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Controlabilité des systèmes bilinéaires homogènes à contrôles non bornés dans R3
Omar Merine
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Omar Merine. Controlabilité des systèmes bilinéaires homogènes à contrôles non bornés dans R3.
Mathématiques générales [math.GM]. Université Paul Verlaine - Metz, 1985. Français. �NNT : 1985METZ003S�. �tel-01775680�
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3. Cycle
d'Enseignement Supérieur
ERA-CNRS 040399
THESE
présentée
A L ' U N I V E R S I T E D E M E T Z p o u r obtenir le titre de
D O C T E U R E N M A T H E M A T I O U E S
Spécialité : Eqr'atien5 Dif{érentielles et contrôle optimal M e n t i o n : Mathématiques
p a r
Omar tlERlNE
fr.}r'r:-RoLABILITE DËs sySTEtvfES BtLtNEAtREs
HOMCGFNES A CONTROLES NON BORNES
DANS R3
J U R Y
P r ' é s i d e n t : A n d r é R O u x , p r o f e s s e u r à l , u n i v e r s i t é d e M E T Z M e m b r e s : c l a u d e R O G E R , p r o f e s s e u r à l , u n i , e r s i t é d e r 4 E T Z
B e r n a r d K L A R E S , P r o f e s s e u r à r ' u i r i v e r s i t é d e M E T Z G a u t l r i e r SALLET, p r o f esseur à l,r.':r'iu..siié Je i,1trZ
BIBLIOTHEOUE UNIVERSITAIRE DE METZ
llllillllllillililllruuilu[|l|lllilllillll ,s84 sB!
3. Cycle
d'Enseignement Supérieu r
ERA-CNRS O4O399
CONTROLAB IL IT E
HOMOGENES A
THESE
p!'ésentée
A L ' U N I V E R S I T E D E M E T Z pour obtenir le titre de
D O C T E U R E N M A T H E M A T I O U E S spécialité : Equarions Différentieiles et contrôre optimal
M e n t i o n : M a t h é m a t i q u e s
p a r
Omar tlERlNE
P r é s i d e n t : M e m b r e s :
DËS SYSTEMES BILINEAIRES CONTROLES NON BORNES
DANS R3
J U R Y
A n d r é R O U X , P r o f e s s e u r à l , U n i v e r s j t é d e M E T Z C l aude R0GER, Prof es seur à l , Un i vers i té de l,tETZ B e r n a r d K L A R E S , P r o f e s s e u r à I ' U n . i v e r s i t é d e M E T Z G a u t t r i e r S A L L E T , P r o f e s s e u r à l , U n i v e r s i t é d e M E T Z
srBtiorHeouE uNtv ERSlrAlRt
)3ffæcs
A n r r e e U n i v e r s i t a i r e 1 g B 4 - ' i 9 9 5
Je voudnai,s tânoignut rm pno[onde ueconnai anee à Moywieut Le Pno[e-s^euL G.SALLET qwL a irwpi.nê., di.nigê- et anhê ce tnavaLl. Son eruuignwneylt, âeÀ coywat!-s et ae,s encoutngement's m'ovtf beateoup aidA à L'Q-Inhotsl,Lon de cetlz thè,se.
Je tieyu à expninut toul me-s nenutcienenf's à Moyuieun Le Pno$e,saewt A.RâUX poutt L'honnetn qu'iL n'a {ait en aeeeplnrû.
de pzêuidu Le J,.tz,J.
Jr expa,ime tou.te rw gaalitttde à Moyuieut Le Pnof,e-saeut C.RâGER oLvwi c1u'à l'loruieun Ie Pno{e,saeun E.KLARES clwi m'onl {aLt L'ttonneun de pantieipul à ce Jutttl .
C'ett avec pln Ltitt clue je nenette-Le Le D'epatfu,nent de MalhLunaLLque,s de Metz ,t i tou's ao.s membne.a, qwL m' orÉ. pettni.t de pdê"pattuL ce bsvaLl dail^ dtzxceX.Lente,s eoydil,LoytÂ.
En[in, je denutcLe ê.ga,LenenL M. Jean-Luc C?YAR? du
dutviee tLzryoglaphie, clwi a aÂ^utA Le LUtage et Ld. miuse en
pegu de eetle thà,se.-
TABLE DES }IATIERES
I N T R O D U C T I O N .. . . . I " "
H I S T O R I Q U E E T P o S I T I o N D U P R o B L E M E . . ! . . . .
I . P R E L I M I N A I R E S . . . . . . . o . . . . . . r . . . r . ?
I . 1 . D é f i n i t i o n s e t n o t a t i o n s .. . . . . . . . . . . , . . , I . 2 . C h a m p s é q u i v a l e n t s e t t e c h n i q u e s d ' e x t e n s i o n . . I I . P R O P R I E T E S E T C L A S S I F I C A T I O N S D E S C H A M P S L I N E A I R E S
I I . 1 . T h é o r è m e d e G a u t h i e r - B o r n a r d - S a l l e t . . . . 1 I . 2 . P r o p r i é t é s d e s c h a m p s l i n é a i r e s d e R 3
1
5
7
7
1 1
1 6
1 6
L 7
18
24
2 4
2 5
30
32
33
39
49
5 7
63
70
7 7
79
I N T R O D U C T I O N
N o t r e t r a v a i l c o n s i s t e à é t u O i e r l e s f d l r y \ i l l e s d e c h a m p s d e vecteurs, F . c . v e n a b r é g é , b i r i n é a i r e s s u r ' R 3 .
, ftP
R a p p e l o n s q u e s i M e s t u n e v a r i é t é m é t r i s a b l e c o r m . e x e r Y ( M ) d é s i g n e I f e n s e m b l e d e c h a m p s d e v e c t e u r s C € s u r M .
u n s y s t è m e d e c h a m p s d e v e c t e u r s e s t I a d o n n é e d f u n e p a r t i e d e Yftr.
N o t r e é t u a e s e f e r a p a r t i c u l i è r e m e n t s u r l e s s y s t è m e s b i l i n é a i r e s c r e s t à d i r e l a d o n n é e d r u n e F . C . v f v é r i f i a n t :
X U ..
u ( r ) = ( a + L u ; e ; ) æ
,YrtE + L
u = ( y r , :.i, %J €
- € f f -
{ " }
' r r r
J b " s t l r e n s e m b l e d e s c o n t r ô I e s o u d e s c o m m a n d e s a d m i s s i b l e s ,
Am a t r i c e s , 0 " R 3 .
^
P o u r n o t r e c a s , o n p r e n c r a /f = f l ( | .
P a r m i l e s q u e s t i o n s q u e I f o n p e u t s e p o s e r d a n s 1 ' é t u d e d e t e l s s y s - t è m e s I t u n e d t e l l e e s t :
A p a r t i r d r u n p o i n t i n i t l a l d e M , q u e l s s o n t t o u s I e s p o i n $ q u ' o n p e u t a t t e i n d r e a v e c I a f a t n i L L e d e c h a m p s d e v e c t e , r t " f i , r . e n u t i l i s a n t l e s t r a j e c t o i r e s d e X u 7
" e / L r a v e c d e s t e m p s p o s i t i f s .
E n p a r t i c u l i e r u n s y s t è m e s e r a d i t c o n t r ô l a b l e o u t r i i n s i t i f s u r M s i t o u s l e s é t a t s s o n t a i n s i a c c é s s i b l e s à p a r t i r d e n r i m p o r t e q u e l a u - t r e é t a t .
L a d e s c r i p t i o n d e l r e n s e m b l e d e s é t a t s a c c é s s i b l e s à p a r t i r d r u n é t a t d o n n é , c r e s t à d i r e l f é t u d e d e I a c o n t r ô l a b i l t t é , a j u s t i f i é d e n o m - b r e u s e s p u b l i c a t i o n s r é c e n t e s , c i t o n s e n p a r t i c u r i e r . 1 5 J E 4 ' E ' 1 5 ] f 4 g l E æ J
( o )
4
. . . e t b i e n d r a u t r e s .
P a r l a s u i t e o n s f i n t é r e s s e à I a c o n t r ô l a b l l i t é d u s y s t è m e s u i v a n È :
r€R - 1"1
"6K
o ù R , B d é s i g n e n t d e s m a t r i c e s d r o r d r e 3 .
