Chapitre 9 Angles orientés Trigonométrie : premières notions

Chapitre 9

Angles orientés

Trigonométrie : premières notions

Sommaire

9.1 Notion d’angle . . . . 95

9.1.1 Une nouvelle mesure d’angle : le radian. . . 95

9.1.2 Angles orientés géométriques. . . 96

9.1.3 Angle orienté de vecteurs . . . 96

9.2 Trigonométrie, premières notions . . . . 98

9.2.1 Cosinus et sinus d’un angle orienté . . . 98

9.2.2 Rappels. . . 98

9.2.3 Lignes trigonométriques. . . 99

9.2.4 Équations trigonométriques . . . 99

9.3 Exercices . . . 101

9.3.1 Angles orientés . . . 101

9.3.2 Trigonométrie . . . 102

9.1 Notion d’angle

9.1.1 Une nouvelle mesure d’angle : le radian

Définition 9.1(Angle, mesure de l’angle en radian). Dans un plan, unanglede sommetO est l’ensemble des points du plan délimité par deux demi-droites de même sommetO.

Lamesure de cet angle, en radian, est la longueur de l’arc de cercle de centreOet de rayon 1 intercepté par cet angle.

O r=1

9.1 Notion d’angle ^{Première S}

EXERCICE9.1.

Le plan est muni d’un repère orthonormé.

1. Quel est le périmètre d’un cercle de rayon 1 ? 2. En déduire la mesure en radian d’un angle de 360˚.

3. On rappelle que la longueur de l’arc intercepté par un secteur angulaire est proportionnelle à la mesure de l’angle. Compléter alors le tableau suivant (les valeurs exactes sont attendues) :

Mesure de l’angle en degré 0 30 45 60 90 180 360

Mesure de l’angle en radian

9.1.2 Angles orientés géométriques

Orientation du plan

Définition 9.2(Orientation du plan). On utilisera le vocabulaire suivant :

• Orienter un cercle, c’est choisir un sens de parcours sur ce cercle appelésens direct(ou po- sitif). L’autre sens est appelésens indirect(négatif ou rétrograde).

• Orienter le plan, c’est orienter tous les cercles du plan dans le même sens. L’usage est de choisir pour sens direct le sens contraire des aiguilles d’une montre (appelé aussisens tri- gonométrique).

Dans la suite du chapitre, on suppose que le plan est orienté dans le sens trigonométrique.

Définition 9.3(Cercle trigonométrique). Un cercle trigonométriqueest un cercle orienté dans le sens direct et de rayon 1. Lorsque le plan est muni d’un repère ¡

O;~ı,~¢

orthonormé, le cercle trigonométrique est le cercle orienté dans le sens direct, de centreO et de rayon 1.

Angles orientés géométriques

Quand le plan est orienté les mesures des angles, qu’elles soient en degré ou en radian, sont positives quand l’angle est dans le sens di- rect, négatives quand l’angle est dans le sens indirect.

Ainsi, sur le schéma ci-contre,AOB =^π₄ alors queBOA = −^π₄.

O A

B

b b

b +

9.1.3 Angle orienté de vecteurs

Angle orienté de vecteurs

Définition 9.4(Angle orienté de vecteurs). Soient~uet~v deux vecteurs non nuls du plan orienté.

On appelleangle orienté, noté (~u;~v), le couple de ces deux vecteurs.

Première S 9.1 Notion d’angle

Mesures des angles orientés

Définition 9.5(Mesure d’un angle orienté de vecteurs). Soient~uet~v deux vecteurs non nuls du plan orienté etO,AetB tels que~u=−−→OAet~v=−−→OB.

Une mesure de l’angle orienté de vecteurs (~u;~v) est une mesure de l’angle géométrique orienté AOB.

Définition 9.6(Mesure principale). Lamesure principaled’un angle orienté est l’unique mesure de cet angle orienté qui appartient à ]−π;π].

On admettra que cette mesure est unique.

Remarques.

• Si une des mesures de (~u;~v) estα, alors toutes les mesures sont de la formeα+k×2πavec k∈Z.

