Espace de twisteurs d'une variete presque hermitienne de dimension 6

HAL Id: hal-00004382

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Preprint submitted on 22 Dec 2006

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Espace de twisteurs d’une variete presque hermitienne de dimension 6

Jean-Baptiste Butruille

To cite this version:

Jean-Baptiste Butruille. Espace de twisteurs d’une variete presque hermitienne de dimension 6. 2006.

�hal-00004382v3�

hal-00004382, version 3 - 22 Dec 2006

hermitienne de dimension 6

Jean-Baptiste Butruille

Résumé

Ons'intéresseàl'espaedetwisteursréduitd'unevariétépresqueher-

mitienne,enrelisantunartiledeN.R.O'BrianetJ.H.Rawnsley[24 ℄.On

traitelaquestionlaissée ouvertedeladimension6.Cet espaeest muni

d'unestruturepresqueomplexe

J

^{enutilisant la}distributionhorizon- taledelaonnexionhermitienneanonique.Onmontrequ'uneondition

nééssaire d'intégrabilité de

J

^{est que lavariété soit detype}

W

1

⊕ W

4

danslalassiationdeGrayetHervella[14℄.Dansladeuxièmepartieon

montrealorsquelesseulesvariétésdetype

W

1

⊕ W

4^{endimension6sont}

les variétés loalement onformément nearly Kähler. Finalement la

struturepresqueomplexedel'espae detwisteursréduitestintégrable

sietseulement silavariétéestloalement onformeàlasphère

S

⁶ ouà unevariétékählerienne,Bohner-plate.

Introdution

LathéoriedestwisteursinventéeparR.Penrose(voirl'artilefondateur[23℄)

estunmoyend'utiliserlestehniqueseaesdelagéométrieholomorphepour

résoudredesproblèmesdegéométrieriemannienneoupseudo-riemannienne.

Soit

M

^{unevariétédedimensionpaire}

m = 2n

^{.Onpartd'unevariétéom-}

plexe

Z

^{,donnéeaveunesubmersionàbresomplexes}

π : Z → M

^.Onassoie

àtoutpoint

j

^de

Z

^unendomorphismedearré-1de

T

π(j)

M

^{(ouàtoutesetion,}

unestruture presqueomplexe de

M

^)en transportantlamultipliationpar

i

de

T

j

Z

^par l'isomorphismedépendant dupoint

(π

∗

)

j

: T

j

Z/V

j

→ T

π(j)

M

^,où

V

^estladistributionvertiale.Soit

Z

^lebréde

M

^{dontlabreau-dessusde}

x

estl'ensembledesendomorphismesdearré-1de

T

x

M

^.Onnote

π

0

: Z → M

^la

projetionanonique.Onadonuneappliation

ϕ

^de

Z

^dans

Z

^{,préservantles}

bres.D'autrepart,il estonnuque

Z

x

= π

₀⁻¹

(x)

^{est isomorpheentoutpoint}

àl'espae symétriquehermitien

GL(m, R )/GL(n, C )

^{et admetpar onséquent}

une struturepresque omplexenaturelle intégrable. Alorsondemande que

ϕ

soitinjetiveetquepourtout

x ∈ M

^{larestritionde}

ϕ

^à

Z

x^{soituneinjetion}

holomorphe.Danse as,

Z

^{estappeléunespaede twisteurs omplexede}

M

^.

Réiproquement, pourobtenirun espaede twisteurs omplexe sur

M

^,on

prend

Z

^une sous-variétéde

Z

^{telle quela restrition de}

π

0 ^à

Z

^{est toujours}

unebrationetpourtout

x ∈ M

^,

Z

x^{est une}sous-variétéomplexe de

Z

x^.On

onstruitune struturepresqueomplexe

J

^sur

Z

^{,enseservantd'unesetion}

delasuiteexate

0 → V → T Z → T Z/V → 0

donnéed'habitudeparuneonnexionsur

M

^.Alors

Z

^{estunespaedetwisteurs}

omplexe,ave

ϕ

^{l'injetionanonique,siet seulementsi}

J

^estintégrable.

