où mult H X ∗

orrespond à la multipli ité de

X∗

au point

H

Remarque 1.3.1. Il existe une déntion plus générale de

µ(X ∩ H)

qui reste valide lorsquelessingularitésnesontpasisolées,voir[Pa 1988,Pa 1991℄.Lethéorèmepré édent a été aussi généralisé par A. Parusinskiau as des se tions dont lelieu singulier est non isolé.

•

Cal ul de

µ(XG∩ H0)

Lemme 3. Soit

XG ⊂ P(g)

une variété adjointe. Soit

H0

un hyperplan déni par un élément régulier nilpotent

h0

. Alors

X ∩ H0

a un unique point singulier.

Démonstration. Un élémentréguliernilpotent

h0

est ontenudans un uniqueborel

b⊂ g

(rappelons quepour un hoixd'ordre sur lesra ines ondénit une sous-algèbre de borel de

g

en posant

b = h ⊕ (⊕_α∈R+g_α)

).Orle entre du nilradi ald'unborel est dedimension

1

([Hu 1995, Kna 1996℄). Don il existe un unique, à un s alaire près, ve teur

v

tel que

B([g, h0], v) = 0

(où

B(, )

est la formede Killing).Par invarian ede la formede Killing, on a

B(h₀, [g, v]) = 0

. Don

H₀

est tangent à la variété

G.[v]

en un unique point

[v]

. Il reste à voir que

v

est un ve teur de plus haut poids pour identier

G.[v]

XG

. Pour ela on hoisit une base de ra ines simples,

α1, ..., αn

ave pour ve teurs propres orres-pondants

Z_α₁, ..., Z_α_n

, on note

α˜

la plus haute ra ine de

g

et son ve teur propre asso ié

vα˜

. L'élément

h0 = Zα1 + ... + Zαn

est régulier nilpotent, et on a bien

B(h0, [g, vα˜]) = 0

puisque

[g, vα˜] ⊂ b

2

Nous noterons

r ⊂ g

l'ensembledes éléments réguliersde

g

. C'est à dire que

x ∈ r ⇔

Lemme 4. Soit

H ⊂ Cr

une hypersurfa e quel onque dénie par

f = 0

, soit

_{H ⊂ g ≃ g}˜ ∗

l'hypersurfa e donnée par

f ◦ Φ = 0

. Alors on a pour

x ∈ ˜H ∩ r

, régulier,

mult_xH =^˜

multΦ(x)H

Démonstration. On suppose

x ∈ ˜H ∩ r

et on note

y = Φ(x)

. La règle de la haîne donne

∂i(f ◦ Φ)(x) = P

j∂jf (y).DPi,j(x)

où

DPi,j = (∂iPj)ij

. Un théorème de Kostant ([Kos1963℄, Theorem 0.1) assure que

DP_i,j(x)

est de rang maximum si et seulement si

x ∈ r

. On en déduit que

x

est singulier pour

f ◦ Φ

si et seulement si

y = Φ(x)

est singulierpour

f

.Supposonsmaintenantque

y

soitdemultipli ité

k

,en prenantlesdérivés su essives de

f ◦ Φ

ona bien que

x

est aussi de multipli ité

k

2

Lemme 5. Soit

_Xˆ∗

G⊂ g∗ ≃ g

etsoit

N(g) ≃ N(g∗)

lenil nede

g

. Si

g

estunealgèbrede Lie simpledetype

Γ

dontlediagramme posséde

n

ra ineslonguesalors

multN(g∗)

lisse

ˆ

X∗

G =

n

Remarque 1.3.2. On a bien

N(g∗) ⊂ ˆX∗

G

puisquepar dénition si

x ∈ N(g∗)

alors

x

et nilpotentetdon sa partiesemi-simple

xs

estnulle.Il vientalors

∆(x) =Q

α∈Rlα(0) = 0

Démonstration. Il sut de rappeler que

N(g)

est déni par

P1 = ... = Pr = 0

et que de plus

N(g)

