Réfraction conique et activité acoustique dans le quartz

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Submitted on 1 Jan 1975

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Réfraction conique et activité acoustique dans le quartz

J. Jouffroy, P. Levinson

To cite this version:

J. Jouffroy, P. Levinson. Réfraction conique et activité acoustique dans le quartz. Journal de Physique,

1975, 36 (7-8), pp.709-716. �10.1051/jphys:01975003607-8070900�. �jpa-00208306�

RÉFRACTION CONIQUE ^{ET ACTIVITÉ} ACOUSTIQUE

DANS LE QUARTZ

J. JOUFFROY et P. LEVINSON

Laboratoire de Physique de la Matière condensée, Collège ^{de France,} 11, place Marcelin-Berthelot, 75231 Paris Cedex 05

(Reçu ^{le 2 août} 1974, ^{révisé le 9 décembre} 1974, accepté ^le 28 février 1975)

Résumé.

La méthode des impulsions de chaleur a été utilisée _pour étudier dans le quartz ^la propagation ^des phonons ^de polarisation transversale dont le vecteur d’onde est porté par l’axe

optique.

Aux basses fréquences, l’énergie ^{de ces} phonons ^est détectée à 17° de l’axe. Aux fréquences plus élevées, ^cette énergie ^{se propage} parallèlement ^{à l’axe avec} deux vitesses distinctes, ^l’une avancée, l’autre retardée. Pour rendre compte des résultats expérimentaux, ^{on a} effectué le calcul complet

de la propagation ^sans dispersion (élastique), ^en particulier celui de la focalisation qui affecte les

phonons ^de type transversal dont le vecteur d’onde est éloigné ^{de l’axe} optique ^{et dont} l’énergie ^se

propage ^au voisinage ^{de cet axe.}

Abstract.

The heat pulse method has been used to observe the propagation ^{of transverse}

acoustical phonons for which the wave vectors lie in the neighbourhood ^{of the} optical ^axis.

For low frequencies, the energy of such phonons is detected at an angle of 17° with the optical axis ; ^{while for} high frequencies this energy is brought ^{down to} the axis direction with two différent

propagation speeds, ^{one fast and one slow.} Analysis ^{of the} experimental ^results required ^a complète

calculation of the undispersed (elastic) propagation, especially ^the focalisation ^{which occurs for}

transverse phonons ^{whose wave vectors} lie far from the optical axis and the direction of energy

propagation ^{is close to this axis.}

Classification Physics ^Abstracts 7.260

7.340

7.660

1. Introduction.

Dans un monocristal de quartz, la propagation balistique ^des phonons acoustiques ^de polarisation transversale permet d’observer des phé-

nomènes analogues ^{à ceux} qui ^ont été décrits en

optique ^{sous le nom} de réfraction conique ^{interne et}

réfraction conique ^{externe :}

-

des vecteurs d’onde très petits portés par l’axe de symétrie ^ternaire pilotent ^{des modes} transversaux

dégénérés ^dont l’énergie ^est répartie ^{sur un cône de}

révolution autour de cet axe : c’est la réfraction

conique ^interne (cf. ^Waterman [10]) ;

-

inversement, ^{à des vecteurs} d’onde très petits répartis ^{sur un autre cône} (celui-ci, ^non rigoureuse-

ment de révolution), correspond ^une énergie qui ^se

propage ^sur l’axe. Ce phénomène, ^{décrit en} optique

sous le nom dé réfraction conique externe, ^est appelé

par Taylor, ^{Maris et Elbaum} [8] focalisation, ^nous adoptons ^{ce terme.}

D’autre part, lorsque ^{les vecteurs d’onde ne sont} plus ^assez petits pour que l’on puisse ^rendre compte de la propagation ^des phonons à l’aide seulement de la symétrie du réseau ponctuel, ^{comme le réseau}

cristallin n’admet ni centre de symétrie ⁿⁱ miroir, ^on prévoit que les phonons ^{dont le vecteur d’onde est}

sur l’axe de symétrie ternaire subiront une levée de

dégénérescence. Le dédoublement de leur vitesse de

propagation ^{fait cesser} la réfraction conique (interne)

et leur énergie ^se propage alors parallèlement ^{à l’axe.}

Les modes focalisés ^au contraire, qui ^{ne sont} pas

dégénérés, ^{ne voient} pas leur propagation ^sensible-

ment modifiée lorsque ^{le vecteur d’onde commence à}

croître.

