Quelques Résultats sur les Espaces de Sobolev

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Quelques Résultats sur les Espaces de Sobolev

Jérôme Droniou

To cite this version:

Jérôme Droniou. Quelques Résultats sur les Espaces de Sobolev. 2001. �hal-01382370�

Quelques R´ esultats sur les Espaces de Sobolev.

J´ erˆ ome Droniou

29/04/2001

1Universit´e de Provence, CMI, Technopˆole de Chˆateau Gombert, 39 rue F.Joliot Curie, 13453 Marseille Cedex 13 email: droniou@cmi.univ-mrs.fr

Table des Mati` eres

1 Changement de Variable Lipschitzien, Transport d’Espaces de Sobolev 4

1.1 Le Th´eor`eme de Rademacher . . . . 4

1.1.1 Quelques Rappels en Dimension 1 . . . . 4

1.1.2 D´eriv´ees de Fonctions Lipschitziennes . . . . 5

1.2 Le Changement de Variable Lipschitzien . . . . 10

1.3 Transport des Espaces de Lebesgue . . . . 14

1.4 Transport des Espaces de Sobolev . . . . 15

2 Int´egrale sur des Bords d’Ouverts 18 2.1 Ouverts Lipschitziens . . . . 18

2.1.1 Ouverts Faiblement Lipschitziens . . . . 18

2.1.2 Ouverts Fortement Lipschitziens . . . . 19

2.1.3 Distinctions entre les deux notions . . . . 20

2.2 Mesure et Int´egrale sur ∂Ω, EspacesL^p(∂Ω) . . . . 23

2.2.1 Mesure sur∂Ω . . . . 23

2.2.2 Expressions de l’Int´egrale sur ∂Ω . . . . 26

2.2.3 Transport des EspacesL^p(∂Ω) . . . . 27

3 Op´erateur de Prolongement, Injections 31 3.1 Prolongement . . . . 31

3.1.1 Cas du demi-espace . . . . 31

3.1.2 Cas d’un Ouvert Faiblement Lipschitzien . . . . 33

3.2 Injections de Sobolev . . . . 36

3.2.1 Cas de l’Espace Entier . . . . 36

3.2.2 Cas d’un Ouvert Faiblement Lipschitzien . . . . 43

3.3 Th´eor`eme de Rellich . . . . 43

4 Trace, Int´egration par Parties 45 4.1 Trace . . . . 45

4.1.1 Trace dans le Demi-Espace . . . . 45

4.1.2 Trace dansB₊^N . . . . 47

4.1.3 Trace sur le Bord d’un Ouvert Faiblement Lipschitzien . . . . 48

4.1.4 Trace dans le casp=∞ . . . . 49

4.1.5 L’espaceW₀^1,p(Ω) . . . . 49

4.1.6 Espaces de Traces . . . . 50

4.2 Int´egration par Parties . . . . 54

4.2.1 Normale Ext´erieure `a∂Ω . . . . 54

4.2.2 Int´egration par Parties . . . . 59

A Un peu d’Analyse Fonctionnelle 69

B Quelques Lemmes Techniques pour la Caract´erisation deW₀^1,p(Ω) 72

C Une Autre D´efinition deW^1−1/p,p(∂Ω) 75

C.1 Le cas du demi-espace . . . . 75

C.2 Cas d’un Bord d’Ouvert Faiblement Lipschitzien . . . . 80

C.2.1 Pr´eliminaires . . . . 80

C.2.2 R´esultats Principaux . . . . 82

Notations g´en´erales.

N est un entier sup´erieur `a 1. λN d´esigne la mesure de Lebesgue sur R^N.

x·y est le produit scalaire canonique de deux vecteurs (x, y)∈R^N et | · | la norme euclidienne associ´ee (dist est la distance correspondante).

Pour x = (x1, . . . , xN) ∈ R^N, x⁰ d´esigne le vecteur (x1, . . . , xN−1) de R^N−1 (vecteur “vide” lorsque N = 1).

