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Comportement de fluides complexes sous écoulement : approche expérimentale par résonance magnétique
nucléaire et techniques optiques et simulations numériques
Claire Rigal
To cite this version:
Claire Rigal. Comportement de fluides complexes sous écoulement : approche expérimentale par résonance magnétique nucléaire et techniques optiques et simulations numériques. Autre. Université de Lorraine, 2012. Français. �NNT : 2012LORR0091�. �tel-01749280�
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Ecole doctorale ´´ Energie M´ecanique et Mat´eriaux Institut National Polytechnique de Lorraine
Comportement de fluides complexes sous ´ ecoulement :
Approche exp´ erimentale
par r´ esonance magn´ etique nucl´ eaire et techniques optiques
et simulations num´ eriques
TH` ESE
pr´esent´ee et soutenue publiquement le 23 mai 2012 pour l’obtention du
Doctorat de l’Institut National Polytechnique de Lorraine
en M´ecanique et ´Energ´etique
par
Claire RIGAL
Composition du jury
Rapporteurs : Albert MAGNIN Directeur de recherche Universit´e Joseph Fourier Grenoble Jean-Michel FRANCONI Professeur Universit´e Bordeaux Segalen
Examinateurs : Christophe BARAVIAN Professeur Universit´e de Lorraine Hassan PEERHOSSAINI Professeur Universit´e de Nantes Michel LEBOUCHE Professeur Universit´e de Lorraine Daniel CANET Professeur Universit´e de Lorraine
Invit´e : S´ebastien LECLERC Ing´enieur de recherche Universit´e de Lorraine
Remerciements
Je tiens tout d’abord à remercier Michel Lebouché, mon directeur de thèse, pour m’avoir donné l’op- portunité de faire une thèse et pour l’avoir dirigée, ainsi que mon co-directeur, Daniel Canet.
Je remercie très chaleureusement Christophe Baravian et Sébastien Leclerc pour leur riche enca- drement durant ces trois années de thèse, les nombreuses discussions et orientations concernant les résultats expérimentaux mais aussi pour m’avoir communiqué leur rigueur scientifique. Je tiens en particulier à exprimer ma gratitude envers Christophe qui m’a aidée à traverser les périodes difficiles que j’ai pu rencontrées durant cette thèse et que je salue pour ses qualités humaines.
Je suis reconnaissante à Jean-Michel Franconi et Albert Magnin, d’avoir accepté avec sympathie le rôle de rapporteur. Je remercie Haasan Peerhossaini pour son rôle de président du jury.
Je remercie sincèrement l’ensemble du personnel technique rattaché au LEMTA qui a contribué à l’élaboration des différents dispositifs expérimentaux et particulièrement Franck Demeurie, Jean-Yves Morel, Eric Blaise, Michel Marchand et Alain Delconte, mais aussi Pierre-Louis Marande et Alain Retournard du laboratoire de méthodologie RMN.
Je remercie Ghania Benbelkacem et Salaheddine Skali-Lami, sans qui les résultats expérimentaux de ce manuscrit concernant le dispositif de Couette ne seraient pas ce qu’ils sont.
Je tiens à remercier Olivier Botella pour son aide et ses compétences en numérique et Ophélie Caballina pour son apprentissage sur la technique de vélocimétrie laser Doppler. Je remercie également Julien Tissot, ancien doctorant du laboratoire, pour son aide précieuse en programmation au début de ma thèse.
Je remercie également les membres administratifs du laboratoire et j’ai bien évidemment une pensée particulière pour tous ceux et celles qui m’ont aidée, et qui se reconnaitront sans nul doute. Je pense également à mes co-bureau : Adrian, Caroline et Sylvain avec qui j’ai passé de bons moments et qui m’ont encouragée et supportée dans les périodes difficiles.
Je pense enfin à tous mes amis proches, en particulier Aurélie, Jennifer, Cloé, Florence et Sandrine, qui m’ont soutenue et ont toujours été à l’écoute quand cela était nécessaire, notamment durant la dernière longue ligne droite. Je les remercie très fortement.
Enfin je termine par mes parents et mes deux frères, qui ont vécu cette thèse à distance, mais qui m’ont toujours épaulée et je les remercie pour leur patience.
Table des matières
Table des figures vii
Liste des tableaux xv
Introduction générale 1
Introduction générale 1
Chapitre 1 Revue bibliographique : Rhéologie et écoulements de fluides complexes
dans des géométries variées 5
1.1 Introduction . . . 6
1.2 Rhéologie des fluides complexes . . . 6
1.2.1 Concepts et notions utiles . . . 6
1.2.1.1 Description générale d’un fluide complexe . . . 6
1.2.1.2 Viscosité de cisaillement . . . 7
1.2.1.3 Contraintes et déformations dans un fluide . . . 9
1.2.1.4 Équations fondamentales . . . 12
1.2.2 Modèles rhéologiques . . . 12
1.2.2.1 Généralités sur les modèles . . . 13
1.2.2.2 Fluides newtoniens . . . 13
1.2.2.3 Fluides non newtoniens dont la viscosité dépend du gradient de cisaille- ment . . . 13
1.2.2.4 Fluides viscoélatiques . . . 17
1.2.2.5 Fluides thixotropes . . . 22
1.3 Écoulements de fluides complexes dans des géométries variées . . . 23
1.3.1 Écoulement entre deux cylindres centrés et excentrés . . . 23
1.3.2 Écoulement dans une conduite présentant des singularités . . . 26
1.3.3 Techniques de mesure des champs de vitesse de fluides en écoulement . . . 29
1.3.3.1 Généralités . . . 29
1.3.3.2 La vélocimétrie laser . . . 30
1.3.3.3 La vélocimétrie Doppler à ultra-sons . . . 32
1.3.3.4 Autres techniques et techniques de visualisation . . . 33
1.4 Présentation des deux techniques utilisées . . . 33
1.4.1 La Vélocimétrie par Images de Particules (PIV) . . . 33
1.4.1.1 Origine historique et applications . . . 33
1.4.1.2 Principe de la PIV (2D) . . . 34
1.4.1.3 Précautions d’emploi. . . 36
1.4.2 La vélocimétrie par Imagerie par Résonance Magnétique (IRM) . . . 38
1.4.2.1 Origine, applications et développements récents. . . 38
1.4.2.2 Principes de base de la Résonance Magnétique Nucléaire (RMN) . . . 40
1.4.2.3 L’Imagerie par Résonance Magnétique . . . 46
