Pierre-Louis CAYREL Jean-François FERRARIS Anne MASSARDIER Séverine RIVOLLIER
Exercices corrigés d'autonomie de mathématiques
∗∗. www.cayrel.net/enseignement/maths-istp/
Table des matières
1 Dérivées et diérentielles - Exercices autonomie 9
1.1 Énoncés . . . 10
1.1.1 . . . 10
1.1.2 . . . 10
1.1.3 . . . 10
1.1.4 . . . 10
1.1.5 . . . 10
1.1.6 . . . 11
1.1.7 . . . 11
1.1.8 . . . 12
1.1.9 . . . 12
1.1.10 . . . 12
1.1.11 . . . 12
1.1.12 . . . 13
1.1.13 . . . 13
1.1.14 . . . 13
1.1.15 . . . 13
1.2 Corrections . . . 14
1.2.1 . . . 14
1.2.2 . . . 14
1.2.3 . . . 15
1.2.4 . . . 15
1.2.5 . . . 15
1.2.6 . . . 15
1.2.7 . . . 16
1.2.8 . . . 16
1.2.9 . . . 17
1.2.10 . . . 17
1.2.11 . . . 18
1.2.12 . . . 18
1.2.13 . . . 18
1.2.14 . . . 19
1.2.15 . . . 19
2 Intégrales - Exercices autonomie 21 2.1 Énoncés . . . 22
2.1.1 . . . 22
2.1.2 . . . 22
2.1.3 . . . 22
2.1.6 . . . 23
2.1.7 . . . 23
2.1.8 . . . 24
2.1.9 . . . 25
2.1.10 . . . 26
2.1.11 . . . 27
2.1.12 . . . 27
2.1.13 . . . 28
2.1.14 . . . 28
2.1.15 . . . 28
2.2 Corrections . . . 29
2.2.1 . . . 29
2.2.2 . . . 29
2.2.3 . . . 30
2.2.4 . . . 30
2.2.5 . . . 31
2.2.6 . . . 31
2.2.7 . . . 31
2.2.8 . . . 32
2.2.9 . . . 32
2.2.10 . . . 33
2.2.11 . . . 34
2.2.12 . . . 35
2.2.13 . . . 36
2.2.14 . . . 36
2.2.15 . . . 37
3 Équations diérentielles - Exercices autonomie 39 3.1 Énoncés . . . 40
3.1.1 . . . 40
3.1.2 . . . 40
3.1.3 . . . 40
3.1.4 . . . 40
3.1.5 . . . 40
3.1.6 . . . 40
3.1.7 . . . 41
3.1.8 . . . 41
3.1.9 . . . 41
3.1.10 . . . 41
3.1.11 . . . 42
3.1.12 . . . 42
3.1.13 . . . 42
3.1.14 . . . 42
3.1.15 . . . 42
3.2 Corrections . . . 43
3.2.1 . . . 43
3.2.2 . . . 43
3.2.3 . . . 43
3.2.4 . . . 43
3.2.5 . . . 43
3.2.6 . . . 44
3.2.7 . . . 45
3.2.8 . . . 46
3.2.9 . . . 50
3.2.10 . . . 51
3.2.11 . . . 51
3.2.12 . . . 52
3.2.13 . . . 52
3.2.14 . . . 52
3.2.15 . . . 53
4 Complexes - Exercices autonomie 55 4.1 Énoncés . . . 56
4.1.1 . . . 56
4.1.2 . . . 56
4.1.3 . . . 56
4.1.4 . . . 56
4.1.5 . . . 56
4.1.6 . . . 56
4.1.7 . . . 56
4.1.8 . . . 57
4.1.9 . . . 57
4.1.10 . . . 57
4.1.11 . . . 57
4.1.12 . . . 57
4.1.13 . . . 57
4.1.14 . . . 58
4.1.15 . . . 59
4.2 Corrections . . . 60
4.2.1 . . . 60
4.2.2 . . . 60
4.2.3 . . . 61
4.2.4 . . . 61
4.2.5 . . . 61
4.2.6 . . . 61
4.2.7 . . . 61
4.2.8 . . . 62
4.2.9 . . . 62
4.2.10 . . . 63
4.2.11 . . . 63
4.2.12 . . . 64
4.2.13 . . . 65
4.2.14 . . . 67
4.2.15 . . . 68
5.1.1 . . . 70
5.1.2 . . . 70
5.1.3 . . . 70
5.1.4 . . . 70
5.1.5 . . . 70
5.1.6 . . . 70
5.1.7 . . . 71
5.1.8 . . . 71
5.1.9 . . . 72
5.1.10 . . . 72
5.1.11 . . . 72
5.1.12 . . . 73
5.1.13 . . . 73
5.1.14 . . . 73
5.1.15 . . . 73
5.2 Corrections . . . 74
5.2.1 . . . 74
5.2.2 . . . 74
5.2.3 . . . 74
5.2.4 . . . 75
5.2.5 . . . 75
5.2.6 . . . 76
5.2.7 . . . 76
5.2.8 . . . 77
5.2.9 . . . 78
5.2.10 . . . 78
5.2.11 . . . 79
5.2.12 . . . 80
5.2.13 . . . 81
5.2.14 . . . 81
5.2.15 . . . 81
6 Matrices - Exercices autonomie 83 6.1 Énoncés . . . 84
6.1.1 . . . 84
6.1.2 . . . 84
6.1.3 . . . 84
6.1.4 . . . 84
6.1.5 . . . 85
6.1.6 . . . 85
6.1.7 . . . 85
6.1.8 . . . 86
6.1.9 . . . 86
6.1.10 . . . 86
6.1.11 . . . 86
6.1.12 . . . 86
6.1.13 . . . 87
6.1.14 . . . 87
6.1.15 . . . 87
6.2 Correction . . . 88
6.2.1 . . . 88
6.2.2 . . . 88
6.2.3 . . . 88
6.2.4 . . . 89
6.2.5 . . . 90
6.2.6 . . . 91
6.2.7 . . . 92
6.2.8 . . . 93
6.2.9 . . . 94
6.2.10 . . . 94
6.2.11 . . . 94
6.2.12 . . . 95
6.2.13 . . . 95
6.2.14 . . . 95
6.2.15 . . . 96