Le support d’une fonctionf est not´e supp(f). 1_E est la fonction caract´eristique d’un ensembleE.

Nous noterons parfois∂_i l’op´erateur de d´erivation partielle _∂x^∂

i.

Enfin, (e1, . . . , eN) d´esigne la base canonique euclidienne deR^N; nous nous permettrons aussi l’abus de consid´erer que les N −1 premiers vecteurs (e1, . . . , eN−1) de cette base forment la base canonique de R^N−1. detN d´esigne le d´eterminant dans la base (e1, . . . , eN).

Chapitre 1

Changement de Variable

Lipschitzien, Transport d’Espaces de Sobolev

1.1 Le Th´ eor` eme de Rademacher

Dans ce chapitre, six∈R^N etr≥0,B(x, r) d´esigne la boule euclidienne ouverte dansR^N, de centrex et de rayonr;B(x, r) d´esigne son adh´erence etS(x, r) son bord.

1.1.1 Quelques Rappels en Dimension 1

Lemme 1.1.1 Si f :R → R est une application lipschitzienne alors la d´eriv´ee Df de f au sens des distributions surRest dansL^∞(R)et on a, pour toutx∈R,

f(x) =f(0) + Z x

0

Df(t)dt. (1.1.1)

D´emonstration:

♦Etape 1: On montre queDf ∈L^∞(R).

Soitϕ ∈ C_c^∞(R); ϕ(·+s)−ϕ(·) s

s→0−→ϕ⁰ uniform´ement sur Ret a, pour s ∈[−1,1]\{0}, son support inclus dans supp(ϕ) + [−1,1]; comme f ∈L¹(supp(ϕ) + [−1,1]), on en d´eduit

hDf, ϕi_D⁰_(R),D(R) = − Z

R

f(x)ϕ⁰(x)dx

= −lim

s→0

Z

R

f(x)ϕ(x+s)−ϕ(x)

s dx

= −lim

s→0

Z

R

f(x−s)−f(x)

s ϕ(x)dx.

Or, pour touts6= 0, on a|f(x−s)−f(x)

s | ≤Lip(f), donc

Z

R

f(x−s)−f(x) s ϕ(x)dx

≤Lip(f) Z

R

|ϕ(x)|dx.

En passant `a la limite s→0, on obtient

|hDf, ϕi_D0(R),D(R)| ≤Lip(f)||ϕ||_L1(R).

Cette in´egalit´e, valable pour tout ϕ ∈ C_c^∞(R), nous dit que Df est une forme lin´eaire continue sur (C_c^∞(R),||.||L¹(R)); Df s’´etend donc en une forme lin´eaire continue sur L¹(R), c’est-`a-dire un ´el´ement g∈L^∞(R) au sens: pour toutϕ∈ C_c^∞(R),

hDf, ϕi_D0(R),D(R)= Z

R

g(x)ϕ(x)dx,

ce qui signifie exactementDf ∈L^∞(R).

♦Etape 2: On prouve (1.1.1).

Pour d´emontrer cette formule, il suffit, en posant h(x) =

Z x 0

Df(t)dt∈L^∞_loc(R)⊂L¹_loc(R),

de prouver que la d´eriv´ee au sens des distributions dehestDf; on aura alorsD(f−h) = 0, c’est-`a-dire quef−hest une fonction constante, d’o`uf =f(0) +h.

Pour calculerDh, prenonsϕ∈ C_c^∞(R); par d´efinition deh, on a Z

R

h(x)ϕ⁰(x)dx = Z

R⁺

Z

R⁺

Df(t)ϕ⁰(x)1_[0,x](t)dt

dx

− Z

R⁻

Z

R⁻

Df(t)ϕ⁰(x)1[x,0](t)dt

dx.

