Cas de l’Espace Entier

ap=q= 2 etr= 1, on trouveDi(uv) =Diu v+u Div dansD⁰(B).

♦Etape 2: conclusion.

La formule pour Di(uv) montre queuv∈W^1,r(Ω) et que l’application (3.1.1) est donc bien d´efinie; elle est trivialement bilin´eaire et, pour montrer sa continuit´e, il suffit donc de montrer qu’il existeC tel que, pour tout (u, v)∈W^1,p(Ω)×W^1,q(Ω), on a||uv||W^1,r(Ω)≤C||u||W^1,p(Ω)||v||W^1,q(Ω). Or, par la formule d´ej`a ´etablie, on a

||uv||_W1,r(Ω) = ||uv||_Lr(Ω)+

N

X

i=1

||D_iu v+u D_iv||_Lr(Ω)

≤ ||u||L^p(Ω)||v||L^q(Ω)+

N

X

i=1

||Diu||L^p(Ω)||v||L^q(Ω)+||u||L^p(Ω)||Div||L^q(Ω)

≤ (1 + 2N)||u||_W1,p(Ω)||v||_W1,q(Ω), ce qui conclut la d´emonstration.

3.2 Injections de Sobolev

3.2.1 Cas de l’Espace Entier

Premi`ere Injection: p < N

Lemme 3.2.1 Siu∈ C¹_c(R^N), alors la fonction

v







R^N−1 −→ R x⁰ −→

Z

R

|u(x⁰, xN)|dxN

est dansW^1,1(R^N−1)et on a

∇x⁰v(x⁰) = Z

R

sgn(u(x⁰, xN))∇x⁰u(x⁰, xN)dxN.

D´emonstration:

v est continue `a support compact dansR^N−1(le support dev est contenu dans la projection du support de usur le premier facteur de R^N =R^N−1×R). Pour prouver que v ∈W^1,1(R^N−1), il suffit donc de montrer la formule pour∇x⁰v (car cette formule d´efinit une fonction deL¹(R^N−1)).

La projection de supp(u) sur le deuxi`eme facteur deR^N =R^N−1×R´etant compacte, on peut prendre γ ∈ C_c^∞(R) qui vaut 1 sur cette projection; on remarque que v(x⁰) = R

Rγ(x_N)|u(x⁰, x_N)|dx_N. Pour

calculer la d´eriv´ee dev au sens des distributions dans la directioni∈[1, N−1], prenonsϕ∈ D(R^N−1) et ´ecrivons, grˆace au th´eor`eme de Fubini et en notantψ(x⁰, xN) =γ(xN)ϕ(x⁰),

Z

R^N−1

v(x⁰)∂iϕ(x⁰)dx⁰ = Z

R^N

|u(x⁰, xN)|∂iψ(x⁰, xN)dx⁰dxN

= −

Z

R^N

sgn(u(x⁰, xN))Diu(x⁰, xN)γ(xN)ϕ(x⁰)dx⁰dxN

= Z

R^N−1

Z

R

γ(xN)sgn(u(x⁰, xN))Diu(x⁰, xN)dxN

ϕ(x⁰)dx⁰ (on a utilis´e le lemme de Stampacchia pour voir que Di(|u|) = sgn(u)DiudansD⁰(R^N)).

On en d´eduit que Div=

Z

R

γ(xN)sgn(u(·, xN))Diu(·, xN)dxN = Z

R

sgn(u(·, xN))Diu(·, xN)dxN dansD⁰(R^N−1) (car supp(Diu)⊂supp(u) doncγest aussi ´egal `a 1 sur la projection de supp(Diu) sur le deuxi`eme facteur deR^N =R^N−1×R), c’est-`a-dire ce que l’on voulait.

Th´eor`eme 3.2.1 Si p ∈ [1, N[ et p^∗ = N p/(N −p) alors W^1,p(R^N) s’injecte continuement dans L^p∗(R^N). Plus pr´ecis´ement: pour toutu∈W^1,p(R^N), on a

||u||_Lp∗(R^N)≤ (N−1)p

N−p || |∇u| ||_Lp(R^N).

D´emonstration:

♦Etape 1: R´eduction au cas r´egulier.