L a r a i s o n e n e s t q u e s l I r o n a p l u s d e d e u x c o n t r ô I e s , a l o r s I e s y s - t è m e ( o ) e s t g é n é r i q u e m e n t c o n t r ô I a b l e .
E n e f f e t , l f e n s e m b l e d e s c o u p l e s d e m a t r i c e s e n g e n d r a n t l r a l g è b r e d e L i e d e s e n d o m o r p h i s m e s e s t u n o u v e r t d e n s e .
o n s e l i m i t e r a d o n c a u c a s o ù l r o n a u n s e u l c o n t r ô I e [ 4 t ] -
*?t) = (A + uB)X .
( 1 )
2
L e b u t d e c e t r a v a i l , d r e s a 1 g é b r i q u e s , s u r
j u s t e m e n t d e d o n n e r d e s c o n d l t i o n s d r o r - c o e f f i c i e n t s ( a r r ) d e l a m a t r i c e A , p o u r e s t
l e s
q u ê I e s y s t è m e ( 1 ) s o i t c o n t r ô l a b 1 e s u r l ( - l"? r €h supposant la I J
c o n d i t i o n d u r a n g v é r i f i é e ,
L a m é t h o d e u t i l i s é e c o n s i s t e à c o n s i d é r e r t o u s l e s t y p e s d e r e p r é s e n - t a t i o n s p o s s i b l e s d e l a m a t r i c e B c o m p t e t e n u d e s d i f f é r e n t e s f o r m e s d e s v a l e u r s p r o p r e s a i n s i q u e l e s d i m e n s i o n s d e s s o u s e s p a c e s p r o - p r e s a s s o c i é s .
D , a p r è s u n t h é o r è m e d e G a u t h i € r - B ô r m a r d - S a l 1 e t , u n e e o à a f t f o n " n é e e s - s a i r e e t s u f f i s a n t e p o u r q u e I e s y s t è m e ( 1 ) s o l t c o m p l è t e m e n t c o n t r ô -
^ ? I 7
I a b l e s u r K ' r { o f r e s t C u e l e s d e u x c o n d i t i o n s s u i v a n t e s s o i e n t v é - r l
r i f i é e s :
L) Le semi eroupe s ,Ë, =
{-tr"
--- " *iB, X'i €P, rr>"}
s o i t c o n t r ô l a b l e s u r l e s o i J e c t i o n s o " Æ , c r e s t à d i r e l e s d e m i - d r o i t e s p a s s a n t p a r I ' o r i g i r r e ; c e q u i r e v i e n t à d i r e c o n t r ô l a b l e s u r
) .
^ 2
N
2 ) r l e x i s t e u n e t r a j e c t o i r e d e s ( - à v ) q u i s r a p p r o c h e a r b i t r a i r e m e n t p r è s d e I t o r i g i n e e t u n e a u t r e q u l s r é l o i g n e a r b i t r a i r e m e n t l o i n d e I f o r i g i n e . C e c i n o u s c o n d u i t d o n c à é t u c i e r l a c o n t r ô l a b i l i t é s u r 5 2
t\-t
'
d e I a f a m i l l e d e c h a m p s d e v e c t e , r t " f o b t e n u e e n p r o j e t a n t r a d i a l e m e n t les champs o"Ê.
N - N
)
o n d é m o n t r e q u e b e a u c o u p , d e p r o p r i é t é s p a s s e n t a e J v à J v e t r é c i p r o q u e - m e n t . P a r a i l l e u r s r c ê t r a v a i l c o n t l e n t d e s r é s u l t a t s d e c o n t r ô l a b i - I i t é d e s s y s t è m e s b i l i n é a l r e s p r o j e t é s s u r l a
" p h . t e 5 2 , q u i o n t I
é t é d é m o n t r é p a r l t u n q d e s q u a t r e m é t h o d e s s u i v a n t e s .
3
1 ) M é t h o d e p u r e m e n t g é o m é t r i q u e u t i l i s a n t I e t h é o r è m e d e J o r d a n , s u r u n e v a r i é t é d e d i m e n s i o n d e u x .
2 ) M é t h o d e c o n s i s t a n t à e x p l o i t e r l e f a i t q u e u € f i d o n " n o . , b o r n é e t m o n t r e r d a n s c e r t a i n s c a s q u e l e s / s t è m e a d m e t d e s s o l u t i o n s d u t y p e I I o u d u t y p e V .
3 ) M é t h o d e u t i l i s a n t l a c l a s s i f i c a t i o n d e s c h a m p s b i l i n é a i r e s s u r K t , d r a p r è s l e u r f o r m e d e J o r d a n r é e l l e .
4 ) M é t h o d e u t i l i s a n t l a s t a b i l i t é d u s a t u r é 0 . . Ê , *{fS. , c , e s r à d i r e l e s t é c h n i q u e s d , e x t e n s i o n t } { t ] .
L r i n t é r ê t p r a t i q u e d e 1 r é t u d e d e s s y s t è m e s b i l i n é a i r e s , e s t q u r i l s r e p r é s e n t e n t p a r l e u r s é q u a t i o n s u n e b o n n e a p p r o x i m a t i o n l i n é a i r e
tg] pour de nombreux phénomènes ou comportements physiques ou méca-
n i q u e s .
D a n s n o t r e t r a v a i l i l a é t é p r o u v é q u e :
L " ) s i l e c h a m p s B e s t d u t y p e I I ( h y p e r b o l i q u e c o m p l e x e ) o u d u t y p e V I ( n i l p o t e n t d t o r d r e 2 ) a l r , : s l e s y s t è m e ( 1 ) e s t c o m p l è t e m e n t c o n -
fta - f"] oour tout champs A pour requer ra condition
t r ô l a b l e s u r l
L J d u r a n g e s t r é a l i s é e .
2 " ) S i B e s t q u e l c o n q u e e t s i A r é a l i s e c e r t a i n e s c o n d i t i o n s , e u i s o n t g é n é r i q u e s , a l o r s ( 1 ) e s t c o n t r ô l a b ' 6 t g ( 1
r e s u r lt! -1"1.
I
s i l a c o n d i t i o n d u r a n g e s t r é a t l s é e e n t o u t p o i n t d e M e t F e s t s y m é t r i q u e , a l o r s e l l e e s t t r a n s i t i v e s u r M .
r -r P | 1
I!Égfègg_? LL9) : on considère Ia famiLLe/ = { x, ty I sur M. _ , _
t )
S i l a c o n d i t i o n d u r a n g e s t v é r i f i é e e n t o u t p o i n t e t I e c h a m p s X p o s -
H I S T O R I Q U E E T P O S I T I O N D U P R O B L E M ED a n s c e p a r a g r a p h e r n o u s a l l o n s é n o n c e r l e s r é s u l t a t s c o n n u s c o n c e r - n a n t l a t r a n s i t i v i t é d e s c h a m p s d e v e c t e u r s b i l i n é a i r e s s u r u n e v a - r i é t é M d e d i m e n s i o n n r e t d é g a g e r l f i d é e d u p r o b l è m e q u e n o u s a l l o n s t r a i t e r d a n s c e t r a v a i l .
$ É q r È l g - 1 h t ] : s o i t Ê u n . f a m i l r e d e c h a m p s de vecteurs sur M.
s è d e I a p r o p r i é t é q u e I f e n s e m b l e d e s p o i n t s d e M s u r l e q u e l X e s t . & i " - s o n s t a b l e e t d e n s e , a l o r s I e s y s t è m e - 0 " " t t r a n s i t i f s u r M .
$Égfèng-l tttl : on considère sur M, te système :
p
, r r l * ' ( t ) = . ( ( I ' ( t ) ) * = u i ( t ) Y i ( r ( r ) )
I i = 1 _
l', e R-o
r /
s i r V r ( u c i m L i e f tyi) ( x ) = d i m M
A l o r s ( 2 ) e s t c o n t r ô I a b l e s u r M .