En appliquant le th´eor`eme de Fubini, on obtient Z

R

h(x)ϕ⁰(x)dx = Z

R⁺

Df(t) Z

R⁺

ϕ⁰(x)1_[t,+∞[dx

dt

− Z

R⁻

Df(t) Z

R⁻

ϕ⁰(x)1_]−∞,t]dx

dt

= Z

R⁺

Df(t)(−ϕ(t))dt− Z

R⁻

Df(t)ϕ(t)dt

= −

Z

R

Df(t)ϕ(t)dt.

Cette ´egalit´e, valable pour tout ϕ∈ C_c^∞(R), signifie exactement Dh =Df dans D⁰(R), ce qui conclut cette d´emonstration.

On d´eduit ais´ement de ce lemme que toute fonction lipschitzienne f : R → R est d´erivable, au sens classique,λ₁-presque partout surR(en tous les points de Lebesgue deDf ∈L¹_loc(R)).

1.1.2 D´eriv´ees de Fonctions Lipschitziennes

Lemme 1.1.2 SoitAune partie non vide deR^N. Sif :A→Rest une application lipschitzienne, alors f admet une extension lipschitziennefe:R^N →Rtelle queLip(fe) = Lip(f). De plus, si f est born´ee par M sur A, on peut choisir feborn´ee parM sur R^N.

D´emonstration:

Posons, pourx∈R^N,fe(x) = sup_y∈A{f(y)−Lip(f)|x−y|} ∈]− ∞,∞] (nous avons choisi de raisonner avec la norme euclidienne — la constante de lipschitz est bien sˆur celle associ´ee `a cette norme —, mais ce qui suit est valable pour toute norme).

Commen¸cons par voir que, pour toutx∈R^N,f(x)e <∞; il suffit, pour cela, de fixery0∈Aet de constater que, pour touty∈A, puisquef(y)≤f(y0) + Lip(f)|y−y0| ≤f(y0) + Lip(f)|y−x|+ Lip(f)|x−y0|, on af(y)−Lip(f)|x−y| ≤f(y0) + Lip(f)|x−y0|, doncf(x)e ≤f(y0) + Lip(f)|x−y0|<∞.

feest bien une extension def. En effet, prenons x∈A; puisquef(y)≤f(x) + Lip(f)|x−y|pour tout y∈A, on afe(x)≤f(x); commex∈A, on a aussif(x)e ≥f(x)−Lip(f)|x−x|=f(x), ce qui nous donne bienfe(x) =f(x).

Enfin, feest lipschitzienne, de constante de lipschitz Lip(f). En effet, prenons (x, z)∈ R^N ×R^N; pour touty∈A, on afe(x)≥f(y)−Lip(f)|x−y| ≥f(y)−Lip(f)|x−z| −Lip(f)|y−z|, soitfe(x) + Lip(f)|x− z| ≥ f(y)−Lip(f)|z−y|; en prenant la borne sup´erieure de cette in´egalit´e sur les y ∈ A, on obtient fe(x) + Lip(f)|x−z| ≥fe(z), soitfe(z)−fe(x)≤Lip(f)|x−z|; en effectuant le mˆeme calcul avec les rˆoles dexetzinvers´es, on trouvefe(x)−fe(z)≤Lip(f)|x−z|, ce qui nous donne|fe(x)−fe(z)| ≤Lip(f)|x−z|, c’est-`a-dire le caract`ere lipschitzien defe, avec Lip(f) pour constante de lipschitz.

Supposons maintenantf born´ee parM surAet notonsTM(s) = sup(−M,inf(M, s)) (i.e. TM(s) =−M sis <−M,TM(s) =ssi−M ≤s≤M et TM(s) =M sis > M);TM :R→Rest born´ee parM. Nous allons voir que c’est une application 1-lipschitzienne surR. Soient (s, t)∈R; quitte `a ´echanger les rˆoles desett, on peut supposers≤t; il nous faut ensuite traiter les cas un par un.

• Si s≤t <−M ouM < s≤t, alorsT_M(t)−T_M(s) = 0, donc|TM(t)−T_M(s)| ≤ |s−t|.