1.5 Situation du problème . . . 64
Chapitre 2 Matériels et méthodes 65 2.1 Introduction . . . 65
2.2 Fluides modèles et leur caractérisation . . . 66
2.2.1 Emkarox. . . 66
2.2.2 Xanthane . . . 67
2.2.2.1 Origine et structure . . . 67
2.2.2.2 Propriétés. . . 68
2.2.2.3 Préparation des solutions . . . 68
2.2.3 Rhéométrie : analyse rhéologique . . . 69
2.2.3.1 Viscosité de cisaillement . . . 69
2.2.3.2 Viscoélasticité des solutions de xanthane . . . 74
2.2.3.3 Mesures de biréfringence sur les solutions de xanthane . . . 77
2.3 Dispositifs expérimentaux et techniques de mesures utilisées . . . 83
2.3.1 Écoulement en géométrie de Couette et PIV . . . 83
2.3.1.1 Généralités . . . 83
2.3.1.2 Dispositif expérimental . . . 85
2.3.1.3 Mise en oeuvre de la PIV. Techniques de mesures . . . 88
2.3.2 Boucle d’écoulement et vélocimétrie RMN/IRM . . . 95
2.3.2.1 Dispositif expérimental et instrumentation . . . 95
2.3.2.2 Mise en oeuvre de la RMN. Techniques de mesures . . . 104
2.4 Méthodes numériques . . . 112
2.4.1 Maillages des géométries étudiées . . . 112
2.4.1.1 Généralités sur les domaines de calcul . . . 112
2.4.1.2 Indépendance des résultats sur la taille du maillage. . . 115
2.4.2 Simulations numériques . . . 116
2.4.3 Postprocessing . . . 116
Chapitre 3 Écoulements en géométrie de Couette à cylindres centrés et excentrés :
étude expérimentale et numérique 119
3.1 Introduction . . . 120
3.2 Rappels sur les caractéristiques de l’étude . . . 120
3.2.1 Géométrie de mesure et grandeurs associées . . . 120
3.2.2 Nombres adimensionnels de l’écoulement . . . 122
3.2.3 Rappel de la rhéologie des fluides utilisés. . . 124
3.3 Résultats expérimentaux et numériques en géométrie centrée. . . 125
3.3.1 Profils de vitesse . . . 125
3.3.1.1 Validation de la méthode numérique . . . 125
3.3.1.2 Influence de la rhéofluidification . . . 127
3.3.2 Loi de comportement local. . . 129
3.4 Résultats expérimentaux et numériques en géométrie excentrée avec recirculation . . . 132
3.4.1 Profils de vitesse : comparaison entre les résultats expérimentaux et numériques 132 3.4.2 Étude fine de la zone de recirculation. . . 137
3.4.2.1 Fluide newtonien. . . 137
3.4.2.2 Fluide rhéofluidifiant. . . 140
3.5 Conclusion. . . 150
Chapitre 4 Écoulements dans une conduite cylindrique présentant des singularités : étude expérimentale et numérique 151 4.1 Introduction . . . 152
4.2 Rappels sur les caractéristiques de l’étude . . . 153
4.2.1 Domaine d’écoulement et grandeurs géométriques associées . . . 153
4.2.2 Caractérisation de l’écoulement . . . 154
4.2.3 Rappel de la rhéologie des fluides utilisés. . . 155
4.3 Résultats expérimentaux en conduite cylindrique droite. . . 156
4.3.1 Profils de vitesse . . . 156
4.3.2 Coefficients d’auto-diffusion . . . 162
4.4 Résultats expérimentaux et numériques en conduite cylindrique avec élargissement brusque166 4.4.1 Profils de vitesse en amont de l’élargissement . . . 166
4.4.2 Description du champ des vitesses en aval de l’élargissement . . . 170
4.4.3 Longueur d’établissement de l’écoulement . . . 179
4.4.4 Étude de la zone de recirculation . . . 182
4.4.4.1 Grandeurs caractéristiques . . . 182
4.4.4.2 Représentation des lignes de courant expérimentales . . . 184
4.4.4.3 Longueur du vortex . . . 186
4.4.4.4 Intensité du vortex . . . 191
4.4.4.5 Variations des dimensions caractéristiques du vortex . . . 192
4.5 Résultats expérimentaux en conduite cylindrique avec contraction brusque . . . 193
4.5.1 Profils de vitesse . . . 193
4.5.2 Représentation des lignes de courant . . . 196
4.6 Conclusion. . . 197
Conclusion générale 199
Conclusion générale 199
Bibliographie 203
Table des figures
1.1 Cisaillement simple d’un fluide newtonien entre deux plans parallèles . . . 8
1.2 (a)Composantesσyx, σyy, σyzde la contrainte exercée sur une surface d’airedSdont la normale est orientée suivantOy(b)Détermination de la contrainte sur une surface d’airedSde normale nd’orientation quelconque . . . 10
1.3 Allure des courbes d’écoulement des principaux types de fluides purement visqueux . . . 14
1.4 Ressort de module élastiqueG . . . 19
1.5 Amortisseur de viscositéµ . . . 19
1.6 Élément de Voigt : association en parallèle d’un ressort et d’un amortisseur . . . 20
1.7 Élément de Maxwell : association en série d’un ressort et d’un amortisseur . . . 21
1.8 Élément de Jeffrey : association en série d’un élément de Voigt avec un amortisseur . . . 22
1.9 Principe de la PIV . . . 35
1.10 Corrélation croisée de deux images successives(Lavision, B. Lecordier et M. Trinité, CORIA Rouen) . . . . 36
1.11 Éclatement des niveaux d’énergie d’un spin 1/2 par application d’un champ magnétique statique B0 . . . 41
1.12 Mouvement de l’aimantation nucléaireM sous l’effet de champB0 etB1 . . . 42
1.13 (a)Définition du repère mobile oùB0etB1sont stationnaires ;(b)Mouvement de l’aimantation nucléaire sous l’effet d’une impulsion rf à(π/2) . . . 43
1.14 Transformée de Fourier de la partie imaginaire de la fonctionS(t) . . . 45
1.15 Schéma simplifié d’un dispositif de RMN. . . 46
1.16 Schéma du marquage spatial par gradient de champ . . . 47
1.17 Séquences de bases d’IRM utilisant un gradient de champ statiquegragissant selon la direction X :(a)Observation directe du fid ; (b)Écho de spin ;(c)Écho de gradient. . . 48
1.18 Représentation schématique d’une séquence complète d’imagerie par écho de spin . . . 51
1.19 Représentation schématique d’une séquence complète d’imagerie par écho de gradient. . . 52
1.20 Représentation schématique d’une séquence d’écho de spin avec impulsions de gradient destinées à la mesure du coefficient d’auto-diffusion (séquence PGSE) . . . 54
