µ(f, 0) < ∞ ⇔ (f, 0) est une singularité isolée

La dénition d'une singularité implique que le orangest un invariantet, dans le as parti ulier où elui- i est nul, il la ara térise omplètement. Il existe une version gé-néraliséedu Lemme de Morse ([Mi 1963,Ar 1972℄)que l'on peut formuler de la manière suivante:unesingularité

[(f, 0)] ∈ S_n/D_n

de orang

k

, orrespondàl'orbited'unefon tion detype

g(z1, ..., zk)+z2

k+1+...+z2

n

.On dénitunerelationd'équivalen eentresingularités

qui n'ont pas le même nombre de variables, en rajoutant des termes quadratiques. Ainsi ondira que

(f, 0)

et

(g, 0)

sontstablement équivalentes.

Un invariant essentiel dans l'étude des singularités est le nombre de Milnor,

µ

. Rap-pelons i i sadénition algébrique :

Soit

IΛf = On< ∂1f, ..., ∂nf >

l'idéal gradient de

f

,alors

µ =

dim

COn/IΛf

Remarque 1.1.1. Pourune dénition et une appro he topologique de

µ

voir [Mi 1968℄. Il est bien onnu ([A-G-L-V1998℄) que

µ(f, 0) < ∞ ⇔ (f, 0)

est une singularité isolée.

Les singularités de Morse sont les singularités les moins omplexes que l'on puisse imaginer.Elles sont omplètement ara térisées par la hessienne d'un représentant de la lasseetformentuneorbitedenseparmilesautres lassesdesingularités.Enparti uliersi

(f, 0)

est un pointde l'orbitedes singularitésde Morse,un voisinagesusament petit de

(f, 0)

dans

Sn

est toujours ontenu dans l'orbitede

(f, 0)

.En d'autres termes,perturber

(f, 0)

dans

S_n

ne hange pas la lasse de

(f, 0)

. Lessingularités simplesausens d'Arnold sontlessingularités quipeuvent hangerde lasseaprès perturbation,mais seulement un nombre ni de fois.

Dénition 1.1.2.

[(f, 0)]

est une singularié simple lorsque tout voisinage susament petit de

[(f, 0)]

interse te seulement un nombre ni d'orbites dis tin tes de

[(f, 0)]

.

Il existe bien des façons de dénir etd'introduireles singularitéssimples ([Du 1979℄). Nousavons hoisi l'appro hed'Arnold ar nousutiliserons, lorsque nousproposeronsune nouvellepreuve du théorème de Knop,la ara térisationqu'il introduit dans [Ar1972℄.

En eet, Arnold lassie les singularitéssimples en montrant qu'être simple implique des restri tions sur

µ

, sur le orang de

Hess(f, 0)

et sur les termes ubiques de

(f, 0)

. Plus pré isément ilmontre que :

-

µ

doit être ni (ave

µ < 9

lorsque le terme ubique est un ube).

Ré iproquement Arnold montre queles germes ainsi ara tériséssont simples. Ce i onduit àla listedes formes normales:

An Dn E6 E7 E8

xn+1 xn−1+ xy2 x3+ y4 x3+ xy3 x3+ y5

µ = n n 6 7 8

Ces formes normalessont bien stablement équivalentes aux surfa es de Klein.

La dernière notion, que nous voulons rappeler, est elle de dis riminant d'une singu-larité. Soit

(f, 0)

une singularité et

I_Λf

son idéal gradiant. Notons par

g₁, ..., g_µ

une base de

On/IΛf

. On peut déformernotre singularité de lafaçon suivante :

F (x, λ) = f (x) + Σ^µ_i=1λⁱgi(x)

Une telle déformation est dite miniverselle ([Ar 1975, A-G-L-V1998℄). Maintenant onsidérons

∆f(λ1, ..., λµ) = ∆(F (x, λ))

ledis riminantde

F (x, λ)

.L'hypersurfa edénie par

∆f

paramétrise les déformations singulières de

(f, 0)

et ara térise ainsi

(f, 0)

(un résultat de Wirthmüller [Wu1980℄ montre qu'une singularité isolée d'hypersurfa e est déterminée, à transformation biholomorphe près, par le dis riminant de sa déformation miniverselle).Retenons l'exemplesuivant :

Exemple 1.1.1. Soit

(f, 0)

une singularité simple de type

An

. C'est à dire

f ∼ xn+1

.

