Matériels et méthodes Sommaire
2.4 Méthodes numériques
Pour les simulations numériques de nos écoulements, nous avons utilisé le mailleur Gambitc version
2.4 associé au logiciel commercial Fluentc version6.3, qui est un code de calcul basé sur la méthode des volumes finis.
2.4.1 Maillages des géométries étudiées
Le maillage2Ddes géométries étudiées est effectué avec le logiciel Gambitc qui va nous permettre de créer la géométrie, mailler le domaine de calcul et définir les conditions aux limites. Le maillage est ensuite utilisé par le solveur Fluentc pour calculer l’écoulement.
2.4.1.1 Généralités sur les domaines de calcul Écoulement de Couette
Les deux configurations de l’écoulement entre deux cylindres coaxiaux, dont le rapport de rayons vaut Ri/Re = 1/2, sont représentées sur la Fig. 2.30 (à gauche) pour le cas centré et sur la Fig.2.31 (à gauche) pour le cas excentré. Pour créer la géométrie de Couette dans le cas centré et excentré nous utilisons la stratégie top down permettant de bâtir la géométrie finale complexe à partir de formes géométriques simples (cercles) combinées à des opérations booléennes (soustraction, division, union).
Le domaine de calcul est le domaine fluide Ωf compris entre les deux cylindres (entrefer) que nous maillons uniformément avec des quadrangles dans le cas des cylindres centrés (cf. Fig.2.30(à droite)). L’espace annulaire dans le cas excentré est maillé également avec des quadrangles mais de façon non-uniforme (cf. Fig.2.31 (à droite)). Nous raffinons le maillage dans les zones où la solution possède de forts gradients de vitesse, i.e. près de la paroi du cylindre intérieur tournant à la vitesse V = ΩRi, en utilisant un maillagedouble sided sur les cerclesCi etCe. Les Tab. 2.2et Tab. 2.3répertorient les caractéristiques des zones constituant les deux maillages utilisés.
2.4. Méthodes numériques
Figure 2.30 – Géométrie, domaine de calcul et maillage pour l’écoulement de Couette centré. A gauche : le domaine fluide Ωf est confiné entre deux cylindres coaxiauxCi et Ce de rayons respectifsRi= 2etRe= 2R1,
oùRi tourne avec une vitesse de rotation Ω. A droite : le maillage uniforme.
Figure 2.31 – Géométrie, domaine de calcul et maillage pour l’écoulement de Couette excentré. A gauche : le domaine fluideΩf est compris entre les deux cylindresCi etCeexcentrés, avec un décalageddu cylindre intérieurCi. A droite : le maillage non uniforme pourRi= 20mmet d= 15mm (δ= 0.75), avec raffinement
Zone N R Nombre de cellules
Ωf 100 1 125800
Table2.2 –Propriétés du maillage utilisé dans les simulations de l’écoulement de Couette à cylindres centrés .
Zones N R Nombre de cellules
I 350 0.995 175840(δ= 0.40)
Ci 628 0.995† à
Ce 628 0.995† 219800(δ= 0.75)
Table2.3 – Propriétés des zones du maillage utilisé dans les simulations de l’écoulement de Couette à cylindres excentrés.( )† : maillagedouble-sided symmetric
Écoulement dans une conduite avec élargissement brusque
La géométrie et le domaine de calcul de l’écoulement dans une conduite cylindrique avec élargis-sement brusque sont représentés sur la Fig.2.32 (en haut). Dans nos simulations la frontière d’entrée est placée à la distance L1 = 20R1 de la singularité, la condition de sortie à L2 = 40R1, et le rapport des rayons R1/R2 = 1/2. L’écoulement 2D est axisymétrique, seule la moitié de la conduite est crée afin de diminuer le temps de calcul. Nous avons employé la stratégiebottom up pour la création de la géométrie et du maillage, qui consiste à créer progressivement la géométrie en définissant ses sommets, qui connectés, créent les arêtes puis les faces, jusqu’à la géométrie finale.
Nous avons ensuite crée un maillage cartésien non-uniforme en décomposant la géométrie en cinq zones rectangulaires représentées sur la Fig.2.32 (en bas). La Tab. 2.4répertorie les propriétés de ces zones constituant le maillage final utilisé qui est l’union du maillage de chacune de ces zones. La grille est raffinée dans les couches limites, i.e. au voisinage d’une paroi solide et de la singularité.
