Lieu singulier des variétés duales : approche géométrique et applications aux variétés homogènes.

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et applications aux variétés homogènes.

Holweck Frédéric

To cite this version:

Holweck Frédéric. Lieu singulier des variétés duales : approche géométrique et applications aux variétés

homogènes.. Géométrie algébrique [math.AG]. Université Paul Sabatier - Toulouse III, 2004. Français.

�tel-00737441�

présentée en vue de l'obtention du

Do torat de l'Université Paul Sabatier

Toulouse III

Spé ialité : Mathématiques Pures

par

Frédéri Holwe k

Lieu singulier des variétés duales : appro he

géométrique et appli ations aux variétés

homogènes.

Soutenue le10 septembre 2004 devant lejury omposé de :

Philippe Essydieux Chargé de re her he, Université PaulSabatier Examinateur Joseph Landsberg Professeur, Texas A

&

M University Dire teur Thomas Fiedler Professeur, Université PaulSabatier Examinateur

Adam Parusinski Professeur, Université d'Angers Examinateur

Christian Peskine Professeur, Institut de Mathémétiques de Jussieu Examinateur Fyodor Zak Professeur, A adémie des S ien es Russe Rapporteur

Au vudes rapports de Laurent Manivel(Dire teur de re her he, Institut Fourier) et Fyodor Zak.

Laboratoire EmilePi ard,UMR 5580,UFR MIG,UniversitéPaulSabatier 118 routede Narbonne,31062 Toulouse edex 4,Fran e.

C'est ave grand plaisirque jesouhaiteadresser i itoutemare onnaissan e àJoseph Landsberg pour es quatreannéespendantlesquellesilaété mondire teurde thèse.Jele remer ie parti ulièrementde m'avoirfait dé ouvrirdebellesmathématiquesoùdiérents domaines pouvaient se méler et se ompléter. Joseph m'a in ité à fairepreuve de liberté dans l'orientationde mes re her hes etasu m'en ouragerave son enthousiasme naturel. Il a aussi a epté de poursuivre e travaillorsque j'étaisen Fran eet luiaux Etats-Unis. Superviserune thèseàdistan en'estpas hose fa ileetpourtantJosephn'a jamaisdouté que nous en verrions un jour lan. Pour tout ela don un grand mer i.

En mars 2004 j'ai été ravi d'apprendre que Laurent Manivel et Fyodor Zak avaient a epté de rapporter mon travail. J'ai eu l'opportunité d'é hanger ave Laurent lors des é oles d'été qu'il a animé à Trieste et Cortone ave Joseph en février et juillet 2003. Ses en ouragements ont été bénéques. Je tiens aussi à le remer ier de m'avoir invité à Grenoble en janvier 2004. Ce passage à l'institutFourier fut très positifpuisque 'est en rentrantdeGrenoblequej'aia hevéla lassi ationduthéorème3.2.5.Depluslarele ture pré ise de mathèse par Laurent apermis d'en améliorerla qualité réda tionnelle.

J'aifait la onnaissan ede Fyodoren juin2004 àSienne,mais je doisdire i ique son inuen e sur mon travail est anté édente à notre ren ontre. Son arti le Some properties of dual varieties and theirappli ations in proje tive geometry ainsi quel'ensemblede son travail sur les variétés des tangentes et des sé antes ont onsidérablement inspiré ette thèse. Fyodor m'a proposé à la suite de son rapport un ertain nombre de questions qui devraient prolonger mes re her hes. J'ai répondu à ertaines d'entre elles (théorème 3.4.1)mais l'interprétationdemon théorèmede lassi ationen termede série englobant lavariété de type

G

2

reste en ore un mystère quivam'o uperquelque temps.

Jeremer ie don vivementLaurentetFyodor des'êtrepen hé ave autantd'attention sur mon travail.

Adam Parusi nski et Christian Peskine viennent respe tivement d'Angers et de Paris pour prendrepart à e juryde thèse.Curieusementj'aiplussouvent dis utéave Adam à Atlanta qu'en Fran e. Quant à Christian Peskine nous nous sommes roisés à l'o asion de la onféren e en géométrie algébrique donnée en son honneur en juillet 2004 à Paris. Je lesremer ie sin èrement de fairele dépla ement jusqu'àToulouse.

PhilippeEssydieux et ThomasFiedler ont euxaussi a epté d'être membres du jury. Lors de mes séjours àToulouse,Philippeatoujoursmanifesté une uriositéen ouragente à l'égardde mes re her hes. En maitrise,Thomasa en adré mon mémoiresur lenombre de Milnor.Cepremiertravailasansdoute ontribuéàorienter unepartiedemathèsesur lathéoriedes singularités.Jesuis don très ontentde leur présen e etjelesen remer ie.

ont été ri hes en ren ontres et expérien es. Je tiens don i i à témoigner mon amitié à toutes les personnes qui ont rendu ma vie améri aine tout à fait supportable. Je pense en parti ulier à mes amis John, Mi kael, Danielet Andréa. Etant très peu en Fran e au début de ma thèse j'ai fait onnaissan e un peu tard ave les thésards du laboratoire Pi ard.L'ambian e y est sympathiqueetj'ai pu béné ier de l'expertise de ertainspros de LaTexlorsque j'étaisen pleineréda tion.Sur une é helle de tempsun peu plus longue je voudrais signaler que je garderai un très bon souvenir de mon passage à l'Université PaulSabatier.J'aieu leplaisird'yren ontrer despersonnes ommeSonia,Guy,etBenoit dontl'amitié m'est pré ieuse.

Bien que lesmathématiquessoientune passion absorbante, j'ai pu ontinuer pendant ma thèse à pratiquer la musique de façon soutenue. Les membres des groupes ave qui j'ai partagé de bon souvenirs de s ènes es quatre dernières années (Knutsen, Dralha, Mayanob et the atomi steel band or hestra of Lalbenque) ont sans le savoir amélioré la qualité de ma vieet je lesen remer ie.

Mes parents ont enn en main ave ette thèse un justi atif de mon a tivité de es quatre dernières années, les voilà rassurés j'espère. Je leur témoigne ainsi qu'à ma soeur Marie toute mon ae tion.

A l'époquedu ly ée,Jean-Pierre Guyfut unedes rarespersonnes du orps enseignant à promouvoir les études universitaires. Je ne regrette pas aujourd'hui d'avoir suivi son onseil.

Dualité proje tive

Genèse du on ept de dualité

Le termede dualitéen géométrie proje tiveapparaît pour lapremière fois auXIX ème

siè le dans les travaux de Gergonne. Les mathémati iens d'alors, qui s'intéressaient à la géométrie proje tive, avaient observé que les théorèmes, on ernant des gures géomé-triques dans le plan, gardaient un sens et restaient vrais lorsque l'on remplaçait le mot "point"par"droite"etlemot"droite"par"point".Gergonnepubliaen 1825une version duale du théorème de Desargues en présentant lesénon és de la façonsuivante:

Théorème [Desargues℄. Soient

ABC

et

A

′

_B

′

_C

′

deux triangles proje tifs sans points ommuns. Si les droites

(AA

′

₎

,

(BB

′

₎

et

(CC

′

₎

sont on ourantes, alors les points

A

1

= (BC) ∩ (B

′

C

′

)

,

B

1

= (AC) ∩ (A

′

_C

′

₎

et

C

1

= (AB) ∩ (A

′

_B

′

₎

sont alignés.

Théorème[Version duale℄. Soient

ABC

et

A

′

_B

′

_C

′

deux triangles proje tifs sans points ommuns.Si lespoints

A

1

= (BC) ∩

(B

′

_C

′

₎

,

B

1

= (AC) ∩(A

′

_C

′

₎

et

C

1

= (AB) ∩

(A

′

_B

′

₎

sont alignés alors les droites

(AA

′

₎

,

(BB

′

₎

et

(CC

′

₎

sont on ourantes.

I i l'énon é dual n'est autreque la ré iproquedu théorème de Desargues.

Si le terme de dualité est attribué à Gergonne, il n'est pas lair qu'il fut à l'origine de l'idée même de dualité. En eet, Pon elet rédigea en 1824 un mémoire sur la théo-rie générale des gures ré iproques dans lequel il développa les idées de Monge sur les transformations polaires.

