90 CHAPITRE 7. INTRODUCTION

Chapitre 8

Le code MCRT

Nous rappelons dans un premier temps les bases de la th´ eorie du trans- fert radiatif n´ ecessaire ` a l’impl´ ementation du code MCRT. Nous d´ etaillons ensuite les raisons nous ayant conduit ` a l’utilisation de la m´ ethode de Monte Carlo afin de r´ esoudre le probl` eme du transfert de la radiation dans une en- veloppe de g´ eom´ etrie quelconque. Nous pr´ esentons alors succinctement notre impl´ ementation de la m´ ethode de Monte Carlo : le programme MCRT. Les d´ etails calculatoires du programme MCRT sont disponibles dans l’Annexe A.

Nous consacrons la derni` ere partie de ce chapitre ` a la description des diverses am´ eliorations apport´ ees au code MCRT initial ainsi qu’a son ´ evaluation face

`

a d’autres techniques de calcul dans le cas simple d’un vent en expansion sph´ erique.

8.1 Quelques ´ el´ ements de transfert radiatif

Le transfert radiatif (TR) est la branche de la physique ayant pour ob- jet l’´ etude de l’alt´ eration des propri´ et´ es d’un rayon lumineux lors de son trajet dans la mati` ere. Il constitue ` a ce titre une partie importante de l’as- trophysique ´ etant donn´ e qu’une des rares sources d’informations sur les ob- jets c´ elestes que nous observons nous provient de la lumi` ere r´ ecolt´ ee par les t´ elescopes. L’´ etude du transfert radiatif permet ainsi d’´ etablir le lien existant entre les interactions microscopiques se d´ eroulant entre photons et atomes et les propri´ et´ es macroscopiques des objets ´ etudi´ es en astrophysique, tels que leur luminosit´ e, leur spectre ou encore leur polarisation. Par comparaison de spectres observ´ es et simul´ es il est possible de mettre des contraintes sur les conditions physiques (densit´ e, temp´ erature, g´ eom´ etrie, ...) r´ egnant au sein des ´ etoiles, des galaxies ou encore des quasars.

Dans cette section, nous rappelons bri` evement les principes de base du

91

transfert de la radiation dans un milieu au repos compos´ e d’atomes ` a deux niveaux

ainsi que de son application dans le cas d’un milieu en mouve- ment. Nous pr´ esentons ´ egalement l’approximation de Sobolev et discutons son int´ erˆ et et sa validit´ e. Le but ici poursuivi n’est ´ evidemment pas de four- nir une discussion d´ etaill´ ee de la th´ eorie du transfert radiatif mais plutˆ ot de rappeler les quantit´ es et les id´ ees de base utilis´ ees dans ce domaine. Le lecteur d´ esirant de plus amples informations sur le sujet est invit´ e ` a consul- ter les nombreuses r´ ef´ erences existantes sur le sujet telles que les livres de Mihalas [1978] et de Cannon [1985] ou les cours de transfert radiatif de Rut- ten [2003] et de Surdej [2004].

8.1.1 Absorption, ´ emission et fonction source

On d´ efinit l’intensit´ e sp´ ecifique monochromatique I

d’un rayonnement comme ´ etant la quantit´ e d’´ energie radiative dE

traversant par unit´ e de temps, d’angle solide et dans l’intervalle de fr´ equence dν une surface uni- taire faisant un angle θ par rapport ` a la direction de propagation :

I

= dE

cos θ dA dt dν dΩ . (8.1)

Dans le vide, cette quantit´ e est bien sˆ ur conserv´ ee le long de la trajectoire ds du rayon lumineux : dI

/ds = 0.

Consid´ erons maintenant que ce rayon lumineux compos´ e de photons tra- verse un milieu constitu´ e d’atomes ` a deux niveaux (voir Fig. 8.1). Si dp

repr´ esente la probabilit´ e pour un photon d’ˆ etre absorb´ e le long du chemin infinit´ esimal ds, alors nous pouvons ´ ecrire :

dp

= κ

ds (8.2)

o` u le coefficient de proportionnalit´ e κ

est appel´ e le coefficient d’absorption.

Notons cependant que les atomes n’absorbent pas uniquement la radiation de fr´ equence ν

correspondant ` a l’´ ecart d’´ energie exact entre le niveau fon- damental et le niveau excit´ e, mais absorbent ´ egalement, compte tenu de l’´ elargissement naturel et collisionel des niveaux, de l’agitation thermique ou de la turbulence macroscopique r´ egnant dans le milieu gazeux, les photons dont la fr´ equence ν est proche de ν

. On exprime ainsi le coefficient κ

sous la forme suivante :

κ

= κ

Φ

(ν − ν

, σ

) (8.3)

1Cette approximation d’un atome `a deux niveaux se justifie pleinement dans le cadre de notre ´etude consid´erant les raies de r´esonances.

8.1. QUELQUES ´ EL ´ EMENTS DE TRANSFERT RADIATIF 93

Fig. 8.1 – Sch´ emas illustrant les alt´ erations subies par un faisceau lumineux traversant une cellule gazeuse contenant des atomes ` a deux niveaux. A : Si la fr´ equence des photons correspond ` a la fr´ equence de la transition ´ electronique des atomes ` a deux niveaux contenus dans le cellule, une partie des photons pourront ˆ etre absorb´ es par ces derniers. B : Suivant les conditions r´ egnant dans le milieu ga- zeux, ce dernier va ´ eventuellement ˆ etre capable d’´ emettre des photons de fr´ equence correspondant ` a la transition ´ electronique consid´ er´ ee.

o` u κ

est le coefficient d’absorption total de la transition, Φ

(ν − ν

, σ

) est le profil d’absorption de la transition et est typiquement repr´ esent´ e par un profil de Voigt ou une Gaussienne dans le cas o` u les mouvements turbulents sont dominants (Knigge et al.[1995]) et o` u σ

repr´ esente la largeur ` a mi- hauteur du profil (voir Sect. A.2.2).