• Si s <−M ≤t≤M, alors T_M(t)−T_M(s) =t+M et, commet+M ≤t−s=|t−s|, on a bien

|T_M(t)−T_M(s)| ≤ |t−s|.

• Sis <−M ≤M < t, alorsT_M(t)−T_M(s) =M+M et, commeM+M ≤t−s=|t−s|, on a bien

|T_M(t)−T_M(s)| ≤ |t−s|.

• Si −M ≤s≤t≤M, alorsTM(t)−TM(s) =t−s, donc|TM(t)−TM(s)| ≤ |t−s|.

• Si −M ≤s≤M < t, alors TM(t)−TM(s) =M −set, commeM−s≤t−s=|t−s|, on a bien

|TM(t)−TM(s)| ≤ |t−s|.

Ainsi,TM(fe) est une fonction Lip(f)-lipschitzienne born´ee par M; de plus, surA, puisque |f| ≤M, on aTM(fe) =TM(f) =f. TM(fe) est donc, dans ce cas, l’extension def recherch´ee.

Th´eor`eme 1.1.1 (Rademacher) Soit Ω un ouvert de R^N. Si f : Ω→ R est localement lipschitzienne alorsf est d´erivableλN-presque partout surΩ.

Rappelons avant la d´emonstration que, pour toutM ∈ L(R^N) et tout ensemble mesurableAdeR^N, on aλ_N(M(A)) =|det(M)|λN(A).

D´emonstration:

Comme Ω peut ˆetre recouvert par une union d´enombrable de boules dont l’adh´erence est compacte dans Ω, il suffit de montrer que, pour toute bouleBd’adh´erence compacte dans Ω,f_|Best d´erivableλ_N-presque partout surB.

Soit donc une telle boule. f_|B ´etant lipschitzienne, elle admet une extension lipschitziennefe:R^N →R. Il suffit de montrer quefeest d´erivableλN-presque partout surR^N pour voir quef_|B=fe_|B est d´erivable λN-presque partout surB et conclure ainsi la d´emonstration du th´eor`eme.

♦Etape 1: On montre que, pourv∈S(0,1) fix´e, fe⁰(x;v) = lim

t→0

fe(x+tv)−fe(x) t

existe dansRpourλ_N-presque toutx∈R^N.

SoitA_v={x∈R^N |fe⁰(x;v) n’existe pas}; par le crit`ere de Cauchy, R^N\Av= \

n>0

[

k>0

\

(t, t⁰)∈]−¹_k,¹_k[ t6=0, t⁰6=0

(

x∈R^N |

fe(x+tv)−fe(x)

t −fe(x+t⁰v)−fe(x) t⁰

≤ 1 n

) ,

soit, en utilisant la continuit´e defe, R^N\Av = \

n>0

[

k>0

\

(t, t⁰)∈Q∩]−¹_k,¹_k[ t6=0, t⁰6=0

(

x∈R^N |

fe(x+tv)−fe(x)

t −fe(x+t⁰v)−fe(x) t⁰

≤ 1 n

) .

Commex→ ^f(x+tv)−e _t ^f(x)e etx→ ^{f(x+te 0}_t^v)−0 ^f(x)e sont Borel-mesurables et comme ces unions et intersections sont d´enombrables, on en d´eduit queA_v est un bor´elien deR^N.

Pourx∈R^N, on remarque que

g

R −→ R

s −→ fe(x+sv)

est lipschitzienne, donc d´erivableλ1-presque partout surR; pour toutx∈R^N, on a donc λ1

(

s∈R| lim

t→0

fe(x+sv+tv)−fe(x+sv)

t n’existe pas

)!

= 0. (1.1.2)

On compl`ete le vecteurv en une base (v₁, . . . , v_N−1, v) deR^N. Soit l’isomorphisme P

R^N −→ R^N

(t₁, . . . , t_N−1, s) −→ t₁v₁+· · ·+t_N−1v_N−1+sv.

On sait,P ´etant lin´eaire inversible, que, pour tout bor´elienAdeR^N,λN(A) =|det(P)|λN(P⁻¹(A)).

