ETSL, 95 rue du Dessous – des – Berges, 75 013 PARIS 1/5
Correction du DST 1 - Analyse (sur 20 points)
(1h00)
Documents non autorisés - Calculatrice autorisée Justifier les calculs
Séparer calcul littéral et numérique
Exercice 1 : Capabilité de la production d’allumette pour bois de chauffage (8,5 points) La société MKL fabrique et commercialise des allumettes pour bois de chauffage.
Les spécifications liées à la longueur L d’une allumette sont les suivantes : L = (6,0 ± 0,7) cm
1) Donner la valeur nominale ainsi que l’intervalle de tolérance que l’on notera IT sur la longueur de chaque allumette. (1 point)
Lnominale = 6,0 cm et IT = 1,4 cm
2) Donner les valeurs des tolérances supérieure Ts et inférieure Ti. (1 point) Ts = 6,7 cm et Ti = 5,3 cm
La société réalise 5 mesures (notées L) à chaque série de fabrication de 1000 allumettes. On étudie les données obtenues pour 10 séries (toutes les valeurs du tableau sont en cm) :
série 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
L1 6,2 5,7 6,1 6,0 5,8 5,9 5,7 5,9 6,2 6,4
L2 5,9 6,2 5,9 6,0 6,2 6,3 5,9 6,2 6,1 6,2
L3 5,8 6,4 6,1 6,3 6,2 6,1 5,7 6,1 6,0 6,2
L4 6,5 6,3 6,0 6,1 6,2 5,9 6,3 6,1 5,9 6,1
L5 6,4 6,0 5,9 6,0 6,4 6,0 6,0 6,1 6,0 6,0
moyenne L!
6,16 6,12 6,08 6,16 6,04 5,92 6,08 6,04 6,18
étendue wi
0,7 0,7 0,3 0,6 0,4 0,6 0,3 0,3 0,4
Le calcul de la moyenne des moyennes L et de l’écart-type s sur la grandeur L, obéissant à une loi normale, sont données par les relations suivantes :
L = !"!!!L!
10 et s= w
𝑑! On donne pour 5 mesures par prélévement d2 = 2,326.
ETSL, 95 rue du Dessous – des – Berges, 75 013 PARIS 2/5 Calculer L! et w3. (0,5 point)
L! = 6 cm et w3 = 0,2 cm
3) Rappeler la définition de la capabilité du procédé Cp et calculer sa valeur. (1,5 points)
C!= IT 6s Avec <w> = 0,45 cm donc s = 0,193 cm et IT = 1,4 cm
C! = 1,4
6 x 0,193= 1,21
4) Rappeler les définitions des capabilités Cpk, Cpkmin et Cpkmax. Calculer leurs valeurs.
(1,5 points)
C!"#$% = L− T!
3s et C!"#$% = T!−L 3s L = 6,078 cm
C!"#$% = 6,078− 5,3
3 x 0,193 = 1,34 et C!"#$% =6,7− 6,078
3 x 0,193 =1,07
5) Préciser quels renseignements apportent ces deux indicateurs. Aux vues des valeurs trouvées, que pouvez-vous en déduire ? (3 points)
L’indicateur de capabilité Cp nous indique si le processus de mesure est capable de réaliser les mesures, c’est-à-dire si la dispersion des valeurs n’est pas trop grande.
Ici la capabilité est très moyenne puisque comprise entre 1 et 1,33.
L’indicateur de capabilité Cpk nous indique comment est le décentrage des valeurs par rapport à la moyenne.
Le procédé n’est pas très bien centré puisque le Cpkmin présente une valeur moyennement bonne alors que le Cpkmax présente une valeur très moyenne.
Exercice 2 : Préparation d'une solution et utilisation des Lois de Snell-Descartes (11,5 points)
Un liquide d’indice inconnu n2 est placé sur un hémisphère d’indice n1 connu (tableau de valeurs en fin d'exercice). Un rayon lumineux pénètre dans l’hémisphère suivant une direction radiale faisant un angle avec la normale θ = 30 °, comme indiqué sur le schéma ci- dessous :
ETSL, 95 rue du Dessous – des – Berges, 75 013 PARIS 3/5 1) Le liquide d'indice n2 a été préparé préalablement à partir de la pesée d'une poudre de masse m = 0,025 g, placé dans une fiole de 10 mL et complété à l'eau.
