜙(𝑡

)

d 𝑡

= ^2𝑉

𝜆 sin(𝜃) + 2 ^𝑉

𝜆𝑅

cos ² (𝜃) 𝑡 _𝑙 = 𝑓 _𝐷

+ Δ𝑓 _𝐷 𝑡 _𝑙 (32)

30

avec 𝑓 _𝐷

= ^2𝑉

𝜆 sin(𝜃) la fréquence Doppler centrale, et Δ𝑓 _𝐷 le taux de variation de la fréquence Doppler, donné par :

Δ𝑓 _𝐷 = ^2𝑉

^cos

^𝜃

𝜆𝑅

= ^𝐵

𝑇 (33)

La bande Doppler associée vaut :

𝐵 _𝐷 = ^2𝑉

^cos

^𝜃

𝜆𝑅

𝑇 = ^2𝑉𝐿

^cos

^𝜃

𝜆𝑅

(34)

Si l’on reprend l’expression du signal compressé distance (24), et l’expression de la fréquence Doppler (24), on peut obtient :

𝑝(𝑡, 𝑡 _𝑙 , 𝜃) = ∫ 𝑇Λ(𝑅, 𝑦, )e ⁻

𝑗4𝜋

𝜆

(𝑅

−𝑓

+

Δ𝑓

𝑡

)

𝛿(𝑡 − ^2𝑅

𝑐 )

𝑦 d𝑦 (35)

Cette expression met en évidence que pour chaque position de l’avion, on a donc une plage de fréquences Doppler associée à l’angle de visée. Comme le faisceau d’un système réel n’est pas infiniment fin, mais est défini par une ouverture de faisceau Δ𝜃, la gamme de fréquences Doppler à considérer est :

𝑓 _𝐷 ∈ [ ^2𝑉

𝜆 sin(𝜃 − Δ𝜃) ; ^2𝑉

𝜆 sin(𝜃 + Δ𝜃)] (36)

I.1.8. Gain en SNR apporté par le traitement SAR

Grâce au traitement SAR, les déphasages causés par le déplacement de l’avion sont compensés, et l’intégrale (27) réalisée sur une cible fixe est donc une intégrale cohérente. En revanche, le bruit ayant une phase aléatoire, cette même intégrale réalisée sur le bruit n’est pas cohérente. Cela permet

d’augmenter le Signal to Noise Ratio SNR d’une cible fixe. Le SNR est défini comme : 𝑆𝑁𝑅 = ^E[|signal|

^]

E[|bruit|

] (37)

Pour une cible fixe d’amplitude complexe 𝛼 𝑡 , on a d’après l’équation (27) : 𝑝(𝑡, 𝑡 _𝑙 , 𝜃) = ∫ 𝑇Λ(𝑅, 𝑦)e ⁻

𝑗4𝜋

𝜆

(𝑅

−𝑉𝑡

sin𝜃+

cos2(𝜃) 𝑅0

(𝑉𝑡

)

)

𝑦 d𝑦 (38)

et donc, pour un signal échantillonné obtenu sur 𝑁 impulsions :

E[|signal| ² ] = E [|∑ ^𝑁 _𝑛=1 𝛼 _𝑡 | ² ] = 𝑁 ² |𝛼 _𝑡 | ² (39) Pour le bruit, on obtient, du fait de l’indépendance des variables aléatoires bruit :

E[|bruit| ² ] = E [|∑ ^𝑁 _𝑛=1 𝛼 _𝑏 (𝑛) | ² ] = 𝑁𝜎 _𝑛 ² (40) où 𝜎 _𝑛 ² est la puissance moyenne du bruit. Le SNR après traitement SAR vaut donc :

𝑆𝑁𝑅 _SAR = 𝑁 × 𝑆𝑁𝑅 ₀ (41)

où 𝑆𝑁𝑅 ₀ est le SNR obtenu sur des données compressées en distance.

31

I.1.9. Synthèse d’une image par double FFT

On a vu que le signal reçu, en azimut comme en temps, pouvait être traité par corrélation afin d’améliorer la résolution. En pratique, une manière simple d’implémenter de tels traitements est de travailler dans le domaine de Fourier. C’est le principe du Range Doppler Algorithm [4]. En effet, une convolution dans le domaine temporel s’écrira comme une simple multiplication dans le domaine fréquentiel (et inversement). La Figure 7 décrit une version simplifiée du RDA. Cette chaîne consiste d’abord à effectuer une Fast Fourier Transform (FFT) dans les deux dimensions des données brutes ; puis le spectre est multiplié par celui de la réplique azimutale du signal ; une FFT Inverse (IFFT) est ensuite appliquée en azimut. La même opération est réalisée en distance. Le résultat final est une image SAR. En réalité, lors du traitement, il faut également corriger la migration distance des cibles (ce qu’on appelle Range Cell Migration Correction [4]). Le RDA est adapté à des faibles résolutions. Pour de meilleures résolutions, on utilise le traitement Range Migration Algorithm [4], le Chirp Scaling Algorithm [4], ou le backprojection algorithm [4].