Si l’on consid` ere maintenant un faisceau lumineux constitu´ e d’un grand nombre de photons, La perte d’´ energie radiative le long de l’´ el´ ement de tra- jet infinit´ esimal ds dˆ u ` a son passage dans le milieu gazeux peut s’exprimer comme suit :

dI

/I

= dp

= κ

ds. (8.4) En int´ egrant cette ´ equation le long du trajet du rayon lumineux (entre les points s

et s

), nous retrouvons la loi bien connue de Beer-Lambert :

I

(s

) = I

(s

) e

(8.5) o` u la quantit´ e

τ

=

Z sf

si

κ

ds (8.6)

est appel´ ee ´ epaisseur optique de l’absorbeur et n’a pas d’unit´ e physique. Un absorbeur sera dit “optiquement ´ epais” si τ

> 1

et “optiquement mince”

2En effet, ´etant donn´e le caract`ere exponentiel de l’Eq. 8.5, siτν = 1, seuls 1/e'un tiers des photons initiaux parviennent `a s’´echapper du milieu sans subir d’absorption.

dans le cas contraire (on peut distinguer la source lumineuse au travers du milieu gazeux).

Selon les conditions r` egnant dans le milieu gazeux (pression, temp´ erature, ...), ce dernier peut ´ egalement, en addition des photons diffus´ es, ´ emettre des photons de fa¸con intrins` eque par divers processus physiques tels l’´ emission radiative ou collisionelle ou encore la recombinaison radiative. Afin de rendre compte de cette ´ emission, on d´ efinit g´ en´ eralement le coefficient d’´ emission

comme ´ etant la quantit´ e d’´ energie radiative ´ emise par unit´ e de volume, d’angle solide, de fr´ equence et de temps :

= dE

/dV dΩ dν dt. (8.7) Le coefficient d’´ emission peut se d´ ecomposer de la fa¸con suivante :

=

Φ

(ν − ν

, σ

) (8.8) o` u par analogie avec le coefficient d’absorption κ

,

est le coefficient d’´ emis- sion total et Φ

(ν − ν

) est le profil d’´ emission de la transition consid´ er´ ee.

Dans le cas de la diffusion, un des probl` emes majeurs revient ` a d´ eterminer la fr´ equence ν

et la direction de vol − n →

apr` es r´ e´ emission d’un photon qui a

´ et´ e absorb´ e ` a la fr´ equence ν et selon la direction − → n

. Cependant, ´ etant donn´ e le fait que les niveaux ´ electroniques ne sont pas infiniment ´ etroits et que les atomes sont soumis ` a des collisions, on consid` ere g´ en´ eralement que les pro- pri´ et´ es des photons r´ e´ emis dans un rep` ere li´ e aux atomes sont ind´ ependantes de leurs fr´ equence et direction d’absorption. C’est l’approximation de redis- tribution compl` ete en fr´ equence et en direction :

Φ

(ν − ν

, σ

) = Φ

(ν − ν

, σ

). (8.9) Lucy[1971], Mihalas et al. [1976] et Hummer [1976] ont montr´ e que cette approximation est tout ` a fait applicable dans le cas d’enveloppes en expansion rapide.

L’´ equation fondamentale du transfert radiatif s’obtient alors en r´ ealisant le bilan des processus d’absorption et d’´ emission ayant eu lieu le long de la trajectoire du faisceau lumineux. Nous pouvons ´ ecrire :

dI

ds = −I

κ

+

(8.10)

o` u dI

/ds repr´ esente la variation d’intensit´ e sp´ ecifique le long de la direction de propagation. Vu que dτ

= κ

ds, nous pouvons r´ e´ ecrire cette ´ equation sous la forme suivante :

dI

dτ

= −I

+ S

(8.11)

8.1. QUELQUES ´ EL ´ EMENTS DE TRANSFERT RADIATIF 95 o` u le facteur S

=

/κ

est appel´ e fonction source et peut ˆ etre facilement exprim´ ee dans le cas d’un atome ` a deux niveaux en fonction des ´ equations d’´ equilibre de population des niveaux.

Dans le cas o` u le milieu est soumis ` a un champ de vitesse quelconque

−

→ v (x, y, z), les ´ equations r´ egissant le transfert de la radiation dans le rep` ere d’un observateur au repos restent identiques ` a cela pr` es que la fr´ equence ν des photons apparaissant dans les expressions de κ

et

est remplac´ ee par la “fr´ equence locale” ν

. Le terme “fr´ equence locale” d´ esigne la fr´ equence des photons mesur´ ee dans un r´ ef´ erentiel li´ e ` a l’atome en mouvement :

ν

= ν 1 −

−

→ v − → n

c

!

(8.12) o` u − → n

est la direction de propagation des photons. On peut ´ egalement expri- mer cette condition sous la forme suivante : un photon de fr´ equence ν dans un rep` ere au repos et voyageant dans la direction − → n

ne pourra ˆ etre absorb´ e que par des atomes dont la vitesse projet´ ee v

le long de cette direction soit telle que :

v

= − → v − → n

= c

ν

((ν

+ ∆ν

) − ν) (8.13) o` u ∆ν

∈ [−∆ν

, +∆ν

] et ∆ν

repr´ esente la largeur effective du profil de raie Φ

(cf. Sect. A.2.2). L’extension spatiale ∆S = |s

− s

| correspondant ` a cette zone de r´ esonance d´ epend du gradient de vitesse dv

/ds et de la largeur du profil de raie consid´ er´ e (Schaerer [1999]). En dehors de cette zone de r´ esonance, le vent est totalement transparent aux photons de fr´ equence ν se d´ epla¸cant dans le direction − → n

.

