Fibrés de Schwarzenberger et coniques de droites sauteuses

(1)

HAL Id: hal-01991018

https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01991018

Submitted on 23 Jan 2019

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires

Fibrés de Schwarzenberger et coniques de droites sauteuses

Jean Vallès

To cite this version:

Jean Vallès. Fibrés de Schwarzenberger et coniques de droites sauteuses. Bulletin de la société

mathématique de France, Société Mathématique de France, 2000. �hal-01991018�

(2)

Fibr´es de Schwarzenberger et coniques de droites sauteuses

Jean Vall` es

R ´ ESUM ´ E.— ` A un fibr´ e vectoriel E stable de rang deux sur le plan projectif complexe P

2

on associe son sch´ ema des droites de saut S(E) dans P

^∨₂

[Ba1]. Quand le d´ eterminant de E est pair S(E) est une courbe. Dans [LP1] Le Potier demande quels sont les fibr´ es caract´ eris´ es par leurs courbes de saut. Dans cet article nous montrons que si E est un fibr´ e de Schwarzenberger [Sch1]

de d´ eterminant pair alors S(E ) d´ etermine E; dans ce cas S(E ) est de la forme nC ` ou C est une conique lisse de P

^∨₂

. Nous donnons aussi une ´ etude fine de la vari´ et´ e des z´ eros d’une section d’un fibr´ e de Schwarzenberger. Cette ´ etude permet d’ordonner et de simplifier la th´ eorie bien connue des courbes de Poncelet.

ABSTRACT.— To a stable vector bundle E of rank 2 on the complex projective plane P

₂

Barth associates its scheme S(E) of jumping lines in P

^∨₂

[Ba1]. When the first Chern class of E is even S(E) is a curve. In [LP1] Le Potier asks which bundles are characterized by their curve of jumping lines. In this paper we prove that if E is a Schwarzenberger’s bundle [Sch1] with even first Chern class then S(E ) determine E ; in this case S(E) is of the form nC where C is a smooth conic of P

^∨₂

. We also give a precise study of the zero-scheme of a section of a Schwarzenberger’s bundle. This study gives a simplification of the well known Poncelet’s curve theory.

Introduction

Une m´ ethode d´ esormais classique lorsque l’on ´ etudie les fibr´ es vectoriels stables de rang deux sur le plan projectif complexe est de consid´ erer leur sch´ ema de droites sauteuses. Les fibr´ es de rang deux stables (ceux dont les endomorphismes sont les constantes) de classes de Chern (c

1

, c

2

) poss` edent une vari´ et´ e de modules projective irr´ eductible et normale de dimension 4c

2

− c

²₁

− 3 not´ ee M (c

1

, c

2

). Une droite de saut de F est une droite L telle que F

_L

= O

_L

(a) ⊕ O

_L

(b) avec |a − b| > 1. L’entier [|a − b|/2] est l’ordre de saut de L. Si [|a − b|/2] ne d´ epend pas du choix de la droite de saut, on dira que le saut est uniforme.

D’apr` es Grauert et M¨ ulich une droite g´ en´ erale n’est pas une droite de saut de F .

Soit F ∈ M (c

1

, c

2

), on note S(F ) l’ensemble des droites de saut de F . Cet ensemble a une structure naturelle de sous-sch´ ema ferm´ e de P

^∨₂

([Ba1], pour c

₁

pair et [Hu] pour c

₁

impair) .

— Pour un fibr´ e F ∈ M (c

₁

, c

₂

) de c

₁

pair, S(F ) est une courbe de degr´ e c

₂

− c

²₁

/4, image de F par le “morphisme de Barth”

γ : M (c

1

, c

2

) −→ P(H

⁰

(O

_P^∨

2

(c

2

− c

²₁

/4)))

Ce morphisme est g´ en´ eriquement fini sur son image, il est mˆ eme quasi-fini lorsque l’on

consid` ere sa restriction ` a l’ouvert des fibr´ es vectoriels ([LP2], thm 6.11). Pour (c

₂

−c

²₁

/4) =

(3)

4, Le Potier ([LP1], cor. 5.16) a montr´ e que M (c

₁

, c

₂

) est birationnel ` a son image et il conjecture que c’est encore vrai pour (c

2

− c

²₁

/4) > 4.

Probl` eme. Pour (c

₂

− c

²₁

/4) > 4, existe t-il un fibr´ e qui soit d´ etermin´ e par sa courbe de saut.

La r´ eponse est oui, nous montrons dans la deuxi` eme partie de cet article que les fibr´ es de Schwarzenberger [Sch1] de d´ eterminant pair sont d´ etermin´ es par leur courbe de saut.

Plus pr´ esis´ ement nous montrons (thm. 2.4)

Th´ eor` eme. Soient C une conique lisse de P

^∨₂

d’´ equation {f = 0} et E un fibr´ e stable sur P

2

de d´ eterminant pair tels que S(E) est le diviseur nC d’´ equation {f

ⁿ

= 0}. Alors E est un fibr´ e de Schwarzenberger de la conique C.

Une cons´ equence imm´ ediate de ce th´ eor` eme est que la courbe multiple nC lorsque n n’est pas un nombre binˆ omial n’appartient pas ` a l’image de M (0, 2n) par le morphisme de Barth.

La premi` ere partie est consacr´ ee ` a une ´ etude d´ etaill´ ee de la vari´ et´ e des z´ eros d’une section d’un fibr´ e de Schwarzenberger. Cette ´ etude permet d’ordonner et de simplifier la th´ eorie bien connue des courbes de Poncelet.

Je remercie Christian Peskine pour ses conseils dans l’´ elaboration de ce travail.