M. Elcombe [1] ^{et A. S. Pine} [3] ^ont publié ^des

travaux théoriques ^et expérimentaux ^{à ce} sujet. ^L’uti-

lisation de la technique ^des impulsions de chaleur permet d’étendre les observations à la propagation balistique ^des phonons ^{dans un} domaine de fréquence

de 1010 à 1012 Hz. Cette méthode a été mise au point

par Von Gutfeld [4] pour ^{mettre en} évidence la réfraction conique ^interne.

Nous avons repris ^{cette même méthode} pour obser-

ver l’apparition de l’activité acoustique (levée ^de dégénérescence) lorsque ^l’on augmente ^la fréquence

moyenne des phonons ^dans l’impulsion ^{de chaleur}

utilisée. Nous exposerons d’abord brièvement les résultats théoriques concernant, ^d’une part, la propa-

gation ^sans dispersion (élastique) ^des phonons ^de

basse fréquence, ^d’autre part, ^la propagation ^des phonons ^{de haute} fréquence, ^avec dispersion, ^au voisinage ^{de l’axe.}

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01975003607-8070900

710

2. Rappel théorique.

^{2 .1} PROPAGATION DES PHO- NONS ACOUSTIQUES ^NON DISPERSÉS : RÉFRACTION CONIQUE, FOCALISATION.

Pour des vecteurs d’ondes suffisamment petits, la vitesse de phase vo ^et la pola-

risation a (amplitude normalisée du déplacement),

peuvent être déterminées en fonction des seuls cosinus directeurs li ^{du vecteur d’onde sur les axes de coor-} données, ^au moyen des équations ^suivantes [5]

où _{p est} la densité du cristal, _Cijkn ^{un élément du}

tenseur d’élasticité. Les éléments Fo ^{forment une}

matrice 3 ^x 3. A chaque détermination du vecteur d’onde correspondent trois déterminations de a.

Les composantes de la vitesse de propagation ^de l’énergie relative à un mode de vecteur d’onde et de

polarisation ^{donnée sont} proportionnelles ^{à celles}

d’un vecteur s de composantes si :

La vitesse de propagation v. ^de l’énergie ^a pour direction celle de _s; sa projection ^{sur le vecteur}

d’onde est égale ^{à la vitesse de} phase.

Au _moyen des équations précédentes, ^on peut ^déter- miner les différentes _nappes (cf. Fig. 1) de la surface des indices rayon vecteur : 1 1 ^et de la surface

(ra ^Y vo )

d’onde _rayon

vecteur : v. s s 1), ^Une transformation

ISI

par pôles ^et polaires réciproques permet ^de passer

FIG. 1.

Surface d’onde et surface des indices.

de l’une à l’autre de ces surfaces. Ceci entraîne qu’à

un point singulier Pg de l’une des surfaces correspond

un plan tangent singulier T. de l’autre. Si c’est la surface des indices qui ^{admet un} point singulier PS,

le vecteur d’onde dont la direction est normale au

plan T. pilote ^{une onde dont} l’énergie ^se propage

sur un cône dont les génératrices s’appuient ^{sur la} ligne ^{de contact de} T,,. ^{Ce dernier} phénomène ^est

connu en optique ^{sous le nom} de réfraction conique

interne. Réciproquement si la surface des indices admet un plan tangent singulier T,, ^une direction lui

correspond ^selon laquelle ^est concentrée l’énergie correspondant ^{à des vecteurs d’onde situés sur un} cône ; ^il y a focalisation [8] (réfraction conique externe).

Dans le quartz, la surface des indices admet à la fois un point conique ^sur l’axe ternaire et un plan tangent singulier perpendiculaire ^{à l’axe ternaire} (cf. Fig. 2). ^{Il s’ensuit :}

2.1.1 Que l’énergie correspondant ^{aux ondes trans-}

versales dégénérées ^{dont le vecteur d’onde est} porté

par ^{cet axe se} propage ^{sur un} cône de demi-angle ^au

sommet 17° ;

2.1.2 _que l’énergie correspondant ^{à des vecteurs}

d’onde situés sur un cône de demi-angle ^{au sommet}

20° environ se propage dans la direction de l’axe (ce

cône n’est _pas rigoureusement ^de révolution).

FIG. 2.