La ontroverseprisnave lestravauxdePlü kerquidénit orre tementlanotionde ourbeduale.C'est l'introdu tionde oordonnéeshomogènes etde larelationd'in iden e entre un point

p = (p

0

, p

1

, p

2

)

etune droitequi le ontient

d = (l

0

, l

1

, l

2

)

:

p

0

l

0

+ p

1

l

1

+ p

2

l

2

= 0

qui permis à Plü ker de montrer qu'une ourbe pouvait-être aussi bien dé rite par une équationreliantles oordonnéesdesespointsqueparuneéquationreliantles oordonnées de ses droites tangentes. Il dénit ainsi pour une ourbe

C ⊂ P

2

sa ourbe duale,

C

A

B

A

′

C

′

B

′

A

1

C

1

C

1

∞

∞

C

∞

Fig. 1 théorème de Desargues

{d ∈ P

2∗

_{|∃x ∈ C, d = T}

x

C} ⊂ P

2∗

, et prouva en 1830 le théorème de ré ipro ité pour les ourbes, i.e.

(C

∗

₎

∗

_{= C}

.

En 1834, Plü ker s'intéressa aux relations entre le degré

d

de

C

, le degré

d

∗

de

C

∗

(appeléaussi lasse de

C

) etlessingularités simples de es deux ourbes. Unesingularité simple pour une ourbe est soit un point double, soit un point uspidal (voir gure 2). L'existen e d'un tel point singulier pour

C

(ou pour

C

∗

) entraîne l'existen e d'un point d'inexionou d'une bitangente pour la ourbe duale (voir gure3).

En notant par

c

(resp.

n

,

i

,

b

) le nombre de points uspidaux (resp. le nombre de points doubles, le nombre de points d'inexions, et le nombre de bitangentes) de

C

on peut exprimerles lassiquesformules de Plü ker:

d

∗

_{= d(d − 1) − 2n − 3c d = d}

∗

_(d

∗

_{− 1) − 2b − 3i}

i = 3d(d − 2) − 6c − 8n c = 3d

∗

_(d

∗

_{− 2) − 6b − 8i.}

Ainsi, si

C

est une ourbe lisse de degré

d

alors

d

∗

_{= d(d − 1)}

,

i = 3d(d − 2)

et

b =

1

2

d(d−2)(d

2

₋₉₎

.L'existen ede es

i

pointsd'inexionsetdes

b

bitangentes, implique pour la ourbe duale la présen e de

3d(d − 2)

points uspidaux et de

1

2

d(d − 2)(d

2

_{− 9)}

pointsdoubles. Une ourbelisse

C

a don pour ourbeduale une ourbede degré "élévé" ayant "beau oup" de pointssinguliers.

Pointdouble Point uspidal

Fig.2  Singularitéssimples de

C

Appro he moderne

La dénition de Plü ker segénéralise pourune variétéproje tive

X ⊂ P(V )

, plongée, et ondénit ainsi

X

∗

,la variété duale de

X

:

X

∗

= {H ∈ PV

∗

_{|∃ x ∈ X}

lisse tel que

T

˜

x

X ⊆ H}.

(

T

˜

x

X

est lanotationque l'on prendra pour l'espa etangentplongé.) En ara téristique nulle, lethéorème de bidualitéassure que

(X

∗

)

∗

= X.

La relationd'in iden e entre pointset droitesdevient maintenantune relation d'in i-den e entre points et hyperplans que l'on présente en introduisant la variété onormale

C(X)

:

C(X) := {(x, H)| H ∈ PV

∗

_{, ˜}

_T

x

X ⊆ H}

π ւ

ց ρ

X

X

∗

Le théorème de réexivité nous invite à penser que les attributs (dimension, degré, singularités) de la variété duale vont se traduire en propriétés géométriques de notre variété initiale.Ilest don naturelde s'intéresser à es attributs. Dans ette thèse 'est le lieu singulier de

X

∗

qui retiendra toute notre attention. Nous supposerons toujours être dans lasituation suivante,

V = C

n+a+1

et

X

n

_{⊂ P(V ) = P}

n+a

Existen ed'unebitangentepour

C

∗

Existen ed'unpointd'inexionpour

C

∗

Présen ed'unpoint uspidalpour

C

Présen ed'unpointdoublesursur

C

Fig. 3 Conséquen es pour

C

∗

Le problème A-D-E ( hapitre 1)

Dans le hapitre 1onétudie en détailles variétésduales de variétés homogènes parti- ulières.Notre intérêt pour es variétésduales (les variétésduales des variétésadjointes), est lié à l'étrange orrespondan e qui existe entre singularités simples et algèbres de Lie simples:

De l'antiquité aux diagrammes de Dynkin

La lassi ation des polyèdres réguliers de

R

3

est onnue depuis l'antiquité gre que. A haquepolyèdre onasso ieson groupe desymétrie quel'on préfèreregarder ommeun sous-groupe de

SL

2

(C)

(en utilisant le revêtement double de

SO

3

(R)

par

SU

2

(C)

). On obtientainsitroisgroupesnis,legroupetétraédral

T

24

quilaisseinvariantletétraèdre,le groupeo taédral

O

48

quilaisseinvariantl'o taèdreetle ube,etennlegroupei osaédral

à onjugaison près, de

SL

2

(C)

s'a hève lorsqu'onajouteà ettelistede trois groupes, les deuxsériesdegroupessuivants:

Z

n

,groupe y liqued'ordre

n

,etlegroupe

D

n

= Z

n

⋊Z

2

, groupediédral(produitsemi-dire t de

Z

n

et

Z

2

).Ondoit àF.Klein [Kl1884℄,l'étudedu quotient

S = C

2

_/F

lorsque

F

est un sous-groupe ni de

SL

2

(C)

.

Klein montre que

S

est une surfa e ayant un unique point singulier. La résolution minimale de la singularité de

S

onduit, lorsqu'on représente les diviseurs ex eptionnels pardessommetsetlesinterse tionstransversespardesarêtes,auxdiagrammesdeDynkin.

x

n

₊

_{yz = 0}

_x

n−1

+

xy

2

+

z

2

= 0

x

5

₊

_y

3

₊

_z

2

_{= 0}

A

n

x

4

₊

_y

3

₊

_z

2

_{= 0}

T

₂₄

D

_n−2

D

n

E

6

E

8

E

7

x

3

y + y

3

+

z

2

= 0

I

₁₂₀

O

₄₈

Z

_n−1

Fig. 4 Sous groupesnis, surfa es de Klein, diagrammes de Dynkin

En langage moderne si

π : ˜

S 7−→ S

est la résolution minimale et

H = H

2

( ˜

S, Z)

le 2-ème groupe d'homologie,la formed'interse tion

I : H × H 7−→ Z

orrespond, ausigne près, à une matri ede Cartanasso iée à un diagramme de Dynkin.

Cette onstru tionest lapremière onnue établissantune orrespondan e entre singu-larités de Klein,ousingularités simples(voirdénition au hapitre 1),etles diagrammes de Dynkin des algèbresde Liesimples de type

A − D − E

.

Comme il en a été fait la remarque dans plusieurs textes [Sl1993, A-G-L-V1998℄, ette oïn iden e de listes a he ertainement un lien profond entre es diérentes théo-ries. C'est un problème posé dans [Ar1983℄ que d'expliquer le lien entre singularités simples etalgèbres de Lie simplesde même type.

Il existe à e jour deux onstru tionsqui permettent d'obtenir une singularité simple dire tementàpartirdel'algèbredeLie(et nonàpartirdu diagrammedeDynkinasso ié).