En particulier, grˆace au th´eor`eme de Fubini,

λN(Av) = |det(P)|λN(P⁻¹(Av))

= |det(P)|

Z

R^N−1

λ1 (P⁻¹(Av))_{(t1,...,tN−1)}

dt1. . . , dt_N−1, o`u

(P⁻¹(Av))_{(t1,...,tN−1)} = {s∈R|(t1, . . . , tN−1, s)∈P⁻¹(Av)}

= {s∈R|t₁v₁+· · ·+t_N−1v_N−1+sv∈A_v}.

Or, en posantx=t₁v₁+· · ·+t_N−1v_N−1,x+sv∈A_v si et seulement si

t→0lim

fe(x+sv+tv)−fe(x+sv) t

n’existe pas. On voit donc, grˆace `a (1.1.2), queλ₁ (P⁻¹(A_v))_{(t1,...,tN−1)}

= 0 pour tout (t₁, . . . , t_N−1)∈ R^N−1, ce qui nous donneλN(Av) = 0, c’est-`a-dire le r´esultat voulu.

Remarquons au passage le r´esultat suivant: pourv∈S(0,1) fix´e, la fonctionx∈R^N\Av→fe⁰(x;v)∈R est la limite simple de la suite de fonctions continues uniform´ement born´ees (n(f(·e +v/n)−f(·)))e _n≥1 (la borne uniforme vient du caract`ere lipschitzien de fe); comme A<sub>v</sub> est un bor´elien de R<sup>N</sup>, en posant fe<sup>0</sup>(·;v) ≡ 0 sur Av, la fonction fe<sup>0</sup>(·;v) : R<sup>N</sup> → R ainsi d´efinie est Borel-mesurable et appartient `a L^∞(R^N).

On voit aussi que, pourλN-presque toutx∈R^N (x6∈Ae₁∪ · · · ∪Ae_N),

∇fe(x) = (fe⁰(x;e1), . . . ,fe⁰(x;eN))^T

existe et quex∈R^N → ∇fe(x)∈R^N (d´efinieλ_N-presque partout) est dans (L^∞(R^N))^N.

♦ Etape 2: On fixe toujours v dans S(0,1) et on montre que, pour λN-presque tout x ∈ R^N, on a fe⁰(x;v) =∇fe(x)·v.

Pour cela, on prend ϕ∈ C_c^∞(R^N), et on calcule, grˆace au caract`ere lipschitzien de feet en utilisant le th´eor`eme de convergence domin´ee:

Z

R^N

fe⁰(x;v)ϕ(x)dx = lim

n→∞

Z

R^N

f(xe + (1/n)v)−fe(x) (1/n) ϕ(x)dx

= lim

n→∞

Z

R^N

fe(x)ϕ(x−(1/n)v)−ϕ(x) (1/n)

= −

Z

R^N

fe(x)∇ϕ(x)·v dx, (1.1.3)

la derni`ere ´egalit´e d´ecoulant des faits suivants: ϕ(·−v/n)−ϕ(·) 1/n

n→∞−→ −∇ϕ(·)·v uniform´ement surR, a son support inclus dans supp(ϕ) +B(0,1), etfe∈L¹(supp(ϕ) +B(0,1)). En appliquant ce r´esultat `a v=e_i (pouri= 1, . . . , N), on trouve

Z

R^N

fe⁰(x;e_i)ϕ(x)dx=− Z

R^N

fe(x)∂ϕ

∂x_i(x)dx,

ce qui, associ´e `a (1.1.3), donne Z

R^N

fe⁰(x;v)ϕ(x)dx =

N

X

i=1

v_i Z

R^N

fe(x)∂ϕ

∂x_i(x)dx

=

N

X

i=1

Z

R^N

fe⁰(x;ei)viϕ(x)dx

= Z

R^N

ϕ(x)∇fe(x)·v dx.