Surface des indices _pour le quartz : ^{trace sur le} plan ^conte-

nant l’axe ternaire et un axe binaire. Les normales C correspondent

à la propagation conique, les normales F à la propagation ^focalisée.

En pointillé : ^une surface ^de dispersion ^au voisinage ^{de Oz.}

2.2 ETUDE DE LA DISPERSION.

Levée de la dégé-

nérescence et rabattement de l’énergie suivant l’axe ternaire.

Dans le cas où le vecteur d’onde _q ne peut pas être considéré comme nul, pour ^{un vecteur} d’onde voisin de l’axe ternaire Oz tel _que 0 ⁼ (Oz, q) et 1 q 1 = q soient des quantités petites, ç étant l’angle ^{avec l’axe}

binaire Ox de la projection ^de q ^sur le plan perpendi-

culaire à l’axe ternaire, ^le développement ^{au second}

ordre _{en q} et 0 de la nouvelle matrice dynamique hermitique ^{T est obtenu en} respectant ^{les conditions} de symétrie et, ^de plus, ^{en écrivant} que les valeurs

propres v2 ^sont des fonctions paires ^{de q. Ce} dévelop- pement ^{est obtenu} par superposition ^du développe-

ment au second ordre _{en q} des coefficients d’élasticité

dans la matrice dynamique pour q // Oz, ^{et du déve-}

loppement ^au second ordre en 0 de la matrice élas-

tique ^{T ° obtenue au} paragraphe précédent. ^Cette

méthode ne prend pas ^en compte d’éventuels termes en Oq; ceux-ci, ^en raison de la propriété ^de parité, ^ne

peuvent figurer que dans les éléments non diagonaux

de r, ^ils disparaissent donc dans le développement

au second ordre des coefficients de l’équation ^aux

valeurs propres.

L’équation qui détermine les valeurs _propres pv2 ^{s’écrit, en} négligeant ^{les termes d’ordre} supérieur ^ou égal ^à 3,

On voit _que les termes en ç s’éliminent, ceci n’est valable qu’aux petits angles pour lesquels ^la symétrie

devient circulaire. Lorsque pv2 ~ C33 (ondes longi- tudinales) l’équation ^{se réduit à}

si

La dégénérescence des transversales est alors levée.

La vitesse de l’énergie ^a pour composantes respecti-

vement parallèle ^et perpendiculaire ^{à l’axe}

où

L’énergie ^se propage donc sur l’axe _pour 0 = 0 dès que q # 0, ^on remarquera que, pour q ⁼ 0, ^les limites _pour 0 - 0 de ces deux vitesses sont respecti- vement v 0 ^et v C14 C14 ^et que l’on retrouve bien l’angle

oC 44 ^{q g}

de la réfraction conique ^{obtenu à} partir ^{du vecteur}

de Poynting :

Sur l’axe, la variation relative de la vitesse :

a été mesurée _par Pine [3] ^ainsi que par Joffrin et Levelut [9]. ^Leurs résultats obtenus _par des méthodes

expérimentales indépendantes concordent : ils trou-

vent deux vitesses distinctes v+ et v- telles _que

712

avec

On voit donc apparaître la différence qualitative

annoncée entre les phonons transversaux de haute ^et de basse fréquence.

Le dispositif expérimental ^est analogue ^{à ceux} déjà

décrits [4, 6] ; le cristal est plongé ^{dans un} bain d’hélium

régulé ^au centième de degré ^{entre 2 et 3 K. L’émission}

des phonons ^{est obtenue} par chauffage d’un film de constantan à l’aide d’une impulsion de tension dont la durée est 100 ns et dont la puissance ^{est variable} (au maximum 200 W). ^La surface du film émetteur est de 0,8 mm2, ^son épaisseur d’environ 1000 A. Les

phonons ^{émis sont} détectés à l’autre extrémité du cristal à l’aide d’un bolomètre supraconducteur ^en plomb-indium que l’on maintient au voisinage ^{de la}

transition au moyen d’un champ magnétique. ^Ce

bolomètre est alimenté à courant constant. On mesure

la variation de tension entre ses bornes soit à l’aide d’un oscilloscope, ^soit par enregistrement ^{sur une}

table traçante après intégration (intégrateur ATNE, Orsay).