Constru tion de Brieskorn

La première onstru tion est due à Brieskorn [Br 1970, Sl 1980℄. Brieskorn prouva le résultatsuivant onje turé par Grothendie k :

Théorème [Brieskorn℄. Soit

G

un groupe de Lie omplexe et simple de type

A

n

,

D

n

,

E

n

. Soient

T ⊂ G

un tore maximal,

W = N

G

(T )/T

le groupe de Weyl orrespondant,

χ : G 7−→ T /W

le quotient pour l'a tion adjointe de

G

sur lui-même et

S ⊂ G

une se tion transverse à l'unique orbite unipotente sous-régulière. Alors la restri tion de

χ

à

S

réalise une déformation miniverselle de la singularité simple du même type. En parti ulier e théorème ditque

S ∩ (χ

−1

_(χ(1)))

est une surfa e de Kleindu même type que

G

. La variété

χ

−1

_(χ(1))

est l'ensemble des éléments unipotents de

G

. C'est la fermetured'uneorbitemaximale,diterégulière.Le omplémentde etteorbite orrespond à lafermeture de l'orbitesous-régulière unipotente du théorème.

Ce théorème admetune version extrinsèque que l'on trouvedans [Po 2002℄:

PourlesalgèbresdeLie,l'équivalentdelanotiond'élémentrégulierunipotentestlanotion d'élémentréguliernilpotent.Notons

h

0

∈ g

unélémentréguliernilpotent(voir hapitre1). L'orbite

G.h

0

⊂ g

est onique, on peut don onsidérer

Y = P(G.h

0

) ⊂ P(g)

. La variété

Y

est la proje tivisation des éléments nilpotents de

g

(en d'autres termes

Y = P(N(g))

, où

N(g)

est le nil ne de

g

). Cette variété

Y

est singulière le long d'une sous-variété de odimension

2

, et

Y

sing

= P(G.h

1

)

où

h

1

est un élément sous-régulier nilpotent. Le théorème de Brieskorn devient alors,

Théorème [Brieskorn℄. Soit

Y ⊂ P(g)

la variété des éléments nilpotents, pour une algèbre de Lie

g

de rang

r

. On onsidère une se tion générique

S

de dimension

r + 2

, transverse à

Y

sing

, alors

Y ∩ S

a un point singulier unique qui est de type simple. De plus si

g

est de type

A − D − E

, alors lasingularité de

Y ∩ S

est de même type.

Constru tion de Knop

La deuxième onstru tion, plus ré ente, est due à Friedri h Knop. Dans [Kn 1987℄, l'auteur réalise une hypersurfa e ayant un unique point singulierde type simple, omme se tion hyperplane d'une ertaine variété homogène pour un groupe de Lie simple ( 'est lavariétéadjointequiseradénieau hapitre1).Unedes ambitionsde notretravailétait d'é lairer le résultatde F. Knop,en expliquant pourquoi la onstru tion onsidérée etait la bonne. Pour ela nous avons her hé à omprendre la géométrie des variétés duales

théorème de Knop. En eet, nous donnons une onstru tion qui permet de retrouver le dis riminantd'une singularité simple(noté

∆

) àpartir du dual de lavariétéadjointe.

Pour un groupe de Lie

G

de rang

r

, notons

Γ

son diagramme de Dynkin et

Γ

∗

le sous-diagramme des ra ines longues. On note

r

le nombre de noeuds du diagramme

Γ

et

n

eluidudiagramme

Γ

∗

.Quelquesoit

Γ

,

Γ

∗

est toujoursde type

A−D −E

.Enreprenant laprésentation de Gergonne, nous pouvons formuler :

Théorème[Knop℄. Soit

X

G

⊂ P(g)

la va-riété adjointe pour le groupe de Lie simple

G

. Soit

H

un hyperplan orthogonal pour la forme de Killing à un élément régulier nil-potent.Alors

X

G

∩ H

aun uniquepoint sin-gulier de type

Γ

∗

.

Théorème 1.2.2 [Version duale℄. Soit

ˆ

X

∗

G

⊂ g

∗

le ne au-dessus de la variété duale de

X

G

, et soit l'appli ation quotient,

Φ : g

∗

_{7−→ g}

∗

_{//G ≃ C}

r

. Alors il existe une se tion lineaire

L

de dimension

n

, telle que

Φ( ˆ

X

∗

G

) ∩ L = ∆

Γ

∗

⊂ C

n

.

On pré isera au hapitre 1 ommentest onstruite lase tion

L

.

A l'aide de notre version duale nous donnons une interprétation géométrique de l'hy-perplan onsidéré par Knop dans sa onstru tion. De plus en omplétant e travail par des al uls, ertespeu élégants,maisélémentaires,nousproposonsunenouvellepreuvedu théorèmedeKnop.Ennnous on luonsle hapitre1ave desremarquessur depossibles liens entre les onstru tionsde Brieskorn etKnop.

Se tions singulières de

X

et singularités de

X

∗

( hapitre 2)

Le théorème de Knop, et la version duale que nous en proposons, illustrent le fait suivant: étudierles singularités de

X

∗

, oulessingularités des se tions hyperplanes de

X

sont deux problèmes intimement liés.

Dans le hapitre 2 nous nous posons la question : étant donné une variété lisse

X ⊂

P(V )

et

H

un hyperplan tangent à

X

, omment la géométrie de

X

détermine-t-elle les singularités de

X ∩ H

?

Cy les évanes ents

Cettequestionadusenslorsqu'ons'intéresseàlatopologiede

X

.Soit

l = P

1

_{⊂ P(V}

∗

₎

, unedroitegénériquedel'espa eproje tifdual,ouen oreunpin eaudeLefs hetz d'hyper-plans.Considérons

L ∈ l

telque

X∩L

soitunese tionsingulière.Soit

H

unpointde

l

,dans unvoisinagede

L

,telque

X ∩H

soitlisse.L'appli ationderétra tion

r : X ∩H 7−→ X ∩L

induitdes appli ationsauniveau de l'homologie:

r

i

: H

i

(X ∩ H) 7−→ H

i

(X ∩ L)

.Ces ap-pli ationssontdes isomorphismespour

i < n − 1

etpour

i = n − 1

,

r

n−1

est surje tive.Le

noyaude

r

n−1

est engendré par des y les évanes ents.Lorsque

X ∩ L

est une singularité de Morse ona outume de représenter lasituationde lafaçon suivante :

se tionsingulière

X ∩ L ∼ A

1

rétra tion

r

se tionlisse

X ∩ H

y leévanes ent

δ

Fig.5  Cy les évanes ents

On sait par le théorème de Lefs hetz que si

X

est une variété proje tive lisse et

H

un hyperplan générique,

j

i

: H

i

(X ∩ H, Z) 7−→ H

i

(X, Z)

est un isomorphisme pour

1 ≤ i ≤ n − 2

, etest surje tifpour

i = n − 1

.De plus, le noyau de

j

n−1

est engendré par les y les évanes ents obtenus àpartir des se tionssingulières d'un pin eaude Lefs hetz. On note

V an(X)

le groupe des y les évanes ents. En général si

X

est une variété proje tive lisse, alors

V an(X) 6= 0

. F. Zak a lassié dans [Zak1973℄ les surfa es lisses tellesque

V an(X) = 0

.Pour efaire,ilmontreenparti ulierquel'existen ed'unese tion

X ∩ L

ave une singularité isolée telle que

(X ∩ L, x) 6∼ A

1

(i.e. la singularité est isolée mais ne orrespond pas à une quadrique ordinaire) impliqueque

V an(X) 6= 0

.

Nous allons don her her des onditions sur

X

qui, à priori, impliquent l'existen e de se tions singulières dont lessingularités isolées ne sontpas réduites àun unique point double.