• Par abus de langage, on confond un angle et ses mesures. On écrit par exemple (~u;~v)= ^π₂+ k×2πaveck∈Z.

• (~u;~v)=^π₂+k×2πaveck∈Zpeut aussi s’écrire :

(~u;~v)≡^π₂ (mod 2π)≡^π₂ (2π)≡^π₂[2π] qui se lit « (~u;~v) estcongruà^π₂ modulo2π».

Propriété 9.1. Soient un vecteur non nul~u du plan orienté et k∈R^∗.

• (~u;~u)≡0 (mod 2π).

• (~u;−~u)≡π (mod 2π).

• Si k>0alors(~u;k~u)≡0 (mod 2π).

• Si k<0alors(~u;k~u)≡π (mod 2π).

Propriété 9.2 (Relation de CHASLES (admise)). Soit ~u, ~v et w trois vecteurs non nuls du plan~ orienté.

(~u;~v)+(~v;w)~ ≡(~u;w) (mod 2π)~ On en déduit :

Propriété 9.3. Soit~u et~u deux vecteurs non nuls du plan orienté, k et k^′deux réels non nuls.

• (~u;~v)≡ −(~v;~u) (mod 2π).

• (~u;−~v)≡(~u;~v)+π (mod 2π).

• (−~u;~v)≡(~u;~v)+π (mod 2π).

• (−~u;−~v)≡(~u;~v) (mod 2π).

• Si k et k^′sont de même signe,(k~u;k^′~v)≡(~u;~v) (mod 2π).

• Si k et k^′sont de signes opposés,(k~u;k^′~v)≡(~u;~v)+π (mod 2π).

Les preuves seront faites en classe.

9.2 Trigonométrie, premières notions ^{Première S}

9.2 Trigonométrie, premières notions

9.2.1 Cosinus et sinus d’un angle orienté

Sauf indication contraire, l’unité utilisée est le radian. Le plan orienté est muni d’un repère ortho- normal direct¡

O;~ı,~¢

; on considère le cercle trigonométriqueC de centreO.

Définition 9.7(Cosinus et sinus d’un réel). Pour tout réelx, il existe un pointMunique du cercle trigonométriqueC tel quexsoit une mesure de³

−

→ı ;−−→OM´ .

• L’abscisse du pointM est le cosinus dex(noté cos(x)).

• L’ordonnée du pointMest le sinus dex(noté sin(x))

Remarque. Quand il n’y a pas de risque de confusion, on note parfois cos(x) ou sin(x) à la place de cos(x) ou sin(x) pour alléger les écritures.

Définition 9.8(Cosinus et sinus d’un angle orienté). Soit~uet~v deux vecteurs non nuls du plan.

Le cosinus (resp. le sinus) de l’angle orienté de vecteurs (~u;~v) est le cosinus (resp. le sinus) de l’une quelconque de ses mesures. On note cos(~u;~v) et sin(~u;~v).

Lien entre cosinus de l’angle orienté et cosinus de l’angle géométrique

Notonsαla mesure en radians de l’angle géométriqueAOB formé par~uet~v, et notonsxla mesure principale de (~u;~v) . On aα= |x|. Deux cas se présentent :

• six>_{0,|x| =x}et par suite cos(α)=cos(x);

• six60,|x| = −xet par suite cos(α)=cos(−x)=cos(x) On a donc cos(~u;~v)=cos(AOB).

Ce n’est pas vrai pour le sinus : sin(AOB) = |sin(~u;~v)|

9.2.2 Rappels

Propriété 9.4(fondamentale).