A part ces théorèmes et ceux de tt.l [t] tal t aJ r oû ne connait
p a s d r a u t r e s r é s u l t a t s d e c o n t r ô l a b i I i t é c o n c e r n a n t I e s s y s t è m e s b i - l i n é a i r e s s a u f e n d i m e n s i o n d e u x 3
E n e f f e t d a n s I e p l a n r c ê p r o b l è m e a é t é c o m p l è t e m e n t r é s o l u p a r A d d a e t C h a b o u r . U n r é c e n t t r a v a i - l a é t é e f f e c t u é d a n s I E E E ( 8 5 )
e t q u i r e p r e n d e x a c t e m e n t c e l u i f a l t p a r c e s d e r n i e r s .
q
E n d i m e n s i o n 3 , à p a r t l e s t h é o r è m e s c t t é s c i - d e s s u s , i l n r e x l s t e d e r é s u l t a t s c o m p l e t s d e c e q u i s e p a s s e . L e b u t d e n o t r e travail d e f a l r e a v a n c e r c e p r o b l è m e .
d e l a c o n t r ô l a b i l i t é . N o u s c h o i s i s s o n s u n e b a s e d e t e l l e f a ç o n q u e B s o i t s o u s f o r m e c a n o n i q u e d e J o r d a n r é e 1 l e d a n s l a q u e l l e n o u s d o n n e - r o n s d e s c o n d i t i o n s s u f f i s a n t e s p o u r q u e I e s y s t è * . r C l s o l t t r a n s i t l f .
L e p l a n d e c e t r a v a i l e s t c o m m e s u i t !
L e c h a p i t r e I d o n n e d e s p r é l : r n l n a i r e s , d é f i n i t i o n s e t d e s r a p p e t s d e q u e l q u e s r é s u l t a t s g é n é r a u x .
L e c h a p i t r e ï I c l a s s e l e s c h a m p s d e v e c t e u r s b i l i n é a i r e s
" r r R t . O n d o n n e r a q u e l q u e s p r o p r i é t é s d e s c h a m p s p r o j e t é s s u r l a s p h è r e 5 2 .
p a s e s t
N o u s a I l o n s c o n s i d é r e r I a f a m i l l e d e c h a m p s d e v e c t e u r s b i l i n é a i r e s
N t
u € n l " " t tr - {"1 ". lui trouver des conditions sufri- ,f =.lA + uB ,
" . n t l " d e c o n t r ô t a n i l i t é s u r t d -
{ " J .
P u i s q u e
" € R r e t d f a p r è s l e s t e c h n i q u e s d , e x t e n s i o n d e k u p k a Irn] , a u l i e u d e c o n s i d é r e r I a f o n î r i L f " Ê , n o u s a l l o n s a x e r n o t r e é t u o e
s u r l a f a m i r t " , f i l =
{ e , t n f q u i e s t é q u i v a r e n t c à , , Ê o , , p o i n t d e v u e
L e
p a r
c h a p i t r e I I I c o n t i e n t
sui re sur fu - {"1 ,
d e s r é s u l t a t s d e c o n t r ô l a b i l i t é s u r S z e t
A
C H A P T T R E I 3 P R E L I M I N A I R E S
C e c h a p i t r e c o n c e r n e e s s e n t i e l l e m e n t l e s r a p p e l s e t d é f i n i t i o n s q u i n o u s s e r o n s u t i l e s p o u r I a s u i t e d e n o t r e t r a v a i l .
' . . . : 1
( I . 1 ) t É f i n l g i o n s e t n o t g t l o n s 3 " L '
; ; : : , : : ; , 1 i
o n d é s l g n e p a r M u n e v a r i é t é c o n n e x e d e d i m e n s i o n n e t p a r f = { * " r"€rnl u n e f a m i l l e d e c h a m p s d e v e c t e u r s , n o t é e e n a b r é g é F . c . V r e t o ù / t e s t l r e n s e m b l e d e s c o n t r ô I e r a d m i s s l b l e s o u e n c o r e I r e n s e m b l e d e s c o m m a n d e s . L e s c h a m p s d e v e c t e u r s X u s o n t s u p p o s é s c o m p l e t s et partout d é f i n i s
p o u r c h a q u e c o n t r ô l e u 6 g f [ , c e q u i e s t l e c a s p o u r l e s c h a m p s biti- n é a i F ê s .
L e s y s t è m e d e c h a m p s d e v e c t e , r . " -Ê={*" ,
" e r t b } e s t a p p e r é s y s t è m e b i l i n é a i r e , s i p o u r t o u t c o n t r ô l e u € d b , I ' a p p l i c a t i o n d é f i n i e p a r 2
x u : ù . + T M
t t_> x u ( 2 . )
e s t l i n é a i r e .
S i X u e s t u n c h a m p s d e v e c t e u r s O e . Ê o . n o t e r a X ! I e g r o u p e à u n - . p a r a m è t r e q u f i l e n g e n d r e . o n r a p p e l l e q u e s i l o é M a l o r s x f , ( ) C o )
e s t , p a r A é f i n i t l o n , I a v a l e u r à l t i n s t a n t t d e l r u n i q u e s o l u t i o n a u p r o b l è m e d e . ' C â u c h y :
= X u ( 7 C o )
x : ( r o ) = L o
C o m m e l e c h a m p s X u e s t l i n é a i r e o n a t X T ( X o ) = E x p t X u . T - o .
Ë E ( * ï ( x o r ,
/ , = o
I
f.
D f u n e f a ç o n g é n é r a l e , à t o u t c o n t r ô I e
" € t l L e t à t o u t e c o n d i t i o n i n i - t i a l e * o € M , o n
l u t i o n m a x i m a l e d u
a s s o c l e u n e s o l u t l o n problème de Cauchy .
( U
o ) q u i e s t l f u n i q u e s o -
xÏ
y = x u L o x u z o . . . o x u k
t r t z t r
C e q u i s i g i n i f i e g é o m é t r i q u e m e n t q u e I r o n a t t e i n t y e m p r l d r t a n t d a n s l e s e n s d e s t e m p s p o s i t i f s , l e s t r c i é e s a u x c h a m p s d e v e c t e u r s x u k , x u k - 1 r . . . r x
( " ) '
à p a r t i r a j e c t o i r e s
t L
*,,, xf" tr)
"= *ii;t")
J=*il"'to,
= Xu $2 (uo))
t = Z
x i ( x o ) = Xo
L a f a m i f l e Ê e s t d i t e s y m é t r i q u e s i p o u r t o u t c h a m p s x e . Ê , I e s y -
m é t r i q u e ( - X ) e d .
U n c h a m p s X e V e s t p o i s s o n s t a b l e e n u n p o i n t * o ê
- lM , si pour tout u n t e m p s E > T v o i s i n a g e v ( / - o ) , p o u r t o u t t e m p s r ) o , i l e x i t e
t e l q u e t X t ( Z o ) e v ( Z A ) .
I o e s t u n p o i n t s i n g u l l e r d u c h a m p s X s i : X ( X , o ) = e
S o i e n t - , e t y d e u x p o i n t s d t M . O n d i r a q u e y e s t a c c e s s i b l e à p a r - t i r d e X s r l l e x i s t e u n e n t i e r k , k c o n t r ô l e s u 1 , v Z , . . . , u k e t k r é e l s p o s i t i f s t 1 , t z r . . . , t t t e l s q u e !
d e X e n a s s o -
it
3 xili ' x Ii r't
O n d i r a q u e y e s t r e c a l a b l e L f e n s e m b l e d e t o u s l e s é t a t s
système,Ê
".r. noté sçf ).L
s tïlt ={-ï " ... " *ï[ (x), *', 6ç , Lr2 o Vr, ne Nt. J
S a c h a n t q u e s ( . d ) e s t u n s e m i g r o u p e e n g e n d r é p . r { Xt1 o...o Xuk , *"€fil
l t r t r . )
d o n c I r e n s e m b l e d e s é t a t s a c c e s s i b l e s à p a r t l r d e a , e s t l f o r b i t e p o - s i t i v e d e c e s e m i ; Ç r o u p e d t o ù I a n o t a t i o n S t f l . .
L e s y s t è m e " P v é r l f i e
artI a p r o p r i é t é d r a c c e s s i b i l i t é s i p o u r t o u t p o i n t X o ê M , l t i n t é r i e u r d e s t f ) . r o , p a r r a p p o r t à l a t o p o r o g i e d e M ,
e s t n o n v l d e .
