Une construction mathématique des gammes

(1)

des gammes

(2)

Introduction

Traité de l’harmonie, Jean-Philippe, 1722

Caractéristiques du son

◼ sa durée

◼ sa hauteur, liée à la fréquence de vibration de la source sonore : plus la fréquence est élevée, plus le son paraît aigu. Si T est le nombre de périodes T du signal reproduits en une seconde, alors la fréquence est donnée par f = ¹

_T

et est exprimée en Hertz.

L’oreille ne peut percevoir que les sons de fréquences comprises entre 20 et 20000 Hz, ce qui représente une dizaine d’octaves environ.

Fréquence en Hertz Temps en secondes

1 s | 8000 Hz

◼ son intensité, liée à l’amplitude des vibrations

◼ son timbre qui permet de distinguer deux sons émis par deux instruments différents.

(3)

Note

C

Instrument

Piano

1 s

Quelques questions

◼ Pourquoi y a-t-il 7 noms de notes différents dans la gamme occidentale et pourquoi les

intervalles ne sont-ils pas identiques entre deux notes consécutives (présence de tons ou de demi- tons entre Mi et Fa ou entre Si et Do) ?

◼ Pourquoi cette gamme comprend-elle au total 12 notes distinctes non également réparties ?

◼ Pourquoi certaines notes différentes sont jouées de la même façon sur les instruments ordinaires (La♭ et Sol♯ par exemple) ?

◼ Pourquoi apprend-on que l’ordre des dièses est Fa – Do – Sol – Ré – La – Mi – Si et que celui des

bémols est l’ordre inverse des dièses ?

(4)

La gamme pythagoricienne

Historique

Pythagore (fin du VI

^e

siècle avant J. C. ) avait remarqué qu’en plaçant un chevalet au milieu d’une corde tendue, les deux parties donnaient un même son lorsqu’on les pinçait, analogue à celui que donnait la corde entière (octave).

En plaçant ce chevalet au tiers à partir d’une extrémité, la partie la plus longue donnait un nouveau

son (quinte supérieure).

(5)

L’échelle harmonique,in Franchino Gafurio, Theorica musice , Naples,1480,page de titre,gravure sur bois

(6)

(7)

Construction pythagoricienne de la gamme diatonique

écrits d’Aristoxène de Tarente, IV

^e

siècle avant J. C.

Octaves

Soit f 0 la fréquence associée à une note choisie pour note de référence. On note o 0 = f ₀ .

◼ Les octaves successives ascendantes sont définies pour tout entier relatif n par o

n+1

= 2 o

_n

.

◼ Les octaves successives descendantes sont définies pour tout entier relatif n par o

n+1

= ¹ ₂ o

_n

. On peut ainsi définir l’octave par l’application o qui à tout entier relatif n associe o(n) = 2

ⁿ

f ₀ .

n

o

0

 f

0

8 s | 8000 Hz Note de référence : do médium

Quintes

On définit les quintes successives par l’application q qui, à tout n ∈ ℤ associe q(n) =  ³ ₂ 

ⁿ

f ₀ .

◼ La suite (q

n

)

_n≥0

est appelée suite des quintes ascendantes.

◼ La suite (q

-n

)

_n≤0

est appelée suite des quintes descendantes.

(8)

n

q

0

 f

0

14 s | 8000 Hz Note de référence : do médium

Quarte

Alternance de quartes et de quintes

Les Pythagoriciens construisent la gamme sur la base d’une succession alternée de quintes ascen- dantes (multiplication par ³ ₂ ) et de quartes descendantes (multiplication par ¹

4

3

= ³ ₄ ).

Cela revient à définir la suite associée (p

n

)

_n∈ℕ

par  p 2

n+1

= ³ ₂ p 2

n

pour tout n ∈ ℕ

p ₂

_n

= ³ ₄ p ₂

_n-1

pour tout n ∈ ℕ

^*

et p 0 = f ₀ . On établit que le terme général de (p

n

) est donné par  p _2n =  ⁹ ₈ 

ⁿ

f ₀ pour tout n ∈ ℕ

p ₂

_n+1

= ³ ₂ ×  ⁹ ₈ 

ⁿ

f ₀ pour tout n ∈ ℕ

Démonstration

Nous avons p 0 =  ⁹ ₈  ⁰ × f ₀ , p 1 = ³ ₂ f ₀ .

En supposant que pour un entier k, on ait p 2k =  ⁹ ₈ 

^k

f 0 , nous avons p 2

k+1

= ³ ₂ p 2k soit p _2k+1 = ³ ₂ ×  ⁹ ₈ 

^k

f ₀ et p 2k+2 = ³ ₄ × p ₂

_k+1

, soit p 2

k+2

=  ⁹ ₈ 

^k+1

f ₀ .

Ce qui démontre le résultat par récurrence.

(9)

Ecoute

n

p

0

 p(0) p

0

 p(0.)

13 s | 8000 Hz

Note de référence : do médium

Les notes obtenues, qui correspondent aux termes de la suite (p

n

), sont définies par les rapports suivants

Valeur exacte 1

³₂ ⁹₈ ²⁷₁₆ ⁸¹₆₄ ²⁴³₁₂₈ ⁷²⁹₅₁₂

Valeur approchée 1. 1.5 1.125 1.6875 1.26563 1.89844 1.42383 Ces notes ne sont pas classées.