Chapitre 1
Dérivées et diérentielles - Exercices autonomie
Sommaire
1.1 Énoncés . . . 10
1.1.1 . . . 10
1.1.2 . . . 10
1.1.3 . . . 10
1.1.4 . . . 10
1.1.5 . . . 10
1.1.6 . . . 11
1.1.7 . . . 11
1.1.8 . . . 12
1.1.9 . . . 12
1.1.10 . . . 12
1.1.11 . . . 12
1.1.12 . . . 13
1.1.13 . . . 13
1.1.14 . . . 13
1.1.15 . . . 13
1.2 Corrections . . . 14
1.2.1 . . . 14
1.2.2 . . . 14
1.2.3 . . . 15
1.2.4 . . . 15
1.2.5 . . . 15
1.2.6 . . . 15
1.2.7 . . . 16
1.2.8 . . . 16
1.2.9 . . . 17
1.2.10 . . . 17
1.2.11 . . . 18
1.2.12 . . . 18
1.2.13 . . . 18
1.2.14 . . . 19
1.2.15 . . . 19
1.1.1
Démontrer l'inégalité suivante :
∀x >0,ln(1 +x)> x− x2 2
1.1.2
1. Déterminer le DL à l'ordre 2 en 0 de f :x→q1 +√ 1 +x. 2. Déterminer le DL à l'ordre 3 en 0 de g :x→sin(√
x2+ 3π2).
1.1.3
Montrer par un développement limité, que e est approximativement égale à 2.718.
Jusqu'à quel ordre faut-il faire le developpement limité pour obtenir ce resultat ? Justiez-le.
Quelques approximations utiles : 1
6 ≈0.16667, 1
24 ≈0.04167, 1
120 ≈0.008333, 1
720 ≈0.00139, 1
5040 ≈0.00020
1.1.4
Les fonctions hyperboliques chx et shx sont dénies par les relations suivantes : chx= ex+e−x
2 , shx= ex−e−x 2 . On remarque quech2x−sh2x= 1 et d(chx)
dx = shx, d(shx)
dx = chx.
La fonctionchxest déni sur ]− ∞,+∞[ et prend ses valeurs dans [1,+∞[.
La fonctionargch x est la fonction reciproque de chx,autrement dit argch x=y ⇔ x= chy
sur leur domaines de dénition.
Trouver l'expression de la dérivée de la fonction argch .
1.1.5
1. Montrer que l'on a xcosx−sinx <0 six∈]0, π[. 2. Étudier le sens de variation de la fonction x7→ sinx
x sur l'intervalle ]0, π]. 3. Démontrer que pour tout x∈]0,π2[ on a 2xπ <sinx < x.
1.1.6
GIN FA 2011 - 1 (5 points)
On décide de mettre en place un système de collecte des eaux de pluie sur la façade d'une maison. Sur cette façade, de forme rectangulaire, deux tuyaux obliques doivent récupérer les eaux de pluies pour les déverser dans un tuyau vertical aboutissant à un réservoir.
On donne ci-dessous le plan de cette façade ainsi que quelques dimensions, exprimées en mètre.
Sur ce plan :
[AM]et [BM] représentent les deux premiers tuyaux [M H] représente le troisième tuyau
(M H) est la médiatrice de [DC]
On souhaite trouver la position du point M sur la façade de cette maison qui permet de minimiser la longueur des tuyaux à acheter et donc la dépense à eectuer.
On note Q le projeté orthogonal de M sur (BC) et on prend comme variable la mesure en radian de l'angle aigu BM Q\ =θ.
On dénit la fonctiong :θ7→2M B+M H suri0;π2h. (2M B+M H étant la longueur de tuyau.) 1. Pour tout θ∈i0;π2h, déterminer g(θ) en fonction de θ. (1,5 point) 2. Justier que g est dérivable suri0;π2h et montrer que, pour tout θ∈i0;π2h (1,5 point)
g0(θ) = 5× 2 sinθ−1 cos2θ
3. En déduire la valeur deθqui minimise la longueur des tuyaux puis calculer cette longueur.
(2 points)
1.1.7
Donner le développement limité en 0des fonctions :
1. x7→tan(x) (à l'ordre 7). 2. x7→exp(sin(x))(à l'ordre 3).
GIN FA 2011 - 2 (5 points) On veut, avant une construction, rendre minimal le frottement d'un uide contre les parois d'un canal ouvert, de section intérieure rectangulaire ABCD.
L'aire de la section intérieure de ce canal doit être de 0,5 m2.
On désigne par h la hauteur et par l la largeur (en m) de cette section intérieure.
On admettra que le frottement est minimal lorsque la longueur AB+BC+CD est minimale.
