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Séparer calcul littéral et numérique
Exercice 1 : Estimation des effets et des interactions d’un plan d’expérience à 2 niveaux et 3 facteurs (11 points)
On s'intéresse à la formulation d'une suspension concentré d'un pesticide solide.
Dans la fabrication d'un pesticide solide entre en jeu 3 facteurs : A: granulométrie de la matière active.
B : quantité d'agent tensioactif.
C : quantité d'huile.
1) Préciser le type de plan complet que l’on doit choisir. (0,5 point) Le plan choisi est un plan factoriel complet 23
2) Compléter la matrice d’expériences fournie avec les résultats expérimentaux (annexe 1 à rendre avec la copie). (1 point)
N° essais I A B C Réponse Y
(%)
1 + - - - 6,75
2 + + - - 52,5
3 + - + - 2,5
4 + + + - 15,5
5 + - - + 3,75
6 + + - + 67,5
7 + - + + 2,5
8 + + + + 38,75
Niveau - 1 / 1 µm 0,05 g/L 5 % /
Niveau + 1 / 10 µm 0,2 g/L 40 % /
Remarque : La réponse Y étudiée est le pourcentage d'attaque du parasite sur la plante test.
ETSL, 95 rue du Dessous – des – Berges, 75 013 PARIS 2/5 3) Dans un premier temps, on ne s’intéressera pas aux interactions, mais seulement aux effets.
On admet un modèle polynômiale, linéaire par rapport aux coefficients.
- a - Calculer les différents coefficients, en complétant la matrice simplifiée des effets dont vous donnerez le nom (annexe 2 à rendre avec la copie). Donner un exemple de calcul pour a2. (2 points)
Matrice des effets ou matrice de Hadamard :
N° essais I A B C Réponse Y
(%)
1 + - - - 6,75
2 + + - - 52,5
3 + - + - 2,5
4 + + + - 15,5
5 + - - + 3,75
6 + + - + 67,5
7 + - + + 2,5
8 + + + + 38,75
coefficients a0 = 23,72 a1 = 19,84 a2 = - 8,91 a3 = 4,41 /
a! = − 6,75−52,5+2,5+15,5−3,75−67,5+2,5+38,75
8 = − 8,91
- b - Écrire le modèle polynomial, sans tenir compte des interactions. (1 point) Y = a0 + a1.A + a2.B + a3.C
Y = 23,72 + 19,84.A – 8,91.B + 4,41.C
4) Interprétons ces résultats. Y représente le pourcentage de feuilles atteintes par le parasite, le but est donc de chercher à minimiser Y.
Classer, en ce sens, les trois facteurs précédents, dans l’ordre de leur importance sur la minimisation de Y. (1,5 points)
C'est la granulométrie de la matière active (facteur A) qui a l'effet le plus important suivi de la quantité d'agent mouillant (facteur B), alors que la quantité d'huile (facteur C) n'a relativement que peu d'effet.
5) En déduire les valeurs réelles optimales à utiliser pour les trois facteurs afin que le pourcentage de feuilles atteintes par le parasite soit minimal. (1,5 points)
Lorque A passe du niveau -1 au niveau +1, le pourcentage de feuilles attaquées augmente de 2 × 19,84 = 39, 7%. Pour minimiser Y, il faut donc prendre A = -1, c'est-à-dire qu'il faut utiliser une granulométrie de 1 µm.
Lorque B passe du niveau -1 au niveau +1, le pourcentage de feuilles attaquées diminue de 2
× 8,91 = 17, 8%. Pour minimiser Y, il faut donc prendre B = +1, c'est-à-dire qu'il faut utiliser un agent mouillant à 0,2 g/L.
ETSL, 95 rue du Dessous – des – Berges, 75 013 PARIS 3/5 Si l'on estime que a3 est significatif, il vaut mieux utiliser la quantité minimale d'huile, à savoir 5 %.