1 Fibr´ es de Schwarzenberger

Schwarzenberger a montr´ e que tout fibr´ e vectoriel de rang deux sur P

₂

provient de la donn´ ee d’un faisceau inversible L sur une surface lisse X qui est un revˆ etement double de P

2

([Sch1], thm.3). Il ´ etudie plus pr´ ecis´ ement le cas o` u le revˆ etement π : X → P

2

est ramifi´ e le long d’une conique lisse de P

₂

; on appelle fibr´ es de Schwarzenberger les fibr´ es vectoriels de rang deux π

∗

L. Plusieurs descriptions de cette surface X existent, nous utiliserons la description qui suit.

Soit F ⊂ P

₂

× P

^∨₂

la vari´ et´ e d’incidence points-droites de P

₂

. Soit C une conique lisse de P

^∨₂

, posons X := F ∩ (P

₂

× C) et consid´ erons les diagrammes d’incidence :

F −→

^q

P

^∨₂

X −→

^q^¯

C

p ↓ p ¯ ↓

P

2

P

2

On sait que X est un revˆ etement double de P

₂

ramifi´ e le long de la conique duale C

^∨

⊂ P

₂

. D´ efinition 1.1 On appelle fibr´ es de Schwarzenberger de la conique C, les fibr´ es vectoriels de rang 2 sur P

₂

E

n,C

(a) := (¯ p

∗

q ¯

^∗

L

_n

(C))(a)

o` u L

_n

(C) est le faisceau inversible de degr´ e n sur C et a est un entier.

Les classes de Chern de ces fibr´ es sont : c

₁

(E

_n,C

) = n − 1, c

₂

(E

_n,C

) = n(n − 1)/2.

Comme le morphisme ¯ p est fini on a : H

ⁱ

(E

n,C

) = H

ⁱ

(L

_n

(C)) pour tout n. En particulier,

h

⁰

(E

_n,C

) = n + 1 pour n ≥ 0.

(4)

1.0.1 Suites de liaison La suite exacte

0 → L

_n−1

(C) → L

_n

(C) → O

_L^∨

→ 0

o` u L

^∨

est le point de P

^∨₂

correspondant ` a la droite L de P

₂

tangente ` a C

^∨

, induit une suite exacte :

0 → E

n−1,C

→ E

_n,C

→ O

_L

→ 0 (1)

Plus g´ en´ eralement on a, pour le choix de k points distincts, L

^∨₁

, · · · , L

^∨_k

sur C des suites de liaisons de la forme :

0 → E

n,C

→ E

n+k,C

→

k

M

i=1

O

Li

→ 0 1.0.2 R´ esolution

Rappelons ([Sch1], prop. 2) que le fibr´ e de Schwarzenberger E

_n,C

(n > 0) est d´ ecrit par 0 → (n − 1)O

P2

(−1) −→

^M

(n + 1)O

P2

−→ E

n,C

→ 0.

Les coordonn´ ees, (X

0

, X

1

, X

2

), de P

2

peuvent ˆ etre choisies de telle mani` ere qu’un repr´ esentant de M soit la matrice (n + 1) × (n − 1) suivante

M =





 X

₀

X

1

X

0

X

2

X

1

. X

₂

. .

. . . . . X

0

. X

₁

X

2







Remarque. Dans ce cas l’´ equation de C

^∨

⊂ P

2

est X

₁²

− 4X

0

X

2

= 0.

1.0.3 Quelques remarques On v´ erifie facilement que

E

0,C

= O

P2

⊕ O

P2

(−1), E

1,C

= O

P2

⊕ O

P2

et E

2,C

= Ω

^∨_P₂

(−1) En utilisant les suites de liaison, on en d´ eduit la relation de dualit´ e suivante

E

−i,C

= E

_i,C^∨

(−1) = E

i,C

(−i).

Il est clair d’apr` es la r´ esolution ci-dessus que E

_n,C

est engendr´ e par ses sections pour n > 0 et que H

⁰

(E

n,C

(−1)) = 0 pour tout n.

On en d´ eduit que les fibr´ es de Schwarzenberger sont stables pour n 6= −1, 0, 1.

Pour −2 ≤ n ≤ 2 les fibr´ es de Scharzenberger ne d´ ependent pas du choix de la conique de P

^∨₂

. Pour | n |≥ 3, E

n,C

caract´ erise C; nous le verrons dans le paragraphe concernant le sch´ ema des droites de saut de E

n,C

.

On supposera dans la suite de ce texte que n ≥ 2.

(5)

1.1 Une caract´ erisation des fibr´ es de Schwarzenberger

Soit E un fibr´ e vectoriel de rang deux sur P

₂

de premi` ere classe de Chern ´ egale ` a c

₁

. Compte tenu de la suite exacte canonique

0 → Λ

²

E −→ E ⊗ E −→ S

²

E → 0 l’´ equivalence

E est stable ⇔ h

⁰

(E ⊗ E

^∨

) = 1 peut encore s’´ ecrire

E est stable ⇔ h

⁰

((S

²

E)(−c

₁

)) = 0

Peut-on caract´ eriser les fibr´ es stables E qui v´ erifient H

⁰

((S

²

E)(1 − c

₁

)) 6= 0?

Les fibr´ es stables E tels que c

1

(E) = −1 et h

⁰

(E(1)) 6= 0 v´ erifient ´ evidemment cette propri´ et´ e. Ces fibr´ es sont appel´ es fibr´ es de Hulsbergen, on dira fibr´ es de Hulsbergen impairs pour pr´ eciser que leur premi` ere classe de Chern est impaire.

Si l’on excepte ces fibr´ es de Hulsbergen impairs on montre dans la proposition suivante que les fibr´ es vectoriels stables E v´ erifiant H

⁰

((S

²

E)(1 − c

₁

)) 6= 0 sont les fibr´ es de Schwarzen- berger.

On remarque que le seul fibr´ e de Schwarzenberger stable qui est aussi Hulsbergen impair est le fibr´ e tangent.

Proposition 1.2 Soit E un fibr´ e vectoriel stable de rang deux sur P

₂

qui n’est pas un fibr´ e de Hulsbergen impair. Alors les conditions suivantes sont ´ equivalentes.

a) E est un fibr´ e de Schwarzenberger.

b) H

⁰

((S

²

E)(1 − c

₁

)) 6= 0

Preuve de la proposition 1.2. Rappelons tout d’abord qu’un revˆ etement double de P

2

est caract´ eris´ e par sa courbe de ramification. On note h la classe de O

_P₂

(1), η la classe du relativement ample sur le fibr´ e projectif P(E) et π le morphisme canonique

π : P(E) −→ P

2

.

a)⇒ b) Soit C une conique lisse de P

^∨₂

et X son image r´ eciproque dans la vari´ et´ e d’incidence. Le faisceau d’id´ eaux dans X du diviseur de ramification est ¯ p

^∗

O

P2

(−1).