1. Montrer que la longueur g(h) du contour intérieur de la section s'exprime en fonction de
h par : (1 point)
g(h) = 2h+ 1
2h oùh >0
2. Etudier les variations de la fonction g sur l'intervalle ]0; +∞[ et dresser son tableau de
variation. (3 points)
3. En déduire les valeurs de h etl permettant d'obtenir le frottement minimal. (1 point)
1.1.9
GIN FA 2012 - test (4 points)
1. Calculer la dérivée de : f(x) =x2x−1
32
(2 pts)
2. Déterminer la dérivée de la fonction : arcsinx (2 pts)
1.1.10
GIN FA 2012 - test (3 points)
Donner le développement limité à l'ordre 3 au voisinage de 0 de la fonction : f(t) = √
1 +t
1.1.11
GIN FA 2012 - test (3 points)
1. Écrire la diérentielle d'une fonction f de 3 variables x, y, z. (1 pt) 2. Application : déterminer la diérentielle de la fonction :
f(x, y, z) = 1
x2y2z2 +x2y2+y2z+exyz.
(2 pts)
1.1.12
GIN FA 2012 - test 1 (4 points)
Déterminer les points de la courbe d'équation :
y = sinx+cos 2x 2 pour lesquels la tangente est parallèle à Ox.
1.1.13
GIN FA 2012 - test 1 (8 points)
L'objectif de ce problème est de déterminer avec une précision de 7 décimales une valeur ap- prochée de sin(5◦) etcos(5◦), à l'aide des développements limités.
On considère ici qu'on ne connaît ni le développement limité en zéro du sinus, ni celui du cosinus, ni la dérivée des fonctions sinus et cosinus, mais on suivra le schéma suivant : à partir de la formule de Mc Laurin, on trouvera au préalable un développement limité en zéro de la fonction exponentielle, puis, à l'aide des formules d'Euler, on déterminera des développements limités de cos(x) et sin(x).
1. À l'aide de la formule de Mc Laurin, déterminer le développement limité en zéro de ex à
l'ordre 6. (2 points)
2. En déduire le développement limité (complexe) de eix à l'ordre 6. (1 point) 3. À l'aide des formules d'Euler, donner les développements limités de cos(x) et sin(x) à
l'ordre 6 (x exprimé en radians). (2 points)
4. On considère un angle de 5◦ dont on cherche à calculer le cosinus et le sinus avec une précision de 7 décimales.
À l'aide des expressions trouvées ci-dessus, calculer et présenter dans un tableau les diérents termes des développements limités de cos(x) etsin(x). (2 points) En déduire les valeurs approchées de cos(5◦) etsin(5◦) à 7 décimales. (1 point) Vérier ces résultats par un calcul direct sur la calculatrice.
1.1.14
GIN FA 2013 - mini-test 1
Donner le développement limité à l'ordre 4 en 0 de f :x7→ 1
cos(x)
1.1.15
Calculer la diérentielle des fonctions de plusieurs variables suivantes : f(α, β, γ) = α2+β2+γ2
g(x, y, z) = x2+y2+z2 +xy−yz+x+ 2y+z h(a, b) =acosb+bsina+ab+ 1
ab i(x, y) =x(lnx+x+y2)
1.2.1
f(x) = ln(1 +x) f0(x) = 1
1 +x f00(x) = − 1
(1 +x)2 f000(x) = 2 (1 +x)3 Donc,
ln(1 +x)−
"
x− x2 2
#
= x3 3!
2 (1 +c)3
!
| {z }
>0
avec x >0 et c∈]0, x[
d'où
∀x >0,ln(1 +x)> x− x2 2
1.2.2
1. √
1 +x= 1 + x 2 − x2
8 +◦(x2) donc
1 +√
1 +x= 2 + x 2 − x2
8 +◦(x2) d'où
f(x) =
s
2 + x 2 − x2
8 +◦(x2) = √ 2
s
1 + x 4 − x2
16+◦(x2) =√ 2√
1 +u
On poseu= x4−x162 +◦(x2), on au2 = x162+◦(x2)(on néglige les termes de degré supérieur à 2), donc
f(x) =√
2 1 + 1 2
x 4 − x2
16
!
− 1 8
x2 16
!
+◦(x2)
!
d'où
f(x) = √
2 + x 4√
2 − 5x2 64√
2 +◦(x2) 2. On a
√
3π2+x2 =π√ 3
s
1 + x2
3π2 =π√
3 1 + x2
6π2 +◦(x3)
!
Donc
sin(π√
3) 1 + x2
6π2 +◦(x3)
!
= sin π√
3 + x2 2√
3π +◦(x2)
!
et comme sin(A+u) = cosAsinu+ sinAcosu, g(x) = cos(π√
3) sin x2 2√
3π
!
+ sin(π√
3)×1 +◦(x3)
= sin(π√
3) + cos(π√ 3)x2 2√
3π +◦(x3)
1.2.3
Les approximations données dans l'enoncé sont des approximations des inverses de n! pour n= 3,4,5,6,7. La fonction ex a pour son développement limité en 0 à l'ordre 7le polynome
DL7(eh)(0) = 1 + 1·h+ 1
2!h2+ 1
3!h3+ 1
4!h4 + 1
5!h5+ 1
6!h6+ 1 7!h7
on utilise ici le fait que (ex)0 = ex et en x = 0, e0 = 1. Pour h = 1 cela nous donne la valeur de e. L'approximation a 0.001 près est donné par les six premiers termes car le 7ème est trop petit. La somme 1 + 1 + 0.5 + 0.16667 + 0.04167 + 0.008333 + 0.00139 = 2.718.