O1/IΛ_xn+1 =< 1, x, .., xn−1 >

, don une déformation de

xn+1

est

xn+1+ λ1xn−1+ ... + λn

. Son dis riminant est alors donné par l'équation :

∆(xⁿ⁺¹+ λ₁xⁿ⁻¹+ ... + λ_n) = 0.

(1.1) On notera

ΣAn

l'hypersurfa e denie par

∆xn+1

.

1.1.2 Le théorème de Knop

La théorie des représentations des groupeset algèbres de Liea pour pendant géomé-trique l'étude des variétés homogènes. A

G

un groupe de Lie semi-simple omplexe de rang

r

et

Vλ

une représentation irrédu tiblede dimension nie, dénie par le poids

λ

, on asso ieunevariétéproje tiveirrédu tibledelafaçonsuivante:notons

v_λ ∈ V_λ

un ve teur de plus haut poids de lareprésentation, alors

G.vλ ⊂ Vλ

est une orbite fermée et onique ( es propriétés ara térisent l'orbite). On obtient ainsi une variété proje tive homogène

X_λ = G.[v] = G/P ⊂ P(V_λ)

quine dépend que de

g

, l'algèbrede Lie de

G

.

Lorsque

G

est un groupe de Lie simple omplexe et

Vλ = g

, i.e. on onsidère la représentation adjointe de

G

, on obtient la variété

XG = G.[vλ] ⊂ P(g)

. Cette variété proje tiveest appelée variété adjointede

G

.

y = x³

27λ²+ 4λ³

Fig. 1.1dis riminantpour la ourbe

y = x3

Soit

h0 ∈ g

un élément régulier nilpotent, 'est à dire un élément nilpotent tel que dim

g^h0 =

dim

({Z ∈ g|[Z, h0] = 0}) = r

etsoit

B(, )

laformedeKillingde

g

.On onsidère l'hyperplande

P(g)

déni ommesuit :

H0 = {[u] ∈ P(g), B(u, h0) = 0}

On note enn

Γ

le typede

G

.Le théorème de Knop s'énon e alors : Théorème 1.1.1 (Knop [Kn 1987℄ Théorème 3.1). Soit

Γ∗

le sous-diagramme des ra ines longues de

Γ

. La se tion hyperplane

XG∩ H0 ⊂ XG ⊂ P(g)

a un unique point singulier, et 'est une singularité simplede type

Γ∗

.

Enparti ulier si

G

est detype

An

(resp,

Dn, E6, E7, E8)

, alorslase tionhyperplane orrespondante a un unique point singulierde type

A_n

(resp,

D_n, E₆, E₇, E₈)

. De plus Knopmontreaussi(théorème4.7)qu'ilexisteune orrespondan epréservantletype,entre les se tions hyperplanes de

XG

dont les singularités sont isolées, et les sous-diagrammes de

Γ∗

.

Knop prouve son théorème en introduisant des invariants qui ara térisent les singu-larités simples( aratérisationde Saïto[Sa 1971℄)et en al ulant au as par as lavaleur de es invariantspour lase tionhyperplane

X ∩ H0

.En essayant de donnerune nouvelle preuve de e théorème nous avionstrois obje tifs :

1) prouveruniformémentle théorème, 'est à dire éviter le al ul au as par as.

2) omprendre géométriquement pourquoi

H0

est le bon hyperplan dans la onstru -tion de Knop.

Comme nous le verrons notre preuve ne peut se passer du al ul au as par as dans sadernièreétape,maisnousavons purempla erl'utilisationd'invariantssophistiqués par des al uls élémentaires. De plus es al uls nous apportent des informations nouvelles sur lenoyaude la partiequadratiquede

X ∩ H0

. Pour e qui est du point 2),nousallons donner une onstru tion qui nous permettra d'interpréter géométriquement

H₀

. Enn à lan du hapitre nous ferons des ommentaires sur lepoint3).