- a - Indiqué le nom attribué à cette technique. (0,5 point) C'est la technique de dissolution.
- b - Expliquer, en pratique (préciser le matériel utilisé), comment est réalisé la pesée avec les précautions à suivre. (1 point)
On utilise un contenant type sabot de pesée ou coupelle dans laquelle on place la poudre que l'on pèse, porte de la balance fermée, et niveau à bulle vérifié.
- c - indiqué, en pratique (préciser le matériel utilisé), comment est réalisée la fiole.
(1 point)
On place la poudre dans la fiole puis on remplie avec l'eau, juste avant le trait de jauge, on essuie ensuite le col de la fiole avec du papier filtre puis on complète jusqu'au trait de jauge à l'aide d'un compte-goutte.
- d - Déterminer la concentration massique de la solution obtenue. (0,5 point)
C! = m
V = 0,025
0,01 = 2,5 g.L!!
2) Expliquer pourquoi le rayon incident n’est pas dévié à l’interface air-hémisphère.
(1 point)
Le rayon est confondu avec la normale à la surface air-hémisphère donc l'angle d'incidence est égale à 0°, donc l'angle de réfraction est aussi égale à 0° d'après la seconde loi de Snell- Descartes relative à la réfraction.
3) Comment peut-on déterminer n2 avec ce montage en mesurant l’angle θ ? (1 point)
En utilisant la seconde loi de Snell-Descartes relative à la réfraction n1.sinθ = n2.sinr, ce qui donne :
ETSL, 95 rue du Dessous – des – Berges, 75 013 PARIS 4/5 n! = n!.sinθ
sinr
r étant l'angle de réfraction du rayon réfracté dans le milieu d'indice 2.
4) Lorsque l’on utilise du verre (Flint ou Crown) pour l’hémisphère, on observe un rayon lumineux qui émerge du milieu d’indice inconnu n2.
- a - Pouvez-vous dire quel phénomène il y a eu à l’interface hémisphère-milieu inconnu ? (0,5 point)
C'est le phénomène de réfraction.
On mesure expérimentalement les angles de réfraction pour les deux verres utilisés :
Substance Angle de réfraction r (°)
Verre Crown 26,2
Verre Flint 29,2
- b - En déduire deux valeurs de l’indice n2. Commenter. (2,5 points) Pour le verre Crown :
n! = n!.sinθ
sinr = 1,500 x sin(30°)
sin(26,2°) = 1,70
Pour le verre Flint :
n! = n!.sinθ
sinr = 1,660 x sin(30°)
sin(29,2°) = 1,70 On obtient bien deux valeurs identiques !
5) Lorsque l’on utilise du Zircon ou du diamant pour l’hémisphère, on n’observe que pour certaines valeurs de l’angle d’incidence θ, il n’y a plus de rayon qui émerge dans le milieu inconnu.
- a - Quel est le phénomène mis en évidence. (0,5 point) C'est le phénomène de réflexion totale.
ETSL, 95 rue du Dessous – des – Berges, 75 013 PARIS 5/5 On mesure expérimentalement les angles de réfraction limite pour les deux substances utilisées :
Substance Angle de réfraction
limite θL (°)
Zircon 62,1
Diamant 44,9
- b - En déduire, à nouveau, deux valeurs de l’indice n2. Commenter. (2,5 points) Pour le zircon :
sinθ! = n!
n! ⟹ n! = n!.sinθ! = 1,923 x sin(62,1°) = 1,70
Pour le diamant : sinθ! = n!
n! ⟹ n! = n!.sinθ! = 2,409 x sin(44,9°) = 1,70
On obtient bien deux valeurs identiques !
6) Si le dispositif (hémisphère + milieu inconnu) était plongé dans l’eau. Indiquer quelles seraient les différences observées dans le cadre des expériences précédentes. (0,5 point) Cela ne changerait strictement rien !
Données : Indice de réfraction de diverses substances à 20 °C pour la lumière jaune (longueur d’onde λ = 598 nm dans le vide).
Substance n1
Air 1,000
Eau 1,333
Verre Crown 1,500
Verre Flint 1,660
Zircon (ZrO2SiO2) 1,923
Diamant 2,409
Remarque : Le verre a une composition chimique et une densité qui peut varier, ce qui affecte l’indice de réfraction ; c’est la raison pour laquelle il existe différents types de verre.