- f s e r a l o r a l e m e n t c o n t r ô I a b l e e n Eo€ u si S t,fl). f,,o contient un v o i s i - n a g e d e X o . O n n o t e r a I r e n s e m b l e d e s é t a t s a c c e s s i b l e s à p a r - t i r d e l o e n u n t e m p s T p a r t ( X o , T r F ) d o n c : A ( L o , t r f r l =
e n X s i X e s t a c c e s s i b l e a c c e s s i b l e s à p a r t i r d e r o h a d o n c 3
a
x
p a r t l r d e y . à l r a i d e d u
xuiêÊ, tr)
"rf- ti = I, k
* : 4
a c c è s s i b l e s à p a r t i r d e Z o e n
t n o t é p a r A ( X o , [ o , t ] , f t I =
a c c e s s i b i l i t é d e { o € M , 1 g n l u de Zo I donc on a ,,1) = f(D'"
Xo, qu I on notera G t ,Ê ). tro , p a r t i r d "
4 d u s y s t è m e s y m é t r i
_x" , "€tIù J
1t'
l x Y t
" . . . o x Y r ( x )
[ . t E k o
L r e n s e m b l e d e s é t a t s r i e u r o u é g a L à r e s O n a p p e l l e r é g i o n d l
a c c e s s i b l e à p a r t i r O n a p p e l l e o r b i t e d e é t a t s a c c e s s i b l e s à
- 7r_1.,
du système "F =t , o n a : G t ( ) . t o =
*tf
))
t e m p s t i n f é -
t l
U, A (!o't
"F)'
g r a n d o u v e r t U
e n s e m b l e d e s , c r e s t à d i r e
€
u n t s
1 f
s é
S , F , . , o
O n d i r a q u e l e s y s t è m e | P e s t c o n t r ô l a b l e o u t r a n s i t i f e n u n p o t n t X ^ e M s i I r e n s e m b l e d e s é t a t s a c c e s s L b l e s s < f l . \
oc o i n c l d e a v e c M i e : S ( y r . X . o = M .
tîF e s t d i t c o n t r ô I a b l e o u t r a n s i t l f s u r M s r i l I r e s t p o u r t o u t p o i n t L o ê M .
r l Ç s
i e z Y / o ê M , s ( f " ) . Z o = M
1 r r r t ' l
o n n o t e r " [*", *I le crochet de Lie des champs Xu et Xv. on sait q u e p o u r d e s c h a m p s li h é a i r e s o n a , f*", *"]= xv xu - xu xv
o n d é s i g n e p a r L i e < F l l , a 1 g è b r e d e L l e e n g e n d r é e p a r , . / , c r e s t d o n c t a p l u s p e t i t s o u s - a l g è b r e d e I f a l g è b r e d e L i e d e s c h a m p s d e v e c t e u r s d e M c o n t e n a n t , l , L i e $ ) e s t I a p l u s p e t i t e s o u s - a l g è b r e d e L i e s t a b r e p a r l e c r o c h e t d e L i e . o n a : V Z e u , L i e ( P ( z ) . C r r M o ù f " M e s t l r e s p a c e t e n g a n t e n ; . à M .
L a f a m i l l e e s t d i t e a u t o - i n v a r i a n t e s i e n c h a q u e p o i n t f € M r o h a :
r x c ( f ) . / - L i e t . f t ) . t .
L e s y s t è m e v é r i f i e l a c o n d i t i o n d u r a n g e n u n p o i n t x ê , 1 4 s i 1 f a l -
o ù A 6 N r t g l e t B € M ( 3 ) .
M ( 3 ) é t a n t l r e n s e m b l e d e s m a t r l c e s d f o r d r e 3 .
P o u r l a s u i t e o n s u p p o s e r a q u e I a f a m i f f e - Ê v é r i f i e l a c o n d i t i o n d u r a n g e n t o u t p o i n t d e M . O n v e r r a q u e b i e n s o u v e n t i l s u f f i r a d e I q , v é r i f i e r e n u n s e u l p o i n t .
g è b r e d e L l e e n / c o i n c i d e a v e c l r e s p a c e t a n g a n t e n a . à M .
i e : L i e ( f ) ( / ) = T N M . . '
D a n s c e t r a v a i l , o n c o n s i d è r e I a f a m i l r c , F = r [ x ' = A + u B ,
" € f t f
-t)
( I . 2 ) C h a m p s é q u i v a l e n t s e t t e c h n i q u e s d r e x t e n s i o n E t a n t d o n n é O u n e f a m i f f e , / c e c h a m p s d e v e c t e u r s s u r
vil
M , o n d é f l n i t
A , \
\tr
o ù
s-TF'. z
d e s f e r m é s d e M .
s o n t p r i s r : s r e s p e c t i v e m e n t p a r r a p p o r t à I a t o p o
e t d e c { " P r ) . x .
Donc f*F'#
o ù l e s f e r m e t u r e s
I o g i e d e e < A . t
U
/
F fr p
,\J
rV
l r e n s e m b l e d r a c c e s s i b i l i t é d e L , n o t é n g t h l ) , t c o m m e é t a n t l f a d h é r e n ë ê , p a r r a p p o r t à I a t o p o l o g i e d e c t l l l ; d e S ( f r ) . t . l e : A O ( x ) r
3 l T j . r .
O n a d o n c d é f i n i I r a p p l i c a t i o n d r a c c e s s i b i l i t é A ^ : Jv
: M-> fl*,
, / t X . I - A Ê t ) = L f u ) e s t I a c o l l e c t i o n
D é f i n i t i o n :
F 6tl
o n d l r a q u e d e u x f a m i l l e s d e c h â m p s d e v e c t e u r s J v e L . J r y t s o n t é q u i - v a l e n t e s s i
"F* fr!
l e u r e n s e m b l e d f a c c e s s i b i f i t é s o n t é g a u x , e t o n n o t é
P r o p r i é t é s :
ovÀ)",)Êr"Ê
ou trF =1 )* , *r4
z ) L f a d h é r e n c e d u c ô n e c o n v e x e V
" n n " n d r é p a r , t " " t é q u l v a l e n t a à . Ê E n e f f e t , c e t t e p r o p r i é t é r é s u l t e d e s t r o i s s u i v a n t e s :
a) V*e.É,V"aÉ,{*i"l u
b) Vl>" , V*eF {l-}
c ) s i u n e s u i t e ( x ô ) n c *fi converge vers x,
41
arors
+.1 " fr ^/ -F,
3 )
4 )
s t ! xe f, arors V v ef
{,*.'* ",1 uç N P
â u (r*.r*
ù ( r ) = Xr
s i Y x ê F e t l v ê , . F . ; a l o r s
V/> "
o Y ; o X _ a ( z )
-l F/ âl
[x, YJ u Jv p f.r.
D é f i n i t l o n :
o n a p p e l l e s a t u r é d e , / . t o n n o t e s a t tll , re plus grand système
àr.
é q u i v a l e n t
P r o p r i é t é s du saturé a" -Ë ,
D sat 6) = u ,fr',
.F'* F
z )
3 )
q )
s )
6 )
S a t ( F ) e s t s t a b l e i e S a t 6 e s t f e r m é .
s a t tft + sar (f) c
s i t x 6 s a t ( r Ô a t o r s S i V e s t u n s o u s e s p a c e
L i e ( V ) c
z t
V * e / , o n a : ( A + donc : t i m l ( A + m
rrn+ô|m
m B ) € ( 7 )
n) €v
È sar 6, = sar (.Ê).
sar 6)
( , , t ) { s a r 6) c sat f Fl
v e c t o r i e l t e 1 q u e V C S a t < f l , a l o r s :
sar (fr)
P r o p o s i t i o n 1 i
L e s y s t è m e ( 1 ) e s t é q u i v a l e n t a u s y s t è m e f r = { o ,
t r | . P r e u v e :
1 1 s u f f i t d e m o n t r e r q u e A , + B e t - B s o n t d a n s I t a d T i é r e n c e d u cône convexe (- . -\o
E n e f f e t :
A =
- -
* ( A + m s ) €,V-
- {"1
4L
o r s i o n p r e n d tC ff et 26ff
I o f , a u r a z= l i m
,f\-àO,
o r : ( A + m
" ) a / , ( 2 ( )
d o n c a Z = l i m
m+ô.