Strates de

X

∗

Ce problème est lié à l'étude du lieu singulier de

X

∗

. Lorsque

X

est lisse et

X

∗

est une hypersurfa e, un point

H ∈ X

∗

lisse

est ara térisé par la propriété suivante :

X ∩ H

a un unique point singulier de type singularité de Morse. De façonsimilaire, nous allons dé rire des omposantes, ou strates, de

X

∗

sing

et her her à ara tériser un point général

H

d'une omposante en fon tion des singularités de la se tion orrespondante

X ∩ H

. L'existen e des se tions singulières dé rites se résume à montrer que les strates de

X

∗

asso iéesont ladimensionattendue. Cettestrati ationde

X

∗

sefaiten introduisantdes variétés auxilliairesà

X

, lavariété des tangentes,

τ (X)

, etla variété des sé antes,

σ(X)

. En notant

|II

X,x

|

l'image de la se onde forme fondamentale en un point

x

général (le

sens de généralsera déni au hapitre2) et

T

˜

(2)

x

X

le se ondespa e os ulateur plongé,on obtient ainsi les onditionssusantes suivantes :

Théorème 2.2.3. Soit

X ⊂ P(V )

une variété lisse telle que

X

∗

soit une hypersurfa e, et telle que la variété des sé antes

σ(X)

soit non dégénérée :

- On suppose que pour

x

un point général, et

∀ v ∈ (T

x

X)

générique

∃ q ∈ |II

X,x

|

telle que

ker(q) =< v >

, alors de façon équivalente on a

a)

∃ H

, tel que

(X ∩ H, x) ∼ A

2

et

q

est la partie quadratique de la singularité. b) La sous-variété

τ (X)

∗

est de odimension

1

dans

X

∗

. - On suppose que pour

(x, y) ∈ (X × X)

général ,

T

˜

(2)

x

X ∩ ˜

T

y

X = ∅

, alors de façon équivalente on a a)

∃ H

, tel que

(X ∩ H, x) ∼ A

1

et

(X ∩ H, y) ∼ A

1

. b) La sous-variété

σ(X)

∗

est de odimension

1

dans

X

∗

.

Normalité des dis riminants ( hapitre 3)

Enn dans le hapitre 3, on donne un théorème de lassi ation pour les variétés homogènes dontle dual est une variété normale.

Dimension, degré et singularités de

X

∗

Typiquement, si

X

est une variété proje tive lisse alors

X

∗

est une hypersurfa e de degré élevé très singulière(i.e. singulièreen odimension

1

). Ces trois propriétés sont vé-riéesdèsque

X

est uneinterse tion omplèteautrequ'unequadriquelisse.Dès lorstrois questions seposent :

Question 1 : Quellessont les

X

lisses telles que

X

∗

ne soitpas une hypersurfa e?

Question 2 :Quelles sont les

X

lisses telles quedeg

(X

∗

₎

, appeléaussi odegré de

X

, soit petit?

Question3:Quellessontles

X

lissestellesque

X

∗

nesoitpassingulièreen odimension

1

?

Ces trentes dernières années, l'étudedes variétés dualesa inspiré des re her hes dans diérentesbran hes des mathématiques.Des onstru tionsgéométriques deFyodor Zakà l'appro he ombinatoiredes hyperdéterminantsde I. M. Gelfand,M. M. Kapranov etA. V.Zelevinsky,lesré entsdéveloppementsdelathéorieontdonnénaissan eàdesrésultats aux saveurs diérentes.

Théorème[Zak 1993℄. Soit

X ⊂ P(V )

unevariétéproje tive lissenondégénérée.Alors

dim(X

∗

_{) ≥ dim(X)}

. De plus si

X

∗

est lisse alors

dim(X) = dim(X

∗

₎

.

Cethéorème onstitueunepremièreétapepourétudierlaquestion

1

.Onappelledéfaut de la variété duale la quantité

δ

X

∗

:= n + a − 1 − dim(X

∗

₎

. Pour

X

lisse, le théorème des tangen es nous dit que

δ

X

∗

≤ a − 1

. Dans [Ein1986, Ein1985℄, Lawren e Ein s'est intéressé au as

δ

X

∗

= a − 1

.

Théorème [Ein 1986, Ein 1985℄. Soit

X

n

_{⊂ P(V ) = P}

n+a

une variété proje tive lisse telle que

a ≥

n

2

alors

dim(X

∗

_{) = dim(X)}

si et seulement si

X

est l'une des variétés suivantes :

Q

1

⊂ P

2

_{, P}

1

_{× P}

n−1

_{⊂ P}

2n−1

_{, G(2, 5) ⊂ P}

9

_{, S}

10

5

⊂ P

15

.

Ces variétéssonttoutes auto-duales.Ce résultat,sous des hypothèsesde odimension assez grande, lassie les variétés lisses telles que

δ

X

∗

soit maximal (question 1)et telles que

X

∗

soitlisse(question 3).

Roberto Muñoz dans[Mun 1997,Mun 1999℄a lassié,sous lesmêmes hypothèses de odimension assez grande, les variétés lisses telles que

δ

X

∗

= a − 2

et

δ

X

∗

= a − 3

. La ondition sur la odimension est liée à la élèbre onje ture de Hartshorne sur les inter-se tions omplètes. Uneréponse positive à ette onje ture impliqueraitquele théorème de Ein lassietoutes les variétés lisses auto-duales.

La question 2 sur les variétés de faible odegré fut étudiée par F. Zak [Zak1993, Zak 2004℄.Rappelons que si

X ⊂ P(V )

est une variété lisse telle que deg

X

∗

_{= 2}

alors

X

est une quadrique lisse. F. Zak lassia lesvariétésde odegré

3

:

Théorème[Zak 1993℄. Ilexisteexa tement

10

variétésproje tiveslissesnon-dégénérées telles que odeg

(X) = 3

. Ces variétés sont :

-

P

1

_{× P}

2

_{⊂ P}

5

. -

F

1

= (P

1

_{× P}

2

_{) ∩ H ⊂ P}

4

, une se tion hyperplane de la variété pré édente. - Les variétés de Severi (i.e.

v

2

(P

2

_{) ⊂ P}

5

_{, P}

2

_{× P}

2

_{⊂ P}

8

_{, G(2, 6) ⊂ P}

14

_{, E}

6

= E

6

/P

1

⊂

P

26

)

- Les proje tions des variétés de Severi à partir d'un point générique.

La lassi ation des variétéslisses telles que odeg

(X) = 4

est en oreaujourd'huiune onje ture [Zak 2004℄.

Cas des variétés homogènes

On obtientdes résultatsplus ompletsen serestreignant àl'étude des variétés homo-gènes.Biensouventonpeuttraduireunequestiongéométriqueenun al ulsurlesra ines

AinsiKnop etMenzel[K-M1987℄ont lassiélesvariétéshomogènes

X = G/P

telles que

X

∗

soit défe tive, i.e. n'est pas une hypersurfa e. Leur résultat fut aussi démontré par Snow.

Bien queselimiterauxvariétéshomogènesne soitpas satisfaisantdu point de vuede la géométrie, il onvient de noter que bien souvent les variétés homogènes apparaissent omme exemples très pathologiques lorsque l'on étudie une propriété donnée de

X

. De plus des arti lesré ents ontmontré quel'étudegéométrique des variétés homogènes don-nait de nouvelles perspe tivesen théoriedes représentations ([L-M 2004℄).

Il existe un as très parti ulier de variétés duales (obtenues omme variétés duales de variétés homogènes) où la réponse aux questions 1, 2, 3 est onnue. Il s'agit des hy-perdéterminantsétudiés essentiellementpar Gelfand-Kapranov-Zelevinsky([G-K-Z1992, G-K-Z 1994℄). Considérons

X = P

k

1

_{× P}

k

2

_{× · · · × P}

k

r

_{⊂ P(C}

k

1

+1

_{⊗ C}

k

2

+1

_{⊗ · · · ⊗ C}

k

r

+1

₎

le produit de Segré de

r

espa es proje tifs. Pour

r = 2

et

k

1

≥ k

2

= n

, la variété

X

orrespond àlaproje tivisationde lavariété des matri esde rang

1

.Aprèsidenti ation,

V ⊗W

∗

_{≃ V}

∗

_⊗W

,

X

∗

s'interprète ommelaproje tivisationdelavariétédes matri esde rang inferieurou égalà

n

. Ainsil'équationqui dénit

X

∗

n'est autre queledéterminant. Pour

r ≥ 3

on peut interpréter

X

omme la variété des multimatri es de rang

1

, et si

X

∗

est une hypersurfa eonappellehyperdéterminant l'équationde

X

∗

. On parleraalors d'hyperdéterminant de format

(k

1

+ 1) × · · · × (k

r

+ 1)

(voir[G-K-Z 1994℄).