La suite exacte

0 → q ¯

^∗

L

_n

(C) ⊗ p ¯

^∗

O

_P₂

(−1) → q ¯

^∗

L

_n

(C) → (¯ q

^∗

L

_n

(C))

_|C^∨

→ 0 donne par image directe, un homomorphisme

0 → E

_n,C

(−1) → E

_n,C

→ L

_n

(C

^∨

) → 0. (2) qui ne provient pas de la multiplication par une forme lin´ eraire. Compte tenu de la suite exacte

0 → O

_P₂

(1) −→ E

_n,C

⊗ E

_n,C^∨

(1) −→ S

²

E

_n,C

(2 − n) → 0 on en d´ eduit que h

⁰

(E

_n,C

⊗ E

_n,C^∨

(1)) ≥ 4 c’est ` a dire h

⁰

(S

²

E

_n,C

(2 − n)) ≥ 1.

b)⇒ a) On peut supposer sans perte de g´ en´ eralit´ e c

₁

= 0 ou c

₁

= −1.

(6)

Une section non nulle s ∈ H

⁰

(S

²

E(1 − c

₁

)) d´ efinit un diviseur D de P(E) qui est un revˆ etement double de P

2

. Consid´ erons la suite exacte d´ efinissant le diviseur D

0 → O

_P(E)

(−2η + (c

₁

− 1)h) −→ O

_P(E)

−→ O

_D

→ 0

Le faisceau dualisant relatif est ω

P(E)/P₂

= O

P(E)

(−2η + c

1

h) ([Ha1], ex. 8.4). On en d´ eduit que R

¹

π

∗

O

_P(E)

(−η) = 0, ce qui implique

E = π

∗

O

D

(η) et que R

¹

π

∗

O

_P(E)

(−2η) = O

_P₂

(−c

₁

) ce qui implique

π

∗

O

D

= O

_P₂

⊕ O

_P₂

(−1)

La courbe de ramification du morphisme D → P

₂

est une conique, il suffit donc de montrer qu’elle est lisse.

Il s’agit de montrer que D n’est ni une r´ eunion de deux plans (la ramification est une droite double) ni un cˆ one quadrique (la ramification est form´ ee de deux droites distinctes).

Le diviseur D n’est pas r´ eunion de deux plans car il est irr´ eductible; en effet sinon il existerait u ∈ H

⁰

(E(a)), v ∈ H

⁰

(E(b)) deux sections non nulles et deux entiers tels que s = uv et a + b = 1 − c

₁

, ce qui implique que le fibr´ e est instable si a ou b est nul ou qu’il est Hulsbergen impair si a et b sont ´ egaux ` a 1.

Comme E = π

∗

O

_D

(η) est stable il est non d´ ecompos´ e donc D n’est pas un cˆ one quadrique.

1.2 Sections d’un fibr´ e de Schwarzenberger

Commen¸cons par faire une remarque ´ evidente — mais utile — ` a laquelle nous r´ ef` ererons souvent.

Remarque 1.3 Soit s une section de E

_n,C

et Z(s) son sch´ ema des z´ eros. Si L est une droite tangente ` a C

^∨

s´ ecante ` a Z(s), alors elle est (n − 1)-s´ ecante ` a Z (s).

Preuve de la remarque 1.3. Si L est tangente ` a C

^∨

, on a un homomorphisme surjectif E

_n,C

→ O

_L

qui prouve que (E

_n,C

)

_|L

= O

_L

(n − 1) ⊕ O

_L

. La suite exacte

0 → O

_P₂

→

^s

E

_n,C

→ I

_Z(s)

(n − 1) → 0

induit une application surjective (E

n,C

)

_|L

→ I

_L∩Z(s)/L

(n − 1) (o` u I

_L∩Z(s)/L

est le faisceau d’id´ eaux du sch´ ema L∩Z(s) dans L). Si L rencontre Z(s), ceci implique I

_L∩Z(s)/L

(n−1) = O

_L

, autrement dit L est n − 1 s´ ecante ` a Z (s).

1.2.1 Sch´ ema des z´ eros d’une section

Soit s ∈ H

⁰

(E

n,C

) une section non nulle. Comme s ∈ H

⁰

(L

_n

(C)) il lui correspond un diviseur effectif de degr´ e n, D

n

(s) = ^P n

i

L

^∨_i

de C.

Proposition 1.4 Soient s ∈ H

⁰

(E

n,C

) une section non nulle et Z(s) le sch´ ema o` u cette section s’annule. Soit D

n

(s) = ^P n

i

L

^∨_i

le diviseur positif de degr´ e n de C correspondant

`

a s :

(7)

1) Le support de Z(s) est form´ e des points : a) x

ij

= L

i

∩ L

j

si i 6= j

b) x

ii

= L

i

∩ C

^∨

si n

i

≥ 2.

2) On note Z (s) = ∪Z

_ij

o` u Z

_ij

est le sous-sch´ ema ponctuel de Z (s) support´ e par x

_ij

(la r´ eunion est disjointe). On a alors :

a) Z

ii

= Z(s

i

) o` u s

i

∈ H

⁰

(E

ni,C

) est la section dont le diviseur de C correspondant est D

_n_i

= n

_i

L

^∨_i

.

b) Z

_ii

∪ Z

_ij

∪ Z

_jj

= Z (s

_ij

) o` u s

_ij

∈ H

⁰

(E

_n_i_+n_j_,C

) est la section dont le diviseur de C correspondant est D

ni+nj

= n

i

L

^∨_i

+ n

j

L

^∨_j

.

On notera indiff´ eremment D

_n

(s) le diviseur sur C et le sch´ ema de dimension z´ ero de P

^∨₂

. Le faisceau d’id´ eaux du sous-sch´ ema ferm´ e D

_n

(s) de P

^∨₂

est not´ e J

_D_n_(s)

. La proposition se d´ eduira du lemme suivant.

Lemme 1.5 R

¹

p

∗

q

^∗

J

_D_n_(s)

= O

_Z(s)

Remarque 1.6 On rappelle que le 0-i` eme id´ eal de fitting du faisceau R

¹

p

∗

q

^∗

J

_D_n_(s)

est l’id´ eal dans P

2

du sch´ ema des bis´ ecantes ` a D

n

(s) ([G-P] prop. 1.2). Ce sch´ ema est fini car D

_n

(s) est un diviseur sur une courbe lisse.