Malgr´ e son apparente simplicit´ e, l’´ equation du transfert radiatif est diffi- cile ` a r´ esoudre de fa¸con analytique sans approximations et ceci encore plus particuli` erement dans le cas o` u l’on consid` ere le couplage de cette ´ equation aux ´ equations d’´ equilibre statistique gouvernant le peuplement des niveaux

´ electroniques ou dans le cas de g´ eom´ etries de vents plus complexes qu’une en- veloppe sph´ erique en expansion. Cependant cette ´ equation fait l’objet de ten- tatives de r´ esolutions depuis plus de 70 ans en utilisant une panoplie de tech- niques int´ egro-diff´ erentielles (cf. revues de Hummer [1976], Grinin [1984]), jusqu’aux m´ ethodes plus r´ ecentes comme les m´ ethodes par simulation de Monte Carlo (voir Sect. 8.2) ou encore la m´ ethode des ´ el´ ements finis (e.a.

Richling et al. [2001]).

8.1.2 L’approximation de Sobolev

Une simplification importante du probl` eme du transfert radiatif a ´ et´ e pro-

pos´ ee par Sobolev [1957] dans le cas o` u le vent ´ etudi´ e est soumis ` a d’intenses

gradients de vitesse dv

/ds. Dans ce cas, il montre que l’on peut supposer constantes les quantit´ es physiques (coefficients d’absorption, d’´ emission, io- nisation...) et cin´ ematiques (le gradient de vitesse) du vent sur les distances spatiales ∆S ` a l’int´ erieur desquelles la condition (8.13) sur la vitesse v

est remplie. Ainsi nous pouvons obtenir une expression simplifi´ ee de l’´ epaisseur optique per¸cue par un photon de fr´ equence ν se d´ epla¸cant selon une direction

−

→ n

donn´ ee :

τ

=

Z s−∆νabs

s+∆νabs

κ

Φ

(ν

− ν

, σ

) ds (8.14) o` u, vu l’approximation de Sobolev, κ

est une constante. Ainsi en r´ ealisant le changement de variable x = ν

− ν

et vu que dx = dν

= −(ν

/c) (dv

/ds) ds (Eq. (8.12)) on a :

τ

= −κ

Z −∆νabs

∆ν_abs

Φ

(x, σ

) c

ν

|

| dx. (8.15) Etant donn´ e que par d´ efinition le profil de raie Φ

(x, σ

) est normalis´ e, l’int´ egration est triviale et nous obtenons simplement :

τ

= κ

c

ν

|

| . (8.16)

Ainsi l’approximation de Sobolev (abr´ evi´ ee AS dans la suite du texte) permet de r´ eduire le transfert de la radiation se d´ eroulant g´ en´ eralement sur une zone de r´ esonance d’extension spatiale non nulle en un seul point pour lequel la condition ν

= ν

est remplie. Lorsque cette condition est satisfaite, le photon est absorb´ e en ce point particulier par les atomes du vent et est r´ e´ emis selon une nouvelle direction de vol lui permettant de s’´ echapper directement du vent, ou d’interagir en un autre point du vent tel que ν

= ν

le long de sa nouvelle trajectoire.

L’AS a ´ et´ e intens´ ement utilis´ ee d` es l’obtention des premiers spectres dans le domaine UV o` u sont localis´ ees les raies de type P Cygni associ´ ees aux ions CIV et SiIV afin de d´ eterminer empiriquement les taux de perte de masse.

Cependant, Groenewegen & Lamers [1989] ont montr´ e que les param` etres

d´ eriv´ es lors de ces ´ etudes (notamment la vitesse terminale du vent ou encore

le taux de perte de masse) pouvaient fortement varier d’une ´ etude ` a l’autre en

raison de la difficult´ e de discerner le meilleur ajustement d’un profil observ´ e

par un profil calcul´ e. En fait, Hamann [1981] montrera, en comparant des

profils calcul´ es ` a l’aide de l’AS ` a des profils calcul´ es ` a l’aide de la m´ ethode

exacte d´ evelopp´ ee par Mihalas et al. [1975] (“comoving frame method”, voir

Sect. 8.4), que l’erreur majeure commise par l’AS n’intervient pas lors du

calcul de la fonction source, mais lors de l’int´ egration de l’intensit´ e ´ emergeant

8.2. CHOIX DE LA M ´ ETHODE DE CALCUL 97 du vent. Cette observation donnera lieu ` a l’apparition de m´ ethodes hybrides dans lesquelles l’AS est coupl´ ee ` a une int´ egration exacte de l’´ equation du transfert radiatif (voir Sect. 8.4.3).

8.2 Choix de la m´ ethode de calcul

Dans un premier temps, le but que nous avons poursuivi a ´ et´ e de construi- re un programme permettant de simuler des profils de r´ esonances pures pro- duites dans une atmosph` ere en expansion sph´ erique tout en tenant compte d’une composante turbulente macroscopique existant dans le vent. Ceci si- gnifie que nous ne faisons pas appel ` a l’approximation de Sobolev. Cette contrainte est dict´ ee par le fait qu’une composante de vitesse al´ eatoire li´ ee

`

a l’existence de mouvements turbulents dans le vent de l’ordre de 10% de la vitesse terminale du vent est n´ ecessaire afin d’expliquer l’allure des pro- fils de raies g´ en´ eralement observ´ es dans le spectre des quasars (e.a. Hut- sem´ ekers [1988]). En effet, ces profils montrent une transition particuli` ere- ment abrupte entre la partie en ´ emission et celle en absorption, traduisant le fait qu’une partie non n´ egligeable des photons diffus´ es dans la partie bleue du profil peuvent ˆ etre r´ eabsorb´ es et diffus´ es dans une nouvelle direction par ce dernier. De mˆ eme, l’introduction d’une composante turbulente per- met de rendre compte du fait que la largeur ´ equivalente de l’absorption soit g´ en´ eralement sup´ erieure ` a celle de la composante en ´ emission dans les profils de raies observ´ es (Surdej & Hutsem´ ekers [1987], Hutsem´ ekers [1988]).

