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On dertermining mixing parameter of CC-CMA algorithm by solving semi-algebraic sets
Nong Gu, Daniel Lazard, Fabrice Rouillier, Yong Xiang
To cite this version:
Nong Gu, Daniel Lazard, Fabrice Rouillier, Yong Xiang. On dertermining mixing parameter of CC- CMA algorithm by solving semi-algebraic sets. [Research Report] RR-5830, INRIA. 2006, pp.27.
�inria-00070195�
ISRN INRIA/RR--5830--FR+ENG
a p p o r t
d e r e c h e r c h e
Thème SYM
INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATIQUE
On dertermining mixing parameter of CC-CMA algorithm by solving semi-algebraic sets
Nong Gu — Daniel Lazard — Fabrice Rouillier — Yong Xiang
N° 5830
February 2006
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− 2 | g 21 | 2 − 2 | g 22 | 2 + α( | g 11 | 2 | g 21 | 2 + | g 12 | 2 | g 22 | 2
+g 11 g ∗ 12 g ∗ 21 g 22 + g ∗ 11 g 12 g 21 g ∗ 22 ) + 2.
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∂J
∂g 12 = g 12 ∗ (2k 2 |g 12 | 2 + 4|g 11 | 2 − 2 + α|g 22 | 2 ) + αg 11 ∗ g 21 g 22 ∗
∂J
∂g 21 = g 21 ∗ (2k 1 |g 21 | 2 + 4|g 22 | 2 − 2 + α|g 11 | 2 ) + αg 11 ∗ g 12 g 22 ∗
∂J
∂g 22 = g 22 ∗ (2k 2 |g 22 | 2 + 4|g 21 | 2 − 2 + α|g 12 | 2 ) + αg 11 g ∗ 12 g 21 ∗ .
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∂g ij ∂g kl | 2 i,j,k,l=1
∂ 2 J
∂g ∗ ij ∂g ∗ kl | 2 i,j,k,l=1 ∂ 2 J
∂g ∗ ij ∂g kl | 2 i,j,k,l=1
#
.
¯\²;qvyc=¯äO²/Á»dEO;v¥» oqaw¥o
∂ 2 J
∂g 11 ∂g 11 ∗ = 2k 1 | g 11 | 2 − α g 11 g ∗ 12 g 21 ∗ g 22
| g 11 | 2
∂ 2 J
∂g 12 ∂g ∗ 12 = 2k 2 | g 12 | 2 − α g ∗ 11 g 12 g 21 g 22 ∗
| g 11 | 2 .
¯äy²enz{;d
∂ 2 J
∂g 11 ∂g 11 ∗
;
∂ 2 J
∂g 12 ∂g 12 ∗
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g 11 g 12 ∗ g 21 ∗ g 22 = g ∗ 11 g 12 g 21 g ∗ 22 = ±| g 11 || g 12 || g 21 || g 22 | .
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L±¬
g 11 g ∗ 12 g ∗ 21 g 22 = g 11 ∗ g 12 g 21 g 22 ∗ = | g 11 || g 12 || g 21 || g 22 |
Álz{ortSddVmqz{x©ku¬v~;oqa;o·o:adhdoqdrp³ c3z©;OoQv¬.oqa;d"mpdVvw ~;wdrQx{d¬íoªc8¥oq:z{À v¬¯\²¼o(Eydrmoqa;d¬vyx{x©v¥»Qz©s¬v:c∆ 2 = det
∂ 2 J
∂g 11 ∂g ∗ 11
∂ 2 J
∂g 11 ∂g 12 ∗
∂ 2 J
∂g 12 ∂g ∗ 11
∂ 2 J
∂g 12 ∂g 12 ∗
= 4 | g 11 | 2 | g 12 | 2 (k 1 k 2 − 4) − 2α | g 11 || g 12 || g 21 || g 22 | (k 1 | g 11 | 2
| g 12 | 2 + k 2 | g 12 | 2
| g 11 | 2 + 2).