Preuve du lemme 1.5. La suite exacte 0 → O

_P^∨

2

(−2) −→ J

_D_n_(s)

−→ L

_−n

(C) → 0, donne par image directe sur P

₂

0 → p

∗

q

^∗

J

_D_n_(s)

→ E

−n,C

→ R

¹

p

∗

q

^∗

O

_P^∨

2

(−2) → R

¹

p

∗

q

^∗

J

_D_n_(s)

→ 0.

On v´ erifie que R

¹

p

∗

q

^∗

O

_P^∨

2

(−2) = O

_P₂

(−1) et que l’application E

_n,C^∨

(−1) = E

−n,C

−→ O

_P₂

(−1) est la duale de notre section

O

P2

−→

s

E

n,C

.

Le faisceau p

∗

q

^∗

J

_D_n_(s)

est un faisceau inversible sur P

₂

et comme le sch´ ema des bis´ ecantes

`

a D

n

(s) est fini, on a

p

∗

q

^∗

J

_D_n_(s)

= O

_P₂

(−n).

La suite ci-dessus devient alors

0 → O

_P₂

(−n) → E

_n,C^∨

(−1) → O

_P₂

(−1) → R

¹

p

∗

q

^∗

J

_D_n_(s)

→ 0 ce qui prouve le lemme.

Preuve de la proposition 1.4. Le point x ∈ P

2

est dans Z (s) si et seulement si la

droite x

^∨

de P

^∨₂

est une bis´ ecante au sch´ ema de dimension z´ ero D

_n

(s). Mais les bis´ ecantes

au diviseur effectif D

n

(s) de C sont ´ evidemment les droites x

^∨_ij

joignant les points L

^∨_i

et

L

^∨_j

de C pour i 6= j et les tangentes ` a C en un point L

^∨_i

tel que 2L

^∨_i

∈ D

n

(s). Ce qui

d´ emontre 1).

(8)

Pour la deuxi` eme assertion de la proposition, il suffit de remarquer que Z

_ii

est le sous- sch´ ema des bis´ ecantes au diviseur D

ni

= n

i

L

^∨_i

et que Z

ii

∪ Z

ij

∪ Z

jj

est le sous-sch´ ema des bis´ ecantes au diviseur D

ni+nj

= n

i

L

^∨_i

+ n

j

L

^∨_j

. Ces diviseurs correspondent aux sections s

_i

∈ H

⁰

(E

_n_i_,C

) et s

_ij

∈ H

⁰

(E

_n_i_+n_j_,C

).

Remarque 1.7 On suppose n > 2. D

_n

(s) est lisse si et seulement si Z(s) est lisse, et dans ce cas le sch´ ema Z (s) est form´ e des sommets des n-droites (distinctes) tangentes ` a C

^∨

.

Plus pr´ ecis´ ement on a :

Corollaire 1.8 deg(O

Zii

) = n

i

(n

i

− 1)/2, deg(O

Zij

) = n

i

n

j

. deg(O

_L_i∩Z_ii

) = n

_i

− 1, deg(O

_L_i∩Z_ij

) = n

_j

.

Preuve du corollaire 1.8. deg(O

_Z_ii

) = c

₂

(E

_n_i_,C

) = n

_i

(n

_i

− 1)/2.

deg(O

Zij

) = c

2

(E

ni+nj,C

) − deg(O

Zii

) − deg(O

Zjj

) = n

i

n

j

.

La droite L

_i

est n

_i

− 1 s´ ecante ` a Z

_ii

car c’est une droite tangente ` a C

^∨

qui rencontre le lieu des z´ eros de la section s

_i

∈ H

⁰

(E

_n_i_,C

) (Remarque 1.3). De mˆ eme, la droite L

_i

est (n

i

+ n

j

− 1)-s´ ecante ` a Z (s

ij

). Comme elle est n

i

− 1 s´ ecante ` a Z

ii

elle est n

j

s´ ecante ` a Z

ij

.

1.2.2 Description de Z

ij

et Z

ii

Afin de faciliter la description de ces groupes de points on choisit la r´ esolution suivante du fibr´ e E

_n,C

0 → (n − 1)O

_P₂

(−1) −→

^M

(n + 1)O

_P₂

−→ E

_n,C

→ 0 o` u M est la matrice introduite dans la section 1.0.2.

Rappelons ([Tr],page 33) que si f

µ,ν

sont les mineurs maximaux obtenus en supprimant les µ-i` eme et ν-i` eme lignes de M (avec µ < ν), ces mineurs se calculent par r´ ecurrence de la mani` ere suivante : Soit ∆

₀

= 1, ∆

₁

= X

₁

et pour k ≥ 2

∆

k

= det







X

1

X

0

X

₂

X

₁

. X

₂

. .

. . . . . X

₀

X

₂

X

₁





 k

Alors ∆

k

= X

1

∆

k−1

−X

₀

X

2

∆

k−2

=

[^k₂]

X

j=0

(−1)

^j

C

_k−j^j

X

₁^k−2j

X

₂^j

X

₀^j

et f

µ,ν

= X

₀^µ

∆

ν−µ−1

X

₂^n−ν

. On note M

i

la matrice n × (n − 1) extraite de M en supprimant la i-` eme ligne.

Proposition 1.9 Soient s

i

∈ H

⁰

(E

_n,C

) la section associ´ ee au diviseur D

n

(s

i

) = iX

₀^∨

+ (n − i)X

₂^∨

avec 0 ≤ i ≤ n et I

_Z(s_i₎

l’id´ eal gradu´ e du sch´ ema des z´ eros de la section.

1) L’id´ eal gradu´ e I

_Z(s_i₎

est engend´ e par les mineurs maximaux de M

i+1

.

(9)

2) Pour i < n − 1, au point (1, 0, 0) de coordonn´ ees locales (x

₁

, x

₂

), l’id´ eal de Z(s

_i

) est J

_Z(s_i₎

= (x

2

δ

n−2−i

, δ

n−1−i

) o` u

δ

n−k

=

[^n−k₂ ]

X

i=0

(−1)

ⁱ

C

_n−k−iⁱ

x

^n−k−2i₁

x

ⁱ₂

est l’´ equation locale de ∆

n−k

.