Classées dans l’ordre croissant, c’est-à-dire ramenées à la note de référence (1, dans notre cas, do médium), et en divisant par la puissance de 2 nécéssaire, on obtient

Note dans l'ordre d'apparition 1

³₂ ⁹₈ ²⁷₁₆ ⁸¹₆₄ ²⁴³₁₂₈ ⁷²⁹₅₁₂

Note ramenée à l'octave 1

³₂ ⁹₈ ²⁷₁₆ ⁸¹₆₄ ²⁴³₁₂₈ ⁷²⁹₅₁₂

Note classée 1

⁹₈ ⁸¹₆₄ ⁷²⁹₅₁₂ ³₂ ²⁷₁₆ ²⁴³₁₂₈

Valeur approchée 1. 1.12 1.27 1.42 1.5 1.69 1.9

7 s | 8000 Hz

Les musiciens seront probablement surpris par la quatrième note de la gamme ainsi obtenue. En

fait, avec les notations actuelles, on écoute un Fa♯ en lieu et place d’un Fa. Mais il y a une explica-

tion qui sera donnée dans la suite…

(10)

Cycle des quintes

Progression par quintes

On montre que cette construction de la gamme est équivalente à la progression de quintes ramenées à l’octave, c’est-à-dire à la suite (q

n

) définie pour tout n ∈ ℕ par :

◼ q

_n+1

= ³ ₂ f

_n

si ³ ₂ q

_n

< 2

◼ q

n+1

=

3 2fn

2 = ³ ₄ q

_n

si ³ ₂ q

_n

> 2

Les premiers termes de la suite des quintes (q

n

) est résumée par le tableau suivant Note dans l'ordre d'apparition 1

³₂ ⁹₄ ²⁷₈ ⁸¹₁₆ ²⁴³₃₂ ⁷²⁹₆₄

Note ramenée à l'octave 1

³₂ ⁹₈ ²⁷₁₆ ⁸¹₆₄ ²⁴³₁₂₈ ⁷²⁹₅₁₂

Note classée 1

⁹₈ ⁸¹₆₄ ⁷²⁹₅₁₂ ³₂ ²⁷₁₆ ²⁴³₁₂₈

Les rapports obtenus avec la progression de quintes coïncident avec ceux obtenus par la méthode pythagoricienne alternant quintes ascendantes et quartes descendantes.

Recherche d’une gamme finie

Résolution numérique

Malheureusement, une échelle de sons ainsi construite n’est pas finie. Pour qu’il en soit ainsi, il faudrait que (q

n

) soit périodique, autrement dit qu’il existe un couple d’entiers (m, n) tel que q

_n

= 2

^m

c’est-à-dire  ³ ₂ 

ⁿ

= 2

^m

, ou , ₂ ³

m+nⁿ

= 1.

Or 3

ⁿ

est impair et 2

^m+n

est impair…

Il faut donc rechercher une solution approchée pour laquelle la progression obtenue permet d’aboutir au voisinage de la note initiale, c’est-à-dire trouver m et n entiers tels que ₂ ³

m+nⁿ

= 1 ± ε et ε > 0.

◼ Si ₂ ³

m+nⁿ

= 1 + ε, ε > 0, alors la quinte dépasse l’octave

◼ si ₂ ³

m+nⁿ

= 1 - ε, c'est l’octave qui dépasse la quinte Posons, pour tout n ∈ ℕ, u

n

= ₂ ³

m+nⁿ

.

Pour ε > 0 suffisamment proche de 0 (c’est ce qu’on cherche ! ) 1 + ε ∈ [1; 2[ et u

n

= 1 + ε équivaut à ε = u

_n

- 1.

u

_n

= 1 - ε équivaut à u

n

= 2 (1 - ε) car 1 - ε ∉ [1; 2[ soit ε = 1 - ¹ ₂ u

_n

. ε est donc le plus petit des nombres u

_n

- 1 et 1 - ¹ ₂ u

_n

.

Or u

n

- 1 < 1 - ¹ ₂ u

_n

équivaut à u

n

< ⁴ ₃ .

(11)

succession

On a représenté ci-dessus :

◼ en rouge, les octaves dans leur ordre d’apparition (l’octave numérotée n correspondant à o

n

= 2

ⁿ

)

◼ en bleu, les quintes dans leur ordre d’apparition (la quinte numérotée n correspondant à q

_n

=  ³ ₂ 

ⁿ

)

Il reste à programmer la recherche des solutions possibles.