Supposons le r´esultat prouv´e pour les fonctions deC¹_c(R^N) et prenonsu∈W^1,p(R^N). Il existe (u_n)_n≥1∈ C_c^∞(R^N) qui converge dansW^1,p(R^N) etλ_N-presque partout versu; on trouve donc, grˆace au lemme de Fatou,

Z

R^N

|u(x)|^p∗dx ≤ lim inf

n→∞

Z

R^N

|un(x)|^p∗dx

≤ lim inf

n→∞

(N−1)p N−p

^p∗Z

R^N

|∇un(x)|^pdx

≤

(N−1)p N−p

^p∗Z

R^N

|∇u(x)|^pdx.

Le r´esultat g´en´eral se d´eduit donc du r´esultat pour les fonctions deC_c¹(R^N); nous supposons, `a partir de maintenant,u∈ C_c¹(R^N).

♦Etape 2: Pourp= 1.

La d´emonstration se fait par r´ecurrence surN.

♦♦N = 1 : C’est un cas un peu particulier (puisqu’alorsN=p). On ´ecrit simplement u(x) =

Z x

−∞

u⁰(s)ds, pour constater que||u||L^∞(R)≤ ||u⁰||L¹(R).

♦♦N = 2 : On a, pour tout (x₁, x₂)∈R², u(x₁, x₂) =

Z x1

−∞

∂₁u(t, x₂)dt et u(x₁, x₂) = Z x2

−∞

∂₂u(x₁, t)dt.

On en d´eduit

|u(x1, x2)|²≤ Z

R

|∂1u(t, x2)|dt

× Z

R

|∂2u(x1, t)|dt

et, apr`es int´egration surR², En injectant ceci dans (3.2.1), on trouve donc

Z cette fonction|u|^s−1upour obtenir

||u||^s_LsN/(N−1)(R^N)=|| |u|^s−1u||_LN/(N−1)(R^N)≤s|| |u|^s−1sgn(u)|∇u| ||_L1(R^N).

Deuxi`eme Injection: p=N

Lemme 3.2.2 Si(a_n)_n≥1 est une suite de r´eel positifs etα≥1, alors P

n≥1a^α_n≤ P

n≥1a_n^α . D´emonstration:

Si P

n≥1an = 0, alors chaque an est nul et le r´esultat est trivial. Sinon, on pose bn=an/(P

i≥1ai), et l’on note quebn ∈[0,1]. Commeα≥1,b^α_n ≤bn et, en sommant,

X

n≥1



 a^α_n P

i≥1ai

α



 = X

n≥1

b^α_n

≤ X

n≥1

bn

≤ P

n≥1an

P

i≥1ai

= 1, c’est-`a-dire l’in´egalit´e souhait´ee.

Th´eor`eme 3.2.2 Si p = N, alors pour tout q ∈ [N,+∞[, W^1,p(R^N) s’injecte continuement dans L^q(R^N).

Remarque 3.2.1

1) Nous verrons que, dans le cas N = 1,W^1,1(R)s’injecte aussi continuement dansL^∞(R).

2) La preuve montre que la constante d’injection deW^1,N(R^N)dansL^q(R^N)est unO(q).

D´emonstration:

On suppose, pour commencer, que N ≥ 2. On remarque que l’on peut partitionner R^N en pav´es Cn

translat´es de [0,1[^N: R^N =`

α∈Z^N(QN

i=1[αi, αi+ 1[) =`

n∈NCn(puisqueZ^N est d´enombrable); on note Dn l’int´erieur deCn. Prenonsu∈W^1,p(R^N).

♦Etape 1: traitement du pav´e de r´ef´erence.

Soit r ∈ [1, N[ et f ∈ W^1,p(]0,1[^N) ,→ W^1,r(]0,1[^N). Comme ]0,1[^N est convexe, il est fortement (donc faiblement) lipschitzien; soitP :W^1,r(]0,1[^N)→W^1,r(R^N) un op´erateur de prolongement. Par la premi`ere injection de Sobolev,P f ∈L^r∗(R^N) et

||f||_Lr∗

(]0,1[^N) ≤ ||P f||_Lr∗

(R^N)

≤ (N−1)r

N−r ||P f||_W1,r(R^N)

≤ N−1

N r^∗||P||_L(W1,r(]0,1[^N),W^1,r(R^N))||f||_W1,r(]0,1[^N)

≤ Cr^∗||f||_W1,r(]0,1[^N),

o`uC ne d´epend que deN (par la remarque 3.1.2,||P||_L(W1,r(]0,1[^N),W^1,r(R^N)) peut ˆetre major´ee ind´ epen-damment der). Mais, puisque la mesure de ]0,1[^N est 1,||f||_W1,r(]0,1[^N)≤ ||f||_W1,p(]0,1[^N), et on obtient donc||f||_Lr∗(]0,1[^N)≤Cr^∗||f||W^1,p(]0,1[^N).