3.2 SIMULATION.

Pour faciliter l’interprétation

des résultats expérimentaux nous avons simulé la

propagation ^des phonons ^non dispersés : ^{on déter-}

mine _pour chaque direction de vecteur d’onde dans le quartz, repérée par les angles ⁰ et 9 (Fig. 3), ^les

FIG. 3.

Montage expérimental ^et découpage ^de l’espace ^réci-

proque.

vitesses de phase, ^les polarisations, les directions de

propagation ^de l’énergie ^et les vitesses de _groupe;

on peut ainsi connaître parmi ^ces modes, ^{ceux dont} l’énergie issue d’un point de l’émetteur peut ^être

reçue par le détecteur, ^et l’on calcule le temps ^{de vol} du phonon correspondant. ^{Ce mode est} affecté d’un

poids géométrique correspondant ^{au volume} qu’il représente ^{dans la zone} de Brillouin compte ^{tenu du}

découpage adopté ^en (0, ço). ^{Les résultats sont ras-}

semblés dans des histogrammes ^{dont le} pas ^est de 30 ns. On tient compte de la durée de l’impulsion (100 ns), ^du temps de relaxation thermique ^{de l’émet-}

teur et du détecteur (30 ns) [4], ^ainsi que de l’étendue de l’émetteur, ^en superposant plusieurs histogrammes

décalés en abscisse et d’amplitude convenable.

Pour le calcul des amplitudes, ^{on considère} que

chaque mode ainsi retenu transporte ^{une certaine} énergie ^au sujet ^de laquelle ^diverses hypothèses peuvent être faites.

Dans un premier temps ^nous avions considéré l’émetteur comme un corps noir : l’énergie ^{d’un mode}

ayant ^un point d’impact ^sur le détecteur est alors déterminée _par son poids géométrique ^et par ^une distribution de Boltzmann de la fréquence, ^{dont la}

forme est la même _pour toutes les directions (à ^condi-

tion de supposer que la fréquence maximum excitée est limitée _par la température ^{et non} par la fréquence

de _coupure de chacun des modes). ^{Dans cette} hypo- thèse, ^{nous trouvions une} amplitude ^des phonons longitudinaux ^bien supérieure à celle des phonons

transversaux, ^ce qui ^n’est pas vérifié expérimen-

talement.

En revanche si nous prenons ^en compte ^{le modèle} de désadaptation acoustique ^{de Little} [11] ^{nous obte-}

nons un accord bien meilleur. Little considère qu’aux

interfaces émetteur-détecteur il _y a conservation de

l’impulsion tangentielle ^{et de la} fréquence ^du phonon

incident _par le phonon ^{transmis, et Cheeke} [12] ^a

montré _que ce modèle s’appliquait ^{bien au} quartz pour des températures de l’émetteur inférieures à 20 K. En suivant ces auteurs nous avons cherché pour chaque ^mode quels étaient les modes _propres du constantan qui ^lui donnaient naissance et nous

l’avons affecté d’un poids supplémentaire qui ^tient compte de la densité relative des modes longitudinaux

et transversaux dans le constantan et des coefficients de réflexion et de réfraction à l’interface.

On obtient alors ^{un très} bon accord _pour les vitesses de _groupe mesurées. Quant ^{aux hauteurs}

relatives des pics, ^{le calcul en rend} compte grossière-

ment mais de façon beaucoup plus satisfaisante

(Fig. 4). ^La largeur ^des signaux ^{calculée est environ}

la moitié de celle qui ^est mesurée, ^ce qui ^{est normal} puisque le calcul n’a _pas pris ^en compte l’absorption,

ni la diffusion des phonons par les impuretés. ^On

s’intéresse en effet à la propagation balistique, ^celle-ci

doit être dominante dans le cas où nous nous trouvons : des phonons ^se propagent ^{dans un milieu} qui, par

ailleurs, ^{est en} équilibre thermique ^avec le bain d’hé- lium dont la température ^{est très} inférieure à celle de l’émetteur : le nombre de ces phonons ^est faible,

mais la densité relative de leur fréquence ^{est sensible-}

ment celle qu’ils avaient dans l’émetteur [12].