Valeur approchée de ε

Nombre de quintes

Nombre d'octaves

Ecart de son

ramené à l'octave

(12)

0.25 1 1

2 s | 8000 Hz

0.125 2 1

2 s | 8000 Hz

0.0507813 5 3

2 s | 8000 Hz

0.0136433 12 7

2 s | 8000 Hz

0.0113975 41 24

2 s | 8000 Hz

0.00209031 53 31

2 s | 8000 Hz

0.00102172 306 179

2 s | 8000 Hz

(13)

0.0000436551 665 389

2 s | 8000 Hz

Ce qui peut surprendre au premier abord, c’est l’absence de la solution n = 7 (qui représenterait une gamme à 7 notes, analogue à la gamme occidentale usuelle), mais on comprend pourquoi…

Décomposition en fractions continues

On sait déjà que l’équation  ³ ₂ 

ⁿ

= 2

^m

n’admet aucun couple d’entiers solution, mais on peut affirmer que

 ³ ₂ 

ⁿ

= 2

^m

⇔ log ₂  ³ ₂ 

ⁿ

 = log ₂ (2

^m

) ⇔ n log ₂  ³ ₂  = m log ₂ (2) ⇔ log ₂  ³ ₂  =

^m_n

La méthode des fractions continues permet d’obtenir différentes approximations rationnelles de log ₂  ³ ₂ .

n

…  0

Dans les fractions obtenues dans le second membre, le numérateur représente le nombre d’oc- taves, et le dénominateur le nombre de quintes.

Recherche des réduites

On se propose de déterminer les premières réduites de la fraction continue correspondant au nombre x = log ₂  ³ ₂ . On a 2

^x

= ³ ₂ et x < 1, donc en posant y = ¹

_x

, on a y > 1 et 2

^x

= ³ ₂ ⇔  ³ ₂ 

^y

= 2.

Nous avons 1 < y < 2 car ³ ₂ < 2 et  ³ ₂  ² = ⁹ ₄ , ⁹ ₄ > 2.

Posons y = 1 + ¹

_z

. On a ¹

_z

< 1 et donc z > 1.

 ³ ₂ 

^y

= 2 équivaut donc successivement à

3 2 ×  ³ ₂ 

¹^z

= 2

 ³ ₂ 

1 z

= ⁴ ₃

 ⁴ ₃ 

^z

= ³ ₂

Nous avons maintenant 1 < z < 2 car ⁴ ₃ < ³ ₂ et  ⁴ ₃  ² = ¹⁶ ₉ et ¹⁶ ₉ > ³ ₂ .

Posons z = 1 + ¹

_u

;  ⁴ ₃ 

^z

= ³ ₂ équivaut successivement à

(14)

 ₃ 

^u

= ₈

 ⁹ ₈ 

^u

= ⁴ ₃

Cette fois, on a 2 < u < 3 car  ⁹ ₈  ² = ⁸¹ ₆₄ , ⁸¹ ₆₄ < ⁴ ₃ et  ⁹ ₈  ³ = ⁷²⁹ ₅₁₂ , ⁷²⁹ ₅₁₂ > ⁴ ₃ .

On est donc amené à poser u = 2 + ¹

_v

où v > 1 et  ⁹ ₈ 

^u

= ⁴ ₃ équivaut successivement à

 ⁹ ₈  ² ×  ⁹ ₈ 

¹^v

= ⁴ ₃

 ⁹ ₈ 

¹^v

= ²⁵⁶ ₂₄₃

 ²⁵⁶ ₂₄₃ 

^v

= ⁹ ₈

…

(15)

Gamme pentatonique

Résumons les solutions obtenues précédemment : Valeur

approchée de ε

Nombre de quintes

Nombre d'octaves

0.25 1 1

0.125 2 1

0.0507813 5 3

0.0136433 12 7

0.0113975 41 24

0.00209031 53 31

0.00102172 306 179

0.0000436551 665 389

Dans cette partie, on s’intéresse au premier couple solution non trivial (3; 5) (5 quintes sur 3 octaves), qui donne la suite de nombres ou notes

1

⁹₈ ⁸¹₆₄ ³₂ ²⁷₁₆

5 s | 8000 Hz

Les rapports entre deux notes, définis comme quotient entre deux notes consécutives, sont donnés

par

(16)

1 3

2 9

8 27 16 81

64 1 3 5 2 4

9 8

32 27

9 8

Do Ré Mi Sol La

9 8

32 27

9 8

La gamme ainsi construite donne, en partant de Do et dans l’ordre d’apparition dans les cycles Do – Sol – Ré – La – Mi soit Do – Ré – Mi – Sol – La, appelée gamme pentatonique majeure de Do.

Les intervalles qu’elle contient sont de deux natures  ⁹ ₈ et ³² ₂₇ .

(17)

Gamme diatonique

Gamme à 7 notes (diatonique)

Bien que l’approximation par 7 quintes soit un peu moins bonne que celle obtenue par 5 quintes, on obtient :

1

⁹₈ ⁸¹₆₄ ⁷²⁹₅₁₂ ³₂ ²⁷₁₆ ²⁴³₁₂₈

7 s | 8000 Hz

Les intervalles entre deux notes consécutives sont :

1 9

8

81 64

729 512

3 2

27 16

243 128

1 3 5 7 2 4 6

9 8

256 243

9 8

Do Ré Mi Fa♯ Sol La Si

9 8

256 243

9 8

Cette gamme, appelée gamme de Pythagore, était connue des chinois ; les deux notes supplémen- taires étaient utilisées comme notes de passage.

