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Centrale Maths 1 MP 2007 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Sophie Rainero (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Hervé Diet (ENS Cachan) et Benoît Chevalier (ENS Ulm).
Ce sujet comporte quatre parties ; les parties II, III et IV sont des applications de la partie I totalement indépendantes entre elles.
• Dans la première partie, on considère deux fonctions périodiquesf et g, et on exprime la limite quandt tend vers l’infini de la quantité
1 t
Z t
0
f(x)g(x) dx
à l’aide de leurs coefficients de Fourier complexes. Le résultat diffère selon que le rapport des périodes des deux fonctions est rationnel ou non.
• La deuxième partie, assez courte, propose une première application de ce ré- sultat à la résolution d’une équation différentielle linéaire. On montre que siy est une solution T-périodique (avec T/2πirrationnel) d’une équation différen- tielle linéaire à coefficients2π-périodiquesaetb, elle est également solution de l’équation différentielle linéaire à coefficients constants obtenue en remplaçant les fonctionsaet bpar leurs coefficients de Fourierc0(a)et c0(b).
• Dans la troisième partie, on s’intéresse à une courbe paramétrée appelée épicy- cloïde. C’est la courbe décrite par un point d’un cercle(C)roulant sans glisser sur un cercle de base (C0). L’étude distingue deux cas, selon que le rapport des rayons de ces cercles est rationnel ou non. Lorsqu’il est rationnel, le sujet propose une étude classique de courbe paramétrée (points singuliers, calculs de longueurs...). Quand il est irrationnel, on montre un résultat de densité de l’épicycloïde en utilisant la première partie.
• Enfin, la quatrième partie est consacrée à un « problème de visibilité ». On considère une forêt constituée d’arbres à sections carrées disposés en tous les points de coordonnées entières du plan euclidien autres que l’origine. On montre, à l’aide de la partie I, l’existence d’une distance R > 0 telle que, dans toute direction, un observateur placé à l’origine voie un arbre situé à une distance inférieure ou égale à R. L’énoncé propose également de déterminer un algorithme permettant d’encadrer la plus petite distanceR vérifiant cette condition.
Ce sujet est long et assez difficile, d’autant plus qu’il comporte des erreurs d’énon- cé qui peuvent bloquer les candidats. La partie la plus simple est en fait celle que les élèves risquent le plus de « bouder » : la géométrie de la partie III, qui propose une étude de courbe paramétrée tout à fait classique.
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Indications
I. Questions préliminaires
I.B QuandkT∈2πZ, utiliser la périodicité pour « découper » l’intégrale. Quand kT6∈2πZ, supposer d’abordgen créneau puisgen escalier. Conclure à l’aide de la question I.A.
I.C.1 Montrer le résultat pour la série de Fourier de f en se servant de I.B, puis utiliser le théorème de convergence normale pour approcherf par sa série de Fourier et la question I.A.
I.C.2 Même démarche que dans la question I.C.1.
II. Équation différentielle
II.B Montrer que y′′0 +c0(a)y′0+c0(b)y0 est nulle en prouvant que tous ses coef- ficients de Fourier complexes sont nuls à l’aide de la question I.C.1. Afin d’appliquer I.C.1, on pourra utiliser des fonctions auxiliaires pour modifier les périodes des fonctions en présence.
III. Épicycloïde III.A.2 Noter que(−−−−−→
Ω(t)H(t),−−−−−−→
Ω(t)M(t))désigne l’angle \ (−−−−−→
Ω(t)H(t),−−−−−−→
Ω(t)M(t)).
III.B.4 Remarquer que lorsque q est entier, q représente le nombre d’arches de la courbe.
III.C.1 zn’étant pas périodique, écrirezn comme une combinaison linéaire de fonc- tions périodiques pour utiliser I.C.1. Noter que lorsque n = 0la limite de- mandée n’est pas nulle.
III.C.2 Penser au théorème de Weierstrass pour approcherf par une suite de poly- nômes etg par une suite de polynômes trigonométriques.
III.C.3 f et g doivent exprimer l’appartenance à P: construire f et g de sorte que f(ρ(x))g(θ(x))>0 implique ρ(x)eiθ(x) ∈ P, puis utiliser la question précé- dente pour montrer qu’il existet >0 tel que
Z t
0
f(ρ(x))g(θ(x)) dx >0.
IV. Problème de visibilité
IV.A.2 Restreindre l’étude àθ dans un intervalle aussi petit que possible par parité et périodicité. Dans le cas oùθannule la fonction cosinus ou sinus, appliquer le résultat de la question I.B. Dans le cas contraire, appliquer les résultats des questions I.C.1 et I.C.2. On pourra effectuer un changement de période pour se retrouver dans le cadre de ces questions.
IV.A.4 Il y a dans cette question une erreur d’énoncé : il faut en fait montrer l’exis- tence d’un réelR>0 tel que
Z R
0
u(xcosθ)u(xsinθ) dx >1. À cette fin, re- marquer que la fonction introduite à la question IV.A.3 admet un minimum V(t)pour toutt, et établir que la fonctionVest croissante, puis prouver par l’absurde qu’elle ne peut pas être majorée par 1, en utilisant IV.A.2. Pour conclure sur la forêt, appliquer ce qui précède avec unrégal au quart du côté d’un arbre.