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g 11 g ∗ 12 g 21 ∗ g 22
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∆ 2 = 4 | g 11 | 2 | g 12 | 2 (k 1 k 2 − 4) + 2α | g 11 || g 12 || g 21 || g 22 | (k 1 | g 11 | 2
| g 12 | 2 + k 2 | g 12 | 2
| g 11 | 2 + 2).
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k 1 < 2
wk 2 < 2
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z©Ãoqa;z©mumqd3z©m~;dqo:z©_mpz©;d3oqad mqdrv;o:d:cv¬¯-HHV²»Qz{x©x¼x{»ÎknmtSdSvymqz½o:z{«yd¸gFv:dv¥«ydVÁ
vydrFº;woqadsmpz©¨v¬Ivo:ad:z{;z{wx.csz©vy:mªv¬ª¯\²ªrFvotSdundoqd:c3z{;drFdrz½o:ad¬voqad
rmqd
g 11 g ∗ 12 g 21 ∗ g 22 = g ∗ 11 g 12 g 21 g 22 ∗ = −| g 11 || g 12 || g 21 || g 22 |
¸·`adrqd¬v:dÁOoqa;d"wvOmpz{oqz©«drdrm:mv¬H G J
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α
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;H G J
»Qz{x©xvotSdF¯ämqdc3zí²´Svymqz½o:z{«yd3oo:adrmqd3qvlvo:mr¸`6v ºw;soqadmpdrx{dV/oqz©vqz{oqdrqz©vsvα
ÁO»¼dQdrcs;x{v¥kuoqadªcsdoqavn8ndr«drx{vywdV¬vy¼mqvx©«lz{mqdc3z{³±x{ydtz}mqdom¸ ªmhc3dOo:z{vydrFz©µendr/o:z{vy L/ÁAmqdc3z{³±x{ydtz}mqdohv;mqz}momªv¬·wvyx{klvyc3z©x6dr|O~;oqz©v;mhw
z©dV|y~wx©z½o:z{dVm¸h°¼x©drqx©kÁwz{¨v~ªrmqdÁwoqadudr|O~;oqz©v;mªv:z{yz{;oqd¬:vc
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∂g 11 = 0
Á∂g ∂J 12 = 0
Á∂g ∂J 21 = 0
;
∂J
∂g 22 = 0
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g ij
tOk
∂J
∂g ij
:drmqwdV/oqz©«drx{k
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|g 12 |(2k 2 |g 12 | 2 + 4|g 11 | 2 − 2α|g 22 | 2 ) − α|g 11 ||g 21 ||g 22 | = 0
|g 21 |(2k 1 |g 21 | 2 + 4|g 22 | 2 − 2α|g 11 | 2 ) − α|g 11 ||g 12 ||g 22 | = 0
|g 22 |(2k 2 |g 22 | 2 + 4|g 21 | 2 − 2α|g 12 | 2 ) − α|g 11 ||g 12 ||g 21 | = 0.
gFv:dv¥«ydVÁy»da;Ϋdho:ad¬vx©x{v¥»Qz©sz{;dr|O~;x©z{oqz©drm
0 < k 1 < 2, 0 < k 1 < 2, α > 0
| g 11 | > 0, | g 12 | > 0, | g 21 | > 0, | g 22 | > 0.