1.2.4
On dérive l'égalité x= ch(argch x) ce qui donne 1 = sh(argch x)·(argch x)0. D'où :
(argch x)0 = 1
sh(argch x) = 1
q
ch2(argch x)−1
= 1
√x2−1.
1.2.5
1. Soit f(x) = xcosx −sinx. f0(x) = cosx− xsinx −cosx = −xsinx < 0 pour tout x∈]0, π[. Donc f est strictement décroissante sur [0, π]. Or f(0) = 0 donc f(x)<0pour tout x∈]0, π[.
2. Soit g(x) = sinxx.g0(x) = xcosx−sinx2 x = fx(x)2 .
Par 1.g0(x)<0pour tout x∈]0, π[ donc g est strictement décroissante sur ]0, π]. 3. On a lim
x→0g(x) = 1 donc g est prolongeable par continuité en 0 en posant g(0) = 1. Commeg est continue sur[0, π]et strictement décroissante sur]0, π]par b), g est stricte- ment décroissante sur[0, π], doncg(0)> g(x)> g(π/2)pour toutx∈]0, π/2[, c'est-à-dire
1
π/2 < sinxx <1.
Commex >0on obtient 2xπ <sinx < x pour toutx∈]0, π/2[.
1.2.6
1. Pour tout θ∈i0;π2h, on a M B = cos5θ donc la longueur des tuyaux est : (1,5 point)
g(θ) = 2 5
cosθ + 6− 5
cosθsinθ = 10 + 6 cosθ−5 sinθ cosθ
2. Pour tout θ∈i0;π2h : (1,5 point)
g0(θ) = 5× 2 sinθ−1 cos2θ
3. Ainsi, g0(θ) est du même signe que 2 sinθ−1 et on obtient une longueur minimale pour
θ = π6. (2 points)
1. Si l'on veut un développement limité de tanx à l'ordre 7 il faut d'abord faire le dévelop- pement limité decosx à l'ordre 7 :
cosx= 1−1
2x2+ 1
4!x4+ 1
6!x6+o(x6) = 1− 1
2x2+ 1
4!x4+ 1
6!x6+o(x7) Ainsi que le développement limité à l'ordre7 desinx :
sinx=x− 1
3!x3+ 1
5!x5− 1
7!x7+o(x7)
Commetanx= cossinxx, il ne reste donc qu'à diviser les deux développements limités.
x −3!1x3 +5!1x5 −7!1x7 1 −12x2 +4!1x4 +6!1x6
−(x −12x3 +241x5 −7201 x7) x +x33 +2x155 +17x3157
1
3x3 −301x5 +8401 x7
−(13x3 −16x5 +721x7)
2
15x5 −3154 x7
−(152x5 −151x7)
17 315x7 On trouve alors :
tanx=x+ x3
3 +2x5
15 +17x7
315 +o(x7) 2. exp(sinx) = 1 +x+1
2x2+ox3.
1.2.8
1. Le contour intérieur est AB+BC+CD = 2h+l. (1 point) Or, on a lh= 0,5 donc l= 2h1 et conclut que le contour intérieur est g(h) = 2h+ 2h1. 2. Pour tout h >0, on a g0(h) = 2− 2h12 = 4h2h2−12 = (2h−1)(2h+1)
2h2 . (1 point)
On en déduit que pourh >0 le signe de g0(h)est le même que celui de 2h−1. (1 point)
D'où le tableau de variations suivant : (1 point)
3. Pour obtenir le frottement minimal, on doit prendre h= 12 etl = 1. (1 point)
1.2.9
1. f(x) = Un, la dérivée est de la forme nU0Un−1 avec U(x) = x2x−1 de la forme uv. (0,5 pt) Posons
u(x) =x, u0(x) = 1, v(x) = x2−1, v0(x) = 2x.
(0,5 pt) La dérivée deU(x) est :
U0(x) = −x2−1 (x2−1)2 d'où :
f0(x) = 3
2 × −x2−1 (x2−1)2 ×
x x2−1
12
(1 pt) 2.
y = arcsinx⇔x= siny⇒ dx
dy = cosy
(0,5 pt) donc :
y0 = dy dx = 1
dx dy
= 1 cosy
(0,5 pt) or nous avons :
cosy=q1−sin2y=√ 1−x2
(0,5 pt) d'où :
arcsin0(x) = 1
√1−x2.
(0,5 pt)
1.2.10
f0(t) = 1 2√
1 +t; f00(t) =−(1 + 2t)−32; f000(t) = 3
8(1 +t)−52
(1,5 pts)
DL3(f)(0) :f(t) = 1 +t.1 2+ t2
2.
−1 4
+ t3 6.3
8 +reste= 1 + 1 2t−1
8t2+ 1
16t3 +reste.
(1,5 pts)
1. Si la fonctionf admet des dérivées partielles pour chacune de ses variables à la coordonnée correspondante du point A, on appelle diérentielle de f enA la forme :
df(A) = ∂f(A)
∂x dx+∂f(A)
∂y dy+ ∂f(A)
∂z dz
(1 pt)
2. ∂f
∂x = 1 y2z2 ×
−2x x4
+ 2xy2+yzexyz = −2
x3y2z2 + 2xy2+yzexyz
(0,5 pt)
∂f
∂y = −2
x2y3z2 + 2x2y+ 2yz+xzexyz; ∂f
∂z = −2
x2y2z3 +y2+xyexyz
(2 x 0,5 pt) df = −2
x3y2z2 + 2xy2+yzexyz
!
dx+ −2
x2y3z2 + 2x2y+ 2yz+xzexyz
!
dy+
−2
x2y2z3 +y2+xyexyz
!
dz
(0,5 pt)
1.2.12
Ces points sont ceux pour lesquels on a y0 = 0.
y0 = cos(x)−sin(2x) = cos(x)(1−2 sin(x)),
2 points susceptible de s'annuler dans deux cas :
cosx= 0 ⇔
( x= π2 + 2kπ; y= 12, x= 3π2 + 2kπ; y=−32,
1 point sinx= 1
2 ⇔
( x= π6 + 2kπ; y= 34, x= 5π6 + 2kπ; y= 34.