Une simulation de la synthèse d’un point a été réalisée en utilisant les paramètres donnés dans le tableau 1. L’image synthétisée, ainsi que les coupes en distance et en azimut obtenues sont présentées en Figure 5. Conformément aux équations (29) et (15) ,(15)

on constate que les coupes réalisées en azimut et en distance sont bien des sinus cardinaux.

Tableau 1 : Paramètres de simulation de synthèse de l’image SAR de la Figure 8.

Paramètres Valeur 𝑉 (m/s) 120

𝑓 ₀ (GHz) 9.47

𝐵 (MHz) 500 𝑇 _𝑖𝑚𝑝 (ms) 0.030

𝐷 (km) 30

32

Figure 7 : Formation d’une image SAR par RDA (version simplifiée)

33 (a)

(b) (c)

I.1.10. Différentes géométries d’image

Une fois les données traitées grâce aux compressions en distance et en azimut, on obtient une image, cartographiant les réponses des échos reçus. En fonction du traitement adopté, différentes représentations sont possibles. Nous présenterons ici les géométries dites stripmap et flash (qui s’apparente à la géométrie spotlight utilisée en satellitaire).

Dans les deux cas, notons 𝑠 le signal reçu après les deux étapes de compressions. On a donc : 𝑠(𝑦 ₀ , 𝜃, 𝑅 ₀ ) = ∫ 𝑝(𝑡)e ^𝑗

4𝜋

𝜆

(𝑅

−(𝑉(𝑡−𝑡

))sin(𝜃)+

cos2(𝜃)

𝑅0

(𝑉(𝑡−𝑡

))

) 𝑡

+𝑇/2

𝑡

−𝑇/2 𝑑𝑡 (42)

Figure 8: Image SAR d’un point brillant localisé en (100,100), calculée avec l’algorithme RDA (Figure 7). Les paramètres

sont donnés par le Tableau 1. (a) Image SAR d’un point brillant; (b) Coupe suivant l’axe distance ; (c) coupe suivant l’axe

azimutal.

34

où 𝑝(𝑡) est le signal reçu compressé en distance (la dépendance en distance est omise pour alléger les notations).

La géométrie stripmap, qui est peut-être la représentation la plus utilisée, consiste à considérer une direction fixe, et à faire varier l’intervalle de temps. On a donc :

𝜃 = constante, 𝑡 ₀ variable (43)

L’image obtenue 𝐼 est alors représentée dans un repère (distance, azimut) : 𝐼(𝑦, 𝑅 ₀ ) = ∫ 𝑝(𝑡)e ^𝑗

4𝜋

𝜆

(𝑅

−(𝑉𝑡−𝑦

) sin(𝜃)+

cos2(𝜃)

𝑅0

(𝑉𝑡−𝑦

)

) 𝑡

+𝑇/2

𝑡

−𝑇/2 𝑑𝑡 (44)

La géométrie flash [16] [17], qui sera utilisée tout au long de cette thèse, consiste à considérer un azimut fixe, et à considérer plusieurs directions. On a donc :

𝑡 ₀ = constante, 𝜃 variable (45)

L’image obtenue se présente dans un repère (distance, Doppler) : 𝐼(𝑅 ₀ ,sin 𝜃) = ∫ 𝑝(𝑡)e ^𝑗

4𝜋

𝜆

(𝑅

−(𝑉𝑡−𝑦

) sin(𝜃)+

cos2(𝜃)

𝑅0

(𝑉𝑡−𝑦

)

) 𝑡

+𝑇/2

𝑡

−𝑇/2 𝑑𝑡 (46)

On remarquera que 𝐼(𝑅 ₀ ,sin 𝜃) est équivalent à 𝐼(𝑅 ₀ ,𝑓 _𝐷 ), avec 𝑓 _𝐷 = ^2𝑉

𝜆 sin 𝜃 En géométrie flash, l’intervalle d’intégration [𝑡 ₀ − ^𝑇

2 ; 𝑡 ₀ + ^𝑇

2 ] est donc constant, alors qu’en géométrie stripmap cet intervalle varie avec 𝑦. En flash, on peut donc, par un changement de variable, se ramener à l’intervalle d’intégration [− ^𝑇

2 ; ^𝑇

2 ]. La différence entre les deux géométries est représentée en Figure 9.

Figure 9 : Géométries Stripmap et Flash.