lisse

= N(g)∩r

.Onappliquelelemmepré édentaupoint

(0, 0, ..., 0) = Φ(N(g)) ∈

Φ( ˆX∗

G) = H

.Lorsque

G

est detype

A − D − E

,alors

Φ( ˆX∗

G) = ΣG

ΣG

étantle dis rimi-nantd'unesingularitésimpletelleque

µ = n

,onendéduitque

mult(0,...,0)ΣG = n

.Lorsque

G

estdetype

B −C −F −G

onaaussi

mult_(0,...,0)H = n

.Eneet,

H

estdonnée parun po-lynmeen

λ1, ..., λr

ΣΓ∗

est lase tionde

H

obtenue en prenant

λ1 = ... = λr−n= 0

.Or les

λi

pour

i ≤ r − n

viennentde polynmesinvariantsde degrésinférieursauxpolynmes

Pj

pour

j > r − n

. Lepolynme

∆XG

étanthomogène,lesmonmes faisantintervenir des

λi

ave

i ≤ r − n

seront toujours de degré supérieurs aux monmes ne faisant intervenir quedes

λj

pour

j > r −n

(detelsmonmesexistentpourlespolynmesquel'on onsidère i i).Ainsipour untelpolynme,onne hangepaslamultipli itéde l'origineen imposant

λ1 = . . . λr−n= 0

.Don

mult(0,...,0)H = mult(0,...,0)ΣΓ∗ = n 2

Rappelons que si

h₀

est un élément régulier nilpotent, alors

N(g)

lisse

= G.h₀

. En ombinant leslemmes i-dessus on obtient grâ eau théorème 1.3.1,

µ(X ∩ H₀, x) = n.

Remarque 1.3.3. Ce al ul de

µ(X ∩ H₀, x)

expliquepourquoi

H₀

estlebon hyperplan dans la onstru tion de Knop. C'est en eet l'élément régulier dont l'orbite est envoyée sur le point le plus singulier de

ΣG

•

Cal ul de la partiequadratique de

X ∩ H₀

Considérons

X ⊂ P(V )

une variété proje tive munie de oordonnées lo ales aupoint

(x1, x2, ..., xn, fn+1(x1, ..., xn), ..., fn+a(x1, ..., xn))

, ave

x = (0, ..., 0)

. On aalors

T_xX = {∂_x_i}

N∗

xX = {dfµ}

,etondénitlase onde formefondamentale de

X

x

en oordonnées par,

II_X,x = ^∂

2fµ

∂i∂j

|_xdx_i◦ dx_j ⊗ ∂_fµ ∈ S2T∗

xX ⊗ N_xX.

On envisagera souvent par la suite

IIX,x

ommel'appli ation,

IIX,x : N_x^∗X 7−→ S²T_x^∗X

IIX,x(H) = Q^H_x.

I i

QH

x

est la partie quadratique de

X ∩ H

au point

x

H

représente à la fois un hyperplan de

P(V )

ainsi que la forme linéaire orrespondante. Le rang de

IIX,x(H0)

est don lepremierinvariantde

X ∩H0

qu'ilnousfaut al uler.Pour elaonutiliselaltration par les espa es os ulateurs,

ˆ

x ⊂ ˆTxX ⊂ ˆT_x⁽²⁾X ⊂ ... ⊂ ˆT_x^(k)X ⊂ ˆT_x^(k+1)X = V.

Lorsqu'on a une représentation de groupe

(Vλ, G)

et que

X = G/P = G.[vλ]

, ette ltrations'expli ite àl'aide de l'identi ationsuivante,

ˆ

T_v⁽ⁱ⁾_λX = g⁽ⁱ⁾vλ

où

g⁽ⁱ⁾ = g⊗i/{x ⊗ y + y ⊗ x − [x, y]|x, y ∈ g}

pour

i ≥ 2

g⁽¹⁾ = g

Ainsi

II_G/P,v_λ(N∗

vλG/P ) = g(2)vλ

mod

gvλ

. Dans notre situation où

X = XG

est la variété adjointe, notons

α˜

laplus haute ra ine,ona

II_X_G_,v_α_˜(H₀)(Z₁v_α_˜, Z₂v_α_˜) = B(h₀, Z₁Z₂v_α_˜).