1 point
1.2.13
1. ex ≈e0+xe0+x2!2e0+x3!3e0 +x4!4e0+ x5!5e0+ x6!6e0 ≈1 +x+ x22 +x63 +x244 + 120x5 + 720x6 . 2 points 2. eix ≈1 +ix+(ix)22 + (ix)63 + (ix)244 +(ix)1205 +(ix)7206 ≈1 +ix− x22 −ix63 +x244 +i120x5 − 720x6
eix = 1− x22 +x244 − 720x6 +ix−x63 + 120x5 .
1 point
3. 2 points
cosx≈1− x2 2 + x4
24− x6
720 et sinx≈x− x3 6 + x5
120.
4. 2 points
cos : sin :
Terme 1 = 1 Terme 1 ≈0,087266463
Terme 2 ≈ −0,003807718 Terme 2 ≈ −0,000110762 Terme 3 ≈0,000002416 Terme 3 ≈0,000000042
Terme 4 ≈ −0,0000000006(<10−9) Terme 4 inconnu, mais <terme 4 du cos On a : 5◦ = 5× 180π rad≈0,0872664625997165 rad
En sommant les termes, on obtient, avec 7 décimales :
cos(5◦)≈0,9961947 et sin(5◦)≈0,0871557,
ce que conrme la calculatrice. 1 point
1.2.14
Écrivons pour tout x au voisinage de 0
f(x) = 1
cos(x)−1 + 1 On a
1−cos(x) =
x→0
x2 2 − x4
4! +o(x4)
1,5 pt
et 1
1−x =
x→0 1 +x+x2+x3+x4+o(x4)
1,5 pt La partie régulière recherchée est la composée de ces parties régulières tronquée à l'ordre4, i.e.
f(x) =
x→01 + x2 2 − x4
4!
!
+ x2 2
!2
+o(x4) =
x→0 1 + x2
2 +5x4
4! +o(x4)
2 pts On peut vérier la cohérence de ce résultat eectuant le produit avec leDL4(0) decos.
1.2.15
df = 2αdα+ 2βdβ+ 2γdγ
dg= (2x+y−z+ 1)dx+ (2y+x−z+ 2)dy+ (2z−y−x+ 1)dz dh =
cosb+bcosa+b− 1 a2b
da−
asinb−sina−a+ 1 a2b
db di=lnx+ 2x+ 1 +y2dx+ 2xydy
Chapitre 2
Intégrales - Exercices autonomie
Sommaire
2.1 Énoncés . . . 22
2.1.1 . . . 22
2.1.2 . . . 22
2.1.3 . . . 22
2.1.4 . . . 22
2.1.5 . . . 22
2.1.6 . . . 23
2.1.7 . . . 23
2.1.8 . . . 24
2.1.9 . . . 25
2.1.10 . . . 26
2.1.11 . . . 27
2.1.12 . . . 27
2.1.13 . . . 28
2.1.14 . . . 28
2.1.15 . . . 28
2.2 Corrections . . . 29
2.2.1 . . . 29
2.2.2 . . . 29
2.2.3 . . . 30
2.2.4 . . . 30
2.2.5 . . . 31
2.2.6 . . . 31
2.2.7 . . . 31
2.2.8 . . . 32
2.2.9 . . . 32
2.2.10 . . . 33
2.2.11 . . . 34
2.2.12 . . . 35
2.2.13 . . . 36
2.2.14 . . . 36
2.2.15 . . . 37
2.1.1
Donner une primitive des fonctions suivantes sur I =R. 1.
f(x) = e2x(ex+ 2) 2.
f(x) = ex ex+ 2
3.
f(x) = ex (ex+ 2)2 4.
f(x) = xex2
2.1.2
Calculer les intégrales suivantes : a) Z π/2
0
cosxsin3x dx, b) Z ln(x2+ 1)dx.
Indication : première intégrale s'intègre par un changement de variables adapté (u= sinx), la deuxième par l'intégration par parties et puis en faisant une division de polynômes.
2.1.3
GIN FA 2013 - mini-test 1
En eectuant deux intégrations par parties successives, déterminer une primitive de f :x7→exsin(x),
2.1.4
GIN FA 2013 - mini-test 1 Calculer l'intégrale
Z 1
2
0
dx (1−x)√
1−x2
en eectuant le changement de variable suivant : u= 1
1−x
2.1.5
GIN FC 2013
Calculer l'intégrale suivante à l'aide du changement de variable proposé :
Z π
2
π 6
dx
sinx avect= cosx
2.1.6
Un verre contient de l'eau, que l'on remue par rotation. La surface de l'eau peut alors être assimilée à un paraboloïde de révolution : surface engendrée par la rotation d'une parabole autour de son axe de symétrie.
On donne : l'arc ASB est une parabole d'axe(SH);SH = 5 cm ; AB= 6 cm.
