HAL Id: jpa-00230555
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Submitted on 1 Jan 1990
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ÉQUATION DE PROPAGATION DU VECTEUR INTENSITÉ ACOUSTIQUE. PREMIÈRE PARTIE
M. Letiche, D. Guyomar
To cite this version:
M. Letiche, D. Guyomar. ÉQUATION DE PROPAGATION DU VECTEUR INTENSITÉ ACOUS- TIQUE. PREMIÈRE PARTIE. Journal de Physique Colloques, 1990, 51 (C2), pp.C2-977-C2-980.
�10.1051/jphyscol:19902228�. �jpa-00230555�
1er Congrès Français d'Acoustique 1990
ÉQUATION DE PROPAGATION DU VECTEUR INTENSITÉ ACOUSTIQUE. PREMIÈRE PARTIE
M. LETICHE et D. GUYOMAR
Direction des Services Acoustiques, Laboratoire Recherche Etudes et
Modélisation, Thomson-Sintra ASM, Parc de Sophia Antipolis, BP. 38, F-06561 Valbonne Cedex, France
Résumé:
Une formulation générale du vecteur intensité acoustique complexe est présentée.
L'étude séparée des parties active et réactive de ce vecteur montre que chacune des grandeurs est liée à des comportements énergétiques particuliers et traduit des phénomènes de propagation différents. Les équations de propagation de chacune de ces composantes sont obtenues sur des sources élémentaires et l'interprétation physique des phénomènes est mise en évidence sur le cas particulier du rayonnement d'un piston plan baffié.
Abstract:
The vectorial concept of the complex intensity is presented. It is shown that the active and reactive parts of the intensity exhibit different behaviour in terms of energy and correspond to different propagation features. The propagative equations of each quantity are obtained: upon elementary sources and the physical interpretation of the phenomena is displayed for the particular case of a baffled piston radiation.
1. Introduction
La mesure de l'intensité acoustique s'est imposée comme une méthode expérimentale particulièrement fructueuse pour étudier les problèmes de rayonnement acoustique. Des applications de cette technique se sont développées dans de nombreux domaines. La nature à la fois vectorielle et énergétique de la grandeur mesurée, qui permet d'accéder à une quantité importante d'informations sur la structure du champ sonore, rend la méthode particulièrement bien adaptée à l'étude des problèmes de génération du bruit.
La richesse de cette approche a conduit à faire évoluer les concepts liés à l'analyse des problèmes de rayonnement en motivant des recherches sur la structure des champs acoustiques [1].
La recherche des équations de propagation du vecteur intensité complexe est motivée par l'analyse potentielle du comportement acoustique de structure à partir de mesures intensimét riques.
2. Expression du vecteur intensité complexe
La densité de flux de puissance acoustique qui accompagne la propagation l'onde sonore est appelée intensité acoustique. Pour un fluide parfait au repos, elle s'exprime par le seul produit de la pression acoustique par la vitesse particulaire. L'intensité instantanée i(i) = p(t)v(t) en est la définition la plus immédiate.
On appelle intensité acoustique I, la moyenne temporelle du vecteur i(t), notée
< i(t) > = limi^oo y /0°° i(*)<i* •
C'est une grandeur réelle qui peut aussi s'exprimer à l'aide de la fonction d'intercorrélation CP V( T ) = lirriT—oo j /o°°p(^)v(i + 7")dt-où I = Cp v(0).
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:19902228
COLLOQUE DE PHYSIQUE
Pour introduire la notion d'intensité acoustique complexe, il suffit de construire le signal analytique c p v ( ~ ) de la fonction d'intercorrélation. On a donc:
où TH représente la Transformée de Hilbert, filtre linéaire de réponse impulsionnelle
5 .
Des propriétés des fonctions de corrélation, on montre aisément la relation suivante [2] :
TH[Cpv(T)I = C ~ T H [ V ] (7) et alors il vient :
où le terme entre accolades est le signal analytique de la vitesse particulaire à l'instant t
+
T, noté Y ( t+
7).On peut donc définir un vecteur intensité acoustique complexe,
tel que:
VP signifiant " Valeur Principale au sens de Cauchy".