Puisque fe⁰(·;v) et ∇fe(·)·v sont dansL^∞(R^N)⊂ L¹_loc(R^N), cette ´egalit´e nous donne, grˆace au lemme fondamental des distributions,fe⁰(·;v) =∇fe(·)·v λ_N-presque partout surR^N. NotonsB_v=A_v∪A_e1· · ·∪

A_eN ∪ {x∈R^N |fe⁰(x;v)6=∇fe(x)·v}; on aλ_N(B_v) = 0.

♦Etape 3: On conclut.

Soit{vn, n≥1}un ensemble d´enombrable dense dansS(0,1). PosonsB =S

n≥1Bv_n; on aλN(B) = 0.

Nous allons montrer que, pour toutx6∈B,feest d´erivable en x, ce qui ach`evera la d´emonstration.

Soit x∈R^N\B et (hk)k≥1 une suite d’´el´ements deR^N\{0} tendant vers 0; prenons (hk_l)l≥1 une suite quelconque extraite de (h_k)_k≥1. Commeh_kl/|hkl|=w_l∈S(0,1), on peut extraire une suite (z_m)_m≥1= (w_lm)_m≥1qui converge vers z∈S(0,1). Notons finalementt_m=|hk_lm|; on a t_mz_m=h_klm.

On ´ecrit alors, pour tousn≥1 etm≥1,

|fe(x+t_mz_m)−fe(x)− ∇fe(x)·(t_mz_m)|

tm

≤ |fe(x+tmzm)−fe(x+tmvn)|

t_m +

fe(x+tmvn)−fe(x)

t_m − ∇fe(x)·vn

+|∇fe(x)·(vn−zm)|

≤

Lip(fe) +|∇fe(x)|

|vn−zm|+

fe(x+tmvn)−fe(x) tm

− ∇fe(x)·vn

.

Soitε >0. Choisissonsn≥1 tel que|vn−z| ≤ε; on a alors

|fe(x+tmzm)−fe(x)− ∇fe(x)·(tmzm)|

t_m

≤

Lip(fe) +|∇fe(x)|

(ε+|z−zm|) +

fe(x+t_mv_n)−fe(x) tm

− ∇fe(x)·vn

.

Maistm→0 lorsquem→ ∞, donc

fe(x+t_mv_n)−fe(x) tm

− ∇fe(x)·v_n

→0 lorsque m→ ∞

(carx6∈Bv_n, ce qui signifie que (fe(x+svn)−fe(x))/s^s→0−→fe⁰(x;vn) et quefe⁰(x;vn) =∇fe(x)·vn). Ainsi, puisquezm→z lorsquem→ ∞, il existe m0≥1 tel que, pour toutm≥m0,

|fe(x+tmzm)−fe(x)− ∇fe(x)·(tmzm)|

t_m ≤2(Lip(f) +e |∇fe(x)|)ε+ε.

On a donc montr´e que, de toute suite extraite de

|fe(x+h_k)−fe(x)− ∇f(x)e ·h_k|

|hk|

!

k≥1

, (1.1.4)

on pouvait re-extraire une suite qui converge vers 0. Cela implique que toute la suite (1.1.4) converge vers 0, et quefeest donc d´erivable enx, de d´eriv´eefe⁰(x)(h) =∇fe(x)·h.

Corollaire 1.1.1 Sif : Ω→Rest localement lipschitzienne alors les d´eriv´ees partielles classiques def sont dans L^∞_loc(Ω) et coincident avec ses d´eriv´ees au sens des distributions dans Ω.

Remarque 1.1.1 Nous verrons, dans la premi`ere ´etape de la d´emonstration, que, lorsque f est globale- ment lipschitzienne sur Ω, ses d´eriv´ees classiques sont dans L^∞(Ω) et sont essentiellement born´ees par Lip(f).

D´emonstration:

♦Etape 1: On montre que les d´eriv´ees partielles classiques def sont dansL^∞_loc(Ω).