1. Dans un repère où l'unité est le centimètre, S est l'origine et (SH) l'axe des ordonnées, trouvez l'équation de la paraboleASB.
2. En déduire le volume d'air indiqué sur la gure, en cm3, délimité sur les côtés par le paraboloïde et délimité verticalement par les points S etH.
2.1.7
GIN FA 2011 - test 1 (5 points)
L'objectif est de calculer l'intégrale suivante : I =Rx=0x=9q1 +√ xdx
1. On envisage d'utiliser le changement de variable suivant : t =q1 +√ x.
(a) Exprimer dxdt dérivée de t par rapport àx. (1 point) (b) En exprimant dx et√
x en fonction de t etdt, montrer queI devient : (2 points) I = 4
Z t2
t1
t2(t2−1)dt.
(c) Déterminer les bornes t1 ett2. (1 point)
2. Calculer I. (1 point)
GIN FA 2009 - test 2 - Lemniscate de Bernouilli (6 points) On considère la courbe d'équation polaire :
ρ2 = 2 cos 2θ, avec − π
4 < θ < π 4 oùρ=OM et θ = ([Ox),−−→
OM).
On donne ci-dessous sa représentation graphique.
L'objectif de l'exercice est de calculer l'aire S de la surface engendrée par cette courbe. Pour cela, on admettra que S = RθRrd2S, où l'on pourra considérer comme l'élément d'intégration d2S, l'aire élémentaire ABB0A0, représentée sur la gure et bornée à la fois par les rayons r(= OA) etr+dr(=OB) et par les angles θ et θ+dθ.
1. Exprimer d2S,l'aire de l'élément d'intégration ABB0A0, en fonction de r, dr et dθ.
(2 points) 2. Donner, en fonction de θ,l'intervalle dans lequel peut varier r. (1 point) 3. Déduire des deux questions précédentes l'écriture de l'intégrale correspondant au calcul
deS et calculer cette intégrale. (3 points)
2.1.9
Déterminer par une triple intégration le volume d'un cône droit de hauteurH et de rayon à la base R.
Dessiner la gure, puis écrire l'intégrale triple.
À la cote xle rayon de la section est égale à : HRx
GIN FA 2011 - test 2 (6 points) Pour mesurer la dureté d'un métal, on peut appliquer sur celui-ci une bille d'acier sur laquelle on exerce une force F.
La bille laisse dans le métal à étudier une empreinte en forme de calotte sphérique dont la hauteur est d'autant plus grande que le métal est plus tendre. Si S est l'aire de la calotte sphérique, on appelle dureté Brinell le rapport H = FS, exprimé en N/mm2. L'objectif est ici d'exprimer ce rapport H en fonction de la force F, du diamètre D de la bille d'acier, et du diamètre d de son empreinte dans le métal.
1. On cherche dans un premier temps à déterminer l'aire S de la calotte sphérique. On découpe pour cela la calotte en bandes circulaires d'axe Oy, repérées par l'angle θ avec Oy. θ varie donc entre 0 et θ0, correspondant au diamètre d de l'empreinte.
Exprimer l'aire dS de l'élément de surface d'une bande circulaire, en fonction de θ, dθ et
D. (1,5 point)
2. Montrer que, en intégrant ces éléments de surface entre θ = 0 etθ =θ0, on obtient l'aire de la calotte sphérique : S = 12πD2(1−cosθ0). (1 point) 3. Donner l'expression de S en fonction des diamètres d et D. (2 points) 4. En déduire que la dureté Brinell H s'exprime comme : (0,5 point)
H= 2F
πD(D−√
D2 −d2).
5. Application numérique : calculer le diamètre d de l'empreinte obtenue avec un métal de dureté H = 400N/mm2 et une bille de diamètre D= 10mm, sur laquelle on exerce une
forceF de9000N. (1 point)
2.1.11
GIN FA 2012 - test 1 (5 points)
1. Calculer l'intégrale suivante :
J =
Z π
2
0
esinxsin 2xdx
On eectuera le changement de variable suivant : t = sinx (3 points) 2. À l'aide d'une intégration par parties, calculer les primitives de ln(x). (2 points)
2.1.12
GIN FA 2012 - test 1 (9 points)
On considère un ballon de rugby comme un ellipsoïde de révolution, c'est-à-dire décrit par la rotation d'une ellipse autour de l'axe des abscisses (schéma ci-dessous).
On cherche à déterminer son volume intérieur.
On rappelle l'équation de l'ellipse en coordonnées cartésiennes : x2
a2 + y2 b2 = 1.
1. Montrez que le volume de cet ellipsoïde est donné par : (3 points) V = 2πb2
Z a 0
1− x2 a2
!
dx.
2. En calculant cette intégrale, déterminer le volume V. (2 points) 3. En déduire l'expression du volume VS d'une sphère de rayon a. (1 point) 4. Application numérique :
On considère un ballon de rugby de longueur 30cm, et de diamètre au centre 20cm.
Déterminer le volume du ballon. (1 point)
Si chacune de ces deux dimensions varie de 1 mm, laquelle des deux conduira à une
plus grande variation de volume ? (1,5 point)
Finalement, laquelle des deux dimensions doit être déterminée avec la plus grande
précision ? (0,5 point)
Soit f: R→R la fonction dénie par
f(x) = lnx x 1. Trouver l'ensemble de dénition Df de f. 2. Tracer la fonction f.
3. Calculer Z e
1
f(x)dx.