En régime harmonique, où parties réelles et imaginaires d'un signal analytique sont en quadrature, il découle des équations précédentes que le vecteur intensité complcxe s'exprime simplement à partir de la pression complexe
fi
et de la vitesse particulaire complexeV
de la manière suivante:3. Prooriétés du vecteur intensité complexe
La pression générée par une source monochromatique quelconque peut s'exprimer d'une manière générale par:
fi(R, t) = p(~)ei*(R)eg'"t
où p(R) et$(R) sont des fonctions réelles de l'espace représentant respectivement le module et la phase de la pression en un point de l'espace caractérisé par le vecteur R(X,Y' z ) .
Il découle directement de l'équation d'Euler que l'expression de la vitesse est:
Le vecteur intensité complexe vaut par conséquent:
où seule la partie réelle est liée au terme de phase.
Il découle également de cette équation que la partie imaginaire Q de l'intensité est proportionnelle au gradient du module de la pression au carré, Q = S V P 2 , et qu'alors son rotationnel est nul, V x Q = 0 .
qui permettent de montrer que la partie réelle 1 de l'intensité est à divergence nulle.
En effet, il vient:
Ces propriétés mettent en évidence le comportement différent de chacune des deux parties du vecteur intensité. On constate que l'intensité réelle 1 est colinéaire au gradient de la phase et est donc toujours perpendiculaire aux surfaces équiphases.
Par définition ces surfaces équiphases sont des fronts d'ondes et le vecteur 1 traduit donc quantitativement les transferts d'énergie sonore; c'est la partie active de l'intensité acoustique.
Par contre, l'intensité réactive Q est colinéaire au gradient du module de la pression.
Ainsi on comprend bien que dans le cas de l'onde plane, l'intensité est purement active alors qu'elle est purement réactive dans un système parfait d'ondes planes stationnaires.
Le champ lointain d'une source quelconque a une structure d'onde sphérique, Q est donc très faible. Au contraire, en champ proche les fluctuations spatiales de pression sont importantes et donc Q est de forte amplitude. 1 étant proportionnel au gradient de la phase, son comportement est régulier dans tout l'espace.
Ces remarques sont mises en évidence dans le cas du rayonnement d'un piston plan bafflé (modèle bidimensionnel) où les vecteurs 1 et Q sont respectivement orthogonaux aux lignes équiphases et équipressions de la pression rayonnée(figure 1).
figure 1: (a)
- lignes équiphases de la pression rayonnée et vecteur intensité active 1 - lignes équipressions de la pression rayonnée et vecteur intensité réactive Q
COLLOQUE DE PHYSIQUE
4. Pro~agation de l'intensité acoustique complexe
Soit Ci la i è m e composante du vecteur Y ; en régime monochromatique, la propagation des grandeurs I, et üi est régie par l'équation d'Helmholtz. Du fait de la nonlinéarité du produit @ i , l'intensité acoustique ne vérifie bien évidemment pas cette relation.
Cependant, on montre aisément que:
Afiüi - 2Vfi.Vüi
+
2k2fiüi = Ooù le produit pûi représente la ième composante du vecteur intensité instantanée i(t), en coordonnées cartésiennes.
En régime harmonique, on obtient une relation similaire sur l'intensité acoustique complexe de sorte que:
aCi
- Vp.Vür+
2 k 2 C i = OPlaçons nous, dans un premier temps, dans l'hypothèse unidimensionnelle. En l'absence d'écoulement, les équations de l'acoustique linéaire, homogène, se réduisent simplement a
Dans le cas unidimensionnel, le produit Vfi.Vüf peut alors s'écrire:
En séparant partie réelle et imaginaire, l'équation sur l'intensité devient:
traduisant des comportements différents des parties actives et réactives de l'intensité.
On retrouve également ce phénomène dans le cas général tridimensionnel où le terme croisé Vfi.VGf ne s'exprime plus simplement en fonction du vecteur intensité. La résolution de l'équation non triviale obtenue nécessite la prise en compte des conditions aux limites du problème et fera l'objet d'une seconde partie.
D'autre part, dans le cas élémentaire d'une source monopôlaire la composante radiale de l'intensité s'exprime par:
permettant d'écrire les équations suivantes:
Ces dernières traduisent des phénomènes de propagation différents des parties actives et réactives de l'intensité et en utilisant la définition du laplacien sphérique, on retrouve le même type d'équations que celles obtenues précédemment.
Références:
[l] J.C. Pascal
Chapitre 10 "Caractérisation expérimentale du champ rayonné"
Rnyonnement acoustique des structures. Claude Lesueur.
Collection de la Direction des Etudes et Recherches d'Electricit6 de France.
121 J
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MaxMethodes et techniques de traitement du signal MASSON