Supposons que

Z1vα˜ = [Z1, vα˜]

soit une dire tion dégénérée pour

QH0

vα˜ = IIXG,vα˜(H0)

, alors ondoit avoir pour tout

Z ∈ g

B(h0, [Z, [Z1, vα˜]]) = 0

e qui par invarian ede laformede Killingrevient àdire que

∀ Z ∈ g

B(Z, [h0, [Z1, vα˜]]) = 0.

Maisla formede Killingest non dégénérée don l'égalitépré édente implique

[h0, [Z1, vα˜]] = 0.

On en déduitune ara térisationdes dire tions dégénérées de

QH0

ker(Q^H0

vα˜) = g^h0 ∩ ˆTvα˜XG.

Enadoptant lesnotations [Bou1968℄ pour lessystèmesde ra ines des algèbresde Lie simples, onprouve Lemme 6. Si

g= sln+1

alors

ker(QH0

v_ω1+ωn) =< (Z−α1 − Z_−α_n)vω1+ωn >

. Si

g= so_2n+1

alors

ker QH0

v_ω2 =< (Zǫ1 − Zǫ2)vω2 >

ave

ǫ1 = −α2 − α1

ǫ2 = −α2− α3

. Si

g= sp_2n

alors

ker QH0 = {0}

g= so2n

alors

ker(QH0

v_ω2) =< (Zλ1 − Z_λ₂)vω2, (Zλ3 − Z_λ₄)vω2 >

, ave

λ1 = −α2− α₁

λ2 = −α2 − α₃

λ₃ = −α₂− α₃− α₄− ... − α_n−2− α_n−1

λ₄ = −α₂− α₃− α₄− ... − α_n−2− α_n

. Si

g= e6

alors

ker(QH0

v_ω2) =< (Zµ1− Z_µ₂)vω2, (Zµ3+ Zµ4− Z_µ₅)vω2 >

, ave

µ1 = −α2− α₄− α₃

µ2 =

−α₂−α₄−α₅

µ₃ = −α₂−α₄−α₃−α₁

µ₄ = −α₂−α₄−α₅−α₆

µ₅ = −α₂−α₄−α₃−α₅

. Si

g= e7

alors

ker(QH0

v_ω1) =< (Zν1 − Z_ν₂)vω1, (Zν3 + Zν4 − Z_ν₅)vω1 >

, ave

ν1 = −α1− α₃− α₄ − α₅

ν2 = −α1− α3− α4− α2

ν3 = −α1− α3− α4− α5− α6− α7

ν4 = −α1− α2− α3− 4α4− α5

ν5 = −α1− α2− α3− α4− α5− α6

. Si

g= e₈

alors

ker(QH0

v_ω8) =< (Zρ1− Zρ2)vω8, (Zρ3 + Zρ4− Zρ5)vω8 >

, ave

ρ1 = −α8− α7− α6− α5−

α4− α₃

ρ2 = −α8− α₇− α₆− α₅− α₄− α₂

ρ3 = −α8− α₇− α₆− α₅− 2α₄− α₂− 2α₃− α₁

ρ4 = −α8− α₇− 2α₆− 2α₅− 2α₄− α₂− α₃

ρ5 = −α8− α₇− α₆− 2α₅− 2α₄− α₂− α₃− α₁

. Si

g= f4

ker(QH0

v_ω1) =< (Zδ1− Zδ2)vω1 >

, ave

δ1 = −α1− α2− 2α3

δ2 = −α1− α2− α3− α4

. Si

g= g₂

ker(QH0

v_ω2) = {0}

Démonstration. On peut dé rirel'espa e tangent

_Tˆ_v

˜

αX

, ommel'espa eengendré par les ve teurs de la forme

[Zλ, vα˜]

, où

λ

est une ra ine négative, somme de ra ines simples négatives

λ = Pn

représentation adjointe agit par translation, puisque le ve teur

[Zλ, vα˜]

a pour poids

λ + ˜α

. Appliquons maintenant

h₀ = Z_α₁ + · · · + Z_α_n

[h0, [Zλ, vα˜]] =

n

X

i=1

[Zαi, [Zλ, vα˜]].