Or, lorsquerd´ecrit [1, N[,r^∗d´ecrit [N/(N−1),+∞[⊃[N,+∞[ (carN ≥2); ainsi, pour toutq∈[N,+∞[

et toutf ∈W^1,p(]0,1[^N), on a

||f||_Lq([0,1[^N)≤Cq||f||_W1,p(]0,1[^N) (3.2.2) (la mesure de [0,1[^N\]0,1[^N est nulle).

♦Etape 2: on recolle.

Pour toutn∈N, il existe zn ∈Z^N tel queCn−zn = [0,1[^N. Commeu∈W^1,p(Dn), le th´eor`eme 1.4.1 nous permet de voir queun =u(·+zn)∈W^1,p(]0,1[^N) et que∇un=∇u(·+zn).

Soit q ≥ p = N. (3.2.2) appliqu´ee `a un donne ||un||_Lq([0,1[^N) ≤ Cq||un||_W1,p(]0,1[^N), soit ||u||_Lq(Cn) ≤

Troisi`eme Injection: p > N

Th´eor`eme 3.2.3 Sip∈]N,+∞[ alorsW^1,p(R^N)s’injecte continuement dans C^0,1−Np(R^N).

Remarque 3.2.1 Pour α∈]0,1] et A partie de R^N, C^0,α(A) est l’espace des fonctions α-h¨old´eriennes born´ees surA, muni de la norme

||u||_C0,α(A)= sup

On ´ecrit, pour touta∈Br et toutz∈Br, u(z)−u(a) =

Z 1 0

d

dt(u(z+t(a−z))dt= (a−z)· Z 1

0

∇u(z+t(a−z))dt.

Or |a−z| ≤ 2r et on obtient donc, apr`es int´egration sur z ∈ Br et division par la mesure de Br, en notantu^Br = (V r^N)⁻¹R

B_ru(z)dz,

|u^Br−u(a)| ≤2r(V r^N)⁻¹ Z 1

0

Z

B_r

|∇u(z+t(a−z))|dz dt. (3.2.3) Par le changement de variableξ=z+t(a−z) =ta+ (1−t)z (pourt∈[0,1[) et l’in´egalit´e de H¨older,

Z

Br

|∇u(z+t(a−z))|dz = Z

ta+(1−t)Br

(1−t)^−N|∇u(ξ)|dξ

≤ (1−t)^−N Z

ta+(1−t)Br

|∇u(ξ)|^p

!^1/p

λ_N(ta+ (1−t)B_r)^1/p0

≤ (1−t)^−N (1−t)^NV r^N1/p0

|| |∇u| ||L^p(R^N). Utilis´e dans (3.2.3), cela donne

|u^Br−u(a)| ≤ 2V^−1+1/p0r^1−N+N/p0|| |∇u| ||_Lp(R^N)

Z 1 0

(1−t)^N/p0−Ndt

≤ 2V^−1/p

1−N/p|| |∇u| ||_Lp(R^N)r^1−N/p. (3.2.4) Soit maintenant (x, y)∈R^N ×R^N; notonsBrla boule de rayon r=|x−y|/2 dont l’adh´erence contient xety. Grˆace `a (3.2.4) appliqu´e `aa=xet `a a=y, on obtient

|u(x)−u(y)| ≤ |u(x)−u^Br|+|u(y)−u^Br|

≤ 4V^−1/p

1−N/p|| |∇u| ||_Lp(R^N)

|x−y|

2

1−N/p

. (3.2.5)

♦Etape 2: Toujours pouru∈ C_c¹(R^N), on majore||u||_L∞(R^N).

Pour cela, on prendx0∈R^N tel que|u(x0)|=||u||_L∞(R^N); par (3.2.5), on voit que, lorsquey∈B(x0,1),

|u(y)| ≥ |u(x0)| − 4V^−1/p

2^1−N/p(1−N/p)|| |∇u| ||_Lp(R^N)=||u||_L∞(R^N)− 4V^−1/p

2^1−N/p(1−N/p)|| |∇u| ||_Lp(R^N), soit, en int´egrant surB(x₀,1) (rappelons queV est la mesure deB(0,1), donc aussi celle deB(x₀,1)),

Z

B(x₀,1)

|u(y)|dy≥V||u||_L^∞_(RN)−V × 4V^−1/p

2^1−N/p(1−N/p)|| |∇u| ||_Lp(R^N), d’o`u

||u||_Lp(R^N) ≥ ||u||_Lp(B(x0,1))