4. Résultats.

On a étudié les signaux ^détectés

pour plusieurs ^valeurs due 1 (Fig. 3). On observe une

série de pics que ^nous numéroterons 1, 2, 3, 4, ... pour

chaque valeur de _il. Les vitesses mesurées _pour les

FIG. 4.

a) ^Trace supérieure q ⁼ 17°, inférieure 1 ^{= 0°.} b) 1 ^{= 8°.} c) Comparaison des courbes expérimentales ^{et des} histogrammes.

différentes polarisations ^{sont en très} bon accord

avec celles prévues par le modèle décrit ci-dessus,

comme on peut ^{le voir sur les} figures 4, 5, ^{7 et le} tableau I. On a fait varier la puissance admise dans l’émetteur entre 0,5 W/mm2 ^{et 200} W/mm2.

4. l or¡ ^{= 170.} On observe l’ensemble des quatre

pics prévus, ^{nos résultats} (cf. Fig. 4a), (Tableau I),

sont concordants avec ceux de Von Gutfeld [4].

4 . 2 q ^{= 0°.} On observe (cf. Fig. 5) le flux transmis à travers une section conique ^de demi-angle ^au

sommet l,5°. ^Pour des tensions inférieures à 3 V et une température du bain d’hélium de l’ordre de 2 K, ^on identifie, ^d’une part, ^les phonons longitudi-

naux et, ^d’autre part, ^les phonons transversaux foca-

lisés sur l’axe, ^et qui ^sont pilotés par des vecteurs

d’onde éloignés ^{de l’axe} (0 ~ 20°), ^{voir tableau 1.}

714

TABLEAU 1

Dans ce tableau sont rassemblées les prévisions ^du calcul élastique compte ^{tenu de} l’angle ^solide fi ^sous

lequel ^de l’émetteur on voit le détecteur.

FIG. 5.

Comparaison des courbes obtenues à diverses tempé-

ratures pour ^une propagation ^au voisinage ^{de Oz.} (Après ^norma-

lisation à une même sensibilité.)

FiG. 7.

Comparaison des courbes obtenues à diverses tempé-

ratures pour ^une propagation à 8° de l’axe Oz.

Pour des tensions plus ^{élevées on voit} apparaître

deux pics A ^{et R} qui ^ne figurent pas ^sur l’histogramme.

Leurs vitesses respectives ^{sont de} 5,4 km/s ^et 3,9 km/s.

Selon ce qui ^{a été} exposé précédemment ^ces pics

peuvent être attribués à la levée de dégénérescence

des phonons pilotés par des vecteurs d’onde situés

sur l’axe ternaire. Ces modes correspondent ^{à des}

vecteurs d’onde plus grands (donc ^{à des} fréquences plus élevées) que ^ceux dont il est tenu compte ^{dans la} simulation, ^{limitée aux} modes élastiques. ^{Leurs vites-}

ses sont compatibles ^{avec les mesures} faites _par Joffrin à 10 GHz. Elles correspondent ^{à des} fréquences

de l’ordre de 1012 Hz qui ^sont excitées à partir ^d’une température d’émetteur de 5 K.

D’après ^Weiss [6] ^la température ^{de 5 K n’est}

atteinte _{que pour} des tensions de l’ordre de 5 V/mm2

dans le constantan. C’est au-dessus de 5 K seulement que l’on trouve une proportion ^non négligeable ^de phonons de ^{1012 Hz. Or c’est aux} environs de 5 V/mm2

que l’on voit apparaître ^le pic ^de 5,4 km/s. ^On remarque que, pour les tensions supérieures ^ou égales ^{à 5} V, ^la hauteur de ce pic ^{avancé est} supérieure à celle du

pic longitudinal, ^ce qui permet ^{de dire} que, si l’on détecte des phonons longitudinaux pour des tensions inférieures à 5 V, l’absence, pour ^ces tensions, ^de pics ^{avancés est} due à l’absence des hautes fréquences,

et non au. manque de sensibilité du dispositif expérimental.

Le nombre des phonons émis varie beaucoup

suivant la température ^de l’émetteur, ^{de ce fait le} signal ^{détecté ne} peut ^{l’être dans de} bonnes conditions

sans variation du réglage ; ^c’est pourquoi ^{on fait les}

mesures en augmentant progressivement ^la puissance

dans l’émetteur et en conservant une même sensibilité

au détecteur _pour plusieurs puissances, ^ce qui permet de faire les réajustements convenables d’amplitude

au cours du dépouillement des résultats. C’est cette méthode qui ^a permis ^{de bien} caractériser au voisinage

de l’axe les phonons ralentis de 3,9 km/s.