Zones Nx×Ny Rx×Ry Nombre de cellules 1 200×38 1.01×1.10 7600 2 500×38 1.01×1.10 19000 3 500×60 1.01×1.10† 30000 41 100×60 1×1.10† 6000 42 100×38 1×1.10 3800 66400
Table2.4 – Propriétés des zones du maillage utilisé dans les simulations de l’écoulement dans une conduite avec élargissement brusque.( )† : maillagedouble-sided symmetric
2.4. Méthodes numériques
Figure 2.32 – Géométrie, domaine de calcul et maillage pour l’écoulement dans une conduite avec élargissement brusque. En haut : le domaine de calcul et les cinq zones élémentaires de la géométrie. Les dimensions sont :R1= 0.5 cm,R2= 2R1= 1cm,L1= 20R1= 10cmet L2= 20R2= 20cm. En bas : le
maillage cartésien et ses différentes zones, avec raffinement près de la paroi et du coin singulier.
2.4.1.2 Indépendance des résultats sur la taille du maillage
Nous nous sommes assurés que la solution n’était pas affectée par la taille du maillage. Pour cela nous avons résolu les problèmes des écoulements dans une géométrie de Couette et dans une conduite avec élargissement brusque avec des maillages de différentes tailles dans les cas les plus défavorables : vitesses élevées et grande excentricité δ= 0.75 (pour l’écoulement de Couette). Le maillage le plus fin est utilisé pour valider les résultats obtenus sur les maillages plus grossiers. Finalement, nos études préliminaires de convergence en maillage montrent que nos configurations de domaine de calcul sont satisfaisantes pour obtenir des résultats qui ne dépendent pas de la taille du domaine.
Pour assurer la précision des calculs nous avons utilisé les maillages les plus fins (cf. Tab. 2.2, Tab. 2.3et Tab.2.4 pour leurs propriétés).
2.4.2 Simulations numériques
Pour les paramètres de la discrétisation volume-finis, nous avons utilisé les paramètres recommandés pour les écoulements laminaires stationnaires. Pour l’écoulement de Couette : une avancée en temps du second ordre avec une résolution du système couplé vitesse-pression assuré par l’algorithmeSIMPLE, le schémaQUICK est employé pour la discrétisation des termes convectifs dans l’équation de quantité de mouvement et l’interpolation de la pression sur les faces des cellules est obtenue par la méthode Stan-dard. Pour l’écoulement dans une conduite avec élargissement : une avancée en temps du second ordre également avec une résolution de système couplé vitesse-pression assuré par la méthode SIMPLE, les schémasQUICK etPRESTO ! sont respectivement utilisés pour l’interpolation des termes convectifs et de la pression.
Tous les paramètres de calcul gardent leur valeur par défaut à l’exception de la tolérance sur les résidus fixée à ǫ = 10−7. Pour l’écoulement de Couette, nous contrôlons la convergence de la vitesse tangentielle vθ, de la viscosité η et de la fonction de courant ψ en deux points de l’espace annulaire de part et d’autre du cylindre intérieur suivant les directions angulairesθ=π/2etθ= 3π/2, où les gradients de vitesse sont maximaux. Les coordonnées en millimètres des deux points sont :
x+ = 0, y+ = 22 et x− = 0, y− = −22. Pour l’écoulement dans la conduite avec élargissement, les mêmes paramètres (upour la vitesse axiale) sont contrôlés en un point au niveau de la singularité dont les coordonnées sontx= 22R1, y= 1.5R1.
Toutes les simulations numériques sont réalisées avec montée en Reynolds et en concentration de solution de xanthane. Le nombre de Reynolds est basé sur la vitesse de rotation du cylindre intérieur
Ω, son rayon Ri ainsi que la taille de l’entrefer e (Eq. 2.17) et emax (Eq. 2.19) pour l’écoulement de Couette. Pour l’écoulement en conduite avec élargissement, il est basé sur la vitesse débitanteU et le diamètre d’entrée de la conduiteD1. Le profil de la vitesse d’entréeusuit le profil théorique d’Ostwald (Eq.2.26) qui est introduit dans la solution initiale de Fluentc par uneUser Defined Function (UDF). Pour les calculs avec le fluide non newtonien, les contributions viscoélastiques et élongationnelles sont négligées. Seul le caractère rhéofluidifiant est pris en compte. Il est modélisé suivant le modèle de Cross (Eq.2.5) et introduit à chaque calcul dans la solution par uneUDF.
2.4.3 Postprocessing
Une fois la solution obtenue, nous analysons et étudions les résultats afin d’en extraire des données pertinentes. Nous allons pouvoir visualiser et extraire les champs scalaires des variables de l’écoulement
2.4. Méthodes numériques qui nous intéressent : vitesse, pression, fonction de courant, etc..., sous forme de lignes de niveau et vecteurs vitesse(2D) mais aussi profils (1D), sur des sections de la géométrie choisies.