Dans [G-K-Z1992℄ les auteurs présentent les premières propriétés des hyperdétermi-nants.Letermeayantun sensseulementlorsque

X

∗

estun hypersurfa e,ils lassientles produitsde Segré telsque

δ

X

∗

= 0

.C'est lethéorème1.3de [G-K-Z 1992℄quin'est qu'un as parti ulierdes résultatsde Knop-Menzel.Ave leur théorème3.1, lesauteursdonnent une formuleré ursive pour al ulerledegré de

X

∗

.Enn dans [W-Z1996℄ J.Weyman et A.Zelevinsky étudient lessingularitésde

X

∗

. Leur motivationpremière était de lassier les hyperdéterminants qui ne sont pas singuliers en odimension

1

. On résume es trois points quirépondent aux questions 1,2, 3,dans le théorème suivant:

Théorème[théorème1.3, théorème3.1[G-K-Z 1992℄et onséquen esdu théo-rème prin ipal de [W-Z 1996℄℄.

1) L'hyperdéterminant de format

(k

1

+ 1) × · · · × (k

r

+ 1)

existe si et seulement si

k

l

≤

X

j6=l

k

j

, ∀ l = 1, . . . , r.

2) Soit

d(k

1

, . . . , k

r

)

ledegré de l'hyperdéterminant de format

(k

1

+ 1) × · · · × (k

r

+ 1)

alors

P

k

1

,...,k

r

≤0

d(k

1

, . . . , k

r

)z

k

1

1

. . . z

r

k

r

= (1 −

P

r

i=2

(i − 1)e

i

(z

1

, ..., z

r

))

−2

où

e

i

(z

1

, . . . , z

r

)

est le

i

-ème polynme symétrique élémentaire.

3) Soit

∆

X

un hyperdéterminantde format

(k

1

+ 1) × · · · × (k

r

+ 1)

, ave

r ≥ 3

tel que l'hypersurfa e

∆

X

= 0

nesoit pas singulière en odimension

1

alorsleformat est

(2, 2, 2)

, i.e.

X = P

1

_{× P}

1

_{× P}

1

Après le théorème de Knop-Menzel, le problème naturel qui se pose est de lassier lesvariétéshomogènes dont lesvariétésduales sont des hypersurfa es dégénérées pour le lieu singulier (i.e. le lieu singulier est de dimension inférieure à la dimension attendue). Comme nous l'avons dit, lorsque

X

∗

est une hypersurfa e,

X

∗

sing

est, en général, une sous-variété de odimension

1

dans

X

∗

. Nous avons don her hé à lassier les variétés homogènes dont les variétés duales étaient des hypersurfa es normales (

X

∗

étant une hypersurfa e,onal'équivalen eentre

X

∗

est normaleet

X

∗

est singulièreen odimension

2

,voir [Mum 1968℄).

Dansledeuxième hapitre,les onditionsquel'onobtientpourl'existen edes se tions singulières,sontaussides onditionssusantespourquelesstratesde

X

∗

orrespondantes soient de dimension maximale. Une de es onditions est appliquée au as des variétés homogènesdans le hapitre 3.Ce faisant,onobtientune première listede variétés homo-gènes dont le dual est une hypersurfa e non né essairement singulière en odimension

1

. En omplétant e travail par des al uls basés sur un ritère de F. Zak, nous lassions les dis riminantsdes variétés homogènes pour un groupe de Lie semi-simple, qui orres-pondent à des hypersurfa es singulières en odimension

2

. Ce résultat généralise don à toutes lesvariétés homogènes lerésultat onje turé dans [G-K-Z1992, G-K-Z 1994℄ puis démontré par [W-Z1996℄ pour les produits de Segré :

Théorème 3.2.5. Soit

X = G/P ⊂ P(V

λ

)

une variété rationnelle homogène pour un groupe de Lie semi-simple

G

. On suppose que

X

∗

est une hypersurfa e. Alors

X

∗

est normale si et seulement si

X

est l'une des variétés suivantes,

X = Q

n

_{⊂ P}

n+1

, la quadrique lisse.

X = v

2

(P

n

) ⊂ P

(n+2)(n+1)

2

−1

, P

n

×P

n

⊂ P

(n+1)

2

−1

, G(2, 2n) ⊂ P

(

2n

2

)−1

, E

6

= OP

2

⊂ P

26

, une variété de S orza.

X = P

1

_{× Q}

n

_{⊂ P}

2(n+2)−1

_{, n > 1, G}

ω

(3, 6) ⊂ P

13

, G(3, 6) ⊂ P

19

, S

6

⊂ P

31

, E

7

=

E

7

/P

7

⊂ P

55

, une variété sous-adjointe, minimalement plongée, obtenue à partir d'une variété adjointe fondamentale.

X = X

G

2

⊂ P

13

, la variété adjointe pour le groupe de Lie

G = G

2

.

Aprèsavoirdonnéla lassi ationdesvariétéshomogènesdontlavariétédualeestune hypersurfa e normale on peut se poser la question du as des variétés duales défe tives. Nous on luons ettethèse ave lerésultat suivant :

Théorème 3.4.1. Soit

X = G/P ⊂ P(V

λ

)

une variété rationelle homogène pour un groupe de Lie semi-simple

G

. La variété duale

X

∗

est normale si et seulement si

X

est l'une des variétés suivantes,

X

est une variété du théorème3.2.5.

X = P

k

_{× P}

l

_{⊂ P}

(k+1)×(l+1)−1

,

k > l

,

G(2, 2n + 1) ⊂ P

(2n+1)n−1

, une fausse variété de S orza.

X = S

5

⊂ P

15

.

X = Q

1

_{× P}

m

_{⊂ P}

3m+2

Certaines de nos preuves du premier hapitre ontne essité des al ulssurordinateurs (Maple). Les ommandes de es al uls sont reproduites dans l'annexe A. Enn dans notre nouvelle preuve du théorème de Knop, il a fallu é rire des " haînes de poids" qui odentl'agen ementdes ra ines orrespondant auxve teurs tangentsde

X

G

. Nousavons reproduit es haînes pour les algèbres de Lie ex eptionnelles dans l'annexe B. Enn dans l'annexe ?? nous avons résumé sous forme de tableau les propriétés géométriques élémentaires des variétésdes théorèmes 3.2.5 et3.4.1.

Introdu tion i

1 Sur un théorème de Knop 1

1.1 Diagrammesde Dynkin . . . 1 1.1.1 Singularités simples . . . 1 1.1.2 Lethéorème de Knop . . . 3 1.2 Variétés duales . . . 5 1.2.1 Dis riminants des variétés adjointes . . . 5 1.2.2 Versionduale du théorème de Knop . . . 12 1.3 Unenouvelle preuve du théorème de Knop . . . 14 1.3.1 Preuve . . . 14 1.3.2 Singularités

&

algèbresde Liesimples . . . 22 2 Sing

(X

∗

_{) &}

Sing

(X ∩ H)

25

2.1 Généralités etpremiersexemples . . . 25 2.1.1 Variétésadjointes . . . 29 2.2 Variété des tangentes et variété des sé antes . . . 30 2.2.1 Dénitions,outillage (repère mobile)etstratégie . . . 30 2.2.2 Variétédes tangentes et se tionshyperplanes de

X

. . . 36 2.2.3 Variétédes sé antes etse tions hyperplanes de

X

. . . 39 2.2.4 Théorème sur les se tionshyperplanes de

X

. . . 41 2.3 Dimensionsde

σ(X)

∗

. . . 43

3 Appli ations aux variétés homogènes 45

3.1 Dimensionde

σ(G/P )

∗

pour

G

groupe de Liesimple . . . 45 3.2 Normalitéde

∆

(G/P )

. . . 60

3.2.1 Quelquesvariétéshomogènesdontledualest unehypersurfa e nor-male . . . 60 3.2.2 Résultatsde Zaksur lanormalitéde

X

∗

. . . 64 3.2.3 Normalitéde

X

∗

pour les variétéshomogènes . . . 66 3.3 Lelieu singulierde

X

∗

3.4 Normalitéde

(G/P )

∗

. . . 73

A Cal ul sur le dis riminant de

F

4

77

B Cal ul des dire tions dégénérées de

Q

H

0

v

α

˜

79 B.1 Notations . . . 79 B.2

F

4

. . . 80 B.3

E

6

. . . 81 B.4

E

7

. . . 82 B.5

E

8

. . . 84

Sur un théorème de Knop

Dans e hapitre nous présentons un théorème de Friedri hKnop sur lesse tions hy-perplanes des variétés adjointes. Nous introduisons au ours de ette étude les diérents on epts qui seront essentiels dans le adre de ette thèse : singularités simples, varietés homogènes, variétés duales. Nous expli itons l'équation du dis riminant des variétés ad-jointes pour un groupede Lie lassique(proposition1.2.1) e quinous onduitàformuler uneversionduale du théorèmede Knop.Ce résultat(théorème1.2.2)sedéduitdu théo-rèmede Brieskorn pourles diagrammesdetype

A − D − E

ets'obtientparle al ul pour lesdiagrammes

B − C − F − G

.Enn nousdonnons une nouvellepreuvedu théorème de Knop àpartir de notreversion duale.