Le parfait exemple d'une telle situation est la bration à bres

C P

^{1 de}

l'espaeprojetif omplexe

C P

^{3 surlasphère}

S

^{4 dontlesvertusfurentdéou-}

vertes par Atiyah, Hithin et Singerdans [1℄. Les mêmes auteurs ont herhé

unegénéralisationauxvariétésriemanniennesdedimension4,enposantapri-

orique

Z

^{est la}sous-variétéde

Z

^{onstituéedesstruturespresqueomplexes}

ompatiblesave lamétrique.Celapeutd'ailleurs êtrefaiten dimensionpaire

supérieuremaisdèsladimension6laonditionobtenuepourl'intégrabilitéde

J

^{estquelavariétésoit}onformémentplatetandisqu'endimension4ellealieu pourtoutelarihelassedesvariétésauto-duales,enraisond'unesingularitéde

ladéompositionen omposantesirrédutibles, en

m = 4

^{,de la}réprésentation de

SO(m)

^{surl'espaedestenseursdeourbure}riemannienne abstraits.

O'Brian et Rawnsley[24℄ regardent, eux, desespaesde twisteurs assoiés

à une

G

^{-struture et une}

G

^{-onnexion.Le as originel orrespond bien sûr à}

G = SO(m)

^{et la onnexion de} Levi-Civita. Ils se sont partiulièrement in- téressés au as où

G = U (n)

^{. A leur suite, on onsidère une variété presque}

hermitienne

(M, g, J

0

)

^{. On demande que lessetions de}

Z

^{soient ompatibles}

ave

g

^{etommutentave}

J

0 ^{etonabesoinpouronstruire}

J

^{d'uneonnexion}

hermitienne

∇ e

^{. Lesonditions}d'intégrabilitérappelées setion2 portentalors nonseulementsurlaourburede

∇ e

^{maissursatorsion,qui n'estpasnulleen}

général. Par ailleurs on montre setion 3 qu'on peut sans perte de généralité

pournotreproblèmehoisirlaonnexion hermitienneanonique

∇

^.

Endimensionsupérieureà

10

^,

J

^{estintégrablesietseulementsilavariétéest}

loalementonformeàunevariétékählerienne(LCK)dontletenseurdeBohner

estnul.Cettelassedevariétésprésenteelle-mêmeungrandintérêt.Leurétude

diile est abordée par exempledans [4℄ (voiraussi [10℄). On s'intéresseii à

ladimension6.Onmontre quelesonditionsimposéesàlatorsionsontmoins

stritesen ette dimensionpuisque outre les variétés LCK,toutes les variétés

detype

W

1

⊕ W

4^{danslalassiationde}Gray-Hervella[14℄lessatisfont.Parmi elles-iontrouveenpartiulierlesvariétésstritementnearlyKähler(NK).

Mais laforme de laourbure dees dernières est si partiulière en dimension

6que lesonditionsimposéesàelle-i(proposition2.3)nelaissentnalement

quelasphère

S

^6.

Oronmontre,setion5,que

Théorème1. Lesvariétéspresquehermitiennesdetype

W

1

⊕W

4^endimension

6sontloalementonformesàune variétéNK.

Ce théorème et la disussion préédente permettent de onlure, ompte-

tenude l'invarianeonformedel'espaedetwisteurs réduitet desastruture

presqueomplexe:

Théorème 2. Soient

M

^{une variété presque} hermitienne de dimension 6,

Z

sonespae de twisteursréduit,

J

^{la struture presqueomplexe sur}

Z

^assoiée

àla onnexion hermitienne anonique :

J

^{est intégrable siet seulement si}

M

estloalementonforme àunevariétékählerienne Bohner-plate ouàla sphère

S

^{6 muniede sastrutureNK.}

L'artile est organisé en deux parties, orrespondant aux deux théorèmes

prinipaux1et2,quasimentindépendantes.Larésolutionomplèteduproblème

soulevédanslapremièrepartieamotivél'érituredelaseondepartie.

La méthode utilisée à la setion 5 s'inspire de l'étude des variétés NK de

dimension 6. A. Gray amontré dans [13℄ que elles-i sont soit kähleriennes,

soit stritementNK(SNK). Dans ledernieras ellesadmettentune rédution

naturelle à

SU (3)

^{. C'est de tenir toujours unmeilleur ompte de ette stru-}

ture

SU (3)

^{quesontvenuslesderniersrésultatslesonernant.D'abordReyes-}

Carrion[25℄amontréquelaonnexionhermitienneanoniqueétaitenfaitune

onnexion

SU(3)

^{. Puis il a déouvert, e que Hithin a rendu expliite dans}

[18℄,quetoutel'informationpourlastruture

SU (3)

^{, yomprislamétriqueet}

lastruturepresqueomplexe,estomprisedansladonnéededeuxformes:la

formedeKähler

ω

^{et laformevolumeomplexe}

Ψ

^{(oudans eas ladiéren-}

tielledelaformedeKähler

dω

^{),equipermetdearatériserlesvariétésSNK}

en dimension6 parune équation diérentielle simple portant sur lastruture

SU (3)

^.