1.21 (a)Représentation schématique d’une séquence DANTE d’après [25]. L’enveloppe rectangulaire des impulsions rf montrée ici est un choix parmi les différentes formes possibles.(b)Reconstruc- tion d’une grille de spins d’une coupe transversale d’un écoulement de Taylor-Couette-Poiseuille obtenue par une séquence DANTE combinée à une séquence d’écho de spin [163] . . . 58
1.22 Représentation schématique de la séquence PGSE combinée à des gradients d’imagerie (gr, gp, gs) pour les expériences de mesures de vitesse conduisant une image 2D dans le
plan(r, p)avec la sensibilisation du mouvement suivant la directions, d’après [47] . . . 60
1.23 Représentation schématique de la séquence PCGE utilisée pour la mesure de vitesse d’écoule- ment, d’après [47] . . . 62
2.1 Structure moléculaire du Emkarox . . . 66
2.2 Structure primaire de la macromolécule de xanthane([226]) . . . 67
2.3 Rhéomètre AR2000 et géométrie de mesure cône-plan . . . 69
2.4 Schéma de la procédure de mesure de la viscosité stationnaire sous cisaillement . . . 71
2.5 Courbes d’écoulement montée-descente du xanthane à différentes concentrations en masse et du Emkarox (symboles) avec le modèle de Cross (ligne rouge continue). Visco- sité en fonction de la vitesse de cisaillement . . . 72
2.6 Courbes d’écoulement (descente) des quatre solutions de xanthane : viscosité en fonction de la contrainte. Comparaison entre les mesures rhéométriques (symboles), le modèle de Cross (ligne continue) et le modèle loi de puissance (pointillés) . . . 73
2.7 Module élastique (G′) et module visqueux (G′′) des solutions de xanthane en fonction de la fréquence appliquée. . . 75
2.8 Évolution de l’état de polarisation en fonction de la distance parcourue dans une solution col- loïdale (propagation de haut en bas) . . . 78
2.9 Dispositif expérimental pour la mesure de la biréfringence . . . 78
2.10 (a) Courbe d’intensité en fonction de la distance de propagation dans le milieu ; (b) Image numérisée d’intensité correspondante après traitement. . . 80
2.11 Figures d’interférence pour le xanthane en solution à0,50%et à1%pour différents cisaillements (le laser se propage de bas en haut) . . . 81
2.12 Biréfringence de solutions de xanthane à0,50%en fonction de la contrainte. . . 82
2.13 Géométrie de Couette cylindrique . . . 83
2.14 Vue schématique du dispositif expérimental (PIV) . . . 85
2.15 Géométrie annulaire et système de coordonnées . . . 86
2.16 Réglage et disposition des différents éléments de la PIV . . . 89
2.17 Illustrations du post-traitement d’une séquence d’acquisition de PIV pour une solution de xan- thane à 0,10% etΩ = 1rad.s−1dans le cas de cylindres coaxiaux :(a)Couple d’images moyen ; (b)Champ de vecteurs vitesse moyen ;(c)Profil de vitesse tangentielle ;(d)Lignes de courant 92 2.18 Profils stationnaires newtoniens de vitesse tangentielle pour différentes vitesses de rotation Ω = 1,5,10rad.s−1 et différentes positions angulairesθ : données expérimentales (losanges) et solution analytique (traits continus) . . . 94
2.19 Profils de vitesse radiale pour différentes vitesses de rotation Ω = 1,5,10rad.s−1 soit (vθ = 0,02; 0,1; 0,2m.s−1) et différentes positions angulairesθ . . . 94
2.20 Vue schématique du dispositif expérimental (RMN) : boucle hydraulique et vélocimétrie . . . 95
2.21 Photo de la veine de mesure du dispositif expérimental (RMN) . . . 95
2.22 (a)Photo de la singularité ; (b)Photo de la sonde RMN . . . 97
2.23 Courbe réelle du débit en fonction de la fréquence de rotation du moteur de la pompe . . . . 102 2.24 Profils de vitesse axiale expérimentaux par VLD et théoriques d’une solution de xanthane à
0.20% (K=0.632 Pa.snet n=0.366) pour différentes vitesses débitantes correspondant à différents nombre de Reynolds . . . 103 2.25 (a)Représentation schématique de la séquence PCGE de mesure de vitesse, d’après [47] ; (b)
Représentation schématique de la zone de mesure (pointillés rouges) sélectionnée : coupe axiale 105 2.26 Orientation des coupes : axiale, sagitale et coronale sur une conduite cylindrique . . . 108 2.27 Représentation schématique des multicoupes axiales sur la conduite en présence de sin-
gularité : cas de l’élargissement brusque . . . 108 2.28 Illustrations du post-traitement de séquences de mesure par IRM (coupe axiale d’une
conduite cylindrique de diamètre intérieurD= 2cm). (a) Mesure de vitesse par PCGE : image de phase, cartographie de vitesse et profil de vitesse axiale. (b) Mesure de coeffi- cient d’auto-diffusion par PGSE : image pondérée en diffusion, image après traitement, courbe d’ajustement selonS =S0exp −Bg2
et cartographie de diffusion . . . 110 2.29 Profils expérimentaux normalisés de vitesse axiale par LDV (triangles pleins) et IRM (lo-
sanges vides) et théoriques (traits) pour de l’eau et une solution de xanthane à 0.20% (VLD : K=0,632 Pa.sn et n=0,366 ; RMN : K=0,596 Pa.sn et n=0,360) pour une vitesse débitante U = 2,50 cm.s−1 correspondant des nombre de Reynolds de 1 pour le xanthane et d’environ 500 pour l’eau dans une conduite de diamètreD= 2cm. . . 111 2.30 Géométrie, domaine de calcul et maillage pour l’écoulement de Couette centré. A gauche : le
domaine fluideΩf est confiné entre deux cylindres coaxiauxCietCede rayons respectifsRi= 2 etRe= 2R1, oùRi tourne avec une vitesse de rotationΩ. A droite : le maillage uniforme. . . 113 2.31 Géométrie, domaine de calcul et maillage pour l’écoulement de Couette excentré. A gauche : le
domaine fluideΩf est compris entre les deux cylindres Ci et Ce excentrés, avec un décalaged du cylindre intérieur Ci. A droite : le maillage non uniforme pourRi= 20 mmet d= 15 mm (δ= 0.75), avec raffinement près de la paroi du cylindre intérieur Ci. . . . 113 2.32 Géométrie, domaine de calcul et maillage pour l’écoulement dans une conduite avec élargisse-
ment brusque. En haut : le domaine de calcul et les cinq zones élémentaires de la géométrie. Les dimensions sont :R1= 0.5cm,R2= 2R1= 1cm, L1= 20R1= 10cmet L2= 20R2= 20cm.