1.2 Variétés duales

Comme nous l'avons rappelé dans l'introdu tion, la variété duale est en général une hypersurfa e.Lorsque 'est le as, l'équation

∆X

qui dénit

X∗

est appelée dis riminant de

X

([G-K-Z1994℄). Cetteterminologie met en avantle faitsuivant :lorsque

X

est une variété lisse, alors

X∗

paramétrise exa tement les se tions hyperplanes singulières de

X

. En eet par dénition de

X∗

,

H ∈ X∗

implique que la se tion

X ∩ H

est singulière. Si on suppose

X

lisse alors omme

H /∈ X∗

implique

H

interse te

X

transversalement on obtient

X ∩ H

est une se tion lissesi etseulement si

H /∈ X∗

.

1.2.1 Dis riminants des variétés adjointes

Dans ettese tionnous allonsexpli iterledis riminantdesvariétésadjointes pour les algèbres de Lie lassiques. En parti ulier nous établissons pour les types

An

et

Dn

une relationentre

_Xˆ∗

G

et

ΣG

(où parabusde notation

ΣG

est ledis riminantd'unesingularité simple de même typeque le groupe de Lie

G

).

Le as

A_n

Dans le as où

g= sl_n+1C

la variété adjointeest :

XSLn+1^C= (Pⁿ× Pⁿ) ∩ H

tra e=0

⊂ P(sln+1C).

XAn

s'interprète omme l'ensembledes matri esde tra e nulleetde rang1. Laforme de Killing est dénie par

B(C, D) = tr(tCD)

. On identie ainsi

sl_n+1C

et son dual.

Cher hons une expression du dual de

XAn

. Pour ela notons

x = e ⊗ f∗

un point de

Pⁿ×Pn⊂ P(V ⊗V∗)

.La onditiondetra enullerevientàdireque

f∗(e) = 0

.Maintenant que nous savons dé rireun point de

XAn

nous pouvons al uler l'espa etangent de

XAn

aupoint

x

en utilisantla règle de Leibniz :

d(e ⊗ f∗) = v ⊗ f∗+ e ⊗ w∗

,où

v

estunve teurquel onquede

ker(f∗)

et

w∗

un ve teur quel onque de

e⊥ ⊂ V∗

x =









0 ... 0 1

0 ... 0 0

. ... . .

0 ... 0 0









ˆ

TxXAn =









a ... ∗ ∗

0 ... 0 ∗

. ... . .

0 ... 0 −a









H

tangent en

x

, impose les onditions suivantes :

trace(^tHx) = 0

trace(^tHy) = 0, ∀ y ∈ ˆTxXAn.

Enparti ulier si

H

est unematri ede tra enulleadmettantune valeur propredouble alors

H ∈ X∗

An

. Orl'ensembledes matri esde tra e nulleayantune valeurpropre double est une hypersurfa e : les valeurs propres de

H

sont les ra ines du polynme ara téris-tique

Q_H = det(H − λId)

, et e polynme a une ra ine double si et seulement si son dis riminantest nul,

∆(QH) = ∆(det(λn+1Id + H)) = 0

.Comme

X∗

An

est irrédu tible,les deux hypersurfa es oïn ident.Nousavons don pour équation de

X∗

An

:

∆X_An(H) = ∆(QH) = ∆(det(λⁿ⁺¹Id+ H))) = 0

e qui donne en développant

∆X_An(H) = ∆(λⁿ⁺¹+ P2(H)λⁿ⁻¹+ ... + Pn+1(H)) = 0

(1.2)

oùles

Pi

sont les sommesdes

i × i

prin ipaux mineursde

H

(

P1

étant la tra e,i i nulle, et

Pn+1

le déterminant). Rappelons enn que les

Pi

sont lesgénérateurs de l'algèbre des polynmes

SL_n+1

-invariants sur

sl_n+1

, i.e.

C[sl_n+1]SLn+1 = C[P₂, ..., P_n+1]

.