Elle comprend deux types d’intervalle :

◼ Le ton pythagoricien égal à ⁹ ₈

◼ Le limma pythagoricien (demi-ton) un peu inférieur à la moitié d'un ton (puisque  ²⁵⁶ ₂₄₃  ² < ⁹ ₈ et

 ²⁵⁶ ₂₄₃  ² - ⁹ ₈ =-0.015 à 10

^-3

près)

Notations

Les lettres-notes ont été baptisées par Guido d’Arezzo (vers 975 – vers 1040) au moyen des pre-

mières syllabes d’un hymne à Saint-Jean-Baptiste :

(18)

MIra gestorum FAmuli tuorum SOLve polluti LAbii reatum Sancte Iohannes

Les écoliers italiens de ce temps connaissaient bien cet hymne et le chantaient avec une mélodie qui montait de degré en degré.

C’était pratique pour apprendre les hauteurs relatives de chaque degré de la gamme.

Le si fut ajouté par Anselme de Flandres à la fin du XVI ^e siècle et le ut, jugé trop dur à l’oreille, transformé en do par Bononcini en 1673.

(Afin que puisse résonner dans les coeurs détendus les merveilles de tes actions, absous l’erreur de la lèvre indigne de ton serviteur, ô saint Jean … )

La lèvre indigne s’explique par l’histoire de Saint-Jean : La naissance de Jean fut annoncée à son père Zacharie par l’archange Gabriel. Le prêtre Zacharie étant stérile, ce dernier douta des propos de l’archange qui le punit en le rendant sourd et muet. Ce n’est qu'à la naissance de Jean, après que Zacharie eut écrit sur une tablette « Jean est son nom » qu’il retrouva la parole et l'ouïe.

En langage médiéval la gamme s’appelait solfa, qui donna le solfège.

Modes primitifs

Dans le cycle des quintes, le choix de la note de départ ne joue aucun rôle particulier.

On peut donc choisir d’effectuer k quintes ascendantes et 6 - k quintes descendantes (où k ∈ 〚0; 6〛).

Cela revient à dresser la liste des 6 premiers termes de chaque suite u

p

: n ↦  ³ ₂ 

^p

×  ³ ₂ 

ⁿ

où p est un entier relatif tel que -6 ≤ p ≤ 0 et à les ramener sur une octave (en divisant les termes par la puis- sance de 2 nécessaire).

On obtient alors

1

²⁵⁶₂₄₃ ³²₂₇ ⁴₃ ¹⁰²⁴₇₂₉ ¹²⁸₈₁ ¹⁶₉

1

²⁵⁶₂₄₃ ³²₂₇ ⁴₃ ³₂ ¹²⁸₈₁ ¹⁶₉

1

⁹₈ ³²₂₇ ⁴₃ ³₂ ¹²⁸₈₁ ¹⁶₉

1

⁹₈ ³²₂₇ ⁴₃ ³₂ ²⁷₁₆ ¹⁶₉

1

⁹₈ ⁸¹₆₄ ⁴₃ ³₂ ²⁷₁₆ ¹⁶₉

1

⁹₈ ⁸¹₆₄ ⁴₃ ³₂ ²⁷₁₆ ²⁴³₁₂₈

1

⁹₈ ⁸¹₆₄ ⁷²⁹₅₁₂ ³₂ ²⁷₁₆ ²⁴³₁₂₈

Les différents intervalles obtenus sont les suivants, qui définissent les 7 modes grecs primitifs :

(19)

locrien (VII)

²⁵⁶₂₄₃ ⁹₈ ⁹₈ ²⁵⁶₂₄₃ ⁹₈ ⁹₈ ⁹₈

phrygien (III)

²⁵⁶₂₄₃ ⁹₈ ⁹₈ ⁹₈ ²⁵⁶₂₄₃ ⁹₈ ⁹₈

aeolien (VI)

⁹₈ ²⁵⁶₂₄₃ ⁹₈ ⁹₈ ²⁵⁶₂₄₃ ⁹₈ ⁹₈

dorien (II)

⁹₈ ²⁵⁶₂₄₃ ⁹₈ ⁹₈ ⁹₈ ²⁵⁶₂₄₃ ⁹₈

myxolydien (V)

⁹₈ ⁹₈ ²⁵⁶₂₄₃ ⁹₈ ⁹₈ ²⁵⁶₂₄₃ ⁹₈

ionien (I)

⁹₈ ⁹₈ ²⁵⁶₂₄₃ ⁹₈ ⁹₈ ⁹₈ ²⁵⁶₂₄₃

lydien (IV)

⁹₈ ⁹₈ ⁹₈ ²⁵⁶₂₄₃ ⁹₈ ⁹₈ ²⁵⁶₂₄₃

k

aeolien (VI)

7 s | 8000 Hz

On appelle tétracorde toute succession ascendante ou descendante de quatre notes conjointes.

Le mode ionien est composé de deux tétracordes composés chacun dans cet ordre d’intervalles d’un ton, d’un ton et d’un demi-ton  ⁹ ₈ - ⁹ ₈ - ²⁵⁶ ₂₄₃ , chaque tétracorde étant séparé par un ton. Ces deux tétracordes sont dits majeurs.