1.1 Diagrammes de Dynkin

1.1.1 Singularités simples

Soit

(f, 0)

le germe en zéro d'une fon tion holomorphe

f : C

n

_{7→ C}

. On appellera singularitéladonnée,àtransformationbiholomorpheprès,d'untelgermelorsque

∂

i

f (0) =

0

pour tout

i

,où

∂

i

représente ladérivépar rapportà la

i

-èmevariable.Introduisantune telle relation,ilest naturelde onsidérer

O

n

l'espa edes germesde fon tions

f : C

n

_{7→ C}

muni de l'a tiondu groupe

D

n

, où

D

n

est legroupedes germes de biholomorphismesqui xent

0

.Unesingularitéest don une

D

n

-orbitedans

O

n

distin tedel'orbitelisseetdense des germes non singuliersen zéro.

Dénition 1.1.1. Une singularité est dite non dégénérée, où de type Morse, où en ore de type quadratique ordinaire lorsque lapartie quadratique de

(f, 0)

est de rang

n

.

Le lassique Lemme de Morse ([Mi1963℄) nous dit qu'une singularité non dégénérée appartientàl'orbitede

f (z

1

, ..., z

n

) = z

2

degermessinguliers.Adoptonspourl'ensembledesorbitesdegermessingulierslanotation

S

n

= O

n

\ O

n,

lisse .

La dénition d'une singularité implique que le orangest un invariantet, dans le as parti ulier où elui- i est nul, il la ara térise omplètement. Il existe une version gé-néraliséedu Lemme de Morse ([Mi 1963,Ar 1972℄)que l'on peut formuler de la manière suivante:unesingularité

[(f, 0)] ∈ S

n

/D

n

de orang

k

, orrespondàl'orbited'unefon tion detype

g(z

1

, ..., z

k

)+z

2

k+1

+...+z

n

2

.On dénitunerelationd'équivalen eentresingularités qui n'ont pas le même nombre de variables, en rajoutant des termes quadratiques. Ainsi ondira que

(f, 0)

et

(g, 0)

sontstablement équivalentes.

Un invariant essentiel dans l'étude des singularités est le nombre de Milnor,

µ

. Rap-pelons i i sadénition algébrique :

Soit

I

Λf

= O

n

< ∂

1

f, ..., ∂

n

f >

l'idéal gradient de

f

,alors

µ =

dim

C

O

n

/I

Λf

Remarque 1.1.1. Pourune dénition et une appro he topologique de

µ

voir [Mi 1968℄. Il est bien onnu ([A-G-L-V1998℄) que

µ(f, 0) < ∞ ⇔ (f, 0)

est une singularité isolée.

Les singularités de Morse sont les singularités les moins omplexes que l'on puisse imaginer.Elles sont omplètement ara térisées par la hessienne d'un représentant de la lasseetformentuneorbitedenseparmilesautres lassesdesingularités.Enparti uliersi

(f, 0)

est un pointde l'orbitedes singularitésde Morse,un voisinagesusament petit de

(f, 0)

dans

S

n

est toujours ontenu dans l'orbitede

(f, 0)

.En d'autres termes,perturber

(f, 0)

dans

S

n

ne hange pas la lasse de

(f, 0)

. Lessingularités simplesausens d'Arnold sontlessingularités quipeuvent hangerde lasseaprès perturbation,mais seulement un nombre ni de fois.

Dénition 1.1.2.

[(f, 0)]

est une singularié simple lorsque tout voisinage susament petit de

[(f, 0)]

interse te seulement un nombre ni d'orbites dis tin tes de

[(f, 0)]

.

Il existe bien des façons de dénir etd'introduireles singularitéssimples ([Du 1979℄). Nousavons hoisi l'appro hed'Arnold ar nousutiliserons, lorsque nousproposeronsune nouvellepreuve du théorème de Knop,la ara térisationqu'il introduit dans [Ar1972℄.

En eet, Arnold lassie les singularitéssimples en montrant qu'être simple implique des restri tions sur

µ

, sur le orang de

Hess(f, 0)

et sur les termes ubiques de

(f, 0)

. Plus pré isément ilmontre que :

-

µ

doit être ni (ave

µ < 9

lorsque le terme ubique est un ube).

Ré iproquement Arnold montre queles germes ainsi ara tériséssont simples. Ce i onduit àla listedes formes normales:

A

n

D

n

E

6

E

7

E

8

x

n+1

_x

n−1

_{+ xy}

2

_x

3

_{+ y}

4

_x

3

_{+ xy}

3

_x

3

_{+ y}

5

µ = n

n

6

7

8

Ces formes normalessont bien stablement équivalentes aux surfa es de Klein.

La dernière notion, que nous voulons rappeler, est elle de dis riminant d'une singu-larité. Soit

(f, 0)

une singularité et

I

Λ

f

son idéal gradiant. Notons par

g

1

, ..., g

µ

une base de

O

n

/I

Λ

f

. On peut déformernotre singularité de lafaçon suivante :

F (x, λ) = f (x) + Σ

µ

_i=1

λ

i

g

i

(x)

Une telle déformation est dite miniverselle ([Ar 1975, A-G-L-V1998℄). Maintenant onsidérons

∆

f

(λ

1

, ..., λ

µ

) = ∆(F (x, λ))

ledis riminantde

F (x, λ)

.L'hypersurfa edénie par

∆

f

paramétrise les déformations singulières de

(f, 0)

et ara térise ainsi

(f, 0)

(un résultat de Wirthmüller [Wu1980℄ montre qu'une singularité isolée d'hypersurfa e est déterminée, à transformation biholomorphe près, par le dis riminant de sa déformation miniverselle).Retenons l'exemplesuivant :

Exemple 1.1.1. Soit

(f, 0)

une singularité simple de type

A

n

. C'est à dire

f ∼ x

n+1

.

O

1

/I

Λ

_xn+1

=< 1, x, .., x

n−1

>

, don une déformation de

x

n+1

est

x

n+1

_{+ λ}

1

x

n−1

+ ... + λ

n

. Son dis riminant est alors donné par l'équation :

∆(x

n+1

+ λ

1

x

n−1

+ ... + λ

n

) = 0.

(1.1) On notera

Σ

A

n

l'hypersurfa e denie par

∆

x

n+1

.

1.1.2 Le théorème de Knop

La théorie des représentations des groupeset algèbres de Liea pour pendant géomé-trique l'étude des variétés homogènes. A

G

un groupe de Lie semi-simple omplexe de rang

r

et

V

λ

une représentation irrédu tiblede dimension nie, dénie par le poids

λ

, on asso ieunevariétéproje tiveirrédu tibledelafaçonsuivante:notons

v

λ

∈ V

λ

un ve teur de plus haut poids de lareprésentation, alors

G.v

λ

⊂ V

λ

est une orbite fermée et onique ( es propriétés ara térisent l'orbite). On obtient ainsi une variété proje tive homogène

X

λ

= G.[v] = G/P ⊂ P(V

λ

)

quine dépend que de

g

, l'algèbrede Lie de

G

.