En bas : le maillage cartésien et ses différentes zones, avec raffinement près de la paroi et du coin singulier.. . . 115 3.1 Configuration centrée (gauche) et excentrée (droite) de la géométrie de mesure annulaire121 3.2 Courbes d’écoulement des quatres solutions de xanthane étudiées et du Emkarox. Rhéo-
métrie (symboles), modèle de Cross (ligne rouge continue) . . . 124 3.3 (a)Profils normalisés de vitesse tangentielle pour le Emakarox et une solution de xanthane à
0,20% en géométrie centrée pour différentes vitesse de rotation du cylindre intérieur : données expérimentales (symboles), numériques (lignes continues) et solution analytique (tirets) (b) Courbe d’écoulement du xanthane en solution à0,20% . . . 126
3.4 (a)Profils de vitesse tangentielle pour un fluide newtonien et différentes solutions de xanthane en géométrie centrée pour une vitesse de rotation de1rad.s−1: données expérimentales (symboles), numériques (lignes continues) et profil théorique newtonien (tirets)(b) Courbes d’écoulement des quatre solutions de xanthane étudiées . . . 127 3.5 Comparaison entre la loi de comportement calculée dans l’espace annulaire et par rhéomé-
trie pour le Emkarox et le xanthane en solution à différentes concentrations Viscosité (a) et contrainte(b)en fonction de la vitesse de cisaillement. . . 130 3.6 Comparaison entre la loi de comportement calculée dans l’espace annulaire et par rhéométrie
pour les différentes solutions de xanthane(a)0,10%,(b)0,20%,(c)0,30%,(d)0,40% . . . 131 3.7 Lignes de courant pour le Emkarox à une excentricitéδ= 0,75 . . . 132 3.8 Profils de vitesse tangentielle à la position θ = π/2 pour différentes vitesse de rotation et
une excentricité δ = 0,75 pour le Emkarox (Re= 0,43; 2,2; 4,3) et le xanthane en solution à 0,10% (Re= 8; 107,2; 313) : données expérimentales (symboles) et simulations numériques (lignes continues et tirets) . . . 134 3.9 Profils normalisés de vitesse tangentielle à la positionθ=π/2 pour différentes excentricités et
une vitesse de rotation de10rad.−1pour le xanthane en solution à0,10% (δ= 0;Re= 125;δ= 0,40;Re= 225;δ= 0,60;
données expérimentales (symboles) et simulations numériques (lignes continues et tirets) . . . 135 3.10 Profils de vitesse tangentielle à la positionθ=π/2pour une excentricitéδ= 0,75et une
vitesse de rotation de10rad.s−1 pour le Emkarox(Re= 4,3)et différentes solutions de xanthane (0,10% :Re= 313; 0,20% :Re= 173; 0,30% :Re= 141; 0,40% :Re= 119) : données expérimentales (symboles) et simulations numériques (lignes continues et tirets) 136 3.11 Profils de vitesse radiale à la position θ = 0 pour une excentricité de δ = 0,75 et
différentes vitesse de rotation pour le Emkarox : données expérimentales (symboles) et simulations numériques (tirets) . . . 137 3.12 Lignes de courant pour le Emkarox à différentes excentricités et une vitesse de rotation
de 1 rad.s−1 : (a) δ = 0,25 et Re = 0,31, (b) δ = 0,50, Re = 0,37, (c) δ = 0,75, Re= 0,43 . . . 138 3.13 Lignes de courant pour le Emkarox à une excentricité de0,75. Résultats expérimentaux
(en haut) et numériques (en bas) :(a)Re= 0,43,(b)Re= 6,5 . . . 139 3.14 Excentricité critique d’apparition de la zone de recirculation en fonction de l’indice de structure
pour le Emkarox et les solutions de xanthane . . . 141 3.15 Lignes de courant pour le xanthane en solution à0,10%(a)δ= 0,75. Résultats expérimentaux
(en haut) et numériques (en bas) : (1) Re = 8, (2) Re = 313, (3) Re = 915 (b)δ = 0,60 et Re= 266. Résultats expérimentaux (à gauche) et numériques (à droite) . . . 143 3.16 Lignes de courant déterminées numériquement pour le xanthane en solution à δ = 0,75 (a)
0,20%: (1)Re= 3,7, (2)Re= 173, (3)Re= 522(b)0,40%: (1)Re= 2,4, (2)Re= 119, (3) Re= 362 . . . 145 3.17 Contrainte totale sur le cylindre intérieur en fonction de l’excentricité pour différentes vitesses
de rotation pour le xanthane en solution à0,10%. Résultats expérimentaux (symboles) et nu- mériques (lignes continues) . . . 146
3.18 Fonction de courant adimensionnée en fonction de l’excentricité pour le xanthane en solution ((a) 0,10%; (b) 0,20%; (c) 0,30%; (d) 0,40%) et le Emkarox pour différentes vitesses de rotation. Résultats numériques. . . . 147 3.19 Fonction de courant adimensionnée en fonction de l’indice de structure des solutions de xanthane
et du Emkarox pour différentes excentricités et vitesses de rotation. Résultats numériques. . . 148 3.20 Position adimensionnée du centre de la zone de recirculation pour les solutions de xanthane
étudiées et le Emkarox en fonction de l’indice de structure pour différentes excentricités et vitesses de rotation. Résultats expérimentaux (symboles) et données numériques (symboles avec lignes continues) . . . 149 4.1 Géométrie de mesure pour l’écoulement dans une conduite cylindrique avec élargissement brusque153 4.2 Courbes d’écoulement des quatres solutions de xanthane étudiées. Rhéométrie (symboles), mo-
dèle de Cross (ligne rouge continue) et loi puissance (ligne noire continue). . . 156 4.3 Profils newtoniens (eau) de vitesse axiale pour différents nombre de Reynolds (U =
0,652 cm.s−1 etRe = 120, U = 1,30 cm.s−1 etRe = 265,U = 2,44 cm.s−1 et Re = 498) et diamètres (horizontal, vertical et moyenne circulaire) : données expérimentales (losanges) et profil théorique de Poiseuille (lignes continues) . . . 158 4.4 Profils non newtoniens de vitesse axiale d’une solution de xanthane à 0,10% pour différents
nombre de Reynolds (U = 0,652 cm.s−1 et Re = 1, U = 1,30 cm.s−1 et Re = 2,8, U = 2,44 cm.s−1 et Re = 6,8) et diamètres (horizontal, vertical et moyenne circulaire) : données expérimentales (carrés) et profil théorique d’Ostwald (ligne continue) . . . 158 4.5 Profils adimensionnés de vitesse axiale suivant le nombre de Reynolds pour le xanthane en
solution et l’eau : données expérimentales (symboles) et profils théoriques (lignes continues) (a) eau, (b) 0,10% : n = 0,598, (c) 0,20% : n = 0,363, (d) 0,30% : n = 0,292, (e) 0,40% : n= 0,263 . . . 160 4.6 Profils adimensionnés de vitesse axiale pour l’eau et les différentes solutions de xanthane utili-
sées : données expérimentales (symboles) et profils théoriques de Poiseuille (tirets) et d’Ostwald (lignes continues) eau :Re = 498; 0,10% : Re = 30; 0,20% : Re = 35; 0,30% : Re = 22; 0,40% : Re= 17 . . . 161 4.7 Évolution deuc/U suivant le vitesse débitante en fonction de l’indice de structure des solutions