Ii on s'intéresse à d'autres variétés presque hermitiennes de dimension 6

qu'onappellespéiales'est-à-direàd'autresstrutures

U (3)

^{quiinduisentune}

struture

SU (3)

^{sur lavariétépar}l'intermédiaire de

dω

^{. Salamon,Chiossi[8℄,}

prolongeantletravailde Gray,Hervellaontlassié lesvariétés

SU (3)

^enon-

sidérantlatorsionintrinséque.Celle-iestdonnéeparladéompositionentypes

de

dω

^,

dΨ

^{. Les variétés}

W

1

⊕ W

4 ^sontalors aratérisées par deux équations diérentiellesportantnotammentsurlaformedeLee

θ

^{etonpeutmontrerque}

elle-iestfermée,'est-à-direreprésenteloalement(parlelemmedePoinaré)

unhangementonformedemétriqueparlequellavariétéestissued'unevariété

NK.

Setion6,vuel'invarianeonformedeladénitiondel'espaedetwisteurs,

réduit ou non, on reformule les résultats de la setion 5 en onsidérant des

variétéspresquehermitiennesonformes.Onlaisseouvertelaquestiondesavoir

si un théorème tel que 1 a lieu en toute dimension et pour d'autres lasses

de variétés presque hermitiennes, stables par transformation onforme. Cette

question est liée à l'existene des variétés de type

G

1^,

G

2 ^{de Hervella, Vidal}

[15℄. On donne seulement, setion 7, unrésultat d'existene loale de variétés

detype

W

1

⊕ W

2

⊕ W

4^{dedimension6nonloalementonformesàdesvariétés}

detype

W

1

⊕ W

2^.

1 Préliminaires

On souhaite donner ii quelquesdénitions générales et quelquesrésultats

simplesoulassiquessurlesvariétéspresquehermitiennes.

D'abordxonsquelquesnotations.Soient

M

^{une variétédedimension}

m

^et

GL(M )

^{le bré prinipal sur}

M

^{de groupe}

GL(m)

^{(le bré des repères). Les}

représentationsde

GL(m)

fournissent desbrés assoiésde

GL(M )

^{, lesbrés}

detenseursde

M

^{,parmilesquels:}

T M

^{,lebrétangentoulesbrésextérieurs}

Λ

^p.

Maintenant,si

M

^{est unevariété}riemannienneorientée,onaune première rédutionde

GL(M )

^à

SO(m)

^{: soit}

SO(M )

^{lebré des repères} orthonormés diretsde

M

^.Onnote

so(M )

^{sonbréadjoint}'est-à-direlebrédesendomor- phismesantisymétriquesde

T M

^.Plusgénéralement,soient

G

^{ungroupedeLie,}

G ⊂ SO(m)

^{,d'algèbredeLie}

g

^et

g

^⊥ l'orthogonalde

g

^dans

so(m)

^.Onsuppose

que

M

^{admetunerédutionà}

G

^,'est-à-direqu'ilexisteunsous-bréprinipal

G(M )

^degroupe

G

^de

SO(M )

^{.Alors onnote}

g(M )

^{lebré adjointde}

G(M )

^.

Demême

g

^⊥

(M )

^{désigneralebréassoiéàla}représentation

g

^{⊥ de}

G

^.

Dans et artile on onsidère des variétés presque hermitiennes. Une telle

variétéest dénie en dimension paire

m = 2n

^{par une rédution dubré des}

repèresà

U(n)

^,notée

U (M )

^{,ouautrementparunemétrique}

g

^{etunestruture}

presqueomplexe

J

^,orthogonale,

∀X, Y ∈ T M, g(JX, JY ) = g(X, Y ),

dénissantune 2-forme

ω

^{,appeléeforme de Kähler :}

∀X, Y ∈ T M, ω(X, Y ) = g(JX, Y )

Soit

T

^1,0

⊂ T

^C

M

^{lesous-brédesveteursomplexesdetype(1,0)parrapport}

à

J

^{.Demême,soit}

T

^{0,1lebrédesveteursdetype(0,1).Autrementdit,quel}

quesoit

x ∈ M

^,

T

_x^1,0(resp.