= l i m
n à ô t
= l i m n à ô a d o n c : V r l
+ m B )
t / * ( 7 C . )
(+ (A + m ,). (z) = l i m ( n
m + æ
/ o , - r r . \ n
= li'lï ^.^ /
=l*(k o'*) n
' \
E * \ " )
n I lt
B T ) ^ )
n / / B t ( z )
"l ,Br"*)
II
€z t I I
/I -lil lA r
I nàô' t *.
\ / ' /
/ I i m f A
l * o , I t
\ \ m n
l - \ n
l" tl rz )
t ;l
r6ft.,V"€R3
d t o ù : + B
Q )
( / )
( x)
( z )
s lfi). z
O n p e u t f a i r e l e m ê m e r a i - s o n n e m e n t a v e c ( n - m B ) e t o n t r o u v e q u e
B eV.
t + ^?
D o n c ( r ) r u { 4 , : B t .
R e m a r q u e : A u l i e u d , é t u d i e r I e s y s t è m e { o * u B ,
f a i r e r ' é t u d e d u s y s t è m " J n , : . l ; " t " q r , l - r " s o n t é
l a p r o p r i é t é c i - d e s s u s . t)
, €4,
quival en
o n p e u t t s d t a p r è s
P r o p o s i t i o n 2 :
S o i t E u n e n s e m b l e d e n s e d a n s M . O n s u p p o s e q u e I e s y s t è m e v é r i f i e 3
r > ly'x,€, M
z " t \ d t , ê E
d i m L i e < h l U ) = d i m M
é
; s ( f r ) . y - \ M
A l o r s 6 l e s t t r a n s i t i f s u r M .
-13
P r e u v e :
S o i e n t X et y deux points quelconques e n e f f e t , d r a p r è s I e l e m m e o " C h o w e s t a c c é s s i b l e à p a r t i r d e d , , e t u n à y -
I,
E é t a n t d e n s e , d o n t
d e M . M o n t r o n s q u e y 6 Sth.t , i I e x i s t e u n v o i s i n a g e v q u l v o i s i n a g e \6/ qui est recalable
w
v
i 1 e x i s t e a u r r r o i n g u n p o i nt t le V n E.
€,
e
d o n c ? y € s ( , F ) . 7 ( C e q u i a c h è v e I a p r e u v e .
C o r o l l a i r e 7
S i " É N f l a l o r s , , Ê " " t t r a n s i t i f s u r M , s i e t s e u l e m e n t * , f r | , e s t t r a n s i t i f s u r M
E n e f f e t s i - l Y e s t t r a n s i t i f î
(z) pour [ = sCf) . Xo ; car i
s u r M , o n p e u t a p p l i q u e r l a p r o p o s i t i o n
€ E , ffiy= stfl)v î= ;ID'.zo = M
d o n c f ' e s t t r a n s i t i f
e t sur
r y
M
Ltê VAE -> ;iF. x ! = M
d o n c : S t(). X" rencontre v,I en un p o i n t y 1 € w n S ( f r ) , X 1
x7 x.2
ve s6") t.z s (t) .x, s(F)./
4L
C o r o l l a i r e 2
( ^ r ' )
L e s y s t è m e , l n * u B , u € K f " s t
-t r a n s i t i f s u r t r - l"? si et
l t \ ,
/ \ 2 | 7 | |
s e u r e m e n t s i J n , I s 4 e s t t r a n s l t l f s u r f t C - l " C
l ' I ' l )
C e q u i j u s t i f i e I ' é t u d e d u s y s t è m e /o, 1ef aans Ia zuite de ce t r a v a i l .
' ' , ' . 1 . i : j . l '
-15
C H A P I T R E I I : P R O P R I E T E S E T C L A S S I F I C A T I O N D E S C H A M P S L I N E A I R E S
D a n s c e t t e p a r t i e n o u s d o n n e r o n s l e s o u t i l s q u i n o u s s e r o n s n é c e s - s a i r e s p o u r e n t a m e r 1 ' é t u d e d e l a c o n t r ô l a b i l t t é .
N o u s c o m m e n c e r o n s p a r d o n n e r d e s p r o p r i é t é s p a r t l c u l i è r e m e n t i n t é -
,t\ ?
r e s s a n t e s d e s c h a m p s b i l i n é a i r e s d e K " , a i n s i q u e l e u r s p r o j e c t l o n s r a d i a l e s s t r r s 2 .
L e b u t d e c e t t e é t u d e e s t d e s e m e t t r e d a n s l e s c o n d i t i o n s d u . , th é ; o r è m e d e G - B . S s u r l e q u e l e s t b a s é I a s u i t e d e n o t r e t r a v a l l .
E n e f f e t r c ê t h é o r è m e r a m è n e 1 ' é t u d e d e I a c o n t r ô l a b i l i t é d r u n s y s - t è m e . . Ê " u r t r - { " } à I a c o n t r ô l a b i l i t é d i r e c t l o n n e l l e o u e n c o r e à
I I
1 ' é t u d e d e I a t r a n s i t i v i t é s u r S - d u s y s t è m e p r o j e t é . ?
U n e d e s c o n d i t i o n s d e c e t h é o r è m e e s t a u t o m a t i q u e m e n t r é a 1 i s é e d a n s l e c a d r e d e c e t r a v a i l s a u f e n u n s e u l c a s p o u r l e q u e l u n e é t u d e s p é c t a l e l u i s e r a c o n s a c r é e .
( r r , 1 ) T h é o r è m e [ t o ]
S o i t . l v u n e f a m i l r e d e c h a m p s
(\td e v e c t e u r s b i l i n é a i r e s s u r f t * .
Le seml-groupe s(f) opère transitivement sur tr -{"1 si et seule-
m e n t s i :
( i ) S ( . F ) e s t t r a n s i t i f s u r l e s d i r e c t t o n s d e R - * ( l e l e s d e m i - d r o i t e s i s s u e s d e l f o r i g i n e ) . d o n c t f a n s i t i f s u t S n - 1 .
( i i ) I 1 e x l s t e u n e t r a j e c t o i r e d e S ( r ' ) q u i s r a p p r o c h e a r b i t r a i r e m e n t p r è s d e I r o r i g l n e , e t u n e a u t r e q u i s f é l o i g n e a r b i t r a i r e m e n t l o i n d e I r o r i g i n e . C e t t e c o n d i t i o n e s t é q u i v a l e n t e à d i r e q u e l e s s e m i - g r o u p e s S ( P ) e t s ( - J C ) s o n t n o n b o r n é s . c f e s t l a c o n d i t i o n ( i i ) q u i e s t
t o u j o u r s r é a l i s é e s a u f d a n s I e c a s o ù l e s p e c t r e d e B e s t l m a g l n a l r e p u r .
4 C
N o u s d é m o n t r e r o n s c e s r é s u l t a t s e n é t u d i a n t l a c l a s s i f i c a t i o n d e s c h a m p s l i n é a i r e s d e R 3 p r o j e t é s s u r s 2 , d a n s I e p r o c h a i n p a r a g r a p h e . I l r e s t e d o n c à é t u C t " r I a c o n t r ô l a b i l i t é s u r l e s d t r e c t i o n s d u s y s -
_ N ô i f )
t è m e . f s u r t t { - {"t ' c e q u i e s t é q u i v a l e n t à l ' é t u d e d e I a c o n - t r ô l a b i l i t é O " Ê " " t , ' , I e t a n t l e p r o j e t é O e . Ê s u r 5 2 .
( : - : - . 2 ) P r o p r i é t é s d e s c h a m p s 1 l n é a l r e s t i o n s u r r a s p h è r e |n-t.
C e c i v a n o u s f a c i l i t e r l e t r a v a i l d a n s d e s s y s t è m e s b i l i n é a i r e s s u r f f .