(cos(x))²+(sin(x))²=1

Remarque. Pour alléger les écritures, on note souvent (cos(x))² =cos²(x)=cos²x et (sin(x))² = sin²(x)=sin²x; la propriété fondamentale devient alors :

cos²x+sin²x=1 Propriété 9.5(Sinus et cosinus des angles usuels).

x 0 π

6

π 4

π 3

π 2 sin(x) 0 1

2

p2 2

p3

2 1

cos(x) 1 p3

2

p2 2

1

2 0

Première S 9.2 Trigonométrie, premières notions

9.2.3 Lignes trigonométriques

Les formules ci-dessous sont vraies pour tout réelx, mais pour faciliter la mémorisation, on se place dans le premier cadran. Elles seront démontrées plus tard dans l’année.

x

π 2−x

π 2+x π−x

π+x −x

cos¡_π

2−x¢

=sin(x) sin¡_π

2−x¢

=cos(x) cos¡_π

2+x¢

= −sin(x) sin¡_π

2+x¢

=cos(x)

cos(π−x)= −cos(x) sin(π−x)=sin(x)

cos(π+x)= −cos(x) sin(π+x)= −sin(x)

cos(−x)=cos(x) sin(−x)= −sin(x)

9.2.4 Équations trigonométriques

Il s’agit dans ce paragraphe d’apprendre à résoudre dans un intervalleI de Rdes équations enx comportant un cosinus ou un sinus, c’est-à-dire à trouver tous les x de l’intervalleI vérifiant ce type d’équations.

Équations se ramenant àcos(x)=αousin(x)=β cos(x)=α

Propriété 9.6. Soit une équation de la formecos(x)=α.

Si on trouve un a tel quecos(a)=αalors l’équation est équivalente à l’équationcos(x)=cos(a)et les solutions de l’équation sont les réels a+k×2πet les réels−a+k×2π, où k entier quelconque.

On l’admettra (des éléments de preuve seront donnés en classe).

On ne peut donc résoudre ce type d’équation que si l’on connait un réelaparticulier tel que cos(a)= α.

sin(x)=β

Propriété 9.7. Soit une équation de la formesin(x)=β.

Si on trouve un b tel quesin(b)=βalors l’équation est équivalente à l’équationsin(x)=sin(b)et les solutions de l’équation sont les réels b+k×2πet les réelsπ−b+k×2π, où k entier quelconque.

On l’admettra (des éléments de preuve seront donnés en classe).

On ne peut donc résoudre ce type d’équation que si l’on connait un réelbparticulier tel que sin(b)= β.

9.2 Trigonométrie, premières notions ^{Première S}

Équations se ramenant àcos(px)=αousin(px)=β pest un réel quelconque différent de 0.

La méthode est la même jusqu’à obtenirpx≡c (mod 2π) ou bienpx=c+k×2π,k∈Z. On a alorsx≡^c_p (mod ^2π_p ) ou bienx=_p^c +k×^2π_p ,k∈Z.

Les solutions ne sont donc plus « à un certain nombre de tours près ».

Exemple. Résoudre l’équation cos(2x)= −

p2 2 : 1. dansR;

2. dans [0 ; 2π];

3. dans ]−π;π].

1. On sait que cos¡_3π

4

¢= −

p2

2 . On a donc : cos(2x)= −

p2

2 ⇔ cos(2x)=cos¡_3π

4

¢

⇔ 2x≡^3π₄ (mod 2π) ou 2x≡ −^3π₄ (mod 2π) ou bien 2x=^3π₄ +k×2π,k∈Zou 2x= −^3π₄ +k×2π,k∈Z

⇔ x≡^3π₈ (mod π) oux≡ −^3π₈ (mod π) ou bien x=^3π₈ +k×π,k∈Zoux= −^3π₈ +k×π,k∈Z Remarque. Les solutions obtenues sont « à un certain nombre de demis-tours près ».

L’ensembleS des solutions est donc S =

½ x≡3π

8 (mod π),x≡ −3π

8 (modπ)

¾

ou bien

S =

½ x=3π

8 +k×π,x= −3π

8 +k×π,∀k∈Z

¾

2. xn’est solution que six∈S ∩[0 ; 2π].

Un petit tableau peut nous y aider :

k . . . −2 −1 0 1 2 3 . . .

3π

8 +k×π . . . −13π

8 −5π

8

3π 8

11π 8

19π 8

27π 8 . . .