Pour touti ∈[1, N], _∂x^∂f

i est d´efinie λN-presque partout sur Ω grˆace au th´eor`eme de Rademacher. On remarque que, en posantf ≡0 hors de Ω (ce qui d´efinit une fonction Borel-mesurable surR^N), la fonction

∂f

∂xi

(·) = lim

n→∞

f(·+ei/n)−f(·)

1/n (λN-presque partout sur Ω)

est Lebesgue-mesurable, en tant que limite simpleλ_N-presque partout de fonctions mesurables.

SoitK un compact de Ω etδ= dist(K,R^N\Ω); commeKe =K+B(0, δ/2) est un compact de Ω, f est lipschitzienne surK. Notonse Cune constante de lipschitz pour f surK. Lorsquee |t| ≤δ/2 etx∈K, on a (x, x+tei)∈K, donce

f(x+tei)−f(x) t

≤C. (1.1.5)

En passant `a la limite lorsquet→0, on trouve donc, pourλN-presque toutx∈K,

∂f

∂xi

(x)

≤C. (1.1.6)

∂f

∂x_i est donc essentiellement born´ee surK et les d´eriv´ees partielles def sont bien dansL^∞_loc(Ω).

Lorsque f est globalement lipschitzienne sur Ω, (1.1.5) est vraie, avec C = Lip(f), pour tout x ∈ Ω et tout|t| <dist(x,R^N\Ω). Passer `a la limitet → 0 nous permet de voir que (1.1.6) reste vraie, avec C = Lip(f), pour λN-presque tout x∈ Ω et que _∂x^∂f

i est donc dans L^∞(Ω), avec une norme dans cet espace major´ee par Lip(f).

♦ Etape 2: Montrons maintenant que ces d´eriv´ees classiques coincident avec les d´eriv´ees au sens des distributions def dans Ω.

Soit ϕ ∈ C_c^∞(Ω) et δ = dist(supp(ϕ);R^N\Ω)> 0. Comme ^ϕ(·+se_s^i)−ϕ(·) −→^s→0 ∂iϕ uniform´ement sur Ω en ayant (pour|s| ≤δ/2) son support inclus dans K= supp(ϕ) +B(0, δ/2) (compact de Ω) et comme f ∈L¹(K) (f est localement lipschitzienne sur Ω, donc localement born´ee sur Ω), on a

hDif, ϕi_D⁰_(Ω),D(Ω)=− Z

Ω

f(x)∂iϕ(x)dx=−lim

s→0

Z

Ω

f(x)ϕ(x+sei)−ϕ(x)

s dx.

De plus, Z

Ω

f(x)ϕ(x+sei)−ϕ(x)

s dx= 1

s Z

Ω+sei

f(x−sei)ϕ(x)dx− Z

Ω

f(x)ϕ(x)dx

.

Comme, pour|s| ≤δ/2, Ω +se_i⊃supp(ϕ), les int´egrales de cette derni`ere expression ne portent (lorsque

|s| ≤δ/2) que sur supp(ϕ); cela nous permet de voir que hDif, ϕi_D⁰_(Ω),D(Ω)=−lim

s→0

Z supp(ϕ)

f(x−sei)−f(x)

s ϕ(x)dx.

En notant C une constante de lipschitz de f sur K, (1.1.5) nous donne, pour tout |s| ≤ δ/2 et tout x∈ supp(ϕ), |^f(x−se_s^i)−f(x)| ≤C. Ainsi, par le th´eor`eme de Rademacher, ^f(·−se_s^i)−f(·) −→ −^s→0 _∂x^∂f

i λ_N- presque partout sur Ω, donc sur supp(ϕ), tout en restant major´ee (sur supp(ϕ)) parC. On obtient alors, par convergence domin´ee,

hDif, ϕi_D⁰_(Ω),D(Ω)= Z

supp(ϕ)

∂f

∂x_i(x)ϕ(x)dx= Z

Ω

∂f

∂x_i(x)ϕ(x)dx.

Ceci ´etant v´erif´e pour toutϕ∈ C_c^∞(Ω), on a bienD_if = _∂x^∂f

i dansD⁰(Ω).