1 r a p p l i c a t i o n :
t\)X
d e R n
a r n s l q u e l e u r p r o j e c -
1 ' é t u d e d e l a c o n t r ô l a b i 1 1 t é
S o i t X u n c h a m p d e v e c t e u r s l i n é a i r e d a n s R n e t x € . s n - 1
: st-t -+ rsn-1 sa &n-1
u r---> f r*t = x(t) - 4,rt/z) x
où
d é f i n i t u n c h a m p d e v e c t e u r s s u r S n - 1 , e t i I e s t é v i d e n t q u e , p u i s - q u e X e s t b i l i n é a i r e , l r ' , = , , j * , ,
ll xt(r) ll
e s t l e g r o u p e à u n p a r a m è t r e a e î .
1 1 e s t f a c i l e d e v o i r q u e B e t B + ) f o n t m ê m e p r o j e c t l o n s u t S n - 1 e t q u e d e u x c h a m p s q u i o n t l a m ê m e p r o j e c t i o n d i f f é r e n t d e \ f .
( f r . 3 ) c l a s s i f i c a t i o n d e s c h a m p s l i n é a i r e s p r o i e t é s s u r s 2
O n v a m a i n t e n a n t s u i v a n t I a n a t u r e d e B , r e g a r d e r I ' a s p e c t d u c h a m p
O n c h o i s i t u n e b a s e d e J o r d a n r é e l l e p o u r B , e t I a s p h è r e u n i t é d a n s c e t t e b a s e . O n o b t i e n t a i n s i I a c l a s s l f i c a t i o n d e s c h a m p s l i n é a i r e s p r o j e t é s s u r I a s p h è r e .
H
.4+
S u i v a n t c h a q u e théorème de G.
I r e n s e m b l e d e s c o r r e s p o n d a n t e Remarque : a ) s i B
N"rrt R 3 b ) s i É v a r i a n t e
T y p e ï i
a u n g r a n d
t"l ' r ?
p o s s è d e u n
sur fut -
H y p e r b o l i
t y p e d e c h a m p B , o n v é r l f i e r a I a c o n d l t i o n ( l i ) d u B . S . O n é t u d i e r a l f e n s e m b l e d e s p o i n t s i n v a r i a n t s ,
p o l n t s s i n g u l i e r s e t o n d o n n e r a 1 a c o n f i g u r a t i o n
a e È ' s u r s 2 .
^
c e r c l e i n v a r i a n t s u r S t , B a d m e t u n p l a n i n v a r i a n t
s i n g u l i e r , a l o r s B a d m e t u n e d e m i - d r o l t e i n -
e I :
p o i n t l o l r 1 t
l ) que ré
B =
(il
; )\ ,
À . U . \ é t a n t d e s
7
O n s u p p o s e r a s a n s
r é e l s d i s t i n c t s d e u x à d e u x .
r e s t r e i n d r , - - 1 a sénératiré, que t tr(f <V .
o n a : - 3 g r a n d s c e r c l e s i n v a r i a n t s .
6 p o i n t s s i n g u l i e r s s i t u é s d a n s l r i n t e r s e c t i o n d e s c e r c l e s d o n t d e u x s o n t a t t r a c t l f s , c e s o n t d e s n o e u d s a t t r a c t i f s t
J9,
d e u x s o n t r é p u l s i f s r c ê s o n t d e s d e u x s o n t d e s p o i n t s s e l l e s .
O n r e m a r q u e q u e t o u t p o i n t s i t u é p o u r r a s r a p p r o c h e r a u s s i p r è s q u e L a m ê m e s i t u a t i o n s e p r é s e n t e p a r l e p ô I e s u d S . ' ' i
: t , , , ; , , i : : C a s I I : H y p e r b o l i q u e :
"
A 6deux valeurs propres complexes conjugées
(:
n o e u d s r é p u l s i f s ,
s t r i c t e m e n t d a n s I ' h é m i s p h è r e n o r d l r o n v e u t d u p ô I e n o r d N .
r a p p o r t à I ' h é m i s p h è r e s u d a v e c
:
1 1 '
ve t u n e r é e l r . À
te1 que : À I *"2. '
d ^ o =
i b
L r é q u a t e u r e s t l n v a r i a n t e t o n a d e u x p o i n t s s i n g u l l e r s d i a m è t r a l e -
I
m e n t o p p o s é s n o n c o n t e n u s d a n s 1 t é q u a t e u r .
s i t r > * " , 3 a , = a , I ' é q u a t e u r e s t r é p u l s i f e t d o n c l e s p o i n t s s i n g u -
l i e r s s o n t a t t r a c t i f s p o u r l e u r h é m i s p h è r e r e s p e c t i f , c e s o n t d e s f o y e r s s t a b l e s e t d o n c t o u t p o i n t p e u t s r a p p r o c h e r a r b i t r a i r e m e n t p r è s d u p ô l e .
-b "\ \1
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> 4
o '
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s i ) { * " ( 3 1 , I r é q u a t e u r e s t a t t r a c t i f e t l e s p o t n t s r ô n t d e s f o y e r s i n s t a b l e s . T o u t p o i n t d e I ' h é m i s p h è r e c h " r a u s s i p r è s q u e l r o n v e u t d e 1 t é q u a t e u r s a u f l e s t e u r e s t u n c y c l e l i m i t e .
) > È(an)
C a s I I I : A s ' é c r i t d a n s s a b a s e p r o p r e
s l n g u l l e r s s e - p o u r r a S r a P P r O - p ô I e s . L f é q u a -
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9n
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U n g r a n d c e r c l e d e p o i n t s i n g u l i e r e t d e u x p o i n t s s i n g u l i e r s n o n s i t u é s s u r c e c e r c l e . T o u s l e s c e r c l e s c o n t e n a n t l e s d e u x p ô I e s s o n t i n v a r i a n t s .
r \
s i
" ) À , I e s p o l e s s o n t a t t r a c t i f s , c e s o n t d e s n o e u d s s t a b l e s . s i
" ( ^ , l e s p o i n t s s i n g u l i e r s d e I r é q u a t e u r s o n t a t t r a c t i f s . s i
" = t r , t o u s l e s p o i n t s d e 5 2 s e r o n t d e s p o i n t s s i n g u l i e r s .
C a s i V : A =': "lt
(i ) j)À
o n a d e u x s i t u é s s u r
Jw> i
\g r a n d s c e r c l e s
c e s c e r c l e s t
i n v a r i a n t s e t d o n t d e u x s o n t
l -
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I
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I
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JT <A
q u a t r e p o l n t s a t t r a c t i f s o u
s i n g u l i e r s , r é p u I s i f s .
9J
si " >), tout pcint de I r o n v e u t d u p ô l e . s i u < À t o u t p o i n t d e d u p ô l e p a r I e c h a m p
C a s V : A e s t u n e s i m i l i t u d e i
I t h é m i s p h è r e p e u t s r a p p r o c h e r a u s s i p r è s q u e
I f h é m i s p h è r e p e u t ê t r e r e c a l é s u f f i s a m e n t p r è s ( - A ) .
A = - b
a
o
: )a b o
T o u t c e r c l e e t l e p ô l e Remarque : C a s V I : A
e s t i n v a r i a n t . s u d S .
D a n s c e c a s I e e s t I a m a t r i c e
A a
c h a m p A e s t é q u i v a l e n t à n i l p o t e n t e d r o r d r e 2 : A
T À .
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l" \ ol
\" o Xl
d e u x p o i n t s s i n g u l i e r s , l e p ô I e n o r d N
2L
lkl
A a u n é q u a L e u r d e p o i n t s s i n g u l i e r s q u i r e p r é s e n t e I e n o y a u d e A , e t d e u x p o i n t s s i n g u l i e r s s i t u é s s u r c e t é q u a t e u r .