Parlasuitenous allonsexploiterlaressemblan e entre lesexpressions (1.1)et(1.2). Plus pré isément nous remarquons la hose suivante, il existe une appli ation

SLn+1

-invariante(le quotient de

sl_n+1

par le groupe

SL_n+1

),

Φ : sln+1 7−→ Cn= sln+1//SLn+1

dénie par lesgénérateurs de

C[sl_n+1]SLn+1

,

Φ(x) = (P2(x), ..., Pn+1(x))

ave

Le dis riminant des variétés adjointes (pour les groupes de Lie lassiques)

Revenons au as où

X = X_G ⊂ P(g)

est une variété adjointe pour un groupe de Lie simple omplexe

G

. I i nous suivons la présentation de [Te2004℄ pour dé rire le dis riminantde

XG

.Soit

x ∈ g

,lepolynme ara téristiquedel'opérateuradjoint

ad(x) =

[x, .]

est,

Qx = det(tId − ad(x)) =

dim(g)

X

i=0

tⁱDi(x).

Si

r

est le rang de

g

alors on a pour tout

x

, dim

g^x ≥ r

. Don l'opérateur

ad(x)

admet

0

omme valeur propre ave multipli itéau moins

r

. En parti ulier ela implique

D0(x) = D1(x) = ... = Dr−1(x) = 0

.Le premier polynmenon nulest don

Dr

.

Nous avons

Dr(x) 6= 0

si et seulement si

x

est régulier semi-simple. Or un élément

x

semi-simple est régulier si et seulement

∀ α ∈ R

on a

α(x) 6= 0

, où

R

est l'ensemble des ra ines de

g

. Ce i permet, sous l'isomorphisme de Chevalley,

C[g]G ≃ C[h]W

, de re onnaître

Dr

ommele produit des ra ines

D_r|h= ^Y

α∈R

α = ±( ^Y

α∈R+

α)2

à s alairemultipli atif près.

Sous l'a tion du groupe de Weyl,

W

, e polynme n'est pas irrédu tible lorsque le diagramme de Dynkin

Γ

de

G

admet des ra ines longueset ourtes. On adon

D_r|h= Dl|hDc|h= ^Y

α∈Rl

α ^Y

α∈Rc

α

où

Rl

est l'ensembledesra ines longuesde

g

et

Rc

l'ensembledesra ines ourtes. Lelien ave ledis riminantde

X_G

est lesuivant

Théorème 1.2.1 (Tevelev [Te 2004 ℄, Omoda [Om 2000℄). Après avoir identié

g

et

g^∗

viala forme de Killing, on a

∆XG = Dl.

On propose unenouvellepreuve de e théorèmequel'on déduitdu lemmesuivant.Ce lemmesimplielesargumentsde[Te 2004℄et[Om 2000℄,etdonneenplusdesinformations supplémentaires pour lesautres orbites nilpotentes :

Lemme 1. Soit

v ∈ g

un ve teur nilpotent, on note

Xv = P(G.v) ⊂ P(g)

. Après avoir identié

g

et

g^∗

par la forme de Killing, on note

Y ⊂ P(g∗)

l'hypersurfa e dénie par

Dr= 0

, alors

X∗

v ⊂ Y

.

Démonstration.

g = h ⊕α∈R g_α

, et soit

v

un élément nilpotent. A onjugaison près on peut supposer

v ∈ ⊕_α∈R+g_α

, où

R₊

est l'ensemble des ra ines positives. Don il existe des ve teurs propres

{Zαi}i∈I

pour des ra ines positives,

αi

, tels que

v = P

i∈IZαi

. Soit

i ∈ I

,alors

[Z−αi, v] ∈ ˜TvXv

.Cetélémentde

g

apourpartiesemi-simple

hαi = [Z−αi, Zαi]

. Soit

H ∈ X∗

v

, alors

_T˜_{vXv ⊂ H}

et don

[Z−αi, v] ∈ H

. En notant

H = B(h, .)

, il vient

B(h, [Z−αi, v]) = 0

. Pour les parties semi-simples de

h

et

[Z−αi, v]

, la dernière égalité implique

αi(hs) = 0

, e qui signie

Dr(hs) = 0

,i.e.

H ∈ Y

.

2

Démonstration. (du théorème) On applique le lemme à l'orbitedénie par le ve teur de plus haut poids,

v = Zα˜

. Don on obtient

α(h˜ s) = 0

. Le plus haut poids est une ra ine longue, d'où ette fois

Dl(hs) = 0

. Enn pour les variétés adjointes on sait que

X∗

G

est

une hypersurfa e, don

X∗

G ⊂ Y

implique l'égalité.

