C.2.1 Pr´ eliminaires
Nous ´etablissons tout d’abord quelques lemmes qui nous aideront `a prouver les r´esultats principaux de cette annexe.
Lemme C.2.1 Soit p ∈]1,∞[, Ω et Ω0 deux ouverts faiblement lipschitziens de RN. On se donne ϕ : U ∩∂Ω0 → V ∩∂Ω un hom´eomorphisme bilipschitzien entre deux ouverts de leur bords. Alors l’applicationf ∈ W1−1/p,p(V ∩∂Ω)→f◦ϕ∈ W1−1/p,p(U∩∂Ω0)est bien d´efinie et c’est un isomorphis-me.
D´emonstration:
On sait d´ej`a que cette application est un isomorphisme Lp(V ∩∂Ω)→Lp(U∩∂Ω0) (proposition 2.2.2).
NotonsC la norme de cette application.
Prenonsf ∈ W1−1/p,p(V ∩∂Ω), on d´efinitF :V ∩∂Ω×V ∩∂Ω→Rσ-presque partout par F(x, y) = |f(x)−f(y)|
|x−y|(N−1)/p+(1−1/p).
Par hypoth`ese,F ∈Lp(V∩∂Ω×V∩∂Ω) donc, par le th´eor`eme de Fubini, pourσ-presque toutx∈V∩∂Ω, F(x,·)∈Lp(V ∩∂Ω); on sait alors que
||F(x, ϕ(·))||pLp(U∩∂Ω0)= Z
U∩∂Ω0
|f(x)−f◦ϕ(y)|p
|x−ϕ(y)|N−1+(1−1/p)pdσ(y)≤Cp||F(x,·)||pLp(V∩∂Ω).
Toujours par le th´eor`eme de Fubini, la fonctionG(x) =||F(x, ϕ(·))||Lp(U∩∂Ω0)est dans Lp(V ∩∂Ω) (car F(·, ϕ(·))∈Lp(V ∩∂Ω×U∩∂Ω0) par l’in´egalit´e pr´ec´edente) et on a
Z
U∩∂Ω0
Z
U∩∂Ω0
|f◦ϕ(x)−f ◦ϕ(y)|p
|ϕ(x)−ϕ(y)|N−1+(1−1/p)pdσ(y)dσ(x)
= ||G◦ϕ||pLp(U∩∂Ω0)
≤ Cp||G||pLp(V∩∂Ω)
≤ (Cp)2||F||pLp(V∩∂Ω×V∩Ω)
≤ C2p Z
V∩∂Ω
Z
V∩∂Ω
|f(x)−f(y)|p
|x−y|N−1+(1−1/p)pdσ(y)dσ(x).
Orϕ´etant lipschitzienne, il existeD >0 tel que|ϕ(x)−ϕ(y)| ≤D|x−y|pour tous (x, y)∈(U∩∂Ω0)2, donc
Z
U∩∂Ω0
Z
U∩∂Ω0
|f◦ϕ(x)−f◦ϕ(y)|p
|x−y|N−1+(1−1/p)p dσ(y)dσ(x)
≤ DN−1+(1−1/p)pZ
U∩∂Ω0
Z
U∩∂Ω0
|f ◦ϕ(x)−f◦ϕ(y)|p
|ϕ(x)−ϕ(y)|N−1+(1−1/p)pdσ(y)dσ(x)
≤ DN−1+(1−1/p)pC2p||f||pW1−1/p,p(V∩∂Ω).
Cela prouve que l’application de transport parϕest lin´eaire continue W1−1/p,p(V ∩∂Ω)→ W1−1/p,p(U∩∂Ω0).
Son inverse ´evident ´etant l’application de transport parϕ−1 qui est lin´eaire continue W1−1/p,p(U∩∂Ω0)→ W1−1/p,p(V ∩∂Ω)
(ϕ−1 v´erifie les mˆemes propri´et´es queϕen intervertissant le role de V ∩∂Ω et U∩∂Ω0), cela conclut le lemme.
De mani`ere g´en´erale, lorsqueE est un espace de fonctions et K est un compact, EK d´esigne l’ensemble des fonctions deE qui sont nulles hors deK; cet espace est muni de la mˆeme norme queE.
Lemme C.2.2 Soit E = RN−1 ou E = ∂Ω (avec Ω ouvert faiblement lipschitzien de RN); on munit E de sa mesure m naturelle (la mesure de Lebesgue surRN−1 dans le premier cas, la mesure σdans le second cas). SoitO un ouvert deRN. SiK est un compact de O, alors l’extension sur E par 0 hors de E∩O est lin´eaire continueW1−1/p,p(E∩O)K → W1−1/p,p(E).