L r u n d e s d e u x p o i n t s s i n g u l i e r s e s t a t t r a c t i f e t l r a u t r e r é p u l s i f p o u r l e u r h é m i s p h è r e q u i r e p r é s e n t e 1 | i m a g e d e A
T o u s l e s c e r c l e s p a s s a n t p a r l e s p o i n t s s i n g u l i e r s s o n t i n v a r i a n t s . C a s V I I : A e s t I a m a t r i c e n i l p o t e n t e d r o r d r e 3 : A =
(l
{ ùA a u n g r a n d c e r c l e i n v a r i a n t q u i p o i n t s s i n g u l l e r s c o n t e n u s s u r c e l e u r h é m i s p h è r e .
r e p r é s e n t e I I i m a g e c e r c l e e t q u i s o n t
d e A , € t d e u x a t r a c t i f s p o u r
9.4
- a i - -
- / 3 - - - a 1 \
C H A P T T R E T I T : C O N T R O L A B I L I T E D E S C H A M P S
BTLINEATRES SUR lru-
( I I I . A ) G é n é r a l i t é s :
Dans ce c c o n s l d è r e I e s y s t è m e :
uefu
M3 r fl-t , B = ( b i j ) e M r ( f l , )
O n a v u q u e 1 ' é t u d e d e I a c o n t r ô l a b i l i t e d e c e s y s t è m e e s t é q u i v a -
l e n t e à c e l l e d e I a f a m l l r c . F = I o , t B ?
t )
D f a p r è s t e t h é o r è m e o " IsJ , [tof it suffit d a n s p r e s q u e t o u s r e s c a s , s a u f d a n s l e c a s o ù B a d m e t d e s v a l e u r s p r o p r e s i m a g i n a i r e s p u r e s t
^ , $ ; ? l
de montrer que lfz = 1o, . eJ est transitif sur s2 , où T (respct f "Él d é s i g n e I e c h a m p p r o j e t é d e A ( r " " p t t t B ) s u r 5 2 .
o n v a d o n c é t u d i e r r a c o n t r ô l a b i l i t é c " ' l X , I É l s u r s 2 r p o u r c e l a
r )
i I y a p l u s i - e u r s t e c h n i q u e s .
P a r m i l e s t e c h n i q u e s u t i l i s é e s , i I y a c e l l e d e l a $ s p i r a l e t r .
E l l e c o n s i s t e à p r o u v e r q u f i l e x i s t e u n c e r t a i n c o n t r ô I e u o t e l l e q u e I a m a L r i c e ' ( R * u o e ) s o i t d u t y p e I I .
p o u r c e l a o n c a l c u l e I e p o l y n ô m e c a r a c t é r i s t i q u e d e ( n + u B ) , c r e s t l r o b j e t d u p a r a g r a p h e ( f I I . 2 ) q u i e x p r i m e c e p o l y n ô m e e n u r ê h f o n c - t i o n d e c o e f f i c i e n t s i n v a r i a n t s d é p e n d a n t d e A e t B .
D a n s I e p a r a g r a p h e ( I I I . 3 ) o n r é s u m e l e s p r i n c i p a u x r é s u l t a t s t r o u - v é s a u c o u r s d e c e t r a v a i l .
h a p i t r e , o n
f *' = (e
{-e ft'
[ - n = ( a . + u B
- [^l
1 " /
. )e t
) x
ilu
( T I I . 2 ) P r é I i m i n a i r e s :
a ) P o u r 1 r é t u d e d e l a c o n t r ô l a b l l l t é , n o u s a l l o n s r e g a r d e r l e s v a - l e u r s p r o p r e s d e I a m a t r i c e ( n + u B ) , c e q u l r e v l e n t à é t u a i e r s o n p o l y n ô m e c a r a c t é r i s t i q u e : c e c i n o u s p e r m e t d e s i t u e r l e t y p e d e
champ représenté par ffi
o n v a e x p r i m e r l e p o l y n ô m e c a r a c t é r i s t i q u e P u ( . \ ) = d e t ( n + u B - À I ) à r t a i d e d r i n v a r i a n t s d e I a p a i r " J o , " f .
L J
P I u s e x a c t e m e n t , o n v a l r e x p r i m e r à l r a i d e d e T r ( A ) ( t r a c e d e A ) , Y ( n ) ( 1 a s o m m e d e s m i n e u r s p r i n c i p a u x d r o r d r e d e u x d e A ) , d e t A ( l e
d é t e r m i n a n t d e A ) , T r ( e ) , f - t e l e t d e t B .
p . r t \ ) é t a n t d e d e g r é t r o i s , p a r u n c h a n g e m e n t d e v a r j - a b l e , o n p e u t s e r a m e n e r à u n p o r y n ô m e d u t y p e : p u ( \ ) = \ 3 + P À * e .
O n c a l c u l e r a p a r I a s u i t e A f n + u B ) I e d i s c r i m i n a n t d e P u ( ^ ) . L e s i g n e d e A t n + u B ) d é t e r m i n e l a n a t u r e d e s v a l e u r s p r o p r e s
d e ( n + u B ) , e n e f f e t :
1 " ) A ( n + u a ) ( o = ( A + u B ) 6 (r) 2 " ) A ( e + u n ) ) o
3 " ) a t n + u B ) = o - ê ( A + u B ) € ( r r r ) u ( I V ) u ( v I ) U ( w I ) E x p r i m o n s l e p o l y n ô m e c a r a c t é r l s t i q u e P u t t r l d e ( A + u B )
o n p r e n d r a A = t a ; i ) = ( A 1 , A 2 , A f ) i B = ( b i j ) = , t 1 r 8 2 , B 3 ) .
p u ( t r ) = det (a +; e - Àr) = -X3 + rr (A + u e)\' -7 ( A + u eltr
+ d e t ( A + u B ) avec :
T r ( A + u B ) = T r ( A ) + u 1 r ( B )
E ( A + u B ) = ftn) + ftn,B)u * E(e)u2
(
ou f t n , a ) =rT
"^j oii -r5
"i oii
L l j L + j
L 5
d e t ( A + u B ) = d e t ( A ) + d e t ( A r e ) 4 + d e t ( B , A ) L P + d e t ( e ) t r 3
o f i : d e t ( A r B ) = d e t ( B 1 r A 2 , A g ) + d e t ( A 1 r B Z , o g ) + d e t ( o 1 , A 2 r t l ) d e t ( B r A ) = d e t ( 4 1 , 8 2 ,
" g ) + d e t ( B 1 r A 2 , a g ) + d e t ( B 1 r , 2 , O g ) s i l f o n p o s e : X = ) , - r r ( n - + u e ) , a l o r s r e p o l y n ô m e c a r a c t é r i s -
d o n c a
= I (A) - J tr2e
= f (A,Bl - f r. (A) rr(B)
= f (B) - J rr26t
t i q u e d e v i e n t :
O ..rxt = -x3 -[r.f,^==uf - t (n + u, I
I u . . - - . [ a * j 1 g - I (A + 'aj x . î , t r 3 ( n + u B ) - * E ( n + u B ) r r ( A +
" " , ) . d e t ( n + u B ) p o s o n s : p ( u ) = f ( n + u B ) - t r r ' ( n + u B )
q ( u ) = - t r , t r 3 ( n + uB) . â ( . t ( A + uB) rr (n +
" " r ) - d e r ( n + u e )
p ( u ) = : (A) + u ! 1R,s) *,r' I (B) - + -
3 " r r ( A ) rr(B)
- .'r2 rr2g --T-
= (:,^) -+r"t + "(:1n,e) -+rr(Ar rrrer) +
"
(>lre)-+','{
P o s o n s : S o
s r s z
d o n c :
p ( u ) = S o + u 5 1 * , - r 2 S Z
2e
/ ô î a \ f
q ( u ) = ( - + r r 3 a + f t ( A ) rrA - derA)*', (-3 rr2(R) rre
t l t l t v
* J r<"1 rr(B) det t) I
o n p o s e z
K . , = - L r r 3 ( R ) . + Itn) rr(n) der(A) \,, fr
K 1 = - f t v 2 ol rr(Bl . l Ero) rr(B) . + > 1e,e) rr(A) - der (A,B) . K z = - $ r.ter rr2(e) * f ;ro,"l rr(B) * f lrur rr(A) - der (B,A) K 3 = - 1 , t t 3 ( e ) * f ; r t l r r ( B ) - d e t ( B )
d o n c z
q ( u ) = K o + u K a + r r 2 K z + u 3 K 3
r ( A ) - d e t , O r . )
f t n , a ) T r ( B )
) t l 2
l*"'(-h tr3(n)
+Ifto)rr(B).*:1R,e)r .