de xanthane utilisées et de l’eau . . . 162 4.8 Évolution du coefficient d’auto-diffusion moyen en fonction de la position annulaire pour les
solutions de xanthane utilisées et l’eau suivant la vitesse débitante eau et xanthane en solution à :(a)0,10%,(b)0,20%,(c)0,30%,(d)0,40% . . . 164 4.9 Évolution du coefficient d’auto-diffusion moyen en fonction de la position annulaire pour diffé-
rentes vitesses débitantes suivant la concentration de xanthane en solution : eau et xanthane en solution à :(a)U = 0,(b)U = 2,44cm/s,(c)11,8 cm/s,(d)23,1cm/s . . . 165
4.10 Profils de vitesse axiale avant élargissement à x=−9 mm pour l’eau et le xanthane en solu- tion suivant le nombre de Reynolds : données expérimentales (symboles), numériques (lignes continues rouges) et profils théoriques (lignes continues noires) (a) eau : U = 2,38 cm.s−1 et Re = 237; (b) 0,10% : U = 5,37 cm.s−1 et Re = 9, U = 9,97 cm.s−1 et Re = 22, U = 19,2et Re= 58; (c)0,30% :U = 15,4 cm.s−1 etRe= 9,U = 25,4 cm.s−1 et Re= 22, U = 45,4et Re= 54) . . . 168 4.11 Profils normalisés de vitesse axiale pour l’eau et le xanthane en solution à 0,10% et 0,30%
avant élargissement (x=−9mm) pour une vitesse débitante : données expérimentales (ronds), numériques (lignes continues rouges et profils théoriques(lignes continues noires) eau : U = 2,38cm.s−1etRe= 237;0,10%:U = 5,37cm.s−1etRe= 9;0,30%:U = 15,4cm.s−1etRe= 9 . . . 169 4.12 Profils de vitesse axiale pour le xanthane en solution à0,10%suivantxpourRe= 9: données
expérimentales (losanges) et numériques (lignes continues) (a) −9 mm < x < 35 mm, (b) x= 1mm,(c)x= 9 mm,(d)x= 21mm, (e)x= 35mm . . . 171 4.13 Profils de vitesse axiale pour le xanthane en solution à0,10%suivantxpourRe= 49: données
expérimentales (losanges) et numériques (lignes continues) (a) −9 mm < x < 41 mm, (b) x= 1mm,(c)x= 9 mm,(d)x= 21mm, (e)x= 41mm . . . 173 4.14 Profils de vitesse axiale pour le xanthane en solution à0,10% suivantxpourRe= 58((a)) et
Re= 104((b)) : données expérimentales (losanges) et numériques (lignes continues) . . . 174 4.15 Profils de vitesse axiale pour le xanthane en solution à0,30%suivantxpourRe= 9: données
expérimentales (ronds) et numériques (lignes continues)(a) −9 mm < x <37 mm, (b) x= 1mm,(c)x= 9mm, (d)x= 21mm,(e)x= 37mm . . . 175 4.16 Profils de vitesse axiale pour le xanthane en solution à0,30%suivantxpourRe= 45: données
expérimentales (ronds) et numériques (lignes continues)(a) −9 mm < x <39 mm, (b) x= 1mm,(c)x= 9mm, (d)x= 21mm,(e)x= 39mm . . . 177 4.17 Profils de vitesse axiale pour le xanthane en solution à0,10% et 0,30% après l’élargissement
àx= 1mm et x= 9mm pour un nombre de Reynolds très proche : données expérimentales (symboles) et numériques (lignes continues)(a)0,10%et Re= 49,(b)0,30%et Re= 45 . . 178 4.18 Évolution du rapportuc/Udans le divergent pour différentes vitesse débitantes pour le xanthane
en solution à 0,10% et 0,30% : données expérimentales (croix : 0,10% et ronds : 0,30%) et numériques (tirets :0,10%et lignes continues :0,30%) . . . 179 4.19 (a)Évolution du rapport Le/h en fonction du nombre de Reynolds pour les fluides étudiés :
données numériques (b) Évolution du rapport Le/h en fonction de l’indice de structure des solutions de xanthane utilisées et de l’eau pour différents nombres de Reynolds . . . 180 4.20 Lignes de courant de l’écoulement dans la conduite cylindrique avec élargissement : grandeurs
caractéristiques de la zone de recirculation(Lv, ψv) . . . 182 4.21 Lignes de courants pour le xanthane en solution à 0,10% et 0,30% en fonction du nombre de
Reynolds :(a)Re= 22,(b)Re= 56et (c)Re= 100. Résultats expérimentaux et numériques . 185 4.22 Lignes de courants pour l’eau(1)et le xanthane en solution à0,10%(n= 0,534)(2)et0,30%
(n = 0,322) (3) en fonction du nombre de Reynolds ((a) Re = 9, (b) Re = 56) : résultats numériques . . . 187
4.23 (a) Évolution du rapport Lv/h en fonction du nombre de Reynolds pour les fluides étudiés : données numériques (b) Évolution du rapport Lv/h en fonction de l’indice de structure des solutions de xanthane utilisées et de l’eau pour différents nombres de Reynolds . . . 189 4.24 (a)Évolution du rapport∆ψ∗∗103en fonction du nombre de Reynolds pour les fluides étudiés :
données numériques (b) Évolution du rapport ∆ψ∗∗103 en fonction de l’indice de structure des solutions de xanthane utilisées et de l’eau pour différents nombres de Reynolds . . . 191 4.25 Profils expérimentaux de vitesse axiale pour le xanthane en solution à 0,10% suivantx pour
différents nombre de Reynolds : cas de la contraction brusque (a)Re = 6, (b) Re = 17, (c) Re= 50,(d)Re= 95 . . . 194 4.26 Profils expérimentaux de vitesse axiale pour le xanthane en solution à 0,10% pour différents
nombre de Reynolds à x=−5mmet x=−1mm: cas de la contraction brusque(a) Re= 6, (b)Re= 17,(c)Re= 50,(d)Re= 95 . . . 195 4.27 Lignes de courants pour le xanthane en solution à 0,10% (n = 0,534) en fonction du nombre
de Reynolds (Re= 6,Re= 17,Re= 50etRe= 98) : résultats expérimentaux . . . 197
Liste des tableaux
2.1 Paramètres du modèle de Cross pour les différentes concentrations massiques des solutions de xanthane . . . 74 2.2 Propriétés du maillage utilisé dans les simulations de l’écoulement de Couette à cylindres centrés114 2.3 Propriétés des zones du maillage utilisé dans les simulations de l’écoulement de Couette à cy-
lindres excentrés.( )† : maillagedouble-sided symmetric . . . 114 2.4 Propriétés des zones du maillage utilisé dans les simulations de l’écoulement dans une conduite
avec élargissement brusque.( )† : maillagedouble-sided symmetric . . . 114 3.1 Valeurs du nombre de Taylor de l’écoulement de Couette des différentes solutions de xanthane
et du Emkarox à une vitesse de rotation de 20rad.s−1et une excentricité de 0,75 . . . 123 4.1 Paramètres du modèle loi de puissance pour les différentes concentrations massiques des solutions
de xanthane (T = 21◦C) . . . 155 4.2 Évolution des dimensions caractéristiques de la zone de recirculation en fonction du nombre de
Reynolds et de l’indice de structure . . . 192
Introduction générale
Les milieux dispersés concentrés, plutôt connus sous le nom de fluides complexes ou structurés, sont des systèmes communément rencontrés dans de nombreux domaines utilisant leurs caractéristiques et leurs propriétés physiques exceptionnelles (épaississant, stabilisateur, agent viscosant, plastifiant,...).