Lorsque

G

est un groupe de Lie simple omplexe et

V

λ

= g

, i.e. on onsidère la représentation adjointe de

G

, on obtient la variété

X

G

= G.[v

λ

] ⊂ P(g)

. Cette variété proje tiveest appelée variété adjointede

G

.

y = x

3

27

λ

2

+ 4

λ

3

Fig. 1.1dis riminantpour la ourbe

y = x

3

Soit

h

0

∈ g

un élément régulier nilpotent, 'est à dire un élément nilpotent tel que dim

g

h

0

₌

dim

({Z ∈ g|[Z, h

0

] = 0}) = r

etsoit

B(, )

laformedeKillingde

g

.On onsidère l'hyperplande

P

(g)

déni ommesuit :

H

0

= {[u] ∈ P(g), B(u, h

0

) = 0}

On note enn

Γ

le typede

G

.Le théorème de Knop s'énon e alors : Théorème 1.1.1 (Knop [Kn 1987℄ Théorème 3.1). Soit

Γ

∗

le sous-diagramme des ra ines longues de

Γ

. La se tion hyperplane

X

G

∩ H

0

⊂ X

G

⊂ P(g)

a un unique point singulier, et 'est une singularité simplede type

Γ

∗

.

Enparti ulier si

G

est detype

A

n

(resp,

D

n

, E

6

, E

7

, E

8

)

, alorslase tionhyperplane orrespondante a un unique point singulierde type

A

n

(resp,

D

n

, E

6

, E

7

, E

8

)

. De plus Knopmontreaussi(théorème4.7)qu'ilexisteune orrespondan epréservantletype,entre les se tions hyperplanes de

X

G

dont les singularités sont isolées, et les sous-diagrammes de

Γ

∗

.

Knop prouve son théorème en introduisant des invariants qui ara térisent les singu-larités simples( aratérisationde Saïto[Sa 1971℄)et en al ulant au as par as lavaleur de es invariantspour lase tionhyperplane

X ∩ H

0

.En essayant de donnerune nouvelle preuve de e théorème nous avionstrois obje tifs :

1) prouveruniformémentle théorème, 'est à dire éviter le al ul au as par as.

2) omprendre géométriquement pourquoi

H

0

est le bon hyperplan dans la onstru -tion de Knop.

Comme nous le verrons notre preuve ne peut se passer du al ul au as par as dans sadernièreétape,maisnousavons purempla erl'utilisationd'invariantssophistiqués par des al uls élémentaires. De plus es al uls nous apportent des informations nouvelles sur lenoyaude la partiequadratiquede

X ∩ H

0

. Pour e qui est du point 2),nousallons donner une onstru tion qui nous permettra d'interpréter géométriquement

H

0

. Enn à lan du hapitre nous ferons des ommentaires sur lepoint3).

1.2 Variétés duales

Comme nous l'avons rappelé dans l'introdu tion, la variété duale est en général une hypersurfa e.Lorsque 'est le as, l'équation

∆

X

qui dénit

X

∗

est appelée dis riminant de

X

([G-K-Z1994℄). Cetteterminologie met en avantle faitsuivant :lorsque

X

est une variété lisse, alors

X

∗

paramétrise exa tement les se tions hyperplanes singulières de

X

. En eet par dénition de

X

∗

,

H ∈ X

∗

implique que la se tion

X ∩ H

est singulière. Si on suppose

X

lisse alors omme

H /

∈ X

∗

implique

H

interse te

X

transversalement on obtient

X ∩ H

est une se tion lissesi etseulement si

H /

∈ X

∗

.

1.2.1 Dis riminants des variétés adjointes

Dans ettese tionnous allonsexpli iterledis riminantdesvariétésadjointes pour les algèbres de Lie lassiques. En parti ulier nous établissons pour les types

A

n

et

D

n

une relationentre

X

ˆ

∗

G

et

Σ

G

(où parabusde notation

Σ

G

est ledis riminantd'unesingularité simple de même typeque le groupe de Lie

G

).

Le as

A

n

Dans le as où

g

= sl

n+1

C

la variété adjointeest :

X

SL

n+1

C

= (P

n

_{× P}

n

_{) ∩ H}

tra e=0

⊂ P(sl

n+1

C).

X

A

n

s'interprète omme l'ensembledes matri esde tra e nulleetde rang1. Laforme de Killing est dénie par

B(C, D) = tr(

t

_CD)

. On identie ainsi

sl

n+1

C

et son dual. Cher hons une expression du dual de

X

A

n

. Pour ela notons

x = e ⊗ f

∗

un point de

P

n

×P

n

_{⊂ P(V ⊗V}

∗

₎

.La onditiondetra enullerevientàdireque

f

∗

_{(e) = 0}

.Maintenant que nous savons dé rireun point de

X

A

n

nous pouvons al uler l'espa etangent de

X

A

n

aupoint

x

en utilisantla règle de Leibniz :

d(e ⊗ f

∗

_{) = v ⊗ f}

∗

_{+ e ⊗ w}

∗

,où

v

estunve teurquel onquede

ker(f

∗

₎

et

w

∗

un ve teur quel onque de

e

⊥

_{⊂ V}

∗

x =









0 ... 0 1

0 ... 0 0

. ... .

.

0 ... 0 0









ˆ

T

x

X

A

n

=









a ... ∗

∗

0 ... 0

∗

. ... .

.

0 ... 0 −a









H

tangent en

x

, impose les onditions suivantes :

trace(

t

Hx) = 0

trace(

t

Hy) = 0, ∀ y ∈ ˆ

T

x

X

A

n

.

Enparti ulier si

H

est unematri ede tra enulleadmettantune valeur propredouble alors

H ∈ X

∗

A

n

. Orl'ensembledes matri esde tra e nulleayantune valeurpropre double est une hypersurfa e : les valeurs propres de

H

sont les ra ines du polynme ara téris-tique

Q

H

= det(H − λId)

, et e polynme a une ra ine double si et seulement si son dis riminantest nul,

∆(Q

H

) = ∆(det(λ

n+1

_{Id + H)) = 0}

.Comme

X

∗

A

n

est irrédu tible,les deux hypersurfa es oïn ident.Nousavons don pour équation de

X

∗

A

n

:

∆

X

_An

(H) = ∆(Q

H

) = ∆(det(λ

n+1

I

d

+ H))) = 0

e qui donne en développant

∆

X

_An

(H) = ∆(λ

n+1

+ P

2

(H)λ

n−1

+ ... + P

n+1

(H)) = 0

(1.2)

oùles

P

i

sont les sommesdes

i × i

prin ipaux mineursde

H

(

P

1

étant la tra e,i i nulle, et

P

n+1

le déterminant). Rappelons enn que les

P

i

sont lesgénérateurs de l'algèbre des polynmes

SL

n+1

-invariants sur

sl

n+1

, i.e.

C[sl

n+1

]

SL

n+1

_{= C[P}

2

, ..., P

n+1

]

.

Parlasuitenous allonsexploiterlaressemblan e entre lesexpressions (1.1)et(1.2). Plus pré isément nous remarquons la hose suivante, il existe une appli ation

SL

n+1

-invariante(le quotient de

sl

n+1

par le groupe

SL

n+1

),

Φ : sl

n+1

7−→ C

n

= sl

n+1

//SL

n+1

dénie par lesgénérateurs de

C[sl

n+1

]

SL

n+1

,

Φ(x) = (P

2

(x), ..., P

n+1

(x))

ave

Le dis riminant des variétés adjointes (pour les groupes de Lie lassiques)

Revenons au as où

X = X

G

⊂ P(g)

est une variété adjointe pour un groupe de Lie simple omplexe

G

. I i nous suivons la présentation de [Te2004℄ pour dé rire le dis riminantde

X

G

.Soit

x ∈ g

,lepolynme ara téristiquedel'opérateuradjoint

ad(x) =

[x, .]

est,

Q

x

= det(tId − ad(x)) =

dim(g)

X

i=0

t

i

D

i

(x).

Si

r

est le rang de

g

alors on a pour tout

x

, dim

g

x

_{≥ r}

. Don l'opérateur

ad(x)

admet

0

omme valeur propre ave multipli itéau moins

r

. En parti ulier ela implique

D

0

(x) = D

1

(x) = ... = D

r−1

(x) = 0

.Le premier polynmenon nulest don

D

r

.