"(-
$ rrtet rr2 ( e) - +
* f Zt"l rr(A) - der (e,A
M a i n t e n a n t o n v a c a l c u l e r I e d i s c r i m i n a n t A ( A + u a ) d u p o l y n ô m e c a r a c t é r i s t i q u e e t d é t e r m i n e r s e s c o e f f i c i e n t s e n f o n c t i o n d e s l n - v a r l a n t s d é p e n d a n t d e l a p a i t "
J ^ r t / . I J
A r e + u B ) = a p 3 { r ) * z t q z l u )
A p r è s c a l c u l o n t r o u v e z
A t o + u B ) = ( 4 r o ' + 2 7 x o z ) + u ( n t o
* ,2
ltt ,o (rr' + ,o ,r) +
L I
t , , * 5 4 ^ o n r )
+2Ko^rt
zt(*f
rl
+ u + u -
4+ u 5
+ u 6
s 1
tg
s L
" 2
q 3) . 2 7 + 2 7
K g + 2
+ 2
^ 1
S i I r o n p o s e 3
f o = 4 r o t + 2 7 r c o z
f L = t 2 s o - 5 1 * 5 4 K o K 1 )
f Z = t 2 r o ( t " ' + S o t Z ) + 2 7 f g = 4 S t ( t " ' + G S o S r ) + 5 4
f + = 7 2 S e ( t " ' + S o S Z ) + 2 7
^
f 5 = t 2 t t S Z - + 5 4 K Z n 3
f 6 = 4 t r ' + z l ^ r 2
+ 2 K o K 1 )
^ 3 + K a K r ) + Z x , x r )
q î
f 4 * u " 5 * , o f u
u n c e r t a i n c o n t r ô l . , o , I e c h a m p d i r e a d m e t d e s v a l e u r s p r o p r e s
* 1 K g
d u p o l y n ô m e c a r a c t é r i s - - e n f o n c t i o n d e c o e f f i c l e n t s
^r)]
G"" )l
( ^ , ,
o s z tr)
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v,
(^
+ 6 S
2 * s
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+ , , * r ' )
+ s4 Rz ^J
( ^ " '
(rc
o(*r'
A l o r s 1 e d i s c r i m i n a n t d e v i e n t :
A . ?
A ( n + u B ) = f o + u f 1 * u t t z * u ' f , + u
b ) T e c h n i q u e d e l a r r s p i r a l e r r .
E t I e c o n s i s t e à p r o u v e r q u e p o u r
t---/
( A + u F ) e s t d u t y p e I I , c ' e s t à o compl exes.
P o u r c e l a o n c a t c u l I e d l s c r i m l - n a n t A ( e + u B ) t i q u e q u ' o n v i e n t d r e x p r l m e r d a n s ( I I f . 2 . a )
2r
i n v a r i a n t s d é p e n d a n t s u n i q u e m e n t d e A et de B.
D o n c en faitrre p r o b l è m e revient à chercher uoê1Qt"r que Afn + urB) s o i t s t r l c t e m e n t p o s i t i f .
& , A , o + q " D
" n f i n p r i q u e p a s q u e r a p a r t i e r é e l r e d e s v a r e u r s
p r o p r e s e s t n o n n u l r e , c f e s t d a n s c e c a s p i é c i s é m e n t que Ie champ -,--Z
( A + u - B ) e s t d u t y p e ( I I ) .
aD a n s t c a s o ù r a v a l e u r p r o p r e r é e l l e c o i n c i d e a v e c l a p a r t i e
r é e l l e d e s v a l e u r s p r o p r e s c o m p l e x e s a l o r s o n a u n c h a m p d u type(V), c e t y p e d e c h a m p e s t i n s t a b l e , c e q u l n o u s p e r m e t t r a d e n o u s r a m e n e r a u c a s d u t y p e ( I I ) .
q a
(1II.3 ) Résumé dgs pËigcipsruxJésuljEats
o n v a d o n c é t u d i e r I a c o n t r ô I a b l l t t é d u s y s t è m e ( î ' , 1 f i s u r s 2 , p ô U r c e l a i I y a p l u s i e u r s t h e c h n i q u e s .
O n f e r a 1 r é t u d e s u i v a n t l e t y p e d e c h a m p d o n n é p a r I a m a t r i c e B r e - p r é s e n t é e d a n s u n e b a s e d e J o r d a n r é e l I e .
L e c h a m p d o n n é p a r À é t a n t e x p r i m é d a n s c e t t e m ê m e b a s e . U n e c l a s - s i f i c a t i o n c o m p l è t e d e s c h a m p s l i n é a l r e s d a n s t r s e l o n l e u r f o r m e r é e I I e d e J o r d a n a é t é ' f a i t e d a n s ( f I . 3 )
9 _ € g ) : c e c a s a é t é t r a i t é p a r G a u t h i e r - B e r n a r c [ , t o . f , d f a p r è s I e théorème de J. K l4lù .
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t r a n s i t i f s u r s L ( 3 r f i , l e s t q u e 3 ( i ) J A , B 0 v é r i f i e I a c o n d l t i o n d u r a n g .
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O n m o n t r e q u e s i B € ( I T ) u n € c o n d i t i o n n é c e s s a i r e e t s u f ; f i s a n t e d e c o m p t è t e c o n t r ô t a b i l i t é
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d i t i o n d u r a n g . O n I e d é m o n t r e g é o m é t r i " q u e m e n t .
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D a n s c e c a s r o h d o n n e r a u n e c o n d i t i o n s u f f i s a n t e d e c o n t r ô l a b i l i t é o n u t i l i s e l l a t e c h n i q u e q u i p e r m e t d r o b t e n i r d a n s l e s y s t è m e u n e
s p i r a l e .
g-é-!ryl 2
O n o b t i e n t u n e c o n d i t i o n s u f f i s a n t e d e c o n t r ô l a b i l i t é .
O n d é m o n t r e q u ' 1 1 e x l s t e u n e s p i r a l e d a n s I e s y s t è m e p u i s g é o m é t r i - q u e m e n t o n p r o u v e q u r o n a t r a n s l t i v i t é s u r 5 2 e t P a r s u i t e , r t f i ' t -
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O n u t i l i s e l e s t e c h n l q u e s d r e x t e n s i o n s u r I a s p h è r e , n o t a m m e n t I a s t a b i l i t é d u s a t u r é , p o u r o b t e n i r u n e c o n d i t i o n s u f f i s a n t e .
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P o u r q , r " {e, : Bf soit transitif, l â i l f a u t e t i l s u f f i t q u e I a c o n - t )
d i t i o n d u r a n g s o i t r é a l i s é e e n t o u t p o i n t .
O n u t i l i s e L a t e c h n i q u e d e l a s p l r a l e e t o n p r o u v e g é o m é t r i q u e m e n t I a t r a n s i t i v i t é e n s r a i d a n t d u t h é o r è m e d e t r p a s s a g e d e s d o u a n e s n .
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o n s u p p o s e q , r " A t e ) e s t p o s i t i f , e t g é o m é t r i q u e m e n t o n m o n t r e q u r i l s u f f i t d e c h o i s i r a s t u t i e u s e m e n t l a c o m p o s a n t e , s u i v a n t l r a x e o z , d u c h a m p A a u p o i n t f ; h \
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s y s t è m e ( 1 ) s o i t t r a n s i t i f s u r s u f f i t q u e l e s d e u x c o n d i t i o n s
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s u i v a n t e s
, - s o i e n tla condition du rans sur tr - I"J
L a c o n d i t i o n ( i i ) s i g n i f i e g é o m é t r i q u e m e n t q u e l r o n p e u t p a s s e r d e l r h é m i s p h è r e n o r d à 1 r h é m i s p h è r e s u d e t r é c i p r o q u e m e n t .
E n e f f e t r o h a I r u n e d e s d e u x s i t u a t l o n s s u i v a n t e s a
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éorème 3
P o u r q u e I e s y s t è m e ( 1 ) s o i t t r a n s i t i f s u r f t ' s u f f i t q u e l e s d e u x c o n d i t i o n s s u i v a n t e s s o i e n t ( i ) ( . 1 3 ,
" z g ) / f o , o l ( i i ) ( . 1 t , a 3 2 ) / (o,o)
p o u r p r o u v e r - q u e l e s c o n d i t i o n s s o n t n é c e s s a i r e s i I s u f f i t d e m o n - t r e r q u r e l l e s s o n t é q u i v a l e n t e s à I a c o n d i t i o n d u r a n g d u s y s t è m e
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