Citons par exemple l’industrie du bâtiment, l’agroalimentaire, l’environnement ou la biologie. L’en- semble de ces matériaux présente des propriétés mécaniques complexes en ce sens qu’elles dépendent non linéairement de l’énergie mécanique qui leur est appliquée et souvent du temps. L’hypothèse structurelle, assez largement admise, est que les sources de ces non-linéarités se trouvent dans une mo- dification de l’organisation interne de ces milieux. Cette organisation structurelle dépend de la taille des particules, des interactions entre particules, de leur concentration ou encore de leur éventuelle orientation collective dans le cas d’objets anisotropes. La compréhension du lien entre l’organisation microscopique et les propriétés diffusionnelles sont des enjeux majeurs.
L’étude du comportement macroscopique des fluides complexes (polymères, suspensions, émul- sions,..) sous l’action de contraintes, déformations ou sous écoulement, présents dans la grande majorité des procédés industriels et lié à la structure et aux réarrangements internes de ces matériaux, constitue la rhéologie. La caractérisation rhéologique des fluides complexes, i.e. de leurs propriétés macrosco- piques sous écoulement, et la compréhension du lien avec leurs propriétés microscopiques permettent d’établir des lois de comportement. Celles-ci sont indispensables à la modélisation et à la prédiction des écoulements de ces matériaux en vue de leur optimisation dans un procédé, constituant un défi industriel et scientifique important.
Cette thèse consiste en une approche expérimentale et théorique de modélisation du comportement de fluides complexes rhéofluidifiants sous écoulement présentant un caractère non newtonien marqué.
Les travaux exposés dans cette thèse s’inscrivent dans une des thématiques traditionnelles du la- boratoire qui est la dynamique des fluides complexes dont une des préoccupations majeures est la comparaison entre les mesures expérimentales et les prédictions numériques dans des configurations
géométriques variées, permettant la compréhension fine de l’influence des propriétés rhéologiques des matériaux complexes sur leur comportement dans ces écoulements et leur modélisation en vue d’établir de nouvelles lois de comportement.
L’objectif principal de cette thèse est le développement et l’utilisation de techniques expérimentales performantes et non intrusives permettant de caractériser les écoulements bidimensionnels de fluides complexes, et plus précisément des fluides rhéofluidifiants, présentant une zone de recirculation dans des géométries variées. Deux types de géométrie académique seront étudiés : la géométrie de Couette à cylindres coaxiaux excentrables et la conduite cylindrique présentant des singularités (élargissement et contraction brusques). La caractérisation de ces écoulements consiste à examiner l’influence des propriétés rhéofluidifiantes sur le comportement général, i.e. la structure et la morphologie, de l’écou- lement secondaire, en terme d’intensité et de positionnement. Par ailleurs, l’intérêt majeur de cette thèse porte sur la mise en oeuvre d’une technique expérimentale relativement récente pour ce genre d’études, qui est la vélocimétrie par imagerie par résonance magnétique nucléaire. Parmi l’arsenal métrologique actuel, la résonance magnétique nucléaire possède un avantage incontestable sur les tech- niques laser existantes qui est sa possibilité d’étudier des milieux turbides ou opaques, assez répandus chez les fluides complexes. Elle permet ainsi d’élargir la gamme d’expériences. Les outils de résonance magnétique nucléaire (RMN) et d’imagerie par résonance magnétique (IRM) présentent également la possibilité de mesurer simultanément les profils de vitesse, les profils de concentration, mais aussi de mesurer les propriétés diffusionnelles de ces milieux à l’échelle moléculaire, fondamentale à une com- préhension fine des phénomènes de transport sous écoulement.
Nous proposons donc dans cette thèse d’apporter une contribution majeure à la compréhension de l’organisation des milieux denses sous écoulement, tant du point de vue de la modélisation que de la caractérisation des propriétés rhéologiques et structurelles de ces matériaux complexes.
L’approche méthodologique développée dans la thèse se décompose selon trois parties. La première étape réside dans la mesure rhéométrique des propriétés rhéologiques des fluides de travail afin de donner une description rhéologique la plus complète possible de leur comportement macroscopique sous cisaillement. Les fluides non newtoniens étudiés sont des solutions de xanthane aux propriétés rhéofluidifiants dont la viscoélasticité peut être négligée. Le second volet concerne la caractérisation de l’écoulement bidimensionnel de ces fluides et singulièrement l’étude de l’incidence de leurs propriétés
sur le comportement de la zone de reciculation dans deux types géométries distinctes, par l’utilisa- tion de deux techniques de mesure différentes. La première géométrie étudiée est une géométrie de Couette à cylindres coaxiaux excentrables. L’utilisation de la vélocimétrie par images de particules nous a permis d’obtenir des mesures précises des champs de vitesse dans l’espace annulaire dans les deux configurations des cylindres. Il a ainsi été possible de reconstruire la loi de comportement locale du fluide en géométrie centrée, mais également d’examiner au travers des lignes de courant de l’écoule- ment le comportement de l’écoulement secondaire et de caractériser quantitativement son déplacement, en géométrie de cylindres excentrés. Ce travail poursuit et termine l’étude entreprise au laboratoire par Ghania Benbelkacem durant sa thèse (2005-2008). La seconde géométrie utilisée est une conduite cylindrique pouvant présenter des singularités. Elle fait partie d’un dispositif expérimental, qui est une boucle d’écoulement, réalisé durant cette thèse au laboratoire. Cette partie de notre travail dont l’ori- ginalité en fait sans contestes la partie plus intéressante, met en oeuvre la vélocimétrie par IRM pour la mesure des champs de vitesse. Après une qualification de la méthode pour ce genre d’études, nous avons une fois encore étudié la morphologie de l’écoulement au travers de l’allure des profils de vitesse et de la zone de recirculation. L’utilisation de la RMN pour la mesure des coefficients d’auto-diffusion nous a également permis d’étudier l’organisation de la microstructure de fluides rhéofluidifiants. Enfin pour compléter cette étude, des simulations numériques réalisées avec le logiciel Fluentc ont été effectuées pour les deux types d’écoulement étudiés en utilisant les lois de comportement macroscopiques déter- minées en rhéométrie. Il s’agit de comparer les résultats numériques avec les résultats expérimentaux afin de tester les capacités prédictives de ce code numérique et de valider les lois de comportements non linéaires.