T

_x^{0,1)estlesous-espaepropre(omplexe)de}

J

x^pour

lavaleurpropre

i

^(resp.

−i

^{). Letenseurde Nijenhuis}

N

^mesurel'intégrabilité delastruture presqueomplexe

J

^{oude la}distribution

T

^{1,0. Ilest déni,en}

vertuduthéorèmedeFrobenius,par

∀X, Y ∈ T M, N (X, Y ) + iJN (X, Y ) = [X

^1,0

, Y

^1,0

]

^0,1

,

⁽¹⁾

où pour tout

X ∈ T

^C

M

^,

X

^1,0

=

¹₂

(X − iJX)

^et

X

^0,1

=

¹₂

(X + iJX )

^désig-

nent les projetionsde

X

^sur

T

^1,0,

T

^0,1, respetivement. Soit don

(M, g, J)

une variétépresque hermitienne. Le bré

u(M )

^(resp.

u(M )

^{⊥) est lebré des}

endomorphismesantisymétriquesde

T M

^{quiommutent(resp.}antiommutent) à

J

^.

Onrappelleaussiquepourtoutbréprinipal

P

^{ilexisteuneationnaturelle}

dubréintérieur sur lesbrésassoiés.En partiulier si

P

^{est unsous-bré}

de

GL(M )

^{surlesbrésdetenseurs.Ilexisteaussiuneationdérivéedubré}

adjoint.On note

Φs

^(resp.

A.s

^{) l'ation d'un} automorphisme vertial

Φ

^de

P

(resp.d'unesetion

A

^{dubréadjoint)surunhampdetenseurs}

s

^.Onsouhaite

expliiteretteationdansleasoù

s

^{estuntenseurdetype(2,1):quelsque}

soient

X, Y, Z ∈ T M

^,

Φs(X, Y ) = Φ s(Φ

⁻¹

X, Φ

⁻¹

Y )

A.s(X, Y ) = As(X, Y ) − s(AX, Y ) − s(X, AY )

Orlastruturepresqueomplexe

J

^{peut-êtrevue}alternativementommeunen- domorphismeorthogonalde

T M

^ouommeunendomorphismeantisymétrique, 'est-à-direune setion dubré adjoint

so(M )

^{. Paronséquent, ellepeutagir}

dees deuxfaçonset puisque

J

²

= −Id

^,

Js(X, Y, Z) = J s(JX, JY )

Lesreprésentationsd'ungroupe,ii

U (n)

^,interviennentdanslaonstrution des brés assoiés. On utilise la notation de Salamon [26℄. Soit

V

^{un espae}

dereprésentationomplexe. On ditque

V

^{est de typeomplexe si}

V

^{n'est pas}

isomorpheàsononjugué

V

^.Alors

[[V ]]

^{désignesimplementl'espaevetoriel(ou}

l'espaedereprésentation)réelsous-jaent.Auontraire

V

^{estditdetyperéels'il}

admetune struture réelle, soit un endomorphisme de arré1antiommutant

à

i

^{. En partiulier}

V ≃ V

^{. Alors on note}

[V ]

^{le sous-espae propre de et}

endomorphismepourlavaleur

1

^{.Ils'agit d'un espaevetorielréel qui admet}

V

^ommeomplexiation:

V ≃ [V ] ⊗

R

C

.SelonlesasonadondimR

[[V ]] = 2

^dimC

V

^oudimR

[V ] =

^dimC

V

^{.De plusonnote}

[[ V ]]

^ou

[ V ]

^{le bréassoiéde}

U (M )

orrespondant.

L'exemplefondamentalpournousestl'espaedesformesdetype

(p, q)

^.On

saitquel'intersetiondeetespae

λ

^{p,q avelesr-formesréelles(}

r = p + q

^)est

nullesi

p 6= q

^.Enrevanhe

λ

^p,q

⊕ λ

^q,pestlaomplexiationde

[[λ

^p,q

]]

^,l'espae

desformesréellesdetype

(p, q)+(q, p)

^{.Del'autretési}

p = q

^{onadiretement}

que

λ

^{p,p estla}omplexiationde

[λ

^p,p

]

^.