Dans un second temps, nous avons modifi´ e le programme afin de simuler les profils de raies produits dans une atmosph` ere plus complexe compos´ ee ` a la fois d’un vent polaire en expansion et d’un vent ´ equatorial (voir Chapitre 9).

Notons que le but poursuivi dans notre d´ emarche n’est pas de construire un mod` ele de vent calculant de fa¸con consistante l’ionisation dans le vent, son profil de temp´ erature ou incluant tous les processus physiques permet- tant de reproduire en d´ etail les profils de raies observ´ es et d’en d´ eduire des taux de perte de masses etc.. Notre but est simplement d’inclure le mini- mum d’ingr´ edients n´ ecessaires gouvernant les profils typiquement observ´ es dans les quasars BAL, en se consacrant plus particuli` erement aux effets de la g´ eom´ etrie des r´ egions ` a l’origine des raies larges en absorption. Notons

´ egalement que bien que certains BAL peuvent pr´ esenter des vitesses d’ex-

pansion pouvant aller jusqu’` a 0.2 c (Foltz et al.[1983]), Hutsem´ ekers & Sur-

dej [1990] ont montr´ e que les corrections apport´ ees aux profils en consid´ erant

les effets relativistes ne sont pas significatives, et sont en tous cas n´ egligeables

par rapport aux effets de la turbulence. C’est pourquoi nous ne consid´ ererons

pas ce type de correction dans notre ´ etude.

Nous avons consult´ e la litt´ erature afin de d´ eterminer la m´ ethode de cal- cul permettant d’int´ egrer ais´ ement l’´ equation de transfert radiatif dans le cas d’une atmosph` ere en expansion sph´ erique tout en gardant ` a l’esprit le fait que nous serons par la suite amen´ es ` a consid´ erer des mod` eles de vents plus complexes. Cette recherche, conjugu´ ee ` a l’augmentation de la puissance de calcul des ordinateurs actuels, nous a conduit ` a consid´ erer l’utilisation de m´ ethodes de type Monte-Carlo (MC) ´ etant donn´ e leur apparente facilit´ e d’impl´ ementation et la possibilit´ e d’y inclure ais´ ement des m´ ecanismes phy- siques suppl´ ementaires (opacit´ e due aux ´ electrons, fonction de redistribution quelconque, calcul de la polarisation, assombrissement centre-bord, doublets, etc.) ou encore de tenir compte des anisotropies du vent sans avoir ` a modifier totalement le code de calcul.

Le principal avantage des m´ ethodes de Monte-Carlo par rapport aux m´ ethodes int´ egrales traditionnelles vient du fait qu’elles fournissent une simu- lation statistique du r´ esultat en suivant le comportement d’un grand nombre de photons. Ce fait permet de tenir compte de fa¸con consistante des ´ eventuels couplages radiatifs non locaux entre diff´ erents points de l’enveloppe ainsi que des diffusions multiples pouvant se produire dans les zones de r´ esonances, alors que les m´ ethodes int´ egrales n´ ecessitent certaines approximations comme l’approximation de Sobolev (e.a Knigge et al. [1995], Boroson et al. [2001]).

Notons que malgr´ e ses nombreux avantages, la m´ ethode de Monte Carlo pr´ esente ´ egalement quelques inconv´ enients dont l’augmentation consid´ erable du temps de calcul lorsque des vents particuli` erement opaques ` a la radiation sont consid´ er´ es (cf. Bjorkman et al. [2002]). De mˆ eme, ´ etant donn´ e le nombre

´ elev´ e de simulations r´ ealis´ ees, les ´ ev` enements les plus improbables conduisant

`

a un crash de la simulation doivent ˆ etre consid´ er´ es avec attention au moment du codage (le code doit ˆ etre “` a l’´ epreuve des balles” (dixit Bjorkman [2008])).

8.3 Principe de base des codes de type MC

Le principe de base des codes de simulation de type Monte Carlo adapt´ es

au transfert radiatif est relativement simple et a priori facile ` a impl´ ementer

(Wood et al. [2001], Dijkstra et al. [2006], Bjorkman [2008]) : des photons

sont ´ emis ` a la surface d’une sph` ere dure de rayon R

repr´ esentant la zone

d’´ emission du continuum et se d´ eplacent ensuite librement dans le domaine

de simulation au gr´ e de leurs ´ eventuelles interactions avec la mati` ere. La

position d’´ emission, la direction de propagation et la fr´ equence initiale de

chaque photon ´ emis sont d´ etermin´ ees en ´ echantillonnant al´ eatoirement les

fonctions de distribution correspondantes. La m´ ethode de Monte Carlo se

base donc sur l’utilisation intensive de nombres al´ eatoires g´ en´ er´ es par l’ordi-

8.3. PRINCIPE DE BASE DES CODES DE TYPE MC 99

Fig. 8.2 – Illustration graphique de la m´ ethode de transformation. En se donnant un nombre al´ eatoire

de fonction de distribution uniforme, il est ais´ e de g´ en´ erer un nombre al´ eatoire

de fonction de distribution quelconque

(y).

nateur ` a l’aide de routines ad hoc

. Dans la suite du texte, nous appellerons syst´ ematiquement ξ un nombre al´ eatoire de fonction de distribution uniforme sur l’intervalle [0, 1] :

P (ξ)dξ =

(

dξ pour 0 < ξ < 1 0 en dehors de cet intervalle

)

. (8.17)

Une fois un tel nombre ξ d´ etermin´ e, il est ais´ e d’obtenir un nombre al´ eatoire de fonction de distribution f (x) quelconque au moyen de la m´ ethode dite de transformation (Press et al. [1992], Wood et al. [2001], cf. Fig. 8.2).