3) Pour 0 < i < n, au point (0, 1, 0) de coordonn´ ees locales (x

₀

, x

₂

), l’id´ eal de Z(s

_i

) est J

_Z(s_i₎

= (x

ⁱ₀

, x

ⁿ⁻ⁱ₂

).

Preuve de la proposition 1.9. On v´ erifie tr` es facilement que le support de l’id´ eal engendr´ e par les mineurs maximaux de M

i+1

est constitu´ e des points (1, 0, 0) si i <

n − 1, (0, 1, 0) si 0 < i < n et de (0, 0, 1) si i > 1. D’apr` es la proposition 1.4 la section correspondante au choix de la matrice M

_i+1

est associ´ ee au diviseur iX

₀^∨

+ (n − i)X

₂^∨

ce qui prouve 1).

La preuve de 2) se fait sans difficult´ e par r´ ecurrence en utilisant la relation δ

n−i

= x

1

δ

n−i−1

− x

2

δ

n−i−2

.

Pour prouver 3) on utilise l’expression locale de f

µ,ν

donn´ ee par Trautmann ([Tr], page 54).

Remarques. Il r´ esulte des d´ efinitions de δ

_.

et de ∆

_.

que δ

k−1

∈ M

^[k/2]_x_ii

et δ

k−1

∈ M /

^[k/2]+1_x_ii

et que si k est impair la droite X

1

= 0 est une composante de la courbe d’´ equation ∆

k

= 0.

1.3 Application. Courbes de Poncelet

Les r´ esultats pr´ esent´ es dans ce paragraphe sont bien connus (cf. [Tr] et [Ma] pour les singularit´ es des courbes de Poncelet). Nous avons voulu, pourtant, souligner que les pro- pri´ et´ es des courbes de Poncelet se d´ eduisent aussi de l’´ etude des fibr´ es de Schwarzenberger et plus particuli` erement de l’´ etude du sch´ ema des z´ eros de leurs sections.

1.3.1 D´ efinitions

Citons la d´ efinition suivante donn´ ee par Trautmann.

D´ efinition 1.10 Une courbe S ⊂ P

₂

de degr´ e (n − 1) sera appel´ ee courbe de Poncelet associ´ ee ` a C

^∨

s’il existe un pinceau Λ de diviseurs effectifs de degr´ e n sur C

^∨

tel que pour chaque couple de points d’un diviseur de Λ, les tangentes de C

^∨

en ces points se rencontrent sur S.

Cette d´ efinition ne prend pas en compte le cas o` u le pinceau contient un diviseur effectif de

degr´ e n > 2 concentr´ e en un point. Consid´ erons plutˆ ot un pinceau Λ de diviseurs effectifs

de degr´ e n sur C ⊂ P

^∨₂

tel que pour chaque diviseur D

_n

de Λ, le sch´ ema des bis´ ecantes ` a

D

n

est contenu dans S. On retrouve la d´ efinition pr´ ec´ edente lorsque le diviseur g´ en´ eral du

pinceau est lisse et l’on d´ efinit ainsi des courbes de Poncelet pour des diviseurs multiples

sur C. Rappelons que le pinceau Λ de diviseurs effectifs de degr´ e n sur C ⊂ P

^∨₂

induit un

pinceau de sections du fibr´ e de Schwarzenberger E

n,C

(car H

⁰

(L

_n

(C) = H

⁰

(E

n,C

)). Nous

utiliserons dans la suite la d´ efinition suivante.

(10)

D´ efinition 1.11 Une courbe S ⊂ P

₂

de degr´ e (n − 1) est une courbe de Poncelet associ´ ee

`

a C

^∨

si et seulement si S est le d´ eterminant d’un pinceau de sections de E

n,C

.

On notera alors V

_S

le pinceau correspondant ` a la courbe de Poncelet S (et Λ

_S

le pinceau de sections de L

_n

(C) associ´ e sur C).

En utilisant les r´ esultats pr´ ec´ edents, on retrouve facilement le th´ eor` eme suivant du ` a Darboux, ´ enonc´ e de mani` ere diff´ erente.

Th´ eor` eme 1.12 (Darboux) Soit S ⊂ P

₂

une courbe de degr´ e (n − 1) et C une conique de P

^∨₂

. S’il existe un diviseur effectif D

_n

, de degr´ e n, sur C dont le sch´ ema des bis´ ecantes est contenu dans S, alors S est une courbe de Poncelet associ´ ee ` a C

^∨

.

Preuve du th´ eor` eme 1.12. Le diviseur D

_n

est d´ efini par une section de L

_n

(C), par cons´ equent il induit une section s ∈ H

⁰

(E

n,C

) (avec E

n,C

= ¯ p

∗

q ¯

^∗

L

_n

(C)) dont le sch´ ema des z´ eros Z (s) est le sch´ ema des bis´ ecantes de D

_n

:

0 → O

P2

→ E

n,C

→ I

_Z(s)

(n − 1) → 0.

La courbe S est une section du faisceau I

_Z(s)

(n − 1). Il existe donc une section t de E

n,C

telle que s ∧ t = 0 soit l’´ equation de S. Ce qui prouve le th´ eor` eme.

1.3.2 Singularit´ es des courbes de Poncelet

En utilisant l’´ etude du sch´ ema des z´ eros des sections des fibr´ es de Schwarzenberger on donne une ´ equation locale explicite pour une courbe de Poncelet au voisinage d’un point du plan; on d´ emontre ainsi la proposition suivante. Cette proposition, ´ enonc´ ee de mani` ere diff´ erente a ´ et´ e prouv´ ee par Maruyama ([Ma], proposition 4.4) et par Trautmann ([Tr]

proposition 5.1). Rappelons que les points fixes de Λ

_S

sont en bijection avec les com- posantes de S qui sont des droites tangentes ` a la conique C

^∨

([Tr], prop. 1.11) et que la courbe S est r´ eduite lorsque Λ

_S

est sans point fixe ([Tr], prop. 3.3).

Proposition 1.13 Soit S une courbe de Poncelet de degr´ e (n − 1) associ´ ee ` a une conique C lisse de P

^∨₂

. On suppose que le pinceau associ´ e Λ

_S

de sections de L

_n

(C) est sans point fixe. Alors,

1) Pour x ∈ S il existe une unique section σ ∈ V

S

tel que x ∈ Z (σ)

2) La multiplicit´ e de S en x est ≥ k si et seulement si Z(σ) contient le (k − 1)-i` eme voisinage infinit´ esimal de x.