Pourunevariétériemannienne,lamétriquefournitunisomorphisme

SO(m)

^-

invariant des deux brés

so(M )

^et

Λ

². Pour une variété presque hermitienne

(M, g, J )

^{onaenoutreles}isomorphismes

U (n)

-invariants:

u(M ) ≃ [ λ

^1,1

]

^et

u(M )

^⊥

≃ [[ λ

^2,0

]]

Soit

∇

^laonnexiondeLevi-Civita de

g

^{. Grayet Hervella[14℄regardentla}

dérivéeovariantedelaformedeKähler

∇ω

^{.C'estunesetionde}

Λ

¹

⊗ [[ λ

^2,0

]]

^.

Eneet

J

²

= −Id

^implique

(∇

X

J )J + J (∇

X

J ) = 0

⁽²⁾

don

∇J

^{estunesetionde}

Λ

¹

⊗u(M )

^{⊥.Onpeutvoiretenseurommeledéfaut}

pour

M

^d'êtrekählerienne.Envuedelassierlesvariétéspresquehermitiennes Grayet Hervelladéomposent

Λ

¹

⊗ [[λ

^2,0

]]

^{sousl'ationde}

U (n)

^:

Λ

¹

⊗ [[λ

^2,0

]] = [[λ

^1,0

⊗ λ

^2,0

]] ⊕ [[λ

^0,1

⊗ λ

^2,0

]]

= [[λ

^1,0

⊗ λ

^2,0

]] ⊕ [[λ

^2,1

]]

Ilexisteunsous-espae

U

^1,

U(n)

^{-invarianttelque}

λ

^1,0

⊗ λ

^2,0

≃ λ

^3,0

⊕ U

¹

Alors

Λ

¹

⊗ [[λ

^2,0

]] ≃ [[λ

^3,0

]] ⊕ [[U

¹

]] ⊕ [[λ

^2,1₀

]] ⊕ Λ

^{1 (3)}

estladéompositionenomposantesirrédutiblesdelareprésentationde

U (n)

endimensionsupérieureouégaleà6.Pourunedémonstration,onsereportera

à[14℄enidentiant,avelesnotationsdesauteurs

W

1

≃ [[λ

^3,0

]], W

2

≃ [[U

¹

]], W

3

≃ [[λ

^2,1₀

]]

^et

W

4

≃ Λ

¹

Endimension4,

W

1^,

W

3^{sontréduitsà}

{0}

^.Lamêmedéompositionestalulée parFalitelli,Farinola,Salamon[11℄enseservantdel'algorithmededéompo-

sition des produits tensoriels exposé au hapitre 6 de [26℄ (gure 6.5). C'est

égalementlaproéduresuivie danset artilepourobtenirlesdéompositions

donnéessansdémonstration àlasetion 4(la preuveomplète est développée

auhapitre2,setion3de[6℄).

Aulieudedemanderquelapremièredérivéede

ω

^{satisfasseertainesondi-}

tions,ondemandera,danselangage,que

∇ω

^{prennesesvaleursdansertains}

sous-espaesinvariantsdénispar(3):

Dénition1.1. Soit

I ⊂ {1, 2, 3, 4}

^{.On appelle variétéde type}

L

i∈I

W

i^,une

variété presque hermitienne

(M, g, J)

^{telle que la dérivée ovariante pour la}

onnexion de Levi-Civita de la forme de Kähler

∇ω

^{est une setion du bré}

L

i∈I

W

_i

⊂ Λ

¹

⊗ [[ λ

^2,0

]]

^{.De plus,on appelle lasse}

L

i∈I

W

i ^{l'ensemble de es}

variétés.

Pourinformationetpourexemple,lalasse

W

3

⊕W

4^{estlalassedesvariétés}

hermitiennes, et

W

2 ^{est la lasse des variétés} sympletiques. Comme on voit, l'intersetiondees deuxlassesest forméedevariétésvériant

∇ω = 0

^equi

orrespondàladénitionalternativedesvariétéskähleriennes:ladiérentielle

delaforme deKähleretletenseurdeNijenhuissontnuls enmêmetemps.On

verrasetion 5une interprétation utiledesomposantesde

∇ω

^enfontionde

N

^,

dω

^(voirgure1).