Cette thèse constitue donc une étude complète expérimentale et numérique, de la caractérisation de la loi de comportement des fluides rhéofluidifiants, aux mesures expérimentales avec deux techniques performantes comparées à des simulations numériques. Le présent document est organisé comme suit : – Le premier chapitre est consacré à l’introduction de concepts et notions utiles en rhéologie des fluides complexes. Une analyse bibliographique est ensuite menée sur les études expérimentales et numériques existantes concernant les écoulements de fluides complexes dans une géométrie à cylindres centrés et excentrés et dans une conduite présentant des singularités. Les différentes techniques de mesure des champs de vitesse sont également passées en revue. Enfin, une pré- sentation détaillée des deux méthodes expérimentales utilisées est proposée. Elle concerne leur origine, leurs applications et leurs développements récents et explique leur principe.
– Le second chapitre présente les matériels et les méthodes utilisées. Après avoir présenté les fluides modèles et leur caractérisation rhéologique, nous décrirons ensuite les deux dispositifs expérimentaux et les techniques de mesure utilisés (préalablement validés) puis nous détaillerons les méthodes numériques employées.
– Le troisième chapitre est dédié à la présentation des résultats expérimentaux obtenus par PIV concernant l’écoulement de fluides newtonien rhéofluidifiant dans une géométrie de Couette à cylindres centrés et excentrés. Une comparaison de ces résultats expérimentaux avec les résultats des simulations numériques, réalisées avec le logiciel Fluentc, est également proposée.
– Le dernier chapitre concerne l’étude expérimentale et numérique de l’écoulement d’un fluide rhéo- fluidifiant dans une conduite cylindrique droite présentant des singularités. Il présente donc les résultats expérimentaux obtenus par vélocimétrie par IRM, qui se révèle une méthode compéti- tive et performante. Les résultats numériques calculés avec Fluentc dans le cas de la conduite avec élargissement brusque sont également exposés et comparés aux données expérimentales.
Chapitre 1
Revue bibliographique : Rhéologie et écoulements de fluides complexes dans des
géométries variées
Sommaire
1.1 Introduction . . . . 6
1.2 Rhéologie des fluides complexes . . . . 6
1.2.1 Concepts et notions utiles . . . . 6 1.2.2 Modèles rhéologiques. . . 12 1.3 Écoulements de fluides complexes dans des géométries variées . . . 23
1.3.1 Écoulement entre deux cylindres centrés et excentrés . . . 23 1.3.2 Écoulement dans une conduite présentant des singularités . . . 26 1.3.3 Techniques de mesure des champs de vitesse de fluides en écoulement . . . 29 1.4 Présentation des deux techniques utilisées . . . 33
1.4.1 La Vélocimétrie par Images de Particules (PIV) . . . 33 1.4.2 La vélocimétrie par Imagerie par Résonance Magnétique (IRM) . . . 38 1.5 Situation du problème . . . 64
1.1 Introduction
Ce premier chapitre constitue une partie introductive essentielle à l’ensemble du travail réalisé. Nous commencerons par définir les principales notions de base concernant la rhéologie des fluides complexes qui nous seront utiles pour la suite. Plus précisément nous définirons des concepts clés comme viscosité, rhéofluidification ou encore viscoélasticité en même temps que nous détaillerons les principaux modèles rhéologiques permettant de prendre en compte les différents comportements complexes existants. Nous mènerons ensuite une étude sur les travaux antérieurs concernant les écoulements unidimensionnels et bidimensionnels de fluides complexes dans des géométries variées. Nous nous intéresserons à la géométrie de Couette et aux écoulements entre deux cylindres centrés et excentrés mais également dans des conduites avec élargissement et rétrécissement brusque, particulièrement sur les conséquences des lois de comportement sur ces écoulements. Nous décrirons le principe des différentes techniques expérimentales utilisées pour la mesure de champ des vitesses. Nous présenterons alors de manière plus approfondie les deux méthodes employées dans notre étude, qui sont la Vélocimétrie par Images de Particules et la vélocimétrie par Imagerie par Résonance Magnétique, en mettant en évidence pour chacune ses limitations et ses intérêts. Enfin nous situerons notre travail dans un contexte industriel et universitaire au travers notamment d’une étude critique, menée sur les travaux antérieurs, qui aura permis d’en dégager les principaux apports et intérêts.
1.2 Rhéologie des fluides complexes
1.2.1 Concepts et notions utiles
1.2.1.1 Description générale d’un fluide complexe
Un fluide peut être dit complexe lorsqu’il possède une structure interne de taille intermédiaire entre l’échelle moléculaire et la taille de l’échantillon. Ces structures microscopiques (ou mésoscopiques) confèrent au fluide des propriétés particulières voire surprenantes qui se situent entre celle d’un fluide simple purement visqueux (l’eau ou l’huile par exemple) et d’un solide purement élastique. Ces notions seront définies de manière plus précise ultérieurement. Ces propriétés constituent en fait celles d’un très grand nombre de matériaux de la vie courante, mais également de produits finis ou intermédiaires d’une grande majorité d’industries de procédé. Il serait difficile de dresser une liste exhaustive de tous les secteurs industriels dans lesquels les fluides complexes interviennent. Nous pouvons toutefois citer
1.2. Rhéologie des fluides complexes
les domaines les plus concernés qui sont : les polymères synthétiques, les industries agroalimentaires, cosmétiques et pharmaceutiques, l’industrie pétrolière, celle du papier et du bâtiment.
Les fluides complexes appartiennent à deux grandes familles. Celle des systèmes macromolécu- laires complexes et celle des suspensions de particules concentrées dont les émulsions et les mousses.
Les systèmes moléculaires sont des systèmes de taille microscopique construits à partir d’interactions moléculaires fortes (cristaux liquides, micelles) ou de véritables liaisons chimiques (polymères). Les suspensions ou dispersions concentrées de particules sont constituées d’une phase généralement solide (les particules) dispersée dans une autre, qui elle est liquide. Les émulsions sont un cas particulier où les deux phases, de consistance différente, sont liquides [80].
La description et la compréhension de leur comportement, c’est-à-dire de leurs propriétés, sous écoulement, en lien avec leur microstructure, jusqu’à leur modélisation représentent donc un grand intérêt et constituent la rhéologie des fluides complexes.