−3π

8 +k×π . . . −17π

8 −11π

8 −3π

8

5π 8

13π 8

21π 8 . . . Comme [0 ; 2π]=£

0 ;^16π₈ ¤

, l’ensembleS′des solutions est donc S^′=

½3π 8 ,11π

8 ,5π 8 ,13π

8

¾

3. xn’est solution que six∈S∩]−π;π].

Comme ]−π;π]=¤

−^8π₈ ;^8π₈ ¤

, d’après le tableau précédent, l’ensembleS^′′ des solutions est donc

S^′′=

½

−5π 8 ,3π

8 ,−3π 8 ,5π

8

¾

Première S 9.3 Exercices

9.3 Exercices

9.3.1 Angles orientés

Dans tous les exercices le plan est muni d’un repère¡ O;~ı,~¢

or- thonormé direct.

Sauf définition particulière propre à un exercice, les pointsI,J,I^′, J^′sont les points tels queOI−→= −−−→

OI^′= −→ı ,O J−→= −−−→

O J^′= −→.

× ×

×

×

×

I J

I^′ J^′

O

EXERCICE9.2.

On considère les points A, B,C et D du cercle trigonométriqueC associés, respectivement, aux réels ^37π₆ , ^29π₄ ,^2π₃ et−^5π₁₂.

1. Déterminer les mesures principales des angles orientés³

−

→ı ;−−→OA´ et³

−

→ı ;−−→OB´ . 2. Démontrer que (OA)⊥(OC).

3. Déterminer les mesures principales des angles orientés³OD−−→;−−→OA´

et³−−→OC;−−→OB´ . 4. Préciser une mesure en degré de l’angle³−−→OA;OD−−→´

EXERCICE9.3.

Sur un cercle trigonométriqueC, on considère les pointsAetBtels que³−→OI;−−→OA´

=^5π₆ et³−→OI;−−→OB´

=

−^2π₃.

Déterminer la mesure principale des angles suivants : 1. ³OA−−→;−−→

O J^′´

; 2. ³O J−→;−−→OB´

;

3. ³OA−−→;−−→OB´

; 4. ³−−→AO;−−→OB´

;

5. ³−−→OA;−−→BO´

; 6. ³−−→AO;−−→BO´

;

7. ³

2OA−−→;−3−−→OB´ .

EXERCICE9.4.

ABC est un triangle etI est le milieu de [BC]. On sait que

³−→I A;−→I B´

=^π₃.

Déterminer la mesure principale des angles orientés sui- vants (on justifiera par le calcul et on ne s’autorisera pas les lectures graphiques) :

1. ³−→AI;−→I B´

; 2. ³−→AI;−→IC´

; 3. ³−→I A;C B−→´

. ^{× ×}

×

B I× C

A

π 3

EXERCICE9.5.

ABC Dest un carré orienté dans le sens direct.

E etF sont les points tels queC BE et ABF sont des triangles équilatéraux orientés dans le sens direct.

Le but de cet exercice est de prouver que les pointsD,EetFsont alignés, à l’aide des angles orientés.

1. Faire un dessin.

2. (a) Montrer que³−→AF;−−→AD´

=^π₆. (b) En déduire que³−−→F D;−→F A´

=^5π₁₂.

3. (a) Montrer que³−→BE;−→BF´

=^π₂. (b) En déduire que³−→F B;−→F E´

=^π₄. 4. Montrer que³−−→F D;−→F E´

=π. Conclure.

9.3 Exercices ^{Première S}

9.3.2 Trigonométrie

On donne sur la figure9.1page104des cercles trigonométriques qui peuvent être utilisés à loisir.

EXERCICE9.6.

Après avoir placé les points du cercle trigonométrique correspondant aux nombres réels suivants, déduire graphiquement les valeurs exactes de leurs cosinus et sinus :

• ^17π₄ • ^14π₃ • ^19π₆ • −^21π₂

EXERCICE9.7.

En vous aidant éventuellement du cercle trigonométrique, compléter les tableaux suivants avec les valeurs exactes :

x ^π₃ ^2π₃ ⁻₃^{π 4π}₃ ^−8π₃ ^17π₃ ^−28π₃ cos(x)

sin(x)

x ^π₄ ^3π₄ ⁻₄^{π 5π}₄ ^−11π₄ ^19π₄ ^31π₄ cos(x)

sin(x)

EXERCICE9.8.