Nous avons

D

r

(x) 6= 0

si et seulement si

x

est régulier semi-simple. Or un élément

x

semi-simple est régulier si et seulement

∀ α ∈ R

on a

α(x) 6= 0

, où

R

est l'ensemble des ra ines de

g

. Ce i permet, sous l'isomorphisme de Chevalley,

C[g]

G

_{≃ C[h]}

W

, de re onnaître

D

r

ommele produit des ra ines

D

_r|h

=

Y

α∈R

α = ±(

Y

α∈R

+

α)

2

à s alairemultipli atif près.

Sous l'a tion du groupe de Weyl,

W

, e polynme n'est pas irrédu tible lorsque le diagramme de Dynkin

Γ

de

G

admet des ra ines longueset ourtes. On adon

D

r|h

= D

l|h

D

c|h

=

Y

α∈R

l

α

Y

α∈R

c

α

où

R

l

est l'ensembledesra ines longuesde

g

et

R

c

l'ensembledesra ines ourtes. Lelien ave ledis riminantde

X

G

est lesuivant

Théorème 1.2.1 (Tevelev [Te 2004 ℄, Omoda [Om 2000℄). Après avoir identié

g

et

g

∗

viala forme de Killing, on a

∆

X

G

= D

l

.

On propose unenouvellepreuve de e théorèmequel'on déduitdu lemmesuivant.Ce lemmesimplielesargumentsde[Te 2004℄et[Om 2000℄,etdonneenplusdesinformations supplémentaires pour lesautres orbites nilpotentes :

Lemme 1. Soit

v ∈ g

un ve teur nilpotent, on note

X

v

= P(G.v) ⊂ P(g)

. Après avoir identié

g

et

g

∗

par la forme de Killing, on note

Y ⊂ P(g

∗

₎

l'hypersurfa e dénie par

D

r

= 0

, alors

X

∗

v

⊂ Y

.

Démonstration.

g

= h ⊕

α∈R

g

α

, et soit

v

un élément nilpotent. A onjugaison près on peut supposer

v ∈ ⊕

α∈R

+

g

α

, où

R

+

est l'ensemble des ra ines positives. Don il existe des ve teurs propres

{Z

α

i

}

i∈I

pour des ra ines positives,

α

i

, tels que

v =

P

i∈I

Z

α

i

. Soit

i ∈ I

,alors

[Z

−α

i

, v] ∈ ˜

T

v

X

v

.Cetélémentde

g

apourpartiesemi-simple

h

α

i

= [Z

−α

i

, Z

α

i

]

. Soit

H ∈ X

∗

v

, alors

T

˜

v

X

v

⊂ H

et don

[Z

−α

i

, v] ∈ H

. En notant

H = B(h, .)

, il vient

B(h, [Z

−α

i

, v]) = 0

. Pour les parties semi-simples de

h

et

[Z

−α

i

, v]

, la dernière égalité implique

α

i

(h

s

) = 0

, e qui signie

D

r

(h

s

) = 0

,i.e.

H ∈ Y

.

2

Démonstration. (du théorème) On applique le lemme à l'orbitedénie par le ve teur de plus haut poids,

v = Z

α

˜

. Don on obtient

α(h

˜

s

) = 0

. Le plus haut poids est une ra ine longue, d'où ette fois

D

l

(h

s

) = 0

. Enn pour les variétés adjointes on sait que

X

∗

G

est

une hypersurfa e, don

X

∗

G

⊂ Y

implique l'égalité.

2

Déduisons de e théorème une expression du dis riminant de

X

G

, lorsque

G

est une algèbrede Lie lassique.

Les algèbresde Lie lassiques peuvent se dé rire omme suit :

sl

n

C

= Mat

0

n

(C) := {A ∈ Mat

n

(C)|

tra e

A = 0}

so

2n+1

C

= {





A

B

G

C −A

T

_H

E

F

0





∈ Mat

0

_2n+1

(C)

|A, B, C ∈ Mat

n

(C), B

T

= −B, C

T

= −C, E

T

= −G, F

T

= −H}

sp

_2n

C

= {

A

B

C −A

T



∈ Mat

0

_2n

(C)|A, B, C ∈ Mat

n

(C), B

T

= B, C

T

= C}

so

2n

C

= {

A

_{C −A}

B

T



∈ Mat

0

2n

(C)|A, B, C ∈ Mat

n

(C), B

T

= −B, C

T

= −C}

On peut don parler de la restri tion des

P

i

=

somme des

i × i

prin ipauxmineurs. Pour haque algèbre de Lie lassique es polynmes engendrent

C[g]

G

(voir [Po 2002℄). Dans le as parti ulier de

D

n

,

P

2n

le déterminantn'est pas irrédu tible,

P

2n

= P f

2

et le polynme

P f

est appelé Pfaen.

On obtient alors,

Proposition 1.2.1. Une équation pour le dis riminant de

X

G

est : Type

A

n

,

∆

X

An

(x) = ∆(t

n+1

_{+ P}

2

(x)t

n−2

+ ... + det(x)) = 0

Type

B

n

,

∆

X

Bn

(x) = ∆(t

n

_{+ P}

2

(x)t

n−1

+ ... + P

2n

(x)) = 0

Type

C

n

,

∆

X

Cn

(x) = ∆(t

2

_{+ det(x)) = 0}

Type

D

n

,

∆

X

Dn

(x) = ∆(t

n

_{+ P}

2

(x)t

n−2

+ ... + P

2n−2

(x)t + P f

2

(x)) = 0

.

Démonstration. Le as

A

n

aété traité, voirl'équation (1.2).

Le as

C

n

setraiteaisément.Eneet,soit

V

unespa eve toriel omplexededimension

n

, alors

sp

2n

≃ S

2

(V )

. Sous et isomorphisme, la variété adjointe

X

Sp

2n

s'identie à

v

2

(P

n−1

)

lavariété des matri essymétriques de rang

1

. Savariétéduale orrespond alors àlavariétédes matri essymétriquesde rangauplus

n

dontune équationest donnée par le déterminant.Or

∆(t

2

_{+ det(x)) = 0}

est une autre façond'é rire

det(x) = 0

.

Pour le as

B

n

nous adoptons les notations de [Fu-Ha 1991℄. Soit

M ∈ so

2n+1

, à onjugaison près,onpeut par ladé ompositionde Jordané rire

M

s

lapartiesemi-simple de

M

sous la forme,

M

s

= {





A

0

0

0 −A

T

₀

0

0

0





∈ Mat

0

_2n+1

|A ∈ Mat

n

, A = diag(λ

1

, ...λ

n

)}.

Soit

α

unera inelongue,d'aprèsladés riptiondonnée de

so

2n+1

et elledesesra ines donnée dans [Fu-Ha1991℄, ona

α(M

s

) = λ

i

± λ

j

.

Don l'équationdu dis riminantque l'on a par le théorème est

D

l

(M

s

) =

Y

1≤i<j≤n, i6=j

(λ

i

± λ

j

)

2

.

Considérons maintenant

P

M

le polynme ara téristiquede

M

:

det(M + tId) = t

2n+1

+ P

1

(M)t

2n−1

+ P

2

(M)t

2n−2

+ ... + P

n−1

(M)t

(rappel

trace = 0

, et

P

n

= det = 0

). Ce polynme admet

0

omme ra ine puisque

det(M) = 0

.Si on onsidère

t

2n

+ P

1

(M)t

2n−2

+ P

2

(M)t

2n−2

+ ... + P

n−1

(M),

on obtient un polynme qui a omme valeurs propres

λ

i

, −λ

i

. Faisons le hangement de variable

T = t

2

,on obtient un nouveau polynme,

T

n

+ P

1

(M)T

n−1

+ P

2

(M)T

n−2

+ ... + P

n−1

(M)

qui a omme valeurs propres

λ

2

i

, et don si on onsidère son dis riminant (produit du

arré de la diéren edes ra ines), onobtient

∆(T

n

+ P

1

(M)T

n−1

+ P

2

(M)T

n−2

+ ... + P

n−1

(M)) =

Y

1≤i<j≤n, i6=j

(λ

2

_i

− λ

2

_j

)

2

=

Y

1≤i<j≤n, i6=j

(λ

i

± λ

j

)

2

= D

l

(M

s

).