1.2.1.2 Viscosité de cisaillement
L’idée de viscosité pour un fluide réel (fluide visqueux) est apparue en 1687 de Isaac Newton, suite aux expériences de Robert Hooke en 1978 sur un solide élastique. En observant la résistance à l’écoulement d’un fluide, Newton suggère en fait que la viscosité, c’est-à-dire la réaction à la contrainte appliquée, est proportionnelle au gradient de vitesse. La viscosité résulte des échanges de quantité de mouvement entre les différentes couches de fluide liés à l’agitation moléculaire d’origine thermique.
L’équation correspondante s’écrit :
σ=ηγ˙ (1.1)
où σ est la contrainte appliquée (mesurée en Pa),γ˙ est le gradient de vitesse (ens−1) etη la viscosité dynamique du fluide (donnée en P a.s).
On définit également la viscosité cinématique ν qui est le rapport entre la viscosité dynamique et la masse volumique du fluide. ν est le coefficient de diffusion de quantité de mouvement.
Considérons le cas de l’écoulement stationnaire d’un fluide contenu entre deux plans parallèles infinis séparés d’une distance eselon la direction Oy, dont la représentation se trouve sur la Fig. 1.1.
Le plan inférieur est fixe tandis que le plan supérieur, sur lequel on exerce une contrainteσ, se déplace à une vitesse constanteV0, selon une direction perpendiculaire à l’axeOy. Le fluide est entraîné par le mouvement de la plaque et sa vitesse varie linéairement entre 0sur le plan immobile et V0 sur le plan
supérieur. Cet écoulement est appelé écoulement à cisaillement simple ou écoulement de Couette plan.
Figure 1.1 – Cisaillement simple d’un fluide newtonien entre deux plans parallèles
En régime laminaire, le fluide peut être modélisé par une succession de couches infiniment minces parallèles entre elles et aux plans. La déformation du fluide se fait par glissement successif des couches entre elles par frottement, avec transport de quantité de mouvement d’une couche à l’autre. Au cours du temps, la déformation du fluide (dγ/dt) n’est autre que la variation de la vitesse de celui-ci, vx, suivant l’épaisseur ∂y. Il s’agit donc du gradient de vitesse, plus souvent appelé taux de cisaillement en rhéologie, qui s’écrit :
˙ γ = ∂vx
∂y (1.2)
où la vitesse s’écrit :
vx= ∂v(y, t)
∂t (1.3)
La force de cisaillement qui s’exerce suivantOx sur la surface du plan supérieur dont la normale est suiventOy, rapportée à une portion de cette même surface, est la contrainte tangentielle de cisaillement σxy. Pour un fluide newtonien, celle-ci varie linéairement avec la valeur du gradient de vitesse, constant dans l’entrefereà l’état stationnaire. Le coefficient de proportionnalité entre ces grandeurs n’est autre que la viscosité dynamique du fluide. D’où la relation pour un fluide newtonien en géométrie de Couette plan :
σxy =−µV0
e (1.4)
Pour un fluide non-newtonien la structure interne du fluide peut être responsable d’une dépendance
1.2. Rhéologie des fluides complexes
de la viscosité vis-à-vis taux de cisaillement. Dans ce cas nous avons :
σxy =η( ˙γ) ˙γ (1.5)
1.2.1.3 Contraintes et déformations dans un fluide Tenseur des contraintes
Dans un fluide en mouvement, il apparaît, en plus de la contrainte normale (pression hydrostatique), des contraintes tangentes à l’élément de surfacedSdu fluide. Le tenseur des contraintes fait apparaître toutes les contraintes pouvant s’exercer sur un fluide, c’est-à-dire non seulement les contraintes tan- gentielles à l’origine des cisaillements mais également les contraintes à l’origine des compressions et des élongations du fluide, reflétant les forces de frottements entre les couches du fluide glissant les unes par rapport aux autres.
La Fig. 1.2(a) représente un élément de surface dS orienté suivant Oy avec les trois composantes de la contrainteσ appliquée suivant la normale nà cette surface. L’analyse des forces exercées sur cet élément de surface par l’ensemble du fluide conduit à neuf coefficients σij du tenseur des contraintes σ, aveci= 1 à 3 et j = 1à 3. L’élément σij est la composante suivanti de la contrainte exercée sur une surface dont la normale est orientée suivant j, c’est une contrainte tangentielle (σxy etσzy) sur la Fig. 1.2(a)).σyy est une contrainte normale. Ainsi la contrainte σn appliquée à la surface dS suivant le vecteur normaln, représentée sur la Fig.1.2(b), est donnée par :
σn =σ.n= df
dS (1.6)
où df est la force de direction quelconque appliquée sur la surface dS. Le tenseur des contraintes σ peut se décomposer sous la forme :
σ=τ −pδ (1.7)
où τ est le tenseur des contraintes visqueuses, p désigne la pression hydrostatique et δ le tenseur de Kronecker (δ=δij, avecδij = 1 sii=j etδij = 0 sii6=j). En l’absence de gradient de vitesse, seules les contraintes de pression sont présentes et on a :σxx=σyy =σzz =−p.
Contraintes normales
Les différences de contraintes normales pour un écoulement de cisaillement simple (cf. Fig. 1.1)
Figure 1.2 – (a)Composantes σyx, σyy, σyz de la contrainte exercée sur une surface d’airedS dont la normale est orientée suivantOy
(b)Détermination de la contrainte sur une surface d’airedS de normalend’orientation quelconque
s’écrivent :
N1( ˙γ) =σxx−σyy N2( ˙γ) =σyy−σzz
(1.8)
où N1 est la première différence de contraintes normales et N2 la deuxième différence de contraintes normales.
Pour un fluide newtonien seule la contrainte tangentielleσxyest modifiée par l’écoulement, les contraintes normales restent isotropes. Cela se traduit par des différences de contraintes normales nulles. Pour cer- tains fluides non newtoniens, comme les solutions de polymères de très grandes masse moléculaire (par exemple une solution de polyacrylamide dans du glycérol [28]), le cisaillement induit en revanche une différence non nulle des contraintes normales. Cette anisotropie des contraintes normales est un effet non linéaire lié au fait que le cisaillement modifie la microstructure. On définit des coefficients d’aniso- tropieΨ1 etΨ2 reliant les différence de contraintes normales au taux de cisaillement. Lorsque celui-ci est faible,N1 etN2 sont des fonctions quadratiques deγ˙, tel que :N1=−Ψ1γ˙2 etN2 =−Ψ2γ˙2. L’existence de l’anisotropie des contraintes normales est à l’origine de deux phénomènes spectaculaires : l’effet Weissenberg et le gonflement de jets [134,100].
Tenseur des déformations
Au cours de l’écoulement, les variations de la vitesse des éléments de fluide peuvent être repré- sentées par le tenseur des gradients de vitesse G défini par : G = ∇v. Ce tenseur caractérise les