¯HVy²N~;:vt;x{drcz©m.o:vªº;w"o:ad¼;drdVmqm::k;ump~$8z{drOov;z½o:z{vy;m.v"o:ad;c3do:dm
k 1
Á
k 2
w
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»Qa;z©a_c8(Eyd
H G J
votwdµ¯ämqdc3zí²´Svymqz½o:z{«yd¸\L±o3mpavy~x}_twdvo:drÃo:a;¥o3mp~wa F:vtx©dcÅ twd:dr~;dV_oqv_µmpz©c3x©z½º;dV«ydmpz©v ¬v3»Qz{:dx©drm:m3vycscu~z}oqz©vmqz{wdFnzSdrqdryo3~;mqdmsv:c8x©x{k
mqa;qdsoqa;dmqcsd8mpo:oqz}mo:z©rxI:vSdqoqz©drmrÁÍz\¸dy¸{Á
k 1 = k 2
¸¹ z{oqavy~no"x©vym:mv¬drdx©z½okyÁ(»¼d3¬~;po:ad
ymqmq~c3d
k 1 = k 2 = 1
¸L´o:az©mªmqdÁgF³±qk8awmqdmqaz{¬íoqz©#Edrklz{F¯MgF¼e]"²c3vnn~x}¥o:z{vym:adc3d z}mQ~;mqdro:v3oq;mqc3z½oQo:admqklctSvx}m¸`aO~wmÁ;oqadmpoq~wnz{dV:vtx©dc z{oqa;z©mª;SdªrtSdndrm::z©twdVymQndo:d:c3z{z©soqa;d:dhv¬
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|g 12 |(2|g 12 | 2 + 4|g 11 | 2 − 2α|g 22 | 2 ) − α|g 11 ||g 21 ||g 22 | = 0
|g 21 |(2|g 21 | 2 + 4|g 22 | 2 − 2α|g 11 | 2 ) − α|g 11 ||g 12 ||g 22 | = 0
|g 22 |(2|g 22 | 2 + 4|g 21 | 2 − 2α|g 12 | 2 ) − α|g 11 ||g 12 ||g 21 | = 0 α > 0, |g 11 | > 0, |g 12 | > 0, |g 21 | > 0, |g 22 | > 0
a;Ϋd9:drxSmqvx©~no:z{vy;m¸ L´o:adhcsdV oqz©csdyÁx©x;o:adrmqdmpvyx{~no:z{vy;m¼c3Ed
H G J
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Q<Q464.2j), .09 .<¼--Q"
Qrvy:nz©Fo:v¨o:adtSv¥«d mqdroqz©vÍÁ»d9Elv¥» o:a;¥osoqadº;mo3:vtx©dcÅdrdrmoqvµtSdmqvx©«dV_z©moqv
doqdrqc3z©d9o:adhqvlvonz}mo:qz©t~no:z{vy v¬6;c3doq:z©9mqknmo:dc ¯-HPy²¸¹dqdVmqm¼mp~;a":vtx©dc¿tlk
z©l«dVmo:z{O¥oqz©uoqadl~cutwdrQv¬.qdVx(:vOvo:mv¬6oqa;d¬vx©x{v¥»Qz©8mpdrc3z½³´x©drt:z©mpdo
S :
p 1 (X, α) = 0 p 2 (X, α) = 0
· · ·
p s (X, α) = 0
f 1 (X, α) > 0 . . . f l (X, α) > 0
¯-HV²
»Qa;d:d
X = { X 1 , . . . , X n }
z}moqadmqdov¬¼z©;ndo:d:c3z{;oqdVmÁα
z}m ~;z©|O~d8wc3do:dVÁp i
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X
;α
¸;v¼v~mpSdrz½ºwympdyÁX 1 = | g 11 | , X 2 = | g 12 | , X 3 =
| g 22 | , X 4 = | g 21 |
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f i
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X
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ndº;z©8o:ad"dr|O~;oqz©v;m; z©dV|y~wx©z½o:z{dVmuv¬u¯HQPO²qdVmpSdroqz©«drx{k:L±o8mpa;v~x} tSdvo:dr_o:a;¥o3o:adº;:mpo8nd:z{«¥oqz©«d v¬c8lk
mpoqvna;ymo:z©y:ynz©dOox©vyqz{oqa;c3m9~;ndrmqvc3d"oqz}xvwmo::z{Oo:mªFtSdc3vnndrx{dVFtlkmqknmo:dc
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