Chaqueve teur

[Zαi, [Zλ, vα˜]]

apourpoids

α−(m˜ i−1)αi−Pn

j6=i,j=1miαi

.Représentons les ve teurs de

_Tˆ_α_˜_X

par les poids orrespondants. On ommen e par le poids

α˜

, asso ié auve teur

vα˜

,etontranslatesu essivementpar les

−α_i

( e irevientàregarder leréseau des poids de la représentation de

H ⊂ P

, partie semi-simple du groupe parabolique

P

qui dénit

X = G/P

, agissant sur

Tvα_˜X

). On obtient ainsi une haîne de poids à partir de laquelle on peut lire, à onstante de stru ture près, l'a tion de

h0

sur les ve teurs orrespondants. En eet pour onnaître l'a tion de

h₀

il sut maintenant de translater par

αi

. On remarque que si plusieurspoids sont translatés par

h0

sur un même, on peut former des dire tions dégénérées :

Prenonspour ommen erle as

g= sln+1

,alors ommelemontrela haînedepoids,les poids

ω1+ωn−α₁

ω1+ωn−α_n

sonttouslesdeuxenvoyéssur

ω1+ωn

lorsqu'ontranslate par les

α_i

.Lesve teurs orrespondants

[X_−α₁, v_ω₁_+ω_n]

[X_−α_n, v_ω₁_+ω_n]

sontdans l'espa e tangent et vérient tous les deux,

[h0, [X−α1, vω1+ωn]] = vω1+ωn

[h0, [X−αn, vω1+ωn]] =

vω1+ωn

.Onendéduitque

[X−α1−X_−α_n, vω1+ωn]

estbienunedire tiondégénéréepour

QH0

vα˜

. La haîne des poids montre de même que 'est le seul ve teurqui vérie ette propriété.

ω1+ ωn

−α1

ttiiiⁱⁱⁱⁱⁱⁱ

Dans le document Lieu singulier des variétés duales : approche géométrique et applications aux variétés homogènes. (Page 38-42)

X∗

H

µ(X ∩ H)

•

µ(XG∩ H0)

XG ⊂ P(g)

H0

h0

X ∩ H0

h0

b⊂ g

g

b = h ⊕ (⊕α∈R+gα)

1

v

B([g, h0], v) = 0

B(, )

B(h0, [g, v]) = 0

H0

G.[v]

[v]

v

G.[v]

XG

α1, ..., αn

Zα1, ..., Zαn

α˜

g

vα˜

h0 = Zα1 + ... + Zαn

B(h0, [g, vα˜]) = 0

[g, vα˜] ⊂ b

2

r ⊂ g

g

x ∈ r ⇔

H ⊂ Cr

f = 0

H ⊂ g ≃ g˜ ∗

f ◦ Φ = 0

x ∈ ˜H ∩ r

multxH =˜

multΦ(x)H

x ∈ ˜H ∩ r

y = Φ(x)

∂i(f ◦ Φ)(x) = P

j∂jf (y).DPi,j(x)

DPi,j = (∂iPj)ij

DPi,j(x)

x ∈ r

x

f ◦ Φ

y = Φ(x)

f

y

k

f ◦ Φ

x

k

2

Xˆ∗

G⊂ g∗ ≃ g

N(g) ≃ N(g∗)

g

g

Γ

n

multN(g∗)

ˆ

X∗

G =

n

N(g∗) ⊂ ˆX∗

G

x ∈ N(g∗)

x

xs

∆(x) =Q

α∈Rlα(0) = 0

b = h ⊕ (⊕_α∈R+g_α)

B(h₀, [g, v]) = 0

H₀

Z_α₁, ..., Z_α_n

_{H ⊂ g ≃ g}˜ ∗

mult_xH =^˜

DP_i,j(x)

_Xˆ∗

mult_(0,...,0)H = n

h₀

= G.h₀

µ(X ∩ H₀, x) = n.

µ(X ∩ H₀, x)

H₀

X ∩ H₀

T_xX = {∂_x_i}

II_X,x = ^∂

|_xdx_i◦ dx_j ⊗ ∂_fµ ∈ S2T∗

xX ⊗ N_xX.

IIX,x : N_x^∗X 7−→ S²T_x^∗X

IIX,x(H) = Q^H_x.

x ⊂ ˆTxX ⊂ ˆT_x⁽²⁾X ⊂ ... ⊂ ˆT_x^(k)X ⊂ ˆT_x^(k+1)X = V.