2

Déduisons de e théorème une expression du dis riminant de

XG

, lorsque

G

est une algèbrede Lie lassique.

Les algèbresde Lie lassiques peuvent se dé rire omme suit :

sl_nC= Mat⁰_n(C) := {A ∈ Matn(C)|

tra e

A = 0}

so_2n+1C= {





A B G

C −AT H

E F 0



∈ Mat0

2n+1(C)

|A, B, C ∈ Mat_n(C), BT = −B, CT = −C, ET = −G, FT = −H}

sp_2nC= {A B

C −AT



∈ Mat⁰_2n(C)|A, B, C ∈ Matn(C), B^T = B, C^T = C}

so_2nC= {A B

C −AT



∈ Mat0

2n(C)|A, B, C ∈ Matn(C), B^T = −B, C^T = −C}

On peut don parler de la restri tion des

Pi =

somme des

i × i

prin ipauxmineurs. Pour haque algèbre de Lie lassique es polynmes engendrent

C[g]G

(voir [Po 2002℄). Dans le as parti ulier de

Dn

,

P2n

le déterminantn'est pas irrédu tible,

P2n = P f2

et le polynme

P f

est appelé Pfaen.

On obtient alors,

Proposition 1.2.1. Une équation pour le dis riminant de

XG

est : Type

A_n

,

∆_XAn(x) = ∆(tn+1+ P₂(x)tn−2+ ... + det(x)) = 0

Type

Bn

,

∆X_Bn(x) = ∆(tn+ P2(x)tn−1+ ... + P2n(x)) = 0

Type

Cn

,

∆X_Cn(x) = ∆(t2 + det(x)) = 0

Démonstration. Le as

An

aété traité, voirl'équation (1.2).

Le as

C_n

setraiteaisément.Eneet,soit

V

unespa eve toriel omplexededimension

n

, alors

sp_2n ≃ S2(V )

. Sous et isomorphisme, la variété adjointe

XSp2n

s'identie à

v2(Pn−1)

lavariété des matri essymétriques de rang

1

. Savariétéduale orrespond alors àlavariétédes matri essymétriquesde rangauplus

n

dontune équationest donnée par le déterminant.Or

∆(t2 + det(x)) = 0

est une autre façond'é rire

det(x) = 0

.

Pour le as

Bn

nous adoptons les notations de [Fu-Ha 1991℄. Soit

M ∈ so2n+1

, à onjugaison près,onpeut par ladé ompositionde Jordané rire

M_s

lapartiesemi-simple de

M

sous la forme,

Ms= {





A 0 0

0 −AT 0

0 0 0



∈ Mat⁰_2n+1|A ∈ Matn, A = diag(λ1, ...λn)}.

Soit

α

unera inelongue,d'aprèsladés riptiondonnée de

so_2n+1

et elledesesra ines donnée dans [Fu-Ha1991℄, ona

α(Ms) = λi± λj.

Don l'équationdu dis riminantque l'on a par le théorème est

Dl(Ms) = ^Y

1≤i<j≤n, i6=j

(λi± λj)².

Considérons maintenant

PM

le polynme ara téristiquede

M

:

det(M + tId) = t²ⁿ⁺¹+ P1(M)t²ⁿ⁻¹+ P2(M)t²ⁿ⁻²+ ... + Pn−1(M)t

(rappel

trace = 0

, et

Pn = det = 0

). Ce polynme admet

0

omme ra ine puisque

det(M) = 0

.Si on onsidère

t²ⁿ+ P1(M)t²ⁿ⁻²+ P2(M)t²ⁿ⁻²+ ... + Pn−1(M),

on obtient un polynme qui a omme valeurs propres

λi, −λi

. Faisons le hangement de variable

T = t2

,on obtient un nouveau polynme,

Tⁿ+ P1(M)Tⁿ⁻¹+ P2(M)Tⁿ⁻²+ ... + Pn−1(M)

qui a omme valeurs propres

λ2

i

, et don si on onsidère son dis riminant (produit du

arré de la diéren edes ra ines), onobtient

∆(Tⁿ+ P1(M)Tⁿ⁻¹+ P2(M)Tⁿ⁻²+ ... + Pn−1(M)) =

Y

1≤i<j≤n, i6=j

(λ²_i − λ²_j)² = ^Y

1≤i<j≤n, i6=j

(λi± λj)² = Dl(Ms).