Ainsi si y ∈ {x

, x

} est une variable dont la fonction de distribution est f (y), on peut d´ eterminer une variable al´ eatoire x

r´ epondant ` a cette mˆ eme fonction de distribution en tirant un nombre al´ eatoire ξ et en r´ esolvant

3Dans notre programme, les nombres al´eatoires sont g´en´er´es par la routineRan2(Press et al. [1992]) dont la grande p´eriode (∼2 10¹⁸) et les bonnes propri´et´es statistiques (Mar- saglia & Zaman [1994], Zeeb & Burns [1999]) en ont fait une des routines couramment utilis´ee dans les simulations de Monte-Carlo (e.a. Fisher et al. [1994], Ahn et al. [2000], Wood et al. [2001]). Nous avons cependant r´ealis´e des simulations de profils `a l’aide d’autres g´en´erateurs de nombre al´eatoire plus r´ecents tels le “Mersenne-Twister” (Matsumoto, M.

& Nishimura, T. [1998]) afin de v´erifier la reproductibilit´e des r´esulats et l’ind´ependance de ces derniers vis-`a-vis du g´en´erateur de nombre al´eatoire utilis´e.

l’´ equation :

ξ = P (x

) =

Rx0

xmin

f (y) dy

Rxmax

xmin

f (y) dy (8.18)

o` u le d´ enominateur permet de normaliser la fonction de distribution cumu- lative

f(y) dy de sorte que :

Z xmax

xmin

P (x) dx =

Z xmax

xmin

Rx

xmin

f(y) dy

R_xmax

xmin

f(y) dy dx = 1. (8.19) Ainsi si l’on souhaite par exemple g´ en´ erer un photon de fr´ equence ν ∈ {ν

, ν

} tout en respectant une distribution d’intensit´ e spectrale L

(ν) donn´ ee, il suffit de choisir un nombre al´ eatoire ξ et de r´ esoudre l’´ equation suivante :

ξ =

Rν

νmin

L

(y) dy

Rνmax

νmin

L

(y) dy . (8.20)

Notons que l’inversion analytique de l’Eq. (8.18) n´ ecessaire ` a l’obtention de la relation x

= x

(ξ) n’est pas toujours triviale et peut parfois s’av´ erer impossible ` a r´ ealiser ` a l’aide des fonctions math´ ematiques usuelles. Afin de r´ eduire le temps que consommerait une inversion num´ erique (surtout s’il faut la r´ ep´ eter un grand nombre de fois), la technique couramment employ´ ee (ap- pel´ ee “Table Lookup Method”, Avery & House [1968]) revient ` a construire au lancement du programme une table de longueur choisie dans laquelle sont plac´ ees les P (x

) correspondant ` a une s´ erie de x

choisis

. Ainsi lors de la recherche de la variable al´ eatoire x

de fonction de distribution f (y), il suffit, une fois le nombre al´ eatoire ξ choisi, de trouver par une recherche dichoto- mique dans la table les valeurs P (x

) et P (x

) du tableau encadrant la valeur ξ cherch´ ee et de d´ eterminer le x

exact correspondant en interpolant lin´ eairement sur cet intervalle.

Les photons cr´ e´ es al´ eatoirement vont alors se d´ eplacer dans le vent (g´ en´ e- ralement mod´ elis´ e par une sph` ere de rayon R

> R

) jusqu’` a ce qu’ils entrent en r´ esonance avec les atomes de ce dernier et soient ´ eventuellement diffus´ es selon une nouvelle direction, jusqu’` a ce qu’ils soient r´ eabsorb´ es par la photosph` ere ou bien jusqu’` a ce qu’ils sortent du vent en R

. Les pho- tons s’´ echappant du vent sont collect´ es par diff´ erents d´ etecteurs virtuels afin de fournir un spectre et/ou une image de la simulation r´ ealis´ ee. Dans l’ap- pendice A nous d´ etaillons chacune des ´ etapes cl´ e de la vie d’un photon

´ enum´ er´ ees ci-dessus. Nous montrons ´ egalement comment MCRT peut nous

4Le nombre d’´el´ements de la table et la distribution des valeursx0,i pour lesquelles les valeurs P(x0,i) sont calcul´ees sont choisies de fa¸con `a r´ealiser un bon ´echantillonnage de la loif(y) correspondante.

8.4. PREMI ` ERES APPLICATIONS ET TESTS DE MCRT 101 fournir des images I(x, y, ν) repr´ esentant l’intensit´ e ´ emise en chaque point du vent, int´ egr´ ee le long de la ligne de vis´ ee pour chaque ´ el´ ement de r´ esolution spectrale dν d’un profil de raie simul´ e. Nous discutons ´ egalement certaines am´ eliorations apport´ ees ` a MCRT afin d’´ elargir son domaine d’application ainsi que ses performances.

8.4 Premi` eres applications et tests de MCRT

Ici nous appliquons la m´ ethode de calcul de profil de raies de r´ esonance MCRT afin de simuler des profils de raies produits plus particuli` erement par la transition permise du carbone 3 fois ionis´ e CIV λ1549.06

. Dans un premier temps, nous testons le programme MCRT en tentant de reproduire des profils de raies dans le cas simple d’un vent en expansion sph´ erique, et comparons les profils MCRT aux profils produits en utilisant l’approximation de Sobolev (cf. Sect. 8.1.2 et A.4) et ` a ceux produits par deux m´ ethodes permettant d’inclure une composante turbulente dans le vent (la m´ ethode SEI de Lamers et al.[1987] et la “comoving frame method” utilis´ ee par Hamann [1981]).

Nous ´ evaluons ensuite qualitativement l’effet sur les profils de la structure en doublet des raies de r´ esonances.