Preuve de la proposition 1.13.

Preuve de 1). Comme la courbe S est le d´ eterminant du pinceau de sections V

_S

, il existe une section σ ∈ V

S

qui s’annule en x. Le pinceau ´ etant sans point fixe, c’est la seule.

Preuve de 2). On note S = 0 l’´ equation de la courbe S. De mˆ eme si L est une droite on note L = 0 son ´ equation.

Rappelons que l’id´ eal gradu´ e I

_Z(σ)

de Z(σ) est engendr´ e par n formes de degr´ e n − 1. On en d´ eduit que S est un g´ en´ erateur minimal de I

_Z(σ)

.

Deux cas sont ` a consid´ erer : a) x / ∈ C

^∨

et b) x ∈ C

^∨

. Comme l’´ etude est locale on

supposera que le diviseur correspondant ` a l’unique section du pinceau s’annulant en x est,

(11)

pour le cas a) n

₀

X

₀^∨

+ n

₂

X

₂^∨

, pour le cas b) n

₂

X

₂^∨

. On a alors en reprenant les notations de la proposition 1.9

— dans le cas a) une ´ equation locale de S est

S

_x

= ux

ⁿ₀⁰

+ vx

ⁿ₂²

.

Comme S

x

est un g´ en´ erateur de I

_Z(σ)

on peut supposer v inversible. On v´ erifie alors que u est aussi inversible car deg(O

_X₂_∩Z(σ)

) = n

₀

(corollaire 1.8).

— dans le cas b) l’id´ eal de Z(σ) au point x est I

_Z(σ)

= (x

2

δ

n2−2

, δ

n2−1

). Une ´ equation locale de S est

S

_x

= ux

₂

δ

_n₂−2

+ vδ

_n₂−1

.

Comme S coupe proprement X

₂

on a v 6= 0. De plus d’apr` es le corollaire 1.8 on a deg(O

_X₂_∩Z(σ)

) = n

₂

− 1 ce qui prouve que v est inversible.

Si n

2

est impair, x

2

δ

n2−2

∈ M

⁽ⁿ_x ²^−1)/2+1

. Comme δ

n2−1

∈ M /

⁽ⁿ_x ²^−1)/2+1

, ceci prouve que S

_x

∈ M /

⁽ⁿ_x²^−1)/2+1

.

Si n

₂

est pair, x

₂

δ

_n₂−2

∈ M

ⁿ_x²^/2

et δ

_n₂−1

∈ M

ⁿ_x²^/2

. Comme n

₂

− 1 est impair, la droite X

1

= 0 est une composante de la courbe ∆

n1−1

= 0. Comme ∆

n1−1

coupe proprement X

2

ceci prouve S / ∈ M

ⁿ_x²^/2+1

.

2 Caract´ erisation des fibr´ es de Schwarzenberger par leur sch´ ema de droites sauteuses

L’objet de cette deuxi` eme partie est de montrer que les fibr´ es E

n,C

pour n > 2 sont d´ etermin´ es par leur sch´ ema de droites de saut.

On v´ erifie tout d’abord que le sch´ ema des droites de saut des fibr´ es de Schwarzenberger est un diviseur (mˆ eme dans le cas des fibr´ es de d´ eterminant impair) support´ e par la conique C et nous donnons l’´ equation de ce diviseur (prop.2.1).

R´ eciproquement si E est un fibr´ e vectoriel stable de rang deux tel que S(E) est la courbe nC (sans point immerg´ e dans le cas impair) et σ un automorphisme de P

₂

qui laisse invariant la conique C

^∨

(l’automorphisme dual laisse invariant la conique C) on remarque que S(σ

^∗

E) = nC. On montre alors qu’un fibr´ e vectoriel stable de rang deux invariant sous l’action de Aut(C

^∨

) ' SL

₂

(C) est un fibr´ e de Schwarzenberger (prop. 2.3). Enfin, si E est de d´ eterminant pair un r´ esultat de finitude sur le morphisme de saut de Barth ([LP2], thm 6.11) nous permet de montrer que E est invariant sous l’action de SL

2

(C) et donc que c’est un fibr´ e de Schawrzenberger (thm. 2.4).

Lorsque que le d´ eterminant de E est impair aucun r´ esultat ` a ma connaissance de permet d’affirmer que l’hypoth` ese S(E) = nC implique que le fibr´ e E est invariant sous SL

₂

(C).

Proposition 2.1 Soient C une conique lisse de P

^∨₂

et m ≥ 2 un entier.

S(E

2m−1,C

) = S(E

2m,C

) =

^m(m−1)₂

C. Rappel. Soit E un fibr´ e stable de rang deux sur P

2

. On rappelle que le 0-i` eme id´ eal de

fitting du faisceau R

¹

q

∗

(p

^∗

E(−[(c

₁

+2)/2])) est l’id´ eal du sch´ ema S(E) des droites sauteuses

de E.

(12)

Preuve de la proposition 2.1. La proposition est ´ evidente pour E

2m−1,C

. En effet le degr´ e du diviseur de droites de saut de E

2m−1,C

est

c

₂

(E

2m−1,C

(−m + 1)) = m(m − 1) ([Ba1], th´ eor` eme 2).

Comme les seules droites de saut de E

2m−1,C

sont les tangentes de C

^∨

([Sch1], prop 8), on en d´ eduit que S(E

2m−1,C

) =

^m(m−1)₂

C. Pour prouver la proposition lorsque le c

1

est impair nous aurons besoin du lemme suivant.

Lemme 2.2 q

∗

p

^∗

E

_2m,C

(−m) = O

_P^∨

2

(−m).

Preuve du lemme 2.2. Remarquons pour commencer que h

⁰

(E

2m,C

(−m)

_|L

) = 1 pour une droite g´ en´ erale L, ce qui prouve que le faisceau q

∗

p

^∗

E

2m,C

(−m) est un faisceau reflexif de rang 1 sur P

^∨₂

([Ha2], cor. 1.7) et par suite inversible ([Ha2], prop. 1.9).