Pour

M ∈ so2nC

, onnote

Ms

sapartie semisimple,

Ms = {A 0

0 −AT



∈ Mat⁰_2n|A ∈ Matn, A = diag(λ1, ...λn)}.

Soit

α

une ra ine,d'après ladés ription donnée de

so_2n

,on a

α(Ms) = λi± λj.

Le théorème implique,

D(M_s) = ^Y

1≤i<j≤n, i6=j

(λ_i± λ_j)2.

Considérons maintenant

P_M

le polynme ara téritisquede

M

:

det(M + tId) = t²ⁿ+ P2(M)t²ⁿ⁻²+ P4(M)t²ⁿ⁻⁴+ ... + P f²(M)

(naturellement pour

i

impair on a

P_i(M) = 0

). Ce polynme a pour valeurs propres

λ_i

et

−λi

.Enfaisant lemême hangement de variablesque pré édemmentona un nouveau polynme,

Tⁿ+ P2(M)tⁿ⁻¹+ P4(M)tⁿ⁻²+ ... + P f²(M),

dont lesra ines sont

λ2

i

, d'où

∆(Tⁿ+ P₂(M)Tⁿ⁻¹+ P₄(M)Tⁿ⁻²+ ... + P f²(M)) = ^Y

1≤i<j≤n,i6=j

(λ²_i − λ²_j)²

= ^Y

1≤i<j≤n,i6=j

(λi± λj)² = D(Ms).2

Le as

Dn

Nous voulonsfaire i iles mêmesobservations pour les dis riminants (au sens d'équa-tion d'une variété duale et au sens de dis riminant d'une singularité) de type

Dn

que pour lesdis riminantsde type

An

.Nousallons mettreen éviden eune appli ation

SO2n

-invariantede

so_2n

dans

Cⁿ

ave les propriétés voulues.

Ledis riminantde

XSO2n

estd'après equipré ède

∆(tn+P2(x)tn−2+...+P2n−2(x)t+

P f2(x)) = 0

où les

P2i

,

0 < i < n

etle Paen

P f

sont lesgénérateurs de

C[so2n]SO2n

.

L'appli ation

Φ

devient,

Φ(x) = (P2(x), P4(x), ..., P2n−2(x),¹

2^{P f (x))}

L'image par

Φ

de

_Xˆ∗

SO2n

est une hypersurfa e

Σ

déne par

∆(tⁿ+ a1tⁿ⁻¹+ ... + an−1t + (¹

2^an)

2) = 0.

Ainsi

Σ

est ara tériséepar,

(a₁, a₂, ..., a_n) ∈ Σ ⇔ ∃ t

tel que

(

tn+ a1tn−1+ ... + an−1t + (¹₂an)2 = 0

ntn−1+ (n − 1)a1tn−2+ ... + an−1 = 0

(1.3) Une singularité de type

D_n

a pour forme normale

xn−1 + xy2

, et une déformation miniverselle est donnée par,

F (x, y, a1, ..., an) = xⁿ⁻¹+ xy²+ a1xⁿ⁻²+ ... + an−2x + an−1+ any

don une équation pour

Σ_xn−1+xy2

est

∆(xⁿ⁻¹+ xy²+ a1xⁿ⁻²+ ... + an−2x + an−1+ any) = 0.

On obtient ainsi omme ara térisationde

Σ_xn−1+xy2

,

(a1, a2, ..., an) ∈ Σxn−1+xy2 ⇔ ∃ (x, y)

telque











xn−1+ xy2+ a1xn−2+ ... + an−2x + an−1+ any = 0

(n − 1)xn−2+ y2+ (n − 2)a₁xn−3+ ... + a_n−2= 0

2xy + an = 0

(1.4)

Dans le document Lieu singulier des variétés duales : approche géométrique et applications aux variétés homogènes. (Page 25-34)