Pour l’interprétation ^des pics ^{A et R on} pourrait

penser à un effet de l’absorption qui modifierait en

grandeur ^{et en} direction la vitesse de l’énergie ^mais

un tel effet ne pourrait ^être que très faible dans les conditions où nous opérons : l’absorption ^modifie

la vitesse d’énergie ^en remplaçant dans chacune de

ses composantes ^{le vecteur d’onde} réel q par ^un vecteur d’onde complexe q’ + iq" où q’ ^{est le coeffi-}

cient d’absorption ^linéaire. Or q’ ^est compris ^entre 106 ^et 108 cm-1 alors que q" ^est compris ^{entre 10- 2}

et 1 cm-1 (le ^libre parcours moyen des phonons

calculé en tenant compte ^de l’anharmonicité est

compris ^{entre 1 et 100} cm). ^La variation du vecteur vitesse d’énergie ^reste négligeable ^{dans ces condi-}

tions [13].

Enfin, ^il convient de préciser ^ici qu’aucun ^{de nos} enregistrements ^{faits à} grande sensibilité n’a présenté

la déformation de l’ensemble des pics ^notée par Weiss [7]. ^{Cet auteur} interprétait ^cette déformation

comme due à la croissance, ^{au cours de} l’impulsion

d’émission, d’un film d’hélium _gazeux qui ^{tend à}

isoler le film émetteur et, partant, augmente ^{la trans-} mission dans le cristal. La géométrie ^du dispositif expérimental, ^la température ^{du bain et la nature}

des cristaux peuvent ^modifier l’apparition ^{d’un tel} phénomène.

4.3 n ^{= 8°.} On a fait deux types d’expériences,

les unes avec un détecteur annulaire, ^{les autres avec}

un détecteur de petite taille. On a pu dans les deux

cas détecter, ^d’une _part, l’ensemble des phonons

calculés et d’autre part, ^les phonons de haute fré- quence rabattus au voisinage ^{de l’axe} (voir ^Tableau I).

L’expérience (cf. Fig. 7) ^montre que pour des ten- sions inférieures à 5 V/mm 2on ^{observe encore un} pic

avancé en dehors de l’axe, ^alors qu’on ^{n’en observe} plus ^au voisinage ^de l’axe; ^les hauteurs de ce pic

et du pic longitudinal ^{sont ici} comparables ^{et leur}

rapport ^{à celle du} pic transversal non dispersé ^est plus grand que ^sur l’axe. La vitesse de _groupe mesurée à 80 est légèrement inférieure à celle mesurée sur

l’axe : 5,2 km/s ^{au lieu de} 5,4 km/s.

Le calcul avait déjà ^montré que la réfraction

conique ^{interne et la} focalisation n’étaient _pas des

phénomènes localisés; l’expérience le confirme ici et montre qu’il ^{en est de même} pour les rabattements dus à la dispersion.

4.4 REMARQUES.

Si l’on étudie le comportement du pic ^avancé lorsque ^la température de l’émetteur s’élève, ^{on observe :}

4.4.1 qu’il n’y ^a pas de déplacement ^{de ce} pic

vers l’avant lorsque ^la température augmente. ^Ceci peut s’interpréter ^en remarquant que la vitesse maximum observée, 5,4 km/s, correspond, compte

tenu des calculs de Joffrin et de Portigal, ^{à une fré-}

quence de 1012 Hz et à un vecteur d’onde de 0,05 qmax

FIG. 8.

Rapport de la hauteur du pic ^avancé à celle du pic focalisé

en fonction de la tension d’alimentation donc en fonction de la

température.

(qmaxl2 ^{= 1,85 x} 107). ^Ces fréquences ^{ne sont nota-}

blement excitées qu’à partir ^{de 5 K} (cf. Fig. 6). ^{Si elles} correspondent ^au point d’inflexion de la courbe de

dispersion avancée, ^les températures plus ^élevées

feront apparaître ^des fréquences plus grandes ^mais

de vitesse moindre (cf. Fig. 9).

716

FIG. 9.

Levée de dégénérescence des transversales _pour un vecteur d’onde porté par Oz.

4.4.2 que le maximum du rapport ^{entre la hauteur} du pic ^{avancé et celle du} pic focalisé ^{se situe aux envi-}

rons de 40 V (cf. Fig. 8),’ ^ce qui correspond ^{à une} température ^{de 15 K} (cf. Fig. 6) ^{et à une} fréquence ^de

2 x 1012 Hz. Au-delà, ^le rapport ^{ne croît} plus. ^On

peut donc situer aux environs de cette valeur le

point où la courbe de dispersion ^avancée (cf. Fig. 9)

admet une tangente parallèle ^{à sa} tangente ^à l’origine.