En appliquant le foncteur p

∗

q

^∗

` a la suite exacte 0 → O

_P^∨

2

(m − 2) −→ O

_P^∨

2

(m) −→ O

_C

(m) → 0

on obtient

0 → S

^m−2

(Ω

^∨_P₂

(−1)) −→ S

^m

(Ω

^∨_P₂

(−1)) −→ E

_2m,C

→ 0 Pour toute droite L de P

2

on a Ω

^∨_P₂

(−1)

_|L

= O

L

⊕ O

L

(1). On en d´ eduit que a) q

∗

p

^∗

(S

^m−2

(Ω

^∨_P

2

(−1))(−m) = 0,

b) q

∗

p

^∗

(S

^m

(Ω

^∨_P₂

(−1))(−m) est un fibr´ e vectoriel de rang 1 sur P

^∨₂

, c) R

¹

q

∗

p

^∗

(S

^m−2

(Ω

^∨_P

2

(−1))(−m) est un fibr´ e vectoriel sur P

^∨₂

. D’apr` es a) et b)l’homomorphisme q

∗

p

^∗

(S

^m

(Ω

^∨_P

2

(−1))(−m) → q

∗

p

^∗

E

_2m,C

(−m) est un ho- momorphisme injectif de fibr´ es inversibles. D’apr` es c) il est surjectif.

Comme q

∗

p

^∗

(S

^m

(Ω

^∨_P₂

(−1))(−m) = O

_P^∨

2

(−m) ([Co], lemme 4.4) le lemme est prouv´ e.

Preuve de la proposition 2.1(suite).

La suite de liaison 0 → E

2m−1,C

(−m) → E

_2m,C

(−m) → O

_L

(−m) → 0 o` u L

^∨

est un point sur C, induit une suite exacte des images directes sup´ erieures

O → R

¹

q

∗

p

^∗

E

2m−1,C

(−m) → R

¹

q

∗

p

^∗

E

_2m,C

(−m) → R → 0 o` u R est un faisceau support´ e par le point L

^∨

de C. En effet, comme

q

∗

p

^∗

E

2m−1,C

(−m) = 0 et q

∗

p

^∗

O

_L

(−m) = O

_P^∨

2

(−m), cette suite est exacte ` a gauche d’apr` es le lemme 2.2 pr´ ec´ edent.

Comme cette construction ne d´ epend pas du choix de L

^∨

∈ C, on en d´ eduit que S(E

2m,C

) = S(E

2m−1,C

). Ce qui prouve la proposition.

Existent t-ils d’autres fibr´ es stables de rang deux sur P

₂

dont le sch´ ema des droites de saut soit une courbe support´ ee par C? Afin de r´ epondre ` a cette question nous nous intˆ eressons maintenant aux fibr´ es invariants sous l’action de SL

₂

(C).

Proposition 2.3 Un fibr´ e vectoriel de rang deux stable sur P

2

est SL

2

(C) invariant si

et seulement si c’est un fibr´ e de Schwarzenberger stable.

(13)

Preuve de la proposition 2.3. On note C

^∨

l’image de P

₁

par le plongement de V´ eron` ese P

1

, → P

2

' S

²

P

1

, π le revˆ etement double P

1

× P

1

−→ P

2

' S

²

P

1

qui associe au couple (x, y) le point d’intersection des droites t

x

et t

y

tangentes ` a C

^∨

aux points π(x, x) et π(y, y) et p

₁

et p

₂

les projections canoniques de P

₁

× P

₁

sur chacun des facteurs . L’action de SL

₂

(C) sur P

₁

induit une action sur P

₂

qui identifie SL

₂

(C) ` a Aut(C

^∨

) (resp. sur P

^∨₂

qui identifie SL

2

(C) ` a Aut(C) o` u C est la conique duale). Plus pr´ ecis´ ement, soit σ ∈ SL

2

(C) et z = π(x, y) un point de P

₂

l’action induite sur P

₂

est

σ.z = π(σx, σy).

Soit F un fibr´ e stable de rang deux sur P

2

invariant sous l’action de SL

2

(C) c’est ` a dire v´ erifiant σ

^∗

F = F pour tout σ ∈ SL

2

(C), on alors (σ, σ)

^∗

(π

^∗

F ) = π

^∗

F . Nous montrons, en utilisant une id´ ee de Schwarzenberger ([Sch2], 3.Doubly reducible bundles) que le fibr´ e π

^∗

F correspond ` a un SL

2

(C)-homorphisme entre deux repr´ esentations irr´ eductibles de SL

2

(C).

Rappelons qu’un faisceau inversible sur P

₁

× P

₁

s’´ ecrit

O

_P₁×P₁

(a, b) ' p

^∗₁

O

_P₁

(a) ⊗ p

^∗₂

O

_P₁

(b) et que π

^∗

O

_P₂

(1)) = O

_P₁×P₁

(1, 1)

On supposera que c

₁

(F ) = 0 ou c

₁

(F) = −1 et on notera c

₁

(F ) = c

₁

. Comme l’action de SL

₂

(C) sur P

₂

(resp. P

^∨₂

) poss` ede deux orbites C

^∨

et P

₂

\ C

^∨

(resp. C et P

^∨₂

\ C), il est clair que le support de S(F ) est C et que le saut est uniforme (i.e. il existe un entier n > 0 tel que h

⁰

(F

_L

(−n)) = 1 pour toute droite L ∈ C).

Soient x ∈ P

1

et t

x

la tangente de C issue du point π(x, x). On a, par hypoth` ese sur l’ordre de saut, h

⁰

(F

tx

(−n)) = 1; on en d´ eduit que

p

1∗

π

^∗

F (−n) = O

P1

(−m) avec m > 0

Comme le saut est uniforme, l’homorphisme induit π

^∗

F

^∨

(n) −→ p

^∗₁

O

_P₁

(m) est surjectif.

Son noyau est donc un faisceau inversible sur P

1

× P

1

. Un simple calcul de premi` ere classe de Chern montre que ce noyau est isomorphe ` a O

_P₁×P1

(2n − m − c

1

, 2n − c

1

). Le fibr´ e π

^∗

F

^∨

(n) correspond ` a un ´ el´ ement non nul (car il est non d´ ecompos´ e) de

Ext

¹

(O

_P₁×P1

(m, 0), O

_P₁×P1

(2n − m − c

1

, 2n − c

1

)) = H

¹

(O

_P₁×P1

(2n − 2m − c

1

, 2n − c

1

)) L’homorphisme surjectif π

^∗

F

^∨

(n) −→ p

^∗₁

O

P1

(m) induit un homorphisme non nul sur P

2

F

^∨

(n) −→ E

_m,C

Comme E

_1,C

= 2O

_P₂

on a m ≥ 2 sinon h

⁰

(F (−n)) 6= 0 ce qui contredit la stabilit´ e de F.