6) On désire estimer maintenant les interactions. Préciser le nombre d’interaction d’ordre 2 et d’interaction d’ordre 3. Donner leur nom, et compléter la matrice complète des effets (annexe 3 à rendre avec la copie). (2 points)
N° essais I A B C AB AC BC ABC Réponse
Y (% )
1 + - - - + + + - 6,75
2 + + - - - - + + 52,5
3 + - + - - + - + 2,5
4 + + + - + - - - 15,5
5 + - - + + - - + 3,75
6 + + - + - + - - 67,5
7 + - + + - - + - 2,5
8 + + + + + + + + 38,75
coefficients a0 = 23,72
a1 = 19,84
a2 = - 8,91
a3 = 4,41
a12 = - 7,53
a13 = 5,16
a23 = 1,41
a123 = 0,66
/
7) Écrire le modèle polynomial complet. (0,5 point)
Y = 23,72 + 19,84.A – 8,91.B + 4,41.C – 7,53.AB + 5,16.AC + 1,41.BC + 0,66.ABC 8) Quelles sont les interactions que l’on peut négliger au regard du modèle obtenu ? (0,5 point)
Ce sont les interactions BC et ABC, la valeur de leurs coefficients respectifs étant inférieur à celui de l’effet C.
9) Que faudrait-il faire pour donner un intervalle de confiance pour les coefficients du modèle obtenu ? (0,5 point)
Il faudrait répéter un certains nombre n de fois la mesure du pourcentage de feuilles atteintes par le parasite, au centre du domaine d’étude, estimer la variance en ce point, donc l’écart- type, pour déterminer l’intervalle de confiance que l’on estime identique dans tout l’intervalle d’étude.
ETSL, 95 rue du Dessous – des – Berges, 75 013 PARIS 4/5 Exercice 2 : Complexes du fer (III) avec les ions fluorure (9 points)
Le document ci-dessous représente l’évolution en fonction de pF = - log[F-] du pourcentage des espèces F-, Fe3+, [FeF]2+ et [FeF2]+ lors de l’addition d’une solution de fluorure de sodium à 0,30 mol.L-1 à un volume V = 10 mL d’une solution de chlorure de fer (III) à 0,010 mol.L-1.
1) Donner le nom des deux complexes [FeF]2+ et [FeF2]+. (1 point) [FeF]2+ : ion fluorofer (III) ;
[FeF2]+ : ion difluorofer (III).
2) Identifier chacun des graphes. (2 points)
%F- ;
%[FeF2]+ ;
%[FeF]2+ ;
%Fe3+.
3) En déduire, par simple lecture sur le graphe, pKd1 et pKd2 des deux complexes. Faire le lien avec les constantes de formation correspondantes. (1 point)
À l’intersection des courbes et , on lit directement pKd1 = logKf1 = 5,6 ; À l’intersection des courbes et , on lit directement pKd2 = logKf2 = 3,6 ; 4) Écrire l’équation de formation globale du complexe [FeF2]+. (1 point)
Fe3+ + 2F- = [FeF2]+
ETSL, 95 rue du Dessous – des – Berges, 75 013 PARIS 5/5 5) Déterminer la valeur de la constante globale de formation β2 du complexe [FeF2]+. Que peut-on dire de la réaction de formation globale du complexe ? (2 points)
β! = FeF! !
Fe!! . F! ! = FeF! ! . FeF !!
Fe!! . F! !. FeF !! = K!".K!" = 10!,!
6) Déterminer, à l’aide d’un tableau d’avancement, la composition de la solution obtenue lorsque l’ajout de solution de fluorure de sodium est de 1,0 mL ? (2 points)
Fe3+ + 2F- = [FeF2]+ e.i 1.10-4
mol
3.10-4 mol 0
e.f 1.10-4 - ξ 3.10-4 - 2ξ ξ
La réaction étant totale, le réactif limitant étant les ions Fe3+, ξ = 1.10-4 mol, donc, FeF! ! = F! = 10!!
11.10!! =9,1.10!! mol.L!!
β! = FeF! !
Fe!! . F! ! ⟹ Fe!! = FeF! !
β!. F! ! = 1
10!,! x 9,1.10!! =6,9.10!! mol.L!!
K!" = FeF !!
Fe!! . F! ⟹ FeF ! = K!". Fe!! . F! = 2,5.10!! mol.L!!