≥ 1

V^1/p0||u||_L1(B(x₀,1))

≥ V^1−1/p0||u||_L^∞_(RN)− 4

2^1−N/p(1−N/p)|| |∇u| ||_Lp(R^N). Finalement, on a donc

||u||_L^∞_(RN)≤V^−1/p||u||_Lp(R^N)+ 4V^−1/p

2^1−N/p(1−N/p)|| |∇u| ||_Lp(R^N). (3.2.6)

(3.2.5) et (3.2.6) nous donnent alors, pour toutu∈ C_c¹(R^N),

||u||_C0,1−N/p(R^N)≤V^−1/p||u||_Lp(R^N)+ 8V^−1/p

2^1−N/p(1−N/p)|| |∇u| ||_Lp(R^N)≤K||u||_W1,p(R^N), (3.2.7) o`u Kne d´epend que deN etp.

♦Etape 3: On conclut.

Prenonsu∈W^1,p(R^N) et (un)_n≥1∈ C^∞_c (R^N) qui converge versudansW^1,p(R^N) etλN-presque partout.

Comme, pour tous (n, m)∈N^∗,un−um∈ C_c¹(R^N), on a, par (3.2.7),

||un−um||_C0,1−N/p(R^N)≤K||un−um||_W1,p(R^N).

(un)_n≥1 ´etant de Cauchy dans W^1,p(R^N), elle est donc aussi de Cauchy dans le BanachC^0,1−N/p(R^N), et converge dans ce dernier espace vers une fonction v; la convergence dans cet espace impliquant la converge simple et (un)_n≥1 convergeantλN-presque partout versu, on en d´eduit que u=v λN-presque partout, i.e. queu∈ C^0,1−N/p(R^N) et queun →udansC^0,1−N/p(R^N).

On peut ensuite passer `a la limiten→ ∞dans l’estimation (3.2.7) valable pour chaqueun pour voir que uv´erifie aussi cette estimation, ce qui nous donne l’injection voulue (en fait, on constate aussi, en passant

`

a la limite dans (3.2.5) et (3.2.6) appliqu´es `a chaqueun, queuv´erifie aussi ces deux estimations).

Th´eor`eme 3.2.4 W^1,∞(R^N) =C^0,1(R^N)et les normes|| · ||_W1,∞(R^N)et|| · ||_C0,1(R^N)sont ´equivalentes.

D´emonstration:

♦Etape 1: C^0,1(R^N)⊂W^1,∞(R^N) et|| · ||_W1,∞(R^N)≤C|| · ||_C0,1(R^N).

Soit u∈ C^0,1(R^N); par le corollaire 1.1.1 et la remarque 1.1.1, les d´eriv´ees de u sont dansL^∞(R^N) et born´ees par Lip(u).

Ainsi,u´etant born´ee sur R^N, elle est dansW^1,∞(R^N) et on a

||u||_W1,∞(R^N)≤ ||u||_L∞(R^N)+

N

X

i=1

Lip(u)≤N||u||_C0,1(R^N).

♦Etape 2: W^1,∞(R^N)⊂ C^0,1(R^N) et|| · ||_C0,1(R^N)≤C|| · ||_W1,∞(R^N).

Soit u ∈ W^1,∞(R^N); on prend θ ∈ C_c^∞(R^N) telle que 0 ≤ θ ≤ 1 et θ(0) = 1; on note, pour n ≥ 1, θn(x) =θ(x/n).

Soit un = θnu. un ∈ W^1,∞(R^N) et est `a support compact dans R<sup>N</sup>, doncun ∈ ∩p>NW<sup>1,p</sup>(R<sup>N</sup>); en appliquant alors (3.2.5) `a un (on a remarqu´e, `a la fin de la d´emonstration du th´eor`eme 3.2.3, que (3.2.5)

´

etait v´erifi´e par toute fonction de W^1,p(R^N)), on trouve, pour tout p ∈]N,∞[, tout n ≥ 1 et tous (x, y)∈R^N×R^N, en notantK_n le support (compact, donc de mesure finie) deθ_n

|un(x)−un(y)| ≤ 4V^−1/p

2^1−N/p(1−N/p)|x−y|^1−N/p|| |∇un| ||_Lp(R^N) (3.2.8)

≤ 4V^−1/pλ_N(K_n)^1/p

2^1−N/p(1−N/p) |x−y|^1−N/p|| |∇un| ||L^∞(R^N). (3.2.9) On constate que∇un(x) =θ(x/n)∇u(x) +_n¹∇θ(x/n)u(x), donc que|| |∇un| ||_L^∞_(RN)≤ || |∇u| ||_L^∞_(RN)+

1

n|| |∇θ| ||_L∞(R^N)||u||_L∞(R^N). Ainsi, en faisantp→ ∞dans (3.2.9), on en d´eduit

|un(x)−un(y)| ≤2|x−y|

|| |∇u| ||_L^∞_(RN)+1

n|| |∇θ| ||_L^∞_(RN)||u||_L^∞_(RN)

.