Déterminer les valeurs exactes de sin¡_31π

6

¢et cos¡_31π

6

¢. EXERCICE9.9.

On donne cos¡_2π

5

¢=

p5−1 4 .

Déterminer les valeurs exactes de sin¡_2π

5

¢, cos¡_3π

5

¢, sin¡_3π

5

¢, cos¡_π

10

¢et sin¡_π

10

¢. EXERCICE9.10.

Simplifier les expressions suivantes :

A= sin(π−x)+cos¡_π

2+x¢ B= sin(π+x)+cos¡_π

2−x¢

+sin(−x) C= sin¡_π

2−x¢

+sin¡_π

2+x¢

D= sin(π+x)+cos(π+x)−sin(−x) E= 2 sin¡_π

2+x¢

+sin¡_π

2−x¢

−cos(−x)

EXERCICE9.11.

Calculer, sans utiliser la calculatrice : A= sin¡_π

4

¢+sin¡_3π

4

¢+sin¡_5π

4

¢+sin¡_7π

4

¢ B= cos¡_π

3

¢−cos¡_2π

3

¢+cos¡_4π

3

¢−cos¡_5π

3

¢ C= sin¡_π

6

¢+cos¡_7π

6

¢+cos¡

−^π₆¢ D= sin¡_π

2

¢−cos(π)+sin¡_3π

2

¢ E= cos¡_7π

4

¢+sin¡_π

4

¢−cos¡_3π

4

¢ F = sin²¡_π

3

¢+cos²¡_π

6

¢ G= 2 cos²¡_π

6

¢−cos¡_π

3

¢+1

Première S 9.3 Exercices

EXERCICE9.12.

Résoudre les équations suivantes :

1. DansR: cos(x)=

p3 2 ;

2. Dans ]−2π; 2π] : sin(x)= −sin¡_π

4

¢;

3. Dans ]−π;π] : sin(x)=cos¡_π

6

¢;

4. DansR: sin(x)=0 ;

5. DansR: cos(x)=0 ;

6. DansR: cos(x)=cos¡

−^π₄¢

;

7. DansR: cos(x)= −cos¡_π

4

¢;

8. DansR: sin(x)=¹₂;

9. DansR: sin(x)= −cos¡_π

4

¢;

10. Dans ]−π;π] : (sin(x)+1) (cos(x)−1)=0 ;

11. Dans ]−π;π] : cos²(x)=1 ;

12. Dans [0 ; 2π] : 2 sin²(x)+sin(x)−1=0 ;

13. Dans ]−π;π] : 4 cos²(x)−3=0 ;

14. Dans ]−π;π] : sin²(x)−sin(x)=0.

EXERCICE9.13.

Pour chacune des équations suivantes :

1. les résoudre dansR, c’est-à-dire détermi- ner l’ensemble des réelsxvérifiant l’équa- tion;

2. placer sur le cercle trigonométrique les pointsM tels que³

−

→ı ;OM−−→´

=x;

3. donner les mesures principales des solu- tions.

1. cos(2x)=

p3 2 ; 2. cos(3x)=0 ; 3. cos(4x)= −1 ; 4. cos(x)=2 ; 5. sin(2x)= −¹₂; 6. sin(3x)= −

p2 2 ; 7. sin¡_x

2

¢=0 ; 8. sin(6x)= −4 ; 9. cos(2x)=cos(x);

10. cos(2x)=cos(3x+π);

11. sin(3x)=sin(x);

12. sin(x)=sin^x₃; 13. cos(2x)=sin(3x);

14. cos(x)= −sin(2x);

15. sin(4x)= −cos(2x);

16. tan(x)=p 3 ; 17. tan(2x)=1 ; 18. tan¡

2x+^π₆¢

= −p 3 ; 19. sin¡

x+^π₃¢

=¹₂.

9.3 Exercices ^{Première S}

FIGURE9.1: Cercles trigonométriques