Par cons´ equent les fibr´ es F

^∨

(n) et E

_m,C

sont stables. On en d´ eduit que l’homorphisme est de rang maximal. On a alors c

1

(F

^∨

(n)) = 2n − c

1

≤ c

1

(E

m,C

) = m − 1. Et en particulier 2n − 2m − c

₁

− 1 < 0 d’o` u l’on d´ eduit par la formule de Kunneth pour les faisceaux [BS]

H

¹

(O

P1×P1

(2n − 2m − c

1

, 2n − c

1

)) = H

¹

(O

P1

(2n − 2m − c

1

)) ⊗ H

⁰

(O

P1

(2n − c

1

)) et par la dualit´ e de Serre

H

¹

(O

_P₁×P₁

(2n −2m − c

₁

, 2n − c

₁

)) = Hom(H

⁰

(O

_P₁

(2(m − n − 1) + c

₁

), H

⁰

(O

_P₁

(2n − c

₁

)))

(14)

On note α

_π^∗_F

l’homorphisme (` a une constante multiplicative pr` es) correspondant au fibr´ e π

^∗

F . Soit Φ = (σ, σ) un automorphisme de P

1

× P

1

avec σ ∈ SL

2

(C). Le fibr´ e Φ

^∗

π

^∗

F est repr´ esent´ e par l’homorphisme

α

Φ^∗π^∗F

= σ

^∗

α

π^∗F

(σ

^∗

)

⁻¹

Par ailleurs, Φ

^∗

π

^∗

F = π

^∗

F ce qui prouve que l’homomorphisme α

_π^∗_F

est SL

₂

(C)-invariant.

Comme H

⁰

(O

P1

(r)) ' S

^r

H

⁰

(O

P1

(1)) est une repr´ esentation irr´ eductible de SL

2

(C) on en d´ eduit que 2(m − n − 1) + c

₁

= 2n − c

₁

. C’est ` a dire c

₁

(F

^∨

(n)) = c

₁

(E

_m,C

) et par suite F

^∨

(n) = E

2n+1−c₁,C

.

Montrons maintenant que les fibr´ es de Schwarzenberger de d´ eterminant pair sont d´ etermin´ es par leur diviseur de droites de saut.

Th´ eor` eme 2.4 Soit E un fibr´ e de d´ eterminant pair stable de rang deux sur P

2

tel que S(E) = nC (n ≥ 1). Alors E est un fibr´ e de Schwarzenberger stable de la conique C.

Remarque. Si n n’est pas un nombre binˆ omial, la courbe nC n’appartient pas ` a l’image du morphisme de Barth M (0, 2n) −→ P(H

⁰

(O

_P^∨

2

(2n))).

Preuve du th´ eor` eme 2.4. On peut supposer que c

1

(E) = 0, dans ce cas on montre qu’il existe un entier m tel que n = m(m − 1)/2 et E(m − 1) = E

2m−1,C

.

On consid` ere le morphisme de Barth qui a un faisceau sans torsion associe sa courbe de droites de saut

γ : M(0, 2n) −→ P(H

⁰

(O

_P^∨

2

(2n)))

Le Potier a montr´ e que ce morphisme est quasi-fini sur l’ouvert des fibr´ es vectoriels ([LP2], thm 6.11). On sait par ailleurs que la courbe de droites de saut d’un faisceau sans torsion qui n’est pas localement libre contient une composante lin´ eaire ([Ma], prop.1.8). La fibre γ

⁻¹

(nC), constitu´ ee de fibr´ es vectoriels, est donc finie.

Soit σ ∈ SL

₂

(C) ' Aut(C

^∨

); comme S(σ

^∗

E) = σS(E) = nC on en d´ eduit que SL

₂

(C) agit sur la fibre γ

⁻¹

(nC). Comme SL

₂

(C) est connexe cette action est triviale, i.e tous les fibr´ es de γ

⁻¹

(nC) sont invariants sous l’action de SL

2

(C). La proposition 2.3 permet de conclure.

Pendant la pr´ eparation de ce texte, la conjecture de Le Potier, concernant l’injectivit´ e g´ en´ erique

du morphisme de Barth pour c

2

> 4, a ´ et´ e d´ emontr´ ee par J.Le Potier et A.Tikhomirov [LP-T].

(15)

References

[Ba1] Barth, W., Some properties of stable rank-2 vector bundles on P

n

, Math. Ann.226 (1977), 125-150.

[Ba2] Barth, W., Moduli of vector bundles on the projective plane, Inv. Math. 42 (1977), 63-91.

[BS] Borel, A., Serre,J.-P., Le th´ eor` eme de Riemann Roch. Bull. Soc. Math. France,86 (1958), 97-126.

[Co] Coanda, I., Restriction theorems, J.reine angew.Math.487(1997), 1-25.

[G-P] Gruson, L., Peskine, C., Courbes de l’espace projectif, vari´ et´ es de s´ ecantes, Enu- merative geometry, Progress in Math. 24 (1982), 1-33.

[Ha1] Hartshorne, R. Algebraic Geometry, Graduate texts in Mathematics, Springer- Verlag 1977.

[Ha2] Hartshorne, R. Stable reflexive sheaves, Math. Ann.254 (1980), 121-176.

[Hu] Hulek, K., Stable rank-2 vector bundles on P

2

with c

1

odd, Math. Ann.264 (1979), 241-266.

[LP1] Le Potier, J., Faisceaux semi-stables et syst` emes coh´ erents, Vector bundles in Algebraic geometry, Cambridge University Press (1995), 179-239.

[LP2] Le Potier, J., Fibr´ e d´ eterminant et courbes de saut sur les surfaces alg´ ebriques, London Math.Soc., Lecture Notes Series 179 (1992), 213-240.

[LP-T] Le Potier, J., Tikhomirov, A., Sur le morphisme de Barth, Preprint 2000, (alg- geom/0003016).

[Ma] Maruyama, M., Singularities of the curve of jumping lines of a vector bundle of rank-2 on P

₂