8.4.1 Le vent en expansion sph´ erique

L’´ etude de ce type de vent a une grande importance historique : depuis l’observation des premi` eres raies en absorption dans le spectre UV de cer- taines cat´ egories d’´ etoiles et leur interpr´ etation en termes de vents entraˆınant un ph´ enom` ene de perte de masse (Beals [1929]), ces derniers ont fait l’objet d’´ etudes intensives notamment dans le cas des ´ etoiles massives telles que les

´ etoiles de type Wolf Rayet (e.a. Lucy & Abbott [1993]) ou encore dans le cas des supernovae (p.ex. Mazzali & Lucy [1993]). Afin de calculer un profil de raie dans ce type de vent, nous devons nous donner une loi de vitesse, une loi donnant la densit´ e d’ion dans l’enveloppe en fonction de la distance au centre ainsi que l’opacit´ e totale du vent τ

.

A l’instar des vents observ´ es dans certains types d’´ etoiles, il est sugg´ er´ e que les vents en action dans les quasars de type BAL sont gouvern´ es par la pression de radiation (e.a. Arav et al. [1995], Crenshaw et al. [2003]).

5Ce choix n’est pas restrictif, il est juste utile afin de d´efinir la fr´equence centrale ν₀ et la force d’oscillateurfosc de la raie mod´elis´ee. En outre la classification entre BAL et non BAL est g´en´eralement op´er´ee `a partir de cette raie du domaine UV (cf. Weymann et al. [1991], Hall et al. [2002]) de sorte qu’elle est couramment observ´ee (dans le domaine visible pour des objets de redshift>1.5).

L’expression d’une loi de vitesse dans ce cas a ´ et´ e ´ etudi´ ee ` a l’aide de mod` eles hydrodynamiques (e.a. Castor et al. [1975], Friend & Abbott [1986]) menant

`

a des r´ esultats plus ou moins diff´ erents selon les hypoth` eses consid´ er´ ees.

Aussi utiliserons nous, tel que sugg´ er´ e par Castor & Lamers [1979] une loi analytique simple de type β :

v (r) = v

+ (v

− v

)

1 − R

r

^β

(8.21) o` u r est la distance radiale au centre du vent, v

est la vitesse initiale du vent en r = R

(ici le rayon de la source du continuum), v

la vitesse terminale du vent (i.e. v

= v(r = ∞)) et β > 0 contrˆ ole l’´ evolution du gradient de vitesse. Cette loi permet de reproduire en fonction de la valeur de β la plupart des lois de vitesse sugg´ er´ ees par les ´ etudes th´ eoriques. Notons finalement que les lois de vitesses analytiques d´ eriv´ ees d’´ etudes th´ eoriques ne permettent g´ en´ eralement pas de rendre compte de toutes les structures observ´ ees dans les profils de raies (Snow [1977], Hamann [1980]), mais ` a tout le moins d’en reproduire l’allure g´ en´ erale.

Pour la distribution de densit´ e dans le vent, nous choisissons d’utiliser une loi similaire ` a celle utilis´ ee par Beckwith & Natta [1987] :

n(r) = n

R

r

α

v

v(r)

!−1

(8.22) o` u α caract´ erise la variation de densit´ e et d’ionisation (cf. Sect. A.2.5) de l’ion consid´ er´ e pour une enveloppe de vitesse constante. La valeur du param` etre n

est d´ etermin´ ee en fixant l’opacit´ e radiale totale τ

(cf. Sect. A.2.5).

Notons que dans le cas particulier o` u α = 2 (i.e. on suppose une ionisation constante dans le vent), la densit´ e n(r) de l’ion consid´ er´ e r´ epond ` a l’´ equation de continuit´ e de la mati` ere dans un vent en expansion sph´ erique :

dM

dt = 4π n(r) v(r) r

(8.23)

o` u dM/dt est une constante repr´ esentant le taux de perte de masse.

8.4.2 Profils et influence de la turbulence

Dans la partie gauche de la Fig. 8.3 (cadrans A, B et C), nous mon-

trons l’´ evolution d’un profil de raie en fonction de la turbulence pour une

enveloppe en expansion sph´ erique d´ ecrite par les Eqs (8.21) et (8.22) et de

param` etres R

= 100 R

, v

= 0.01v

, β = 1.5, α = 2.0 pour trois

valeurs de l’opacit´ e totale τ

diff´ erentes. Dans la partie droite (cadrans D,

8.4. PREMI ` ERES APPLICATIONS ET TESTS DE MCRT 103

Fig. 8.3 – A, B et C : illustration de l’´ evolution des profils de raies simul´ es en

fonction de l’importance de la turbulence consid´ er´ ee dans un vent en expansion

sph´ erique pour trois valeurs de

(respectivement

= 1, 10 et 100 de haut

en bas). D, E et F : comparaison de profils de raies produits en utilisant l’ap-

proximation de Sobolev et ceux produits dans une atmosph` ere pour laquelle la

composante turbulente est faible. Tous les profils sont repr´ esent´ es en fonction de

la longueur d’onde normalis´ ee

= (λ

)/(λ

), o` u

correspond ` a

la vitesse maximale dans l’enveloppe (i.e. en

=

).

E et F), nous comparons les profils calcul´ es en utilisant l’AS ` a ceux pro- duits en consid´ erant une faible turbulence dans l’enveloppe, et cela pour des param` etres identiques ` a ceux de la partie gauche.

L’effet de la turbulence sur les profils de raies simul´ es se manifeste de plusieurs mani` eres (cf. Hamann [1981], Lamers et al. [1987]). Nous notons essentiellement le d´ eplacement du maximum d’´ emission vers les grandes lon- gueurs d’ondes et une diminution de son intensit´ e d’autant plus grande que le rapport v

/v

est grand. Le profil en absorption est ´ egalement modifi´ e de fa¸con significative par la turbulence : nous constatons un adoucissement g´ en´ eral du profil, que ce soit en λ

= 0 (l’absorption pouvant ´ egalement s’´ etendre du cot´ e rouge de la raie) mais ´ egalement en v

o` u le retour au niveau du continuum se fait de fa¸con moins abrupte. Dans les cas o` u la turbulence consid´ er´ ee dans le vent est faible (i.e. v

< 0.01 v

), nous retrouvons des spectres proches de ceux calcul´ es en utilisant l’approximation de Sobolev, mais avec toutefois certaines d´ eviations notamment au centre de la raie ou l’hypoth` ese introduite par l’AS n’est plus valable (cf. Groenewegen

& Lamers [1989]).