Toutes les gammes diatoniques majeures sont construites à l’aide de deux tétracordes majeurs séparés par un ton et ayant la même composition de tons et demi-tons.

La succession suivante correspond à la gamme de do majeur.

Do Ré Mi Fa Sol La Si Do

9 8

256 243

9 8

256 243

8 s | 8000 Hz

(20)

Gamme chromatique

17 notes pour une gamme

Rappelons les solutions obtenues.

Valeur approchée de ε

Nombre de quintes

Nombre d'octaves

0.25 1 1

0.125 2 1

0.0507813 5 3

0.0136433 12 7

0.0113975 41 24

0.00209031 53 31

0.00102172 306 179

0.0000436551 665 389

On étend donc la gamme pentatonique en produisant maintenant 12 quintes sur 7 octaves.

On appelle comma pythagoricien l’intervalle produit entre les notes obtenues ainsi. Il est égal à

^

3 2¹²

2

⁷

soit ⁵³¹⁴⁴¹ ₅₂₄₂₈₈ et il représente l’erreur commise, que l’on peut écouter.

2 s | 8000 Hz

Cette succession de 12 quintes (sur 7 octaves) permetd’obtenir les notes suivantes :

(21)

1 2187

2048 9 8

19 683 16 384

81 64

177 147 131 072

729 512

3 2

6561 4096

27 16

59 049 32 768

243 128

1 8 3 10 5 12 7 2 9 4 11 6

2187 2048

256 243

2187 2048

256 243

2187 2048

256 243

2187 2048

256 243

2187 2048

256 243

Do Do♯ Ré Ré♯ Mi Mi♯ Fa♯ Sol Sol♯ La La♯ Si

12 s | 8000 Hz

Les cinq notes ajoutées sont les notes diésées Fa♯, Do♯, Sol♯, Ré♯, La♯.

Ici encore, on aurait pu effectuer k quintes ascendantes et 11 - k quintes descendantes (k ∈ 〚0, 11〛).

Les quintes descendantes définissent les notes bémolisées, et ces notes réunies avec les précé- dentes, classées dans l'ordre croissant, donneraient :

Do Ré♭ Do♯ Ré Mi♭ Ré♯ Mi Fa Mi♯ Fa♯ Sol La♭ Sol♯ La

1

²⁵⁶₂₄₃ ²¹⁸⁷₂₀₄₈ ⁹₈ ³²₂₇ ^{19 683}_{16 384} ⁸¹₆₄ ⁴₃ ^{177 147}_{131 072} ⁷²⁹₅₁₂ ³₂ ¹²⁸₈₁ ⁶⁵⁶¹₄₀₉₆

Do Ré♭ Do♯ Ré Mi♭ Ré♯ Mi FaMi♯ Fa♯ Sol La♭ Sol♯ La Si♭ La♯ Si Do

d c d d c d d c d d d c d d c d d

17 s | 8000 Hz

On obtient ainsi 17 notes distinctes ; les intervalles produits sont de deux types :

◼ demi-ton diatonique d = ²⁵⁶ ₂₄₃

◼ comma pythagoricien c = ⁵³¹⁴⁴¹ ₅₂₄₂₈₈

(22)

On ne conserve entre les notes proches d’intervalle égal à un comma pythagoricien (Ré♭ – Do♯, Mi♭

– Ré♯, Fa – Mi♯, La♭ – Sol♯ et Si♭ – La♯) que les premières obtenues dans le cycle des quintes (ascendantes ou non), à savoir Do♯, Mi♭, Fa, Sol♯ et Si♭.

Do Do♯ Ré Mi♭ Mi Fa Fa♯ Sol Sol♯ La Si♭ Si Do

1

²¹⁸⁷₂₀₄₈ ⁹₈ ³²₂₇ ⁸¹₆₄ ⁴₃ ⁷²⁹₅₁₂ ³₂ ⁶⁵⁶¹₄₀₉₆ ²⁷₁₆ ¹⁶₉ ²⁴³₁₂₈

2 Do Do♯ Ré Mi♭ Mi Fa Fa♯ Sol Sol♯ La Si♭ Si Do

c d d c d c d c d d c d

13 s | 8000 Hz

On peut maintenant constater que chaque ton  ⁹ ₈  se décompose en deux demi-tons inégaux :

◼ le demi-ton chromatique ou apotome c égal à ²¹⁸⁷ ₂₀₄₈ = ₂ ³

11⁷

qui correspond à l’intervalle obtenu par succession de 7 quintes et 4 octaves ₂ ³

11⁷

=

^

3 2⁷

2

⁴

;

◼ le demi-ton diatonique ou limma égal à ²⁵⁶ ₂₄₃ = ² ₃

⁸5

correspondant à l’intervalle obtenu par succession de 3 octaves et 5 quintes pures ² ₃

⁸5

= ²

³

³₂⁵

. On a effectivement ₂ ³

11⁷

× ² ₃

⁸5

= ³ ₂

²3

c’est-à-dire ⁹ ₈ .