D´emonstration:
Cette extension est clairement lin´eaire continueW1−1/p,p(E∩O)K→Lp(E).
Soit maintenantf ∈ W1−1/p,p(E∩O)K et notonsg son extension surE par 0 hors deE∩O. On a
Supposons maintenant queE =∂Ω pour Ω ouvert faiblement lipschitzien deRN; alors, pour toutx∈K, Z
En injectant ceci dans (C.2.1), on aCind´ependant def tel que Z multiplication parθ est lin´eaire continue W1−1/p,p(∂Ω)→ W1−1/p,p(∂Ω).
D´emonstration:
Soitf ∈ W1−1/p,p(∂Ω). On aθf ∈Lp(∂Ω) avec ||θf||Lp(∂Ω)≤ ||θ||L∞(RN)||f||Lp(∂Ω). On a de plus, par le caract`ere lipschitzien deθ,
Z donc, par le caract`ere lipschitzien deτi, il existe Ci tel que
Z avecD ne d´ependant pas dex. En injectant ceci dans (C.2.2), on en d´eduit
Z ce qui implique le r´esultat du lemme.
C.2.2 R´ esultats Principaux
Proposition C.2.1 Si Ω est un ouvert faiblement lipschitzien de RN et p ∈]1,∞[, alors la trace γ : W1,p(Ω)→Lp(Ω) est en fait lin´eaire continueW1,p(Ω)→ W1−1/p,p(∂Ω).
D´emonstration:
On revient `a la d´efinition de la trace. Rappelons que la trace d’une fonction u∈W1,p(Ω) est d´efinie, en prenant (Oi, ϕi)i∈[1,k] un syst`eme de cartes de∂Ω et (θi)i∈[1,k] une partition de l’unit´e sur∂Ω associ´ee,
o`uγ0est la trace dansW1,p(RN+),Eest l’extension `aRN+ par 0 hors deBN+ d’une fonction deW1,p(B+N) `a support compact dansBN etPiest l’extension `a∂Ω par 0 hors deOi∩Ω d’une fonction deLp(Oi∩∂Ω).
On voit que
• La multiplication par θi est lin´eaire continue
W1,p(Ω)→W1,p(Ω)supp(θi),
• La restriction est lin´eaire continue
W1,p(Ω)supp(θi)→W1,p(Oi∩Ω)supp(θi),
• Le transport parϕ−1i est lin´eaire continu (th´eor`eme 1.4.1)
W1,p(Oi∩Ω)supp(θi)→W1,p(B+N)ϕi(supp(θi)),
• L’extensionE est lin´eaire continue (lemme 1.4.2)
W1,p(BN+)ϕi(supp(θi)) →W1,p(RN+)ϕi(supp(θi)),
• La trace γ0 est lin´eaire continue (proposition C.1.1),
W1,p(RN+)ϕi(supp(θi))→ W1−1/p,p(RN−1)ϕi(supp(θi)),
• La restriction `aBN−1 est lin´eaire continue
W1−1/p,p(RN−1)ϕi(supp(θi)) → W1−1/p,p(BN−1)ϕi(supp(θi)),
• Le transport parϕi est lin´eaire continu (lemme C.2.1)
W1−1/p,p(BN−1)ϕi(supp(θi))→ W1−1/p,p(Oi∩∂Ω)supp(θi),
• Le prolongement Pi est lin´eaire continu (lemme C.2.2)
W1−1/p,p(Oi∩∂Ω)supp(θi)→ W1−1/p,p(∂Ω).
Ainsi, la trace est effectivement lin´eaire continueW1,p(Ω)→ W1−1/p,p(∂Ω).
Proposition C.2.2 SoitΩun ouvert faiblement lipschitzien deRN etp∈]1,∞[. Il existe un rel`evement de la traceγ:W1,p(Ω)→ W1−1/p,p(∂Ω), c’est `a dire une application lin´eaire continue
R:W1−1/p,p(∂Ω)→W1,p(Ω) telle que, pour toutf ∈ W1−1/p,p(∂Ω),γ(Rf) =f.
D´emonstration:
Soit (Oi, ϕi)i∈[1,k] un syst`eme de cartes de∂Ω et (θi)i∈[1,k] une partitionCc∞de l’unit´e associ´ee.
On prend Θ∈ Cc∞(BN) qui vaut 1 au voisinage de∪ki=1ϕi(supp(θi)) (pour touti∈[1, k], comme supp(θi) est un compact deOi,ϕi(supp(θi)) est un compact de BN).