2.1.14
Calculer les intégrales suivantes :
1)
Z π
4
0
√tanx+ 1dx cos2x , 2)
Z π
2
0
cos 2xdx
(2 + 3 sin 2x)3, 3)
Z 4 3
dx x3−3x+ 2, 4)
Z 3 2
4x4+x+ 1
x4−1 dx, 5)
Z −1
−2
x+ 2
x(x−2)2dx, 6)
Z 1 0
√
1−x2dx,
2.1.15
Calculer les intégrales suivantes : 1)
Z 1 0
s1−x
1 +xdx, 2)
Z 2 1
(x−1)√
x2 −2x+ 5dx, 3)
Z 1 0
ex−1 ex+ 1dx 4)
Z π
2
0
sinx+ cosx
1 + sinx dx , 5)
Z π
4
0
cos 2x−1
cos 2x+ 1dx , 6)
Z π
3
0
dx 1−sinx
2.2 Corrections
2.2.1
1.
f(x) =e2x(ex+ 2) La fonctionf(x) :x7→e2x(ex+ 2) est continue sur R. Il faut distribuer le produit f(x) = e3x+ 2e2x.
Les fonctions F dénies sur Rpar F(x) = 13e3x+e2x+C avec C ∈R sont les primitives def surR.
2.
f(x) = ex ex+ 2 La fonctionf(x) :x7→ exe+2x est continue sur R.
Posonsu(x) = ex+ 2(>0)alors u0(x) =ex et f(x) = uu(x)0(x).
Les fonctions F dénies surR par F(x) = lnu(x) +C = ln(ex+ 2) +C avec C∈R sont les primitives de f surR.
3.
f(x) = ex (ex+ 2)2 La fonctionf(x) :x7→ (exe+2)x 2 est continue sur R.
Posonsu(x) = ex+ 2(>0)alors u0(x) =ex et f(x) = uu20(x)(x).
Les fonctions F dénies sur R par F(x) = −u(x)1 +C = −ex1+2 +C avec C ∈ R sont les primitives def surR.
4.
f(x) =xex2 La fonctionf(x) :x7→xex2 est continue sur R.
Posonsu(x) = x2 alors u0(x) = 2x etf(x) = 12u0(x)eu(x).
Les fonctions F dénies sur R par F(x) = 12eu(x)+C = 12ex2 +C avec C ∈ R sont les primitives def surR.
2.2.2
Z π/2 0
cosxsin3x dx=
Z 1
0
u3 du =
"
u4 4
#1
0
= 1 4,
où on utilise le changement de variables u= sinx, du= cosx dx,sin 0 = 0,sinπ/2 = 1.
R ln(x2+ 1)dx =xln(x2+ 1)−R xx22x+1dx=xln(x2+ 1)−2R dx+ 2R x2dx+1
=xln(x2+ 1)−2x+ 2 arctanx+C
Intégration par parties : u= ln(x2+ 1), v0 = 1 donne u0 = x22x+1, v =x
Posons (
u(x) = ex
v0(x) = sin(x) et
( on obtient u0(x) = ex on choisit v(x) = −cos(x) Les fonctions u et v ainsi dénies sont bien dérivables et on a :
Z
exsin(x)dx=−excos(x) +
Z
excos(x)dx
1,5 pt On calcule une primitive dex7→excosx avec à nouveau une intégration par parties en choisis- sant (comme dans la première intégration par parties !) de dériver l'exponentielle. Si on faisait le choix de dériver la fonction trigonométrique, on reviendrait au premier calcul de primitive..
( u(x) = ex
v0(x) = cos(x) et
( on obtientu0(x) = ex on choisitv(x) = sin(x) Les fonctions u et v ainsi dénies sont bien dérivables et on a :
Z
excos(x)dx=exsin(x)−
Z
exsin(x)dx
1,5 pt On obtient donc
Z
exsin(x)dx = −excos(x) +
Z
excos(x)dx
= −excos(x) +
exsin(x)−
Z
exsin(x)dx
= ex(sin(x)−cos(x))−
Z
exsin(x)dx On en déduit donc que
Z
exsin(x)dx= 1
2ex(sin(x)−cos(x))
2 pts On aurait pu faire la première intégration par parties en posant u(x) = sin(x) etv0(x) =ex et en continuant à dériver la fonction trigonométrique dans la deuxième intégration par parties : sinon on tourne en rond !
2.2.4
On eectue le changement de variableu(x)suivant et on en déduit sa réciproquex(u), sa dérivée u0(x) et une relation entre la diérentielledx et la diérentielledu :
1 pt u= 1
1−x ⇒x= 1− 1 u
1 pt u0 = du
dx = 1
(1−x)2 = u
1−x ⇒ dx
1−x = du u
De plus, 1 pt 06x6 1
2 ⇒16u62
L'intégrale d'origine devient : 2 pts
Z 1
2
0
dx (1−x)√
1−x2 =
Z 2 1
du u
r
1−1− 1u2
=
Z 2 1
du uqu2 − u12
=
Z 2 1
√ du 2u−1
=
Z 2
1
2du 2√
2u−1 =h√
2u−1i2
1 =√ 3−1
2.2.5
Sit = cosx alors dxdt =−sinx donc dt=−sinxdx d'où sindxx = sinsinxdx2x = 1−cos−dt2x =−1−tdt2
Z π/2 π/6
dx sinx =−
Z 0 1/2
dt 1−t2. Mais 1−t12 = 121−t1 +1+t1 , donc
Z 1/2 0
dt
1−t2 = 1 2
Z 1/2 0
1
1−t+ 1
1 +tdt = 1
2[−ln(1−t) + ln(1 +t)]1/20 = 1 2
ln3
2−ln1 2
= 1 2ln 3,
d'où Z π
2 π 6
dx sinx = 1
2ln 3
2.2.6
1. On cherche l'équation d'une parabole dont le sommet est l'origine du repère. Elle est donc du typey =ax2.Avec les coordonnées du point B, l'équation donne5 = 9a,donc a= 59. Équation de la parabole :
y= 5 9x2.