Le rapport entre ces deux demis-tons est égal au comma pythagoricien puisque

³

7

2¹¹ 2⁸ 3⁵

= ³ ₂

¹²19

soit

3⁷ 2¹¹ 2⁸ 3⁵

=

^

3 2¹²

2

⁷

(intervalle obtenu par succession de 12 quintes sur 7 octaves).

(23)

Transposition

Le problème

Les musiciens ont très tôt rencontré le problème consistant à adapter une mélodie au registre d’une voix ou d’un instrument. Pour cela, on cherche à transposer une mélodie vers l’aigu ou le grave tout en conservant les intervalles successifs de la mélodie initiale.

Mathématiquement, la transposition revient à multiplier les fréquences par un même nombre.

Reprenons la gamme obtenue précédemment et les intervalles associés.

Do Do♯ Ré Mi♭ Mi Fa Fa♯ Sol Sol♯ La Si♭ Si Do

1

²¹⁸⁷₂₀₄₈ ⁹₈ ³²₂₇ ⁸¹₆₄ ⁴₃ ⁷²⁹₅₁₂ ³₂ ⁶⁵⁶¹₄₀₉₆ ²⁷₁₆ ¹⁶₉ ²⁴³₁₂₈

2 Do Do♯ Ré Mi♭ Mi Fa Fa♯ Sol Sol♯ La Si♭ Si Do

2187 2048

256 243

2187 2048

256 243

2187 2048

256 243

2187 2048

256 243

2187 2048

256 243

13 s | 8000 Hz

Les 11 transpositions ascendantes sont constituées des 12 notes de la gamme chromatique prises dans cet ordre et en commençant par l’une d’entre elles.

Cela revient à construire la gamme à partir de l’une des notes et à obtenir les 11 autres par celle qui la suit immédiatement.

1

²¹⁸⁷₂₀₄₈ ⁹₈ ³²₂₇ ⁸¹₆₄ ⁴₃ ⁷²⁹₅₁₂ ³₂ ⁶⁵⁶¹₄₀₉₆ ²⁷₁₆ ¹⁶₉

2187 2048

4 782 969 4 194 304

19 683 16 384

81 64

177 147 131 072

729 512

1 594 323 1 048 576

6561 4096

14 348 907 8 388 608

59 049 32 768

243 128 9

8

19 683 16 384

81 64

4 3

729 512

3 2

6561 4096

27 16

59 049 32 768

243

128

2

32 27

81 64

4 3

1024 729

3 2

128 81

27 16

16 9

243

128

2

⁵¹²₂₄₃

81 64

177 147 131 072

729 512

3 2

6561 4096

27 16

59 049 32 768

243 128

531 441 262 144

2187 1024

9 4 4

3

729 512

3 2

128 81

27 16

16 9

243

128

2

²¹⁸⁷₁₀₂₄ ⁹₄ ⁶⁴₂₇

729 512

1 594 323 1 048 576

6561 4096

27 16

59 049 32 768

243 128

531 441 262 144

2187 1024

4 782 969 2 097 152

19 683 8192

81 32 3

2

6561 4096

27 16

16 9

243

128

2

²¹⁸⁷₁₀₂₄ ⁹₄ ^{19 683}₈₁₉₂ ⁸¹₃₂ ⁸₃

6561 4096

14 348 907 8 388 608

59 049 32 768

243 128

531 441 262 144

2187 1024

4 782 969 2 097 152

19 683 8192

43 046 721 16 777 216

177 147 65 536

729 256 27

16

59 049 32 768

243

128

2

²¹⁸⁷₁₀₂₄ ⁹₄ ^{19 683}₈₁₉₂ ⁸¹₃₂ ^{177 147}_{65 536} ⁷²⁹₂₅₆

3

16 9

243

128

2

⁵¹²₂₄₃ ⁹₄ ⁶⁴₂₇ ⁸¹₃₂ ⁸₃ ⁷²⁹₂₅₆

3

²⁵⁶₈₁

243 128

531 441 262 144

2187 1024

9 4

19 683 8192

81 32

177 147 65 536

729 256

1 594 323 524 288

6561 2048

27 8

2

²¹⁸⁷₁₀₂₄ ⁹₄ ⁶⁴₂₇ ⁸¹₃₂ ⁸₃ ⁷²⁹₂₅₆

3

⁶⁵⁶¹₂₀₄₈ ²⁷₈ ³²₉

(24)