Grˆace aux r´esultats pr´ec´edents, on constate que, pour touti∈[1, k],
• La multiplication par θi est lin´eaire continue (lemme C.2.3)
W1−1/p,p(∂Ω)→ W1−1/p,p(∂Ω)supp(θi),
• La restriction `aOi∩∂Ω est lin´eaire continue
W1−1/p,p(∂Ω)supp(θi)→ W1−1/p,p(Oi∩∂Ω)supp(θi),
• Le transport parϕ−1i est lin´eaire continu (lemme C.2.1)
W1−1/p,p(Oi∩∂Ω)supp(θi)→ W1−1/p,p(BN−1)ϕi(supp(θi)),
• L’extensionP `aRN−1par 0 hors deBN−1 est lin´eaire continue (lemme C.2.2) W1−1/p,p(BN−1)ϕi(supp(θi))→ W1−1/p,p(RN−1),
• Il existe un rel`evementR0 lin´eaire continu (th´eor`eme C.1.1) W1−1/p,p(RN−1)→W1,p(RN+),
• La multiplication par Θ est lin´eaire continue
W1,p(RN+)→W1,p(RN+)supp(Θ),
• La restriction `aBN+ est lin´eaire continue
W1,p(RN+)supp(Θ)→W1,p(B+N)supp(Θ),
• Le transport parϕi est lin´eaire continu (th´eor`eme 1.4.1) W1,p(B+N)supp(Θ)→W1,p(Oi∩Ω)ϕ−1
i (supp(Θ))
• L’extensionEi`a Ω par 0 hors deOi∩Ω est lin´eaire continue (lemme 1.4.2,ϕ−1i (supp(Θ)) ´etant un compact deOi)
W1,p(Oi∩Ω)ϕ−1
i (supp(Θ))→W1,p(Ω).
Ainsi, lorsquef ∈ W1−1/p,p(∂Ω), Rf =
k
X
i=1
Ei((ΘR0(P((θif)|Oi∩∂Ω◦ϕ−1i )))|BN + ◦ϕi)
d´efinit une application lin´eaire continueW1−1/p,p(∂Ω)→W1,p(Ω). Il reste `a voir qu’il s’agit bien d’un rel`evement de la trace.
Avant de faire cela, ´etablissons un petit r´esultat annexe: pour tout i ∈ [1, k], si v ∈ W1,p(B+N) est `a support compact dansBN, alors
γ(Ei(v◦ϕi)) = 0 hors deOi et γ(Ei(v◦ϕi)) = (γ0(Ev))|BN−1◦ϕi|Oi∩∂ΩsurOi∩∂Ω (C.2.3) (o`u E est l’application de prolongement `a RN+ par 0 hors deB+N d’une fonction de W1,p(B+N) `a support compact dansBN).
Pour voir cela, on approchevpar une suite de (vn)n≥1∈ C∞(B+N) `a supports dans un compact fix´e deBN (ce qui est possible: il suffit de convolerEv∈W1,p(RN+) par des noyaux r´egularisants d´ecentr´es surRN−) et on constate, grˆace aux propri´et´es de continuit´e deEiet du transport parϕi, queEi(vn◦ϕi)→Ei(v◦ϕi) dansW1,p(Ω), donc queγ(Ei(vn◦ϕi))→γ(Ei(v◦ϕi)) dansLp(∂Ω). OrEi(vn◦ϕi) ´etant aussi continue sur Ω (carvn est continue `a support compact dansBN et ϕi:Oi→BN est un hom´eomorphisme, donc vn◦ϕi est continue `a support compact dansOi: son extension `aRN par 0 hors deOiest donc continue), on aγ(Ei(vn◦ϕi)) = (Ei(vn◦ϕi))|∂Ω; ceci permet d´ej`a de voir queγ(Ei(vn◦ϕi)) = 0 hors de Oi (car Ei est l’extension par 0 hors de Oi) donc, en passant `a la limite, que γ(Ei(v◦ϕi)) = 0 hors de Oi. Sur Oi∩∂Ω, on aγ(Ei(vn◦ϕi)) = (vn◦ϕi)|Oi∩∂Ω = (vn)|BN−1◦ϕi|Oi∩∂Ω =γ0(Evn)|BN−1 ◦ϕi|Oi∩∂Ω
(vn ´etant continue `a support compact dansBN, on aγ0(Evn)|BN−1 = (vn)|BN−1); or, par les propri´et´es de continuit´e de γ0 et E, γ0(Evn)→γ0(Ev) dansLp(RN−1) donc γ0(Evn)|BN−1 →γ0(Ev)|BN−1 dans Lp(BN−1) etϕi|O
i∩∂Ω´etant un hom´eomorphisme bilipschitzien entreOi∩∂Ω etBN−1, on en d´eduit que γ0(Evn)|BN−1◦ϕi|O
i∩∂Ω→γ0(Ev)|BN−1◦ϕi|O
i∩∂Ω dansLp(Oi∩∂Ω). Cela donne donc bien le r´esultat (C.2.3).