2. On considère des sections horizontales circulaires de ce paraboloïde, pour concevoir un volume élémentaire qui sera un cylindre de base cette section de rayon x, d'axe (SH) et d'épaisseur innitésimale dy.
Le volume intérieur du paraboloïde est donc :
Z 5
0
πx2dy =
Z 5
0
9
5πydy = 9 5π
Z 5
0
ydy = 9 5π
"
y2 2
#5
0
= 45π
2 ≈70,69cm3.
2.2.7
1. (a) (1 point)
dt dx =
1 2√ x
2q1 +√ x
= 1
4q1 +√ x√
x .
dx= 4 1 + x x.dt = 4t xdt
et l'intégrale devient : (1 point)
I =
Z x=9 x=0
q
1 +√ x4t√
xdt=
Z x=9 x=0
4t2√ xdt.
t2 = 1 +√
x, donc √
x=t2−1.
I =
Z x=9 x=0
4t2√
xdt = 4
Z t2
t1
t2(t2−1)dt
(c) (1 point)
I = 4
Z t=2 t=1
t2(t2−1)dt.
2. (1 point)
I = 4
Z t=2 t=1
t4−t2dt= 4
"
t5 5 − t3
3
#2
1
= 4
32 5 − 8
3 −1 5 +1
3
= 4
31 5 − 7
3
= 4
93 15− 35
15
= 4×58
15 = 232 15 .
2.2.8
1. AB=dr et AA0 =rdθ. DoncdS =rdrdθ.
2. r peut varier entre 0 etOM, avecOM =ρ=q2 cos(2θ).
3.
S =
Z π
4
−π4
Z
√
2 cos(2θ) 0
rdrdθ=
Z π
4
−π4
"
r2 2
#
√
2 cos(2θ)
0
dθ
=
Z π
4
−π4
cos(2θ)dθ =
"
sin(2θ) 2
#π4
−π4
= 1−(−1) 2 = 1.
2.2.9
L'élément de volume est :
d3V =rdθdrdx Les bornes d'intégrations sont les suivantes :
• 06x6H
• 06r 6 RHx
• 06θ 62π
Ainsi le volume du cône est donné par l'intégrale triple suivante : V =
Z H x=0
Z HRx r=0
Z 2π θ=0
d3V =
Z H x=0
Z HRx r=0
Z 2π θ=0
rdθdrdx=
"
Z H x=0
"
Z HRx r=0
rdr
#
dx
#Z 2π
θ=0
dθ
V =
Z H
x=0
"
r2 2
#HRx
r=0
dx
[θ]2πθ=0 = 2π
Z H x=0
R2x2
2H2 dx=πR2 H2
"
x3 3
#H
x=0
=πR2 H2
H3 3 V = 1
3πR2H.
2.2.10
1. L'élément de surface (bande circulaire) revient à un rectangle (grandeurs innitésimales)
dont l'aire s'exprime par : (0,5 point)
dS = 2πr× D 2dθ.
Avecr, rayon de la bande circulaire. On a : (0,5 point)
r=Rsinθ = D 2 sinθ.
D'où : (1 point)
dS = 2πD
2 sinθ× D
2dθ et dS = 1
2πD2sinθdθ.
2. La surface totale de la calotte s'exprime en intégrant les éléments dS pour θ variant de 0 à θ0 :
Donc : (1 point)
S =
Z θ=θ0
θ=0
1
2πD2sinθdθ= 1 2πD2
Z θ=θ0
θ=0
sinθdθ= 1
2πD2(1−cosθ0).
3. On exprime cosθ0 en revenant à la dénition géométrique : cosθ0 = R−hR , où R est le rayon de la bille et h est la hauteur de la calotte sphérique. D'où (0,5 point)
cosθ0 = R−h
R = 1− h R.
Dans l'expression de S,on obtient donc : S = 12πD2 2hD =πDh. Exprimonsh en fonction deD et d, en utilisant le théorème de Pythagore :R2 =r2+ (R−h)2. D'où :(0,5 point)
h=R+√
R2−r2. Ce qui, en revenant à d et D, conduit à : h = 12(D−√
D2−d2). On obtient donc la
surface : (1 point)
S = 1
2πD(D−√
D2−d2) ouS = 1 2πD2
1−
v u u
t1− d D
!2
. 4. La dureté Brinell s'écrit donc : H = FS = 1 F
2πD(D−√
D2−d2) et nalement : (1 point)
H = 2F
πD(D−√
D2−d2)
5. Application numérique : H= 400N/mm2, D = 10mm, F = 9000N.
À partir de l'expression de H obtenue ci-dessus, on extraitd, ce qui donne : (0,5 point)
d=D
s
1−
1− 2F πHD2
2
.
En remplaçant par les valeurs numériques ci-dessus, on obtient : (0,5 point) d= 10
s
1−
1− 2×9000 π×400×102
2
= 10
s
1−
1− 9 20π
2
≈10√
1−0,7340 ≈5,5157 Le diamètre de l'empreinte sera donc de 5,2 mm.