8.4.3 Comparaison avec les m´ ethodes SEI et CFM

Dans cette section nous comparons les profils de raies simul´ es ` a l’aide de la m´ ethode MCRT ` a ceux produits par deux m´ ethodes permettant de r´ esoudre l’´ equation du transfert radiatif dans une atmosph` ere en expansion sph´ erique tout en consid´ erant une composante turbulente dans le vent.

La m´ ethode CFM

La m´ ethode dite du “r´ ef´ erentiel comobile” (“comoving frame method” en anglais et abr´ evi´ ee CFM) est une technique de r´ esolution exacte de l’´ equation du transfert radiatif propos´ ee par Mihalas et al. [1975]. Le principe de base de r´ esolution est identique aux m´ ethodes utilisant l’AS et la probabilit´ e de fuite, ` a savoir : estimer la fonction source en tout point du vent et ensuite int´ egrer l’´ equation du transfert radiatif. La diff´ erence majeure se situe dans le fait que dans le cas de la CFM, ces ´ etapes sont r´ ealis´ ees dans le r´ ef´ erentiel se d´ epla¸cant avec les ions du vent (i.e. r´ ef´ erentiel comobile). La CFM a ´ et´ e modifi´ ee par Hamann [1981] afin de rendre le code moins complexe tout en am´ eliorant son efficacit´ e. Nous comparons ici les profils simul´ es par MCRT

`

a des profils publi´ es dans l’article susmentionn´ e.

Pour cela, nous adaptons les lois de vitesse et d’opacit´ e du code MCRT

`

a celles utilis´ ees par Hamann [1981]. Ainsi la loi de vitesse s’exprime de la

8.4. PREMI ` ERES APPLICATIONS ET TESTS DE MCRT 105

Fig. 8.4 – Comparaison entre un profil de raie de r´ esonance produit par la m´ ethode CFM (trait continu) et le programme MCRT (symboles vides) pour diff´ erentes valeurs de la turbulence dans le vent. On constate un bon accord g´ en´ eral entre les profils produits par les deux m´ ethodes de calcul. Les param` etres du vent sont ceux utilis´ es pour la Fig. 2 de Hamann [1981] :

= 0.0,

= 0.5 et

= 10.

Les profils sont repr´ esent´ es en fonction de la fr´ equence normalis´ ee dans le r´ ef´ erentiel d’un observateur au repos

= (c/v

)((ν/ν

)

1).

fa¸con suivante :

v(r) = v

1 − b r

!β

(8.24) dans laquelle les diff´ erents param` etres ont leur signification habituelle, et b est tel que v(r = 1) = 0.01 v

. L’opacit´ e due ` a la raie consid´ er´ ee est dict´ ee par l’´ equation de continuit´ e appliqu´ ee ` a un vent sph´ erique :

κ

(r) = κ

r

v(r)/v

q(r) (8.25)

o` u q(r) = (v(r)/v

)

d´ ecrit la distribution de l’ion consid´ er´ e en fonction de la distance radiale r et κ

est une constante d´ eterminant l’´ epaisseur optique de l’enveloppe.

Dans la Fig. 8.4, nous tentons de reproduire les profils repr´ esent´ es dans la

Fig. 2 de Hamann [1981] ` a l’aide de notre programme MCRT. Nous consta-

tons un bon accord g´ en´ eral entre les profils produits par les deux techniques

de calculs quelle que soit la valeur de la composante turbulente dans le vent.

Fig. 8.5 – Comparaison entre un profil de raie de r´ esonance produit par la

m´ ethode SEI et par le programme MCRT pour diff´ erentes valeurs de la turbu-

lence dans le vent. On constate un bon accord g´ en´ eral entre les profils produits

par les deux m´ ethodes de calcul. Les param` etres utilis´ es sont :

= 0.01,

= 1

= 1,

= 2 et

= 12.

8.4. PREMI ` ERES APPLICATIONS ET TESTS DE MCRT 107 La m´ ethode SEI

La m´ ethode SEI est un algorithme de calcul de profils de raie mis point par Lamers et al. [1987] permettant de simuler des profils de raies en consid´ erant la pr´ esence d’une composante turbulente dans un vent en expansion sph´ eri- que. Cette m´ ethode d´ ecoule de l’observation que la majeure diff´ erence entre les profils de raies calcul´ es de fa¸con exacte (m´ ethode CFM) et ceux calcul´ es en utilisant l’approximation de Sobolev n’est pas li´ ee ` a l’´ evaluation de la fonction source mais bien ` a l’int´ egration de l’´ equation de transfert radia- tif (Hamann [1981]). Ainsi dans la m´ ethode SEI, les profils sont calcul´ es de mani` ere int´ egrale en r´ esolvant l’´ equation de transfert radiatif de fa¸con exacte, mais en utilisant l’approximation de Sobolev lors de l’´ evaluation de la fonc- tion source en chaque point du vent. Lamers et al. [1987] ont montr´ e que ce type de solution approch´ ee du probl` eme du transfert de la radiation fournit g´ en´ eralement une solution en accord avec des techniques de calcul exactes telles que la “comoving frame method” de Mihalas et al. [1975]. Notons ce- pendant que Schoenberg [1985] a montr´ e que dans le cas de raies optiquement

´ epaisses, l’approximation utilis´ ee dans la m´ ethode SEI n’est valable que si v

< 0.1v

.

Nous avons compar´ e les profils produits par le programme MCRT aux profils produits par la m´ ethode SEI de Lamers et al. [1987], en adaptant notre programme aux lois de vitesse et d’opacit´ e utilis´ ees par ces derniers. La loi de vitesse est identique ` a l’Eq. (8.21). Leur param´ etrisation de l’´ epaisseur optique est la suivante :

τ

(v) = T I

v v

α1

[1 −

v v

1/β

]

(8.26)

o` u α

, α

et v

sont des param` etres libres, T est l’´ epaisseur optique du vent et I une constante de normalisation (voir Eq. (41) de Lamers et al. [1987]).

On peut facilement extraire la loi de densit´ e n

(r) de l’ion consid´ er´ e ` a l’aide de la relation :

τ

(r) = πe

m

c f

λ

n

(r) dr dv

!

(8.27) dans laquelle les termes employ´ es ont leur signification habituelle.

Dans la Fig. 8.5, nous comparons les profils de raies simul´ es ` a l’aide des

m´ ethodes MCRT et SEI. Nous constatons un bon accord g´ en´ eral entre les

profils produits par la m´ ethode SEI et par la m´ ethode MCRT quelle que soit

la valeur de la composante turbulente consid´ er´ ee.

Conclusions des tests

Les tests r´ ealis´ es ci-dessus indiquent que les profils de raies calcul´ es ` a l’aide de MCRT concordent avec ceux calcul´ es ` a l’aide d’algorithmes ´ etablis tels les m´ ethodes SEI et CFM.

8.4.4 Structure en doublet de la raie

Les raies UV pour lesquelles nous tentons de simuler le spectre sont en r´ ealit´ e dues ` a la diffusion des photons non par des singulets mais par des doublets de r´ esonance pour lesquels la s´ eparation en vitesse est g´ en´ eralement inf´ erieure ` a la vitesse terminale v

de l’enveloppe. De fa¸con g´ en´ erale, les transitions concern´ ees sont essentiellement les transitions (

S

−

P

) du CIV (λλ1548.2, 1550.8) ou encore celle du SiIV (λλ1393.8, 1402.8) pour lesquelles l’´ ecart en vitesse ∆v

des composantes du doublet :

∆v

= c λ

− λ

λ

(8.28)

o` u λ

> λ

sont respectivement de ∼ 500 kms

et de ∼ 2000 kms

. De fa¸con similaire ` a Surdej [1980] et Hutsem´ ekers [1988], nous introduisons diff´ erentes quantit´ es permettant de caract´ eriser le doublet. Nous d´ efinissons la longueur d’onde effective λ

du doublet comme ceci :

λ

= (1 − ε)λ

+ ελ

(8.29) avec

ε = f

f

+ f

(8.30) o` u λ

, λ

et f

, f

repr´ esentent les longueurs d’ondes centrales et les forces d’oscillateurs des transitions 1 * ) 2 et 1 * ) 3. notons que pour les raies ´ etudi´ ees nous avons f

= 2 f

impliquant ε = 2/3. On d´ efinit finalement le rapport ∆ entre la s´ eparation en vitesse du doublet et la vitesse terminale du vent :

∆ = ∆v

v

(8.31) La structure en doublet de la raie implique un couplage radiatif entre des points distants du vent. En effet, consid´ erons le cas simple d’une enve- loppe en expansion sph´ erique

, ainsi les photons ´ emis dans la composante

6Pour rappel, dans ce type de vent, `a l’instar du fait que les objets distants peuplant notre univers s’´eloignent les uns des autres, chaque point s’´ecarte de ses voisins. Ainsi seuls les photons ´emis du cot´e bleu de la raie peuvent ˆetre r´eabsorb´es par les ions du vent.

8.4. PREMI ` ERES APPLICATIONS ET TESTS DE MCRT 109

Fig. 8.6 – Cette figure pr´ esente des profils de raies de r´ esonance produits dans une atmosph` ere en expansion sph´ erique calcul´ es ` a l’aide du code MCRT modifi´ e afin de tenir compte de la structure en doublet de la raie et utilisant l’approximation de Sobolev. Les param` etres utilis´ es dans cette mod´ elisation sont ceux de la raie du CIV. La figure A repr´ esente le profil obtenu pour

= 20 ∆ = 10 000

et la figure B le cas o` u

= 2 ∆ = 1000

.

bleue du doublet pourront ˆ etre r´ eabsorb´ es par la composante rouge de ce dernier augmentant par l` a mˆ eme la fonction source de cette composante. Ce couplage radiatif entre des points distants de l’enveloppe peut s’av´ erer bien plus complexe lorsque des lois de vitesses plus g´ en´ erales sont consid´ er´ ees, rendant l’expression du profil de raie particuli` erement compliqu´ ee ` a calculer avec les m´ ethodes traditionnelles. La m´ ethode de Monte Carlo permet quant

`

a elle de tenir compte de ces couplages radiatifs de fa¸con ´ el´ egante et presque transparente lors du codage (nous renvoyons ` a la Sect. A.3.3 pour plus de d´ etails).

Dans la Fig. 8.6 nous comparons des profils produits par le programme MCRT pour un singulet (raie du CIV) en utilisant l’approximation de Sobo- lev, ` a ceux produits par le code MCRT adapt´ e ` a la structure en doublet de la raie pour deux rapports de vitesses ∆ diff´ erents. Nous constatons que lorsque la vitesse terminale v

du vent est grande par rapport ` a la s´ eparation du doublet, les corrections apport´ ees aux profils simul´ es sont n´ egligeables.

Cette observation n’est pas valable pour des vitesses terminales v

proches de ∆. Ces conclusions rejoignent celles formul´ ees par Hewitt et al. [1974], Grinin [1984]. Etant donn´ e que dans les quasars v

∼ 10 000 kms

∆v

CIV ∼ 500 kms

et l’augmentation du temps de calcul impliqu´ ee par

la recherche de zones de r´ esonances pour chaque composante du doublet, nous

ne consid´ ererons pas cet effet lors de nos simulations visant ` a reproduire les

profils BAL dans les quasars.