Soitf ∈ W1−1/p,p(∂Ω) eti∈[1, k]. En appliquant (C.2.3) `a v= (ΘR0(P((θif)|Oi∩∂Ω◦ϕ−1i )))|BN +, on a, hors deOi,
γ(Ei((ΘR0(P((θif)|Oi∩∂Ω◦ϕ−1i )))|BN
+ ◦ϕi)) = 0 et, puisqueEv= ΘR0(P((θif)|Oi∩∂Ω◦ϕ−1i )) (car supp(Θ)⊂BN), surOi∩∂Ω,
γ(Ei((ΘR0(P((θif)|Oi∩∂Ω◦ϕ−1i )))|BN
+ ◦ϕi)) = (γ0(ΘR0(P((θif)|Oi∩∂Ω◦ϕ−1i ))))|BN−1◦ϕi|O
i∩∂Ω. Mais, Θ ´etant r´eguli`ere, par la proposition 4.1.3 et la d´efinition deR0,
γ0(ΘR0(P((θif)|Oi∩∂Ω◦ϕ−1i ))) = Θ|RN−1γ0(R0(P((θif)|Oi∩∂Ω◦ϕ−1i )))
= Θ|RN−1P((θif)|Oi∩∂Ω◦ϕ−1i ), donc par d´efinition deP,
(γ0(ΘR0(P((θif)|Oi∩∂Ω◦ϕ−1i ))))|BN−1 = Θ|BN−1(θif)|Oi∩∂Ω◦ϕ−1i |BN−1
et on a donc, surOi∩∂Ω,
γ(Ei((ΘR0(P((θif)|Oi∩Ω◦ϕ−1i )))|BN
+ ◦ϕi)) = Θ|BN−1◦ϕi|Oi∩∂Ωθif.
Comme Θ = 1 au voisinage deϕi(supp(θi)), on en d´eduit que, sur Oi∩∂Ω, γ(Ei((ΘR0(P((θif)|Oi∩∂Ω◦ϕ−1i )))|BN
+ ◦ϕi)) =θif.
Commeθif = 0 sur∂Ω hors deOi, cette ´egalit´e est en fait v´erifi´ee partout sur∂Ω (i.e. dansLp(∂Ω)).
Par lin´earit´e de la trace et d´efinition de Rf, on trouve finalement, puisque (θi)i∈[1,k] est une paritition de l’unit´e sur∂Ω,
γ(Rf) =
k
X
i=1
θif =
k
X
i=1
θi
! f =f, ce qui conclut cette preuve.
Th´eor`eme C.2.1 Soit Ω un ouvert faiblement lipschitzien de RN et p ∈]1,∞[. Alg´ebriquement et topologiquement, on a W1−1/p,p(∂Ω) =W1−1/p,p(∂Ω).
D´emonstration:
L’injection continue de W1−1/p,p(∂Ω) dans W1−1/p,p(∂Ω) se d´eduit de la proposition C.2.1. En effet, si f ∈ W1−1/p,p(∂Ω) alors, en prenant u ∈ W1,p(Ω) dont la trace sur ∂Ω est f, on a f = γ(u) ∈ W1−1/p,p(∂Ω) et, en notant C la norme de la trace W1,p(Ω) → W1−1/p,p(∂Ω), ||f||W1−1/p,p(∂Ω) ≤ C||u||W1,p(Ω); cette in´egalit´e ´etant vraie pour tout u ∈ W1,p(Ω) ayant pour trace f, on obtient, par d´efinition de la norme sur W1−1/p,p(∂Ω),||f||W1−1/p,p(∂Ω)≤C||f||W1−1/p,p(∂Ω).
L’injection continue deW1−1/p,p(∂Ω) dansW1−1/p,p(∂Ω) se d´eduit de la proposition C.2.2. En effet, si f ∈ W1−1/p,p(∂Ω), en notantR:W1−1/p,p(∂Ω)→W1,p(Ω) un rel`evement de la trace, on af =γ(Rf)∈ W1−1/p,p(∂Ω) et, par d´efinition de la norme surW1−1/p,p(∂Ω),
||f||W1−1/p,p(∂Ω)≤ ||Rf||W1,p(Ω)≤ ||R||L(W1−1/p,p(∂Ω),W1,p(Ω))||f||W1−1/p,p(∂Ω), ce qui conclut cette preuve.