1

²¹⁸⁷₂₀₄₈ ⁹₈ ³²₂₇ ⁸¹₆₄ ⁴₃ ⁷²⁹₅₁₂ ³₂ ⁶⁵⁶¹₄₀₉₆ ²⁷₁₆ ¹⁶₉

2187 2048

4 782 969 4 194 304

19 683 16 384

81 64

177 147 131 072

729 512

1 594 323 1 048 576

6561 4096

14 348 907 8 388 608

59 049 32 768

243 128 9

8

19 683 16 384

81 64

4 3

729 512

3 2

6561 4096

27 16

59 049 32 768

243

128

1

32 27

81 64

4 3

1024 729

3 2

128 81

27 16

16 9

243

128

1

²⁵⁶₂₄₃

81 64

177 147 131 072

729 512

3 2

6561 4096

27 16

59 049 32 768

243 128

531 441 524 288

2187 2048

9 8 4

3

729 512

3 2

128 81

27 16

16 9

243

128

1

²¹⁸⁷₂₀₄₈ ⁹₈ ³²₂₇

729 512

1 594 323 1 048 576

6561 4096

27 16

59 049 32 768

243 128

531 441 524 288

2187 2048

4 782 969 4 194 304

19 683 16 384

81 64 3

2

6561 4096

27 16

16 9

243

128

1

²¹⁸⁷₂₀₄₈ ⁹₈ ^{19 683}_{16 384} ⁸¹₆₄ ⁴₃

6561 4096

14 348 907 8 388 608

59 049 32 768

243 128

531 441 524 288

2187 2048

4 782 969 4 194 304

19 683 16 384

43 046 721 33 554 432

177 147 131 072

729 512 27

16

59 049 32 768

243

128

1

²¹⁸⁷₂₀₄₈ ⁹₈ ^{19 683}_{16 384} ⁸¹₆₄ ^{177 147}_{131 072} ⁷²⁹₅₁₂ ³₂

16 9

243

128

1

²⁵⁶₂₄₃ ⁹₈ ³²₂₇ ⁸¹₆₄ ⁴₃ ⁷²⁹₅₁₂ ³₂ ¹²⁸₈₁

243 128

531 441 524 288

2187 2048

9 8

19 683 16 384

81 64

177 147 131 072

729 512

1 594 323 1 048 576

6561 4096

27 16

1

²¹⁸⁷₂₀₄₈ ⁹₈ ³²₂₇ ⁸¹₆₄ ⁴₃ ⁷²⁹₅₁₂ ³₂ ⁶⁵⁶¹₄₀₉₆ ²⁷₁₆ ¹⁶₉

k

Transposition n°0 (Do)

13 s | 8000 Hz

Le calcul des intervalles obtenus ainsi, en faisant apparaître le demi-ton diatonique d = ²⁵⁶ ₂₄₃ et le

demi-ton chromatique c = ²¹⁸⁷ ₂₀₄₃ , font apparaître des quarts de ton diatonique ou chromatique. La

gamme chromatique n’est donc pas invariante par transposition.

(25)

c d d c d c d c d d c

¹²⁸₂₄₃

c d d c d c d c d d

²¹⁸⁷₄₀₉₆

d

c d d c d c d c d

¹²⁸₂₄₃

c d

c d d c d c d c

¹²⁸₂₄₃

d c d

c d d c d c d

²¹⁸⁷₄₀₉₆

d d c d

c d d c d c

¹²⁸₂₄₃

c d d c d

²¹⁸⁷₄₀₉₆

d c d d c d

c d d c

¹²⁸₂₄₃

c d c d d c d

c d d

²¹⁸⁷₄₀₉₆

d c d c d d c d

c d

¹²⁸₂₄₃

c d c d c d d c d

c

¹²⁸₂₄₃

d c d c d c d d c d

2187

4096

d d c d c d c d d c d

c d d c d c d c d d c

¹²⁸₂₄₃

Est-ce si grave ?

Les battements

amplitude 1 amplitude 2

quart de ton ¹²⁸

243 2187 4096

temps

10 s | 8000 Hz

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

-2 -1 1 2

(26)

La gamme tempérée

Le problème rencontré lors de la transposition amène à partager l’octave en 12 demi-tons égaux.

Le demi-ton d est l'unique solution réelle de [0; 1] telle que d ¹² = 2, soit d =

¹²

2 .

Do Do♯ Ré Mi♭ Mi Fa Fa♯ Sol Sol♯ La Si♭ Si Do

1

¹²

2

⁶

2

⁴

2

³

2 2

⁵^¹²

2 2

⁷^¹²

2

²^³

2

³^⁴

2

⁵^⁶

2

¹¹^¹²

2 13 s | 8000 Hz

On a représenté ci-dessous en rouge la gamme tempérée, en bleue la gamme pythagoricienne.

(27)

Do Do♯ Ré Mi♭ Mi Fa Fa♯ Sol Sol♯ La Si♭ Si Do

Note

Do

Tempérée 1

Pythagore 1

Ecart 1.

Ecoute

2 s | 8000 Hz

(28)

Une construction mathématique des gammes

des gammes

Introduction

Traité de l’harmonie, Jean-Philippe, 1722

Caractéristiques du son

◼ sa durée

◼ sa hauteur, liée à la fréquence de vibration de la source sonore : plus la fréquence est élevée, plus le son paraît aigu. Si T est le nombre de périodes T du signal reproduits en une seconde, alors la fréquence est donnée par f = 1

et est exprimée en Hertz.

L’oreille ne peut percevoir que les sons de fréquences comprises entre 20 et 20000 Hz, ce qui représente une dizaine d’octaves environ.

1 s | 8000 Hz

◼ son intensité, liée à l’amplitude des vibrations

◼ son timbre qui permet de distinguer deux sons émis par deux instruments différents.

C

Piano

1 s

Quelques questions

◼ Pourquoi y a-t-il 7 noms de notes différents dans la gamme occidentale et pourquoi les

intervalles ne sont-ils pas identiques entre deux notes consécutives (présence de tons ou de demi- tons entre Mi et Fa ou entre Si et Do) ?