Le vecteur d’onde correspondant ^est approximati-

vement 0,1 qmax.

4.4.3 lorsque ^la température ^s’élève davantage,

le rapport ^entre la hauteur du pic ^{avancé et celle du} pic focalisé ^décroît (cf. Fig. 8). ^En effet, les très hautes

fréquences dispersées ^ont des vitesses de _groupe inférieures ou égales ^à celles des transversales non

dispersées (cf. Fig. 9). ^{Elles vont} donc renforcer la hauteur du pic correspondant ^{à ces dernières ou}

même se confondre avec les modes de la branche retardée.

Ces _remarques précisent ^et confirment les indications données par ^M. Elcombe [1] pour ^{un vecteur} d’onde

porté par Oz. Elles s’appliquent qualitativement

pour ^{un vecteur} d’onde voisin de l’axe.

On peut préciser ^de plus que les contributions ^au

pic ^{avancé sur l’axe et} à 8° de l’axe sont dans un

rapport indépendant ^{de la} fréquence ^{dans la mesure}

où les surfaces de dispersion ^restent assimilables dans cette région ^{à des} hyperboloïdes. ^{Nos mesures}

ne nous permettent pas de mettre ce résultat en

évidence car, à 8° de l’axe, ^{il existe un} pic ^non dispersé

très voisin du pic ^{avancé; celui-ci n’est décelable}

que par ^son temps ^{d’arrivée un} peu inférieur

(cf. Fig. 4b).

5. Validité de la définition angulaire.

^On peut ^se demander si la surface émettrice est bien limitée à la seule surface du film de constantan et en parti-

culier quelle peut être l’influence de la nature et de la géométrie ^{des contacts.}

Les expériences ^décrites précédemment ^concer-

naient des cristaux suffisamment grands pour que d’aucun point de l’émetteur on ne puisse ^{voir le}

détecteur sous un angle ^différent de 1 ^de plus ^{de 1°.}

C’est ce qui explique ^{le très} bon accord des expériences

avec le calcul _pour les pics élastiques.

En revanche si ce n’est pàs ^{le cas il faut comme on}

l’a dit (4.2) considérer plusieurs histogrammes. ^Par exemple, pour ^un cristal d’axe Oz ^et de longueur 5,8 ^{mm où émetteur et détecteur ont environ 1} mm’,

il faut _composer géométriquement ^les histogrammes correspondant à des cônes d’angle ^{au sommet 10°}

et 150. La simulation coïncide alors parfaitement

avec l’expérience pour ^ce qui ^{est des ondes non} dispersées.

Ces _remarques nous ont conduits à compléter l’interprétation ^des expériences ^{de Weiss} [6] ^{sur des}

cristaux de quartz ^où l’axe fait un angle ^{de 200 avec}

la direction _moyenne de propagation. ^{Cet auteur}

observe un pic qui correspond ^{à une} vitesse de 5,3 km/s,

celui-ci peut, ^{à notre} avis, être attribué à des phonons

rabattus à 7° de l’axe. Weiss ne précise pas l’angle

azimutal de la normale aux faces, pour certaines valeurs de cet angle ^{le calcul} prévoit des vitesses non

dispersées ^de 5,2 km/s. ^{Mais nous n’avons} jamais

observé de vitesses non dispersées supérieures ^aux

vitesses prévues, ^c’est pourquoi ^nous pensons que le pic ^observé par Weiss est dû à l’activité acous-

tique [2].

6. Conclusion.

Au cours de cette étude nous avons développé ^{une méthode} d’identification des modes de propagation acoustique ^{de haute} fréquence

dans le quartz, pour lesquels ^en général, ^{le vecteur}

d’onde et la vitesse de propagation ^de l’énergie ^sont

différents en direction.

En particulier, ^{nous avons} étudié la variation

avec la température ^{de ceux de ces modes} qui peuvent subir selon leur fréquence ^la réfraction conique ^ou

le rabattement ^avec levée de dégénérescence. ^Ces

résultats n’ont _pu être obtenus qu’en s’appuyant

sur des calculs complets ^de propagation élastique.

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