Maisun →usimplement surR^N (carθ(x/n)→θ(0) = 1 pour toutx∈R^N), donc en passant `a la limite n→ ∞dans l’in´egalit´e pr´ec´edente, on obtient

|u(x)−u(y)| ≤2|x−y| || |∇u| ||_L∞(R^N),

ce qui nous montre bien que u est lipschitzienne. Comme on sait qu’elle est born´ee, u est donc dans C^0,1(R^N) et on a

||u||_C0,1(R^N)≤ ||u||_L^∞_(RN)+ 2|| |∇u| ||_L^∞_(RN)≤2||u||_W^1,∞_(RN), ce qui conclut cette d´emonstration.

3.2.2 Cas d’un Ouvert Faiblement Lipschitzien

Th´eor`eme 3.2.5 SoitΩun ouvert faiblement lipschitzien deR^N. i) Si p∈[1, N[ etp^∗= N p

N−p, alors W^1,p(Ω) s’injecte continuement dansL^p∗(Ω).

ii) Sip=N alors, pour tout q∈[N,+∞[,W^1,p(Ω) s’injecte continuement dansL^q(Ω).

iii) Si p∈]N,+∞[, alorsW^1,p(Ω) s’injecte continuement dansC^0,1−Np(Ω).

iv) W^1,∞(Ω) =C^0,1(Ω) et les normes|| · ||W^1,∞(Ω) et|| · ||_C0,1(Ω) sont ´equivalentes.

Remarque 3.2.2

1) En fait, ce th´eor`eme est v´erifi´e pour tout ouvert Ω tel qu’il existe un op´erateur de prolongement P :W^1,p(Ω)→W^1,p(R^N).

2) La preuve montre que, puisqu’on a un op´erateur de prolongement P ind´ependant de p avec une borne (ind´ependante dep) sur||P||_L(W1,p(Ω),W^1,p(R^N)), les constantes d’injection pour Ωd´ependent depde la mˆeme mani`ere que les constantes d’injection pourR^N.

D´emonstration:

On utilise le prolongementP :W^1,p(Ω)→W^1,p(R^N) donn´e par le th´eor`eme 3.1.2.

Notons, pourU = Ω ouR^N,X(U) l’espace

• L^p∗(U) dans le casp∈[1, N[,

• L^q(U), pour unq∈[N,+∞[ quelconque, dans le casp=N,

• C^0,1−N/p(U) dans le casp∈]N,∞].

Soitu∈W^1,p(Ω). On constate (grˆace aux th´eor`emes 3.2.1, 3.2.2, 3.2.3 et 3.2.4) queP u∈X(R^N); ainsi, puisqueP u=usur Ω, on au∈X(Ω) avec||u||_X(Ω)≤ ||P u||_X(RN).

Les th´eor`emes sus-cit´es nous donnent de plusC ne d´ependant que deN etp(et deqdans le casp=N) tel que, pour toutu∈W^1,p(Ω),

||u||X(Ω) ≤ ||P u||_X(RN)

≤ C||P u||_W1,p(R^N)

≤ C||P||_L(W1,p(Ω),W^1,p(R^N))||u||W^1,p(Ω),

ce qui conclut la d´emonstration des points i), ii), iii) et d’une partie (la partieW^1,∞(Ω),→ C^0,1(Ω)) du point iv).

Il ne nous reste donc plus qu’`a voir queC^0,1(Ω),→W^1,∞(Ω). Mais, siu∈ C^0,1(Ω), le lemme 1.1.1 et la remarque 1.1.1 nous permettent de voir que les d´eriv´ees deusont dans L^∞(Ω) et born´ees par Lip(u);u

´

etant born´ee, on a bienu∈W^1,∞(Ω) et||u||_W1,∞(Ω)≤ ||u||_L∞(Ω)+PN

i=1Lip(u)≤N||u||_C0,1(Ω).

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