Vibrations d’une molécule HCl

PCSI 1 - Stanislas Devoir Maison N^◦7 - 11/02/15 A. MARTIN

Vibrations d’une molécule HCl

1. La force électrostatique a pour dimension [F] =M LT⁻²= [q]²L⁻²[ε0]⁻¹=I²T²L⁻²[ε0]⁻¹, d’où [ε0] =M⁻¹L⁻³T⁴I². On peut donc proposer l’unité SI kg⁻¹m⁻³s⁴A².

2. •E_p1(r) =^C

rⁿest une fonction décroissante. Donc le travail de la force associéeδW1=F1(r)dr=−dEp1

est moteur quand l’atome d’hydrogène s’éloigne du chlore. La force est donc répulsive (ce qui se vérifie surF_p1(r) =−^dE_dr^p1 >0, avec−→

F_p1=F_p1~u_roù~u_r est dirigé du chlore vers l’hydrogène). Ce terme rend donc compte de l’impénétrabilitédes atomes, due à la répulsion entre les noyaux et entre les électrons de chaque atome.

• Au contraire,E_p2(r) = −_4πε^αe2

0r est croissante donc cor- respond à une force attractive. Sa forme correspond à l’attraction coulombienne entre deux charges, ce qui modélise l’attraction entre les deux charges partielles de la molécule HClpolarisée. C’est ce terme qui rend compte de façon classique de l’existence de la liaison covalente (phénomène quantique).

• La position d’équilibrer0correspond nécessairement à un minimum d’énergie potentielle, doncr0est le minimum.

• E_dest l’énergie mécanique à fournir à la molécule dans son état d’équilibre pour éloigner les deux atomes à l’infini l’un de l’autre. DoncE_d=E_p(∞)−E_p(r0). CommeE_p(∞) = 0, on peut noter E_p(r0) =−Ed. cf SCHEMA 3. •On calcule le minimum :

dE_p

dr (r0) = 0⇔ nC rⁿ⁻¹₀ = αe²

4πε0

(1) On encadre et numérote la relation précédente car elle sera utile dans les calculs. On obtient

r0= nC4πε0

αe² _n−1¹

.

•On calcule d’abord la raideur effective du potentielk=^d_dr^2E2^p(r0), ce qui d’après l’Eq. (1) conduit à k=^n(n−1)C

rⁿ⁺²₀ . D’où ω0= s

k m=

sn(n−1)C m rⁿ⁺²₀ .

•On aE_d=−Ep(r0), ce qui conduit à E_d=(n−1)C rⁿ₀ .

4. En combinant les deux dernières relations encadrées, on obtient n=mω₀²r²₀

E_d = 12. Puis on en déduit C=r₀ⁿE_d

n−1 = 2,2×10⁻¹³⁸J.m¹²et α= n4πε0r0

(n−1)e²E_d = 0,40. On trouveα <1 ce qui correspond à une charge partielle sur chaque atome±√

αe=±0,20esoit 20% de la charge élémentaire.

5. Le temps de réponse est la durée caractéristique des régimes transitoires. Il vérifie²_τ=^ω_Q⁰. D’où Q=ω0τ

2 =

5×10⁵. Cet oscillateur est donctrès faiblement amorti.

6. On posex(t) =X_me^i(ωt+ϕ) aveci² = −1. L’équation du mouvement devient [−ω²+iω^ω_Q⁰+ω²₀]x=

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βe

mE0e^iωt. D’oùX_me^iϕ=^βeE_1−u⁰2^/mω+i_Q^u20. En prenant le module on obtient X_m= βeE0

mω₀^2pf(u) avec f(u) = (1−u²)²+u²

Q² et u= ω ω0

.

7. La fonctionf(u) admet un minimum enu_r=^q1−_2Q¹2siQ≥^√1₂. Ici on aQ1 donc cette résonance existe etu_r≈1, donc ω_r≈ω0.

8. Pour obtenir la rupture il faut maximiser l’amplitude des oscillations, donc exciter le système à sa fré- quence de résonance, qui est aussi à peu près sa fréquence propre :f_r≈f0= ^ω_2π⁰ = 8,7×10¹³Hz. Cela correspond à une lumière de longueur d’onde λ0= c

f0

= 3,5µm, qui se situe dans l’infrarouge.

L’amplitude du mouvement à la résonance vautX_mmax=βeE0/mω₀^2pf(u_r)=QβeE0/mω₀^2q1− ¹

4Q² , donc X_mmax≈QβeE0

mω₀² , où^βeE0

mω₀²représente l’amplitude des oscillations à basse fréquence (u= 0). Comme Q∼5×10⁵, la résonance permet donc d’atteindre une amplitude d’oscillations 500000 fois supérieure au déplacement obtenu dans le cas statique.

9. Les fréquences de coupures sont définies par un gain√

2 fois plus petit que le gain à la résonance : f(u_1,2) = 2f(u_r) = ²

Q² 1−_4Q¹2

, c’est-à-dire u⁴_1,2+

1 Q²−2

u²_1,2+ 1− 2 Q²

1− 1

4Q²

≈u⁴_1,2+ 1

Q²−2

u²_1,2+ 1− 2 Q²= 0.

Le discriminent de cette équation bicarrée est ∆≈_Q⁴2, d’oùu²_1,2= 1−_2Q¹2±_Q¹ ≈1±_Q¹. On en déduit u_1,2=^q1±_Q¹ ≈1±_2Q¹, et donc ∆u=u2−u1=_Q¹. Finalement ∆f=f0

Q = 1,6×10⁸Hz. Il est notable qu’on obtient la même relation que pour un filtre passe-bande. Ceci est du au très grand facteur de qualité, qui implique une résonance aigüe. Au voisinage def_r≈f0, le filtre se comporte comme un passe-bande.

Commeλ=c/f, on obtient par différentiation logarithmique ∆λ=^∆f_f

0λ0d’où ∆λ=c∆f

f₀² = 6,3 nm.

10. On se place donc à la résonance :ω_r=ω0. On ax(t) =X_mcos(ω0t+ϕ) et ˙x=−ω0X_msin(ω0t+ϕ), donc E_m=E_p+E_c=E_p(r0) +1

2kx²+1

2mx˙²=−E_d+1

2mω²₀X²_mcos²(ω0t+ϕ) + sin²(ω0t+ϕ) d’où E_m=−Ed+1

2mω²₀X²_m= constante .

11. Pour rompre la liaison, il faut que le proton soit dans un état libre, donc au minimumE_m = 0. Ceci équivaut donc à E_d=1

2mω²₀X²_m. On obtient alorsX_m² =_n²r₀²donc X_m= 1

√6r0 ≈0,4r0. Il faut donc que l’amplitude des oscillations soit de l’ordre de grandeur de la distance d’équilibre.

12. En injectant dans l’une des relations précédentes le fait qu’à la résonanceX_mmax≈Q^βeE0

mω²₀, on obtient E0= 2

τ βe

p2mE_d=2mω0r0

√6τ βe ≈3×10⁵V.m⁻¹.

13. Pour des vibrations d’aussi grande amplitude (Xm≈0,4r0), l’approximation harmonique est insuffisante (on n’est plus dans les conditions des petites oscillations). Le modèle n’est donc plus tout à fait valable et l’oscillateur est doncnon linéaire (anharmonique). La conséquence principale est quesa période propre dépend de l’amplitude du mouvement. Pour obtenir une résonance il faut donc modifier la fréquence d’excitation à mesure que l’amplitude augmente... ou alors rester hors résonance mais augmenter substantiellement l’amplitude du forçage.

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