Ondénitlaonnexionhermitienneanonique

∇

^par

∇

X

= ∇

X

− 1

2 J(∇

X

J)

⁽⁴⁾

Onvérieque

∇J = 0

^{.En outrequelquesoit}

X ∈ T M

^,

δ

X

= ∇

X

− ∇

X

= 1

2 J(∇

X

J )

⁽⁵⁾

antiommuteà

J

^{àausede(2).Laonnexion}

∇

^{estenfaitl'uniqueonnexion}

hermitienneayantettepropriété.Eneetsi

∇ e

^{estuneautreonnexionhermi-}

tienne,

∇

X

− ∇ e

X ^ommuteà

J

^quelquesoit

X ∈ T M

^{.Onpeutdontoujours}

déomposer

∇ − ∇ e = (∇ − ∇) + (∇ − ∇) e

Λ

¹

⊗ so(M ) = Λ

¹

⊗ u(M )

^⊥

⊕ Λ

¹

⊗ u(M )

⁽⁶⁾

Cettepropriétéaratériselaonnexionintrinsèquedelastruture

U(n)

^,dénie

pour toute

G

^-struture,

G ⊂ SO(m)

^{. Le tenseur}

δ = ∇ − ∇

^{est appelé (par}

abus delangage) torsion intrinsèque de la struture

U (n)

^{. En eet, pour une}

onnexionmétrique

∇ e

^,l'appliationquià

δ e = ∇ − ∇ e

^{assoielatorsion}

T

^:

T (X, Y ) = e δ

X

Y − e δ

Y

X

est un isomorphisme. Maintenant,

δ

^{est envoyésur}

∇ω

^{par un} isomorphisme

U (n)

-invariant. On peut don aussi regarder les omposantes de e tenseur dans la déomposition (3). Par là, la déomposition de Gray-Hervella peut-

êtregénéraliséeàtoute

G

^{-struture.Lesartiles[8,20℄serontitésdanslasuite}

pourleas

G = SU (n)

^{(lepremierseulementpour}

G = SU (3)

^{).Onmentionne}

égalementsuresujetl'artileantérieur[3℄deBor, HernándezLamoneda.

Première partie

2 L'espaede twisteurs réduitet sastruture presque

omplexe

Soit

Z (n)

^{l'ensemble des}endomorphismesunitairesde arré

−1

^de

C

ⁿ. Un élément

J

^de

Z(n)

^al'inverse

J

⁻¹

=

^t

J ¯

^{maisaussi,puisque}

J

²

= −1

^,

J

⁻¹

= −J

d'où

J +

^t

J ¯ = 0

^{. Par etteremarque,}

Z(n)

^est l'intersetion

U (n) ∩ u(n)

^du

groupeunitaireetdesonalgèbredeLie.Ladonnéed'untelendomorphismedi-

agonalisableestéquivalenteàladonnéed'unoupledesous-espaesomplexes

orthogonaux

(F, F

^⊥

)

^,lessous-espaespropresde

J

^{pourlesvaleurspropres}

i

^et

−i

^{.Enlassantsuivantladimension}

p

^de

F

^,onvoitque

Z(n)

^{aplusieursom-}

posantesonnexes,hauneisomorpheàuneGrassmanienneomplexe

G

p

( C

ⁿ

)

^.

Legroupe

U (n)

^agittransitivementpar

(g, J) 7→ gJg

⁻¹

surhaqueomposanteonnexequis'identieainsiàl'espaehomogène

U (n)/U(p)×

U (n − p)

^{. En partiulier la omposante} orrespondantà

p = 1

^{est isomorphe}

à

C P

^{n−1. En revanhe, on élimine les omposantes} singulières orrespondant àla multipliation par

i

^et

−i

^de

C

ⁿ. De plus

Z(n)

^{est munid'une struture}

presqueomplexe anonique

U (n)

-invariantenotée

J

n^{, donnéeparlamultipli-}

ationàgauhepar

J

^{surhaqueespaetangent}

T

J

Z(n)

^{,identiéàl'ensemble}

desendomorphismesde

u(n)

^quiantiommutentà

J

^(f[24℄).

Dénition2.1. Soit

(M, g, J

0

)

^{une variétépresque} hermitiennede dimension

m = 2n

^{(NB : par éonomie de notation, on appelle}

J

0^{, dans ette partie, la}

struturepresqueomplexe de la variété).L'espae de twisteursréduit

Z

^de

M

estlebréassoiédubréprinipal

U(M )

^{pour l'ationde}

U (n)

^sur

Z(n)

^.

Cette dénition prend plae dans un adre très général. Il s'agit d'un as

partiulierd'uneonstrutionnaturelled'espaesdetwisteurssurdes

G

^-variétés

utiliséedans[2,24℄(voiraussi[7℄pourleasdesespaessymétriques).

Le sous-bré vertial

T

^V

Z

^{(tangent aux bres) est muni d'un endomor-}

phisme

J

^{V dearré}

−1

^opiésur

J

n^.