IV.B.2 Utiliser la fonction tri pour ordonner les secteurs angulaires dans lesquels on voit un arbre.
IV.C On pourra inclure des arbres carrés dans les arbres ronds et réciproquement.
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I. Questions préliminaires
I.A La suite de fonctions(un)n∈Nétant uniformément convergente sur l’intervalleI, elle satisfait le critère de Cauchy uniforme. Pour toutε >0, il existen0∈Ntel que :
∀(n, p)∈N2 n>n0=⇒ Sup
x∈I
|un(x)−un+p(x)|6ε (1) Pour tout(n, p) ∈ N2 tel que n >n0, un passage à la limite quand xtend vers a dans l’inégalité Sup
x∈I
|un(x)−un+p(x)|6εdonne :
|ℓn−ℓn+p|6ε
La suite(ℓn)n∈Nest donc de Cauchy dansC, et par suite elle converge. Notons ℓsa limite. On a alors, pour toutn>n0,|ℓn−ℓ|6ε. De plus, la convergence uniforme implique la convergence simple, et en faisant tendrepvers l’infini dans (1), il vient
∀n>n0 Sup
x∈I
|un(x)−U(x)|6ε
On en déduit que pour toutxdansIet toutn>n0,
|U(x)−ℓ|6|U(x)−un(x)|+|un(x)−ℓn|+|ℓn−ℓ|
62ε+|un(x)−ℓn| Fixons désormais n = n0. Par hypothèse, lim
x→aun0(x) = ℓn0, d’où l’existence de V appartenant à l’ensembleV(a)des voisinages deadansItel que :
∀x∈V |un0(x)−ℓn0| 6ε Finalement, on a montré :
∀ε >0 ∃V∈V(a) ∀x∈I x∈V =⇒ |U(x)−ℓ|63ε
d’où lim
x→aU(x) =ℓ
I.B Soientg:R→C, continue par morceaux etT-périodique, etk∈Z. Définissons la fonctionψ: ] 0 ;+∞[→Cpar :
∀t >0 ψ(t) = 1 t
Z t
0
eikxg(x) dx
• Dans un premier temps, on suppose quekT∈2πZ. Il existe alorsn∈Ztel que kT = 2πn, soitk= (2π/T)n=ωn.
∀t >0 ψ(t) = 1 t
Z t
0
ei2πnT xg(x) dx
Comme la fonction h : x 7→ ei2πnT xg(x) est T-périodique, on peut écrire, en notant E(x)la partie entière d’un réelx,
ψ(t) = 1 t
E(t/T)−1
P
j=0
Z (j+1)T
jT
h(x) dx+1 t
Z t
E(t/T)T
h(x) dx
= 1 tE
t T
Z T
0
h(x) dx+1 t
Z t−E(t/T)T 0
h(x) dx
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Or, pour toutt >0, on a, par définition de la partie entière, t
T−1<E t
T
6 t T
Ces inégalités divisées partimpliquent, grâce au théorème des gendarmes, que
t→lim+∞
1 tE
t T
= 1 T Ainsi, lim
t→+∞
1 tE
t T
Z T
0
h(x) dx= 1 T
Z T
0
h(x) dx
= 1 T
Z T
0
ei 2πnx/Tg(x) dx
t→lim+∞
1 tE
t T
Z T
0
h(x) dx=c−n(g) oùn= k
ω ∈Z De plus,
1 t
Z t−E(t/T)T 0
h(x) dx
6 1 t
Z t−E(t/T)T 0
|h(x)|dx
6 1 t
Z T
0
|h(x)|dx −−−−→
t→+∞ 0 Cette dernière limite est due au fait que
Z T
0
|h(x)|dxest finie.
En conclusion, lorsquekT∈2πZ,
t→lim+∞
1 t
Z t
0
eikxg(x)dx=c−n(g) avecn= k ω =kT
2π En particulier, pour k = 0, kT est dans 2πZ pour toute valeur de la périodeT, et par suite :
t→lim+∞
1 t
Z t
0
g(x) dx=c0(g)
• Étudions maintenant le cas où kT6∈ 2πZ. On commence par supposer que la fonction g est en créneau sur[ 0 ; T ]. Soient 0 < a < b < T et g la fonction T-périodique égale à l’indicatrice de[a;b]sur[ 0 ; T ]. Pour toutt >0
ψ(t) = 1 t
Z t
0
eikxg(x) dx
= 1 t
E(t/T)−1
P
j=0
Z (j+1)T
jT
eikxg(x) dx+1 t
Z t
E(t/T)T
eikxg(x) dx
ψ(t) = 1 t
E(t/T)−1
P
j=0
Z jT+b
jT+a
eikxdx+1 t
Z t
E(t/T)T
eikx1{x∈[E(t/T)T+a;E(t/T)T+b]}dx CommekT6∈2πZ, on a nécessairementik6= 0, d’où, pour tout entier naturelj inférieur ou égal à E(t/T)−1,
Z jT+b
jT+a
eikxdx= eik(jT+b)−eik(jT+b) ik
= eikb−eika ik eijkT Téléchargé gratuitement surwww.Doc-Solus.fr.
