DST Session 1

DST Session 1

U.E.: 4TBX410 Anne universitaire

Date: 5 juin 2018 2017 - 2018

Documents: Non autorisés

Partie de M. Bruneau

Exercice 1: Pour a≥0, nous considérons la famille de fonctionsfa définie par:

fa(x) =







1−aln(a−2x) si x <0 2x+e^x−ln(1 +x) si x≥0 1. Déterminer les valeurs deapour que f_a soit de classe C¹ sur R. 2. Poura= 1,f₁ est-elle un C¹-difféomorphisme de RsurR? Justifier.

3. Donner l’équation de la tangente à la courbe représentative de x=f₁⁻¹(y)au pointy = 1.

Exercice 2:

1. Soitf₁ une fonction continue et intégrable surRetfb₁ sa transformée de Fourier:

fb1(ξ) = 1

√ 2π

Z

R

e^−ixξf1(x)dx.

Exprimer, en fonction defb₁ les transformées de Fourier des fonctions f_aetg_b définies par:

fa(x) =f1(ax), a >0; g_b(x) =f1(x−b), b∈R. 2. Soitf la fonction définie par:

f(x) :=

1 si x∈[−1,1]

0 si |x|>1

(a) Cette fonction est-elle intégrable surR? Justifier.

(b) Calculer sa transformée de Fourier,fb(ξ)pour toutξ∈R(donner son expression en fonction desinξ).

(c) La fonctionfbest-elle continue sur R? 3. Soith la fonction définie par:

h(x) :=

1 si x∈[1,5]

0 si x /∈[1,5]

(a) Déterminer les réelsaetb tels que

h(x) =fx−b a

.

(b) Déduire des questions précédentes la transformée de Fourier deh.

Exercice 3: Pour x≥0, on pose

F(x) = Z +∞

0

e^−xtsint t dt,

et pour(x, t)∈R², on définitG par

G(x, t) = e^−xt 1 +x²

xsint+ cost

.

1. Calculer ^∂G_∂t(x, t).

2. Montrer queF est dérivable sur ]0,+∞[et montrer que pour x >0,F⁰(x) =− ¹

1+x². 3. SoitF1 la fonction définie, pour x≥0, par :

F1(x) = Z ^π

2

0

e^−xtsint t dt.

Montrer queF1 est continue sur [0,+∞[.

4. SoitF2 la fonction définie, pour x≥0, par : F₂(x) =

Z +∞

π 2

e^−xtsint t dt.

(a) Montrer que :

F2(x) = 2xe^−π2x π(1 +x²) −

Z +∞

π 2

G(x, t)× 1 t² dt.

(b) Montrer queF2 est continue sur [0,+∞[.

5. Déduire de ce qui précède, que F est continue sur [0,+∞[et montrer que F(x) =

Z +∞

0

sint

t dt−arctanx.