◼ Pourquoi cette gamme comprend-elle au total 12 notes distinctes non également réparties ?

◼ Pourquoi certaines notes différentes sont jouées de la même façon sur les instruments ordinaires (La♭ et Sol♯ par exemple) ?

◼ Pourquoi apprend-on que l’ordre des dièses est Fa – Do – Sol – Ré – La – Mi – Si et que celui des

bémols est l’ordre inverse des dièses ?

La gamme pythagoricienne

Historique

Pythagore (fin du VI

siècle avant J. C. ) avait remarqué qu’en plaçant un chevalet au milieu d’une corde tendue, les deux parties donnaient un même son lorsqu’on les pinçait, analogue à celui que donnait la corde entière (octave).

En plaçant ce chevalet au tiers à partir d’une extrémité, la partie la plus longue donnait un nouveau

son (quinte supérieure).

L’échelle harmonique,in Franchino Gafurio, Theorica musice , Naples,1480,page de titre,gravure sur bois

Construction pythagoricienne de la gamme diatonique

écrits d’Aristoxène de Tarente, IV

siècle avant J. C.

Octaves

Soit f 0 la fréquence associée à une note choisie pour note de référence. On note o 0 = f 0 .

◼ Les octaves successives ascendantes sont définies pour tout entier relatif n par o

= 2 o

.

◼ Les octaves successives descendantes sont définies pour tout entier relatif n par o

= 1 2 o

. On peut ainsi définir l’octave par l’application o qui à tout entier relatif n associe o(n) = 2

f 0 .

o

 f

8 s | 8000 Hz Note de référence : do médium

Quintes

On définit les quintes successives par l’application q qui, à tout n ∈ ℤ associe q(n) =  3 2 

f 0 .

◼ La suite (q

)

est appelée suite des quintes ascendantes.

◼ La suite (q

)

est appelée suite des quintes descendantes.

q

 f

14 s | 8000 Hz Note de référence : do médium

Quarte

Alternance de quartes et de quintes

Les Pythagoriciens construisent la gamme sur la base d’une succession alternée de quintes ascen- dantes (multiplication par 3 2 ) et de quartes descendantes (multiplication par 1

= 3 4 ).

Cela revient à définir la suite associée (p

)

par  p 2

= 3 2 p 2

pour tout n ∈ ℕ

p 2

= 3 4 p 2

pour tout n ∈ ℕ

et p 0 = f 0 . On établit que le terme général de (p

) est donné par  p 2n =  9 8 

f 0 pour tout n ∈ ℕ

p 2

= 3 2 ×  9 8 

f 0 pour tout n ∈ ℕ

Démonstration

Nous avons p 0 =  9 8  0 × f 0 , p 1 = 3 2 f 0 .

En supposant que pour un entier k, on ait p 2k =  9 8 

f 0 , nous avons p 2

= 3 2 p 2k soit p 2k+1 = 3 2 ×  9 8 

f 0 et p 2k+2 = 3 4 × p 2

◼ sa hauteur, liée à la fréquence de vibration de la source sonore : plus la fréquence est élevée, plus le son paraît aigu. Si T est le nombre de périodes T du signal reproduits en une seconde, alors la fréquence est donnée par f = ¹

Soit f 0 la fréquence associée à une note choisie pour note de référence. On note o 0 = f ₀ .

= ¹ ₂ o

f ₀ .

On définit les quintes successives par l’application q qui, à tout n ∈ ℤ associe q(n) =  ³ ₂ 

f ₀ .

Les Pythagoriciens construisent la gamme sur la base d’une succession alternée de quintes ascen- dantes (multiplication par ³ ₂ ) et de quartes descendantes (multiplication par ¹

= ³ ₄ ).

= ³ ₂ p 2

p ₂

= ³ ₄ p ₂

et p 0 = f ₀ . On établit que le terme général de (p

) est donné par  p _2n =  ⁹ ₈ 

f ₀ pour tout n ∈ ℕ

p ₂

= ³ ₂ ×  ⁹ ₈ 

f ₀ pour tout n ∈ ℕ

Nous avons p 0 =  ⁹ ₈  ⁰ × f ₀ , p 1 = ³ ₂ f ₀ .

En supposant que pour un entier k, on ait p 2k =  ⁹ ₈ 

= ³ ₂ p 2k soit p _2k+1 = ³ ₂ ×  ⁹ ₈ 

f ₀ et p 2k+2 = ³ ₄ × p ₂

=  ⁹ ₈ 

f ₀ .

= ³ ₂ f

si ³ ₂ q

2 = ³ ₄ q

si ³ ₂ q

c’est-à-dire  ³ ₂ 

, ou , ₂ ³

Il faut donc rechercher une solution approchée pour laquelle la progression obtenue permet d’aboutir au voisinage de la note initiale, c’est-à-dire trouver m et n entiers tels que ₂ ³

◼ Si ₂ ³

◼ si ₂ ³

= ₂ ³

= 2 (1 - ε) car 1 - ε ∉ [1; 2[ soit ε = 1 - ¹ ₂ u

- 